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数学 すうがく において、与 あた えられた群 ぐん G 上 うえ の加 か 群 ぐん (かぐん、英 えい : module over G )または G -加 か 群 ぐん (G -module ) とは、アーベル群 ぐん M であって M の群 ぐん 構造 こうぞう と両立 りょうりつ する G の作用 さよう を持 も つものをいう。これは G の表現 ひょうげん に広 ひろ く一般 いっぱん に用 もち いることのできる概念 がいねん である。群 ぐん コホモロジー は G -加 か 群 ぐん の一般 いっぱん 論 ろん の研究 けんきゅう において重要 じゅうよう な道具 どうぐ をいくつも提供 ていきょう する。
G -加 か 群 ぐん という用語 ようご はもっといっぱんに、G が線型 せんけい に(つまり R -加 か 群 ぐん の自己 じこ 同型 どうけい からなる群 ぐん として)作用 さよう する R -加 か 群 ぐん に対 たい しても用 もち いられる。
G を群 ぐん とする。左 ひだり G -加 か 群 ぐん あるいは G -左 ひだり 加 か 群 ぐん は、アーベル群 ぐん M に左 ひだり からの群 ぐん 作用 さよう ρ ろー : G × M → M で
g
⋅
(
a
+
b
)
=
g
⋅
a
+
g
⋅
b
(
g
⋅
a
:=
ρ ろー
(
g
,
a
)
)
{\displaystyle g\cdot (a+b)=g\cdot a+g\cdot b\quad (g\cdot a:=\rho (g,a))}
となるものをあわせて考 かんが えたものである。右 みぎ G -加 か 群 ぐん 、G -右 みぎ 加 か 群 ぐん も右 みぎ からの作用 さよう を考 かんが えて同様 どうよう に定義 ていぎ される。左 ひだり G -加 か 群 ぐん M が与 あた えられたとき、G の右 みぎ からの作用 さよう を
a
⋅
g
:=
g
−
1
⋅
a
{\displaystyle a\cdot g:=g^{-1}\cdot a}
で定義 ていぎ することにより、M を右 みぎ G -加 か 群 ぐん にすることができる。
G -加 か 群 ぐん M , N の間 あいだ の写像 しゃぞう f : M → N が G -加 か 群 ぐん の準 じゅん 同型 どうけい あるいは G -線型 せんけい 写像 しゃぞう 、G -準 じゅん 同型 どうけい であるとは、f が G -同 どう 変 へん な群 ぐん 準 じゅん 同型 どうけい であるときにいう。
左 ひだり G -加 か 群 ぐん と G -準 じゅん 同型 どうけい 全体 ぜんたい のあつまりはアーベル圏 けん G -Mod を成 な し、G -Mod は群 ぐん 環 たまき Z [G ] 上 じょう の左 ひだり 加 か 群 ぐん の圏 けん と同一 どういつ 視 し することができる。作用 さよう を右 みぎ からに変 か えて得 え られる圏 けん Mod -G についても同様 どうよう である。
G -加 か 群 ぐん M の部分 ぶぶん G -加 か 群 ぐん あるいはG -部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん (G -submodule ) または単 たん に(G -加 か 群 ぐん としての、G の作用 さよう まで込 こ めた)部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん とは、(抽象 ちゅうしょう 群 ぐん としての)部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん A ⊆ M であって G の作用 さよう に関 かん して不変 ふへん 、つまり任意 にんい の g ∈ G に対 たい して、
g
⋅
a
∈
A
,
(
∀
a
∈
A
)
{\displaystyle g\cdot a\in A,\quad (\forall a\in A)}
となるものをいう。M とその部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん A が与 あた えられたとき、商 しょう G -加 か 群 ぐん あるいは G -商 しょう 加 か 群 ぐん または剰余 じょうよ G -加 か 群 ぐん あるいは G -剰余 じょうよ 加 か 群 ぐん (G -quotient module ) M /A が、作用 さよう を考 かんが えない抽象 ちゅうしょう 群 ぐん としての剰余 じょうよ 群 ぐん M /A に G の作用 さよう を
g
⋅
(
m
+
A
)
:=
g
⋅
m
+
A
,
(
g
∈
G
,
m
∈
M
)
{\displaystyle g\cdot (m+A):=g\cdot m+A,\quad (g\in G,\,m\in M)}
とさだめることによって定 さだ まる。
任意 にんい の群 ぐん G に対 たい して、アーベル群 ぐん Z は、自明 じめい な作用 さよう g ·a = a に関 かん して G -加 か 群 ぐん である。
M を Z 上 うえ の二 に 変数 へんすう 二 に 次 じ 形式 けいしき f (x , y ) = ax 2 + 2bxy + cy 2 (a , b , c は有理 ゆうり 整数 せいすう )全体 ぜんたい の成 な す集合 しゅうごう とし、G を Z 上 うえ の二 に 次 じ 特殊 とくしゅ 線型 せんけい 群 ぐん SL (2, Z ) とする。このとき、
g
=
(
α あるふぁ
β べーた
γ がんま
δ でるた
)
{\displaystyle g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}
に対 たい し、
(
g
⋅
f
)
(
x
,
y
)
:=
f
(
(
x
,
y
)
g
)
=
f
(
α あるふぁ
x
+
γ がんま
y
,
β べーた
x
+
δ でるた
y
)
{\displaystyle (g\cdot f)(x,y):=f((x,y)g)=f(\alpha x+\gamma y,\beta x+\delta y)}
と定 さだ めれば M は G -加 か 群 ぐん となる(ただし、(x , y )g は行列 ぎょうれつ の積 せき である)。この G -加 か 群 ぐん M はガウス によって研究 けんきゅう されたものである。
V が G の体 からだ K 上 うえ の表現 ひょうげん ならば、V は(V を加法 かほう に関 かん するアーベル群 ぐん と見 み て)G -加 か 群 ぐん である。
G が位相 いそう 群 ぐん で、M が位相 いそう アーベル群 ぐん のとき、M が位相 いそう G -加 か 群 ぐん であるとは M は G -加 か 群 ぐん であって、(G × M に直積 ちょくせき 位相 いそう を入 い れるとき)作用 さよう G × M → M が連続 れんぞく であるときにいう。