出典 しゅってん 百科 ひゃっか 事典 じてん
数学 すうがく 与 あた 群 ぐん G 上 うえ 加 か 群 ぐん 英 えい module over G G -加 か 群 ぐん (G -module ) とは、アーベル群 ぐん M であって M の群 ぐん 構造 こうぞう 両立 りょうりつ G の作用 さよう 持 も G の表現 ひょうげん に広 ひろ 一般 いっぱん 用 もち 概念 がいねん 群 ぐん G -加 か 群 ぐん 一般 いっぱん 論 ろん 研究 けんきゅう 重要 じゅうよう 道具 どうぐ 提供 ていきょう
G -加 か 群 ぐん 用語 ようご G が線型 せんけい R -加 か 群 ぐん 自己 じこ 同型 どうけい 群 ぐん 作用 さよう R -加 か 群 ぐん に対 たい 用 もち
G を群 ぐん 左 ひだり G -加 か 群 ぐん G -左 ひだり 加 か 群 ぐん 群 ぐん M に左 ひだり 群 ぐん 作用 さよう ρ ろー G × M → M で
g
⋅
(
a
+
b
)
=
g
⋅
a
+
g
⋅
b
(
g
⋅
a
:=
ρ ろー (
g
,
a
)
)
{\displaystyle g\cdot (a+b)=g\cdot a+g\cdot b\quad (g\cdot a:=\rho (g,a))}
となるものをあわせて考 かんが 右 みぎ G -加 か 群 ぐん G -右 みぎ 加 か 群 ぐん 右 みぎ 作用 さよう 考 かんが 同様 どうよう 定義 ていぎ 左 ひだり G -加 か 群 ぐん M が与 あた G の右 みぎ 作用 さよう
a
⋅
g
:=
g
−
1
⋅
a
{\displaystyle a\cdot g:=g^{-1}\cdot a}
で定義 ていぎ M を右 みぎ G -加 か 群 ぐん
G -加 か 群 ぐん M , N の間 あいだ 写像 しゃぞう f : M → N が G -加 か 群 ぐん 準 じゅん 同型 どうけい G -線型 せんけい 写像 しゃぞう G -準 じゅん 同型 どうけい f が G -同 どう 変 へん 群 ぐん 準 じゅん 同型 どうけい
左 ひだり G -加 か 群 ぐん G -準 じゅん 同型 どうけい 全体 ぜんたい アーベル圏 けん G -Mod を成 な G -Mod は群 ぐん 環 たまき Z [G ] 上 じょう 左 ひだり 加 か 群 ぐん 圏 けん 同一 どういつ 視 し 作用 さよう 右 みぎ 変 か 得 え 圏 けん Mod -G についても同様 どうよう
G -加 か 群 ぐん M の部分 ぶぶん G -加 か 群 ぐん G -部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん (G -submodule ) または単 たん G -加 か 群 ぐん G の作用 さよう 込 こ 部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん 抽象 ちゅうしょう 群 ぐん 部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん A ⊆ M であって G の作用 さよう 関 かん 不変 ふへん 任意 にんい g ∈ G に対 たい
g
⋅
a
∈
A
,
(
∀
a
∈
A
)
{\displaystyle g\cdot a\in A,\quad (\forall a\in A)}
となるものをいう。M とその部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん A が与 あた 商 しょう G -加 か 群 ぐん G -商 しょう 加 か 群 ぐん 剰余 じょうよ G -加 か 群 ぐん G -剰余 じょうよ 加 か 群 ぐん (G -quotient module ) M /A が、作用 さよう 考 かんが 抽象 ちゅうしょう 群 ぐん 剰余 じょうよ 群 ぐん M /A に G の作用 さよう
g
⋅
(
m
+
A
)
:=
g
⋅
m
+
A
,
(
g
∈
G
,
m
∈
M
)
{\displaystyle g\cdot (m+A):=g\cdot m+A,\quad (g\in G,\,m\in M)}
とさだめることによって定 さだ
任意 にんい 群 ぐん G に対 たい 群 ぐん Z は、自明 じめい 作用 さよう g ·a = a に関 かん G -加 か 群 ぐん M を Z 上 うえ 二 に 変数 へんすう 二 に 次 じ 形式 けいしき f (x , y ) = ax 2 + 2bxy + cy 2 （a , b , c は有理 ゆうり 整数 せいすう 全体 ぜんたい 成 な 集合 しゅうごう G を Z 上 うえ 二 に 次 じ 特殊 とくしゅ 線型 せんけい 群 ぐん SL (2, Z ) とする。このとき、
g
=
(
α あるふぁ
β べーた
γ がんま
δ でるた
)
{\displaystyle g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}
対 たい
(
g
⋅
f
)
(
x
,
y
)
:=
f
(
(
x
,
y
)
g
)
=
f
(
α あるふぁ x
+
γ がんま y
,
β べーた x
+
δ でるた y
)
{\displaystyle (g\cdot f)(x,y):=f((x,y)g)=f(\alpha x+\gamma y,\beta x+\delta y)}
定 さだ M は G -加 か 群 ぐん x , y )g は行列 ぎょうれつ 積 せき G -加 か 群 ぐん M はガウス によって研究 けんきゅう V が G の体 からだ K 上 うえ 表現 ひょうげん V は（V を加法 かほう 関 かん 群 ぐん 見 み G -加 か 群 ぐん G が位相 いそう 群 ぐん M が位相 いそう 群 ぐん M が位相 いそう G -加 か 群 ぐん M は G -加 か 群 ぐん G × M に直積 ちょくせき 位相 いそう 入 い 作用 さよう G × M → M が連続 れんぞく
