力ちから (物理ぶつり学がく)

力ちから (物理ぶつり学がく); force
量りょう記号きごう	F
次元じげん	M L T −2
種類しゅるい	ベクトル
SI単位たんい	ニュートン (N)
CGS単位たんい	ダイン (dyn)
FPS単位たんい	パウンダル (pdl)
MKS重力じゅうりょく単位たんい	重量じゅうりょうキログラム (kgf)
CGS重力じゅうりょく単位たんい	重量じゅうりょうグラム (gf)
FPS重力じゅうりょく単位たんい	重量じゅうりょうポンド (lbf)
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古典こてん力学りきがく
	; 運動うんどうの第だい2法則ほうそく
	歴史れきし（英語えいご版ばん）
分野ぶんや
	静せい力学りきがく · 動力どうりょく学がく / 物理ぶつり学がくにおける動力どうりょく学がく · 運動うんどう学がく · 応用おうよう力学りきがく · 天体てんたい力学りきがく · 連続れんぞく体力たいりょく学がく · 統計とうけい力学りきがく
定式ていしき化か
	ニュートン力学りきがく; 解析かいせき力学りきがく: ラグランジュ力学りきがく; ハミルトン力学りきがく ; ;
基本きほん概念がいねん
	空間くうかん · 時間じかん · 速度そくど · 速はやさ · 質量しつりょう · 加速度かそくど · 重力じゅうりょく · 力ちから · 力ちから積せき · トルク / モーメント / 偶力 · 運動うんどう量りょう · 角かく運動うんどう量りょう · 慣性かんせい · 慣性かんせいモーメント · 基準きじゅん系けい · エネルギー · 運動うんどうエネルギー · 位置いちエネルギー · 仕事しごと · 仮想かそう仕事しごと · ダランベールの原理げんり
主要しゅよう項目こうもく
	剛体ごうたい · 運動うんどう · ニュートン力学りきがく · 万有引力ばんゆういんりょく · 運動うんどう方程式ほうていしき · 慣性かんせい系けい · 非ひ慣性かんせい系けい · 回転かいてん座標ざひょう系けい · 慣性かんせい力りょく · 平面へいめん粒子りゅうし運動うんどう力学りきがく · 変位へんい · 相対そうたい速度そくど · 摩擦まさつ · 単たん振動しんどう · 調和ちょうわ振動しんどう子こ · 短たん周期しゅうき振動しんどう · 減衰げんすい · 減衰げんすい比ひ · 自転じてん · 回転かいてん · 円運動えんうんどう · 非ひ等とう速そく円運動えんうんどう · 向こう心力しんりょく · 遠心えんしん力りょく · 遠心えんしん力りょく (回転かいてん座標ざひょう系けい) · 反応はんのう遠心えんしん力りょく · コリオリの力ちから · 振ふり子こ · 回転かいてん速度そくど · 角すみ加速度かそくど · 角速度かくそくど · 角すみ周波数しゅうはすう · 偏へん位い角度かくど
科学かがく者しゃ
	ニュートン · ケプラー · ホロックス · オイラー · ダランベール · クレロー · ラグランジュ · ラプラス · ハミルトン · ポアソン
	表ひょう; 話はなし; 編へん; 歴れき;

物理ぶつり学がくにおける力ちから（ちから、（英えい: force）とは、物体ぶったいの状態じょうたいを変化へんかさせる原因げんいんとなる作用さようであり^[1]、その作用さようの大おおきさを表あらわす物理ぶつり量りょうである。特とくに質点しつてんの動力どうりょく学がくにおいては、質点しつてんの運動うんどうを変化へんかさせる状態じょうたい量りょうのことをいう^[2]。広ひろがりを持もつ物体ぶったいの場合ばあいは、運動うんどう状態じょうたいとともにその形状けいじょうを変化へんかさせる。

本ほん項こうではまず、古代こだいの自然しぜん哲学てつがくにおける力ちからの扱あつかいから始はじめ近世きんせいに確立かくりつされた「ニュートン力学りきがく」や、古典こてん物理ぶつり学がくにおける力学りきがく、すなわち古典こてん力学りきがくの発展はってんといった歴史れきしについて述のべる。

次つぎに歴史れきしから離はなれ、現在げんざいの一般いっぱん的てき視点してんから古典こてん力学りきがくにおける力ちからについて説明せつめいし、その後ごに古典こてん力学りきがくと対置たいちされる量子力学りょうしりきがくについて少すこし触ふれる。

最後さいごに、力ちからの概念がいねんについて時折ときおりなされてきた、「形而上学けいじじょうがく的てきである」といったような批判ひはんなどについて、その重要じゅうようさもあり、項こうを改あらためて扱あつかう。

歴史れきし

自然しぜん哲学てつがくにおいて、力ちからという概念がいねんは、何なにかに内在ないざいすると想定そうていされている場合ばあいと、外そとから影響えいきょうを及およぼすと想定そうていされている場合ばあいがある。古代こだいより思索しさくが重かさねられてきた。

古代こだい

プラトンは物質ぶっしつはプシュケーを持もち運動うんどうを引ひき起おこすと考かんがえ、デュナミスという言葉ことばに他者たしゃへ働はたらきかける力ちからと他者たしゃから何なにかを受うけ取とる力ちからという意味いみを持もたせた。

アリストテレスは『自然しぜん学がく』という書しょを著あらわしたが、物質ぶっしつの本性ほんしょうを因いんとする自然しぜんな運動うんどうと、物質ぶっしつに外そとから強制きょうせい的てきな力ちからが働はたらく運動うんどうを区別くべつした。

6世紀せいきのヨハネス・ピロポノスは、物質ぶっしつそのものに力ちからがあると考かんがえた。

アラビア半島はんとうの自然しぜん哲学てつがく者しゃら（イスラム科学かがく）の中なかにはピロポノスの考かんがえを継承けいしょうする者ものもいた。

ルネサンス以降いこう

14世紀せいきのジャン・ビュリダンは、物もの自体じたいに impetus（インペトゥス、いきおい）が込こめられているとして、それによって物ものの運動うんどうを説明せつめいした。これをインペトゥス理論りろんと言いう。

**ステヴィンの機械きかい**。斜面しゃめん上じょうに等間隔とうかんかくに重おもさの等ひとしい球たまを配置はいちする。それぞれの球たまを縄なわで繋つなぎ鎖くさりを作つくる。このとき鎖くさりが斜面しゃめん上うえの一方いっぽうへと回転かいてんするなら、これは永久えいきゅう機関きかんとして利用りようできる。

ベルギー出身しゅっしんのオランダ人じん工学こうがく者しゃシモン・ステヴィン (Simon Stevin、1548 — 1620) は力ちからの合成ごうせいと分解ぶんかいを正まさしく扱あつかった人物じんぶつとして有名ゆうめいである。1586年ねんに出版しゅっぱんした著書ちょしょ "De Beghinselen Der Weeghconst " の中なかでステヴィンは斜面しゃめんの問題もんだいについて考察こうさつし、「ステヴィンの機械きかい」と呼よばれる架空かくうの永久えいきゅう機関きかんが実際じっさいには動作どうさしないことを示しめした^{[注ちゅう 1]}。つまり、どのような斜面しゃめんに対たいしても斜面しゃめんの頂点ちょうてんにおいて力ちからの釣つり合あいが保たもたれるには力ちからの平行四辺形へいこうしへんけいが成なり立たっていなければならないことを見出みいだしたのである。

力ちからの合成ごうせいと分解ぶんかいの規則きそくは、ステヴィンが最初さいしょに発見はっけんしたものではなく、それ以前いぜんにもそれ以後いごにも様々さまざまな状況じょうきょうや立場たちばで論ろんじられている。同どう時代じだいの発見はっけんとして有名ゆうめいなものとしてガリレオ・ガリレイの理論りろんがある。ガリレオは斜面しゃめんの問題もんだいがてこなどの他ほかの機械きかいの問題もんだいに置おき換かえられることを見出みいだした。

その後ご、フランスの数学すうがく者しゃ、天文学てんもんがく者しゃであるフィリップ・ド・ラ・イール (1640 — 1718) は数学すうがく的てきな形式けいしきを整ととのえ、力ちからを空間くうかんベクトルとして表あらわすようになった^{[注ちゅう 2]}。

ルネ・デカルトは渦動かどう説せつ (Cartesian Vortex) を唱となえ、「空間くうかんには隙間すきまなく目めに見みえない何なにかが満みちており、物ものが移動いどうすると渦うずが生しょうじている 」とし、物体ぶったいはエーテルの渦うずによって動うごかされていると説明せつめいした^[4]^[5]。

ニュートン力学りきがく

現代げんだいの力学りきがくに通つうじる考かんがえ方かたを体系たいけい化かした人物じんぶつとして、しばしばアイザック・ニュートンが挙あげられる。ニュートンはガリレオ・ガリレイの動力どうりょく学がくも学まなんでいた。またデカルトの著書ちょしょを読よみ、その渦動かどう説せつについても知しっていた（ただしこの渦動かどう説せつの内容ないようについては批判ひはん的てきに見みていた）。

ニュートンは1665年ねんから1666年ねんにかけて数学すうがくや自然しぜん科学かがくについて多おおくの結果けっかを得えた。特とくに物体ぶったいの運動うんどうについて、力ちからの平行四辺形へいこうしへんけいの法則ほうそくを発見はっけんしている。この結果けっかは後のちに『自然しぜん哲学てつがくの数学すうがく的てき諸しょ原理げんり』（プリンキピア、1687年刊ねんかん）の中なかで運動うんどうの第だい2法則ほうそくを用もちいて説明せつめいされている^[6]。

ニュートンはその著書ちょしょ『自然しぜん哲学てつがくの数学すうがく的てき諸しょ原理げんり』において、運動うんどう量りょう (quantity of motion) を物体ぶったいの速度そくどと質量しつりょう (quantity of matter) の積せきとして定義ていぎし、運動うんどうの法則ほうそくについて述のべている。ニュートンの運動うんどうの第だい2法則ほうそくは「運動うんどうの変化へんかは物体ぶったいに与あたえられた力ちからに比例ひれいし、その方向ほうこうは与あたえられた力ちからの向むきに生しょうじる」というもので、これは現代げんだい的てきには以下いかのように定式ていしき化かされる。

{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {F}}\,

^{[注ちゅう 3]}

ここで $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}dp/dt$ は物体ぶったいが持もつ運動うんどう量りょう $p$ の時間じかん微分びぶん、 $F$ は物体ぶったいにかかる力ちからを表あらわす。このニュートンの第だい2法則ほうそくは、運動うんどうの第だい1法則ほうそくが成なり立たつ慣性かんせい系けいにおいて成なり立たつ。

ニュートン自身じしんは第だい2法則ほうそくを微分びぶんを用もちいた形式けいしきでは述のべていない。運動うんどうの変化へんか (alteration of motion) を運動うんどう量りょうの変化へんかと解釈かいしゃくするなら、それは力ちから積せきに相当そうとうする。

熱ねつ力学りきがく

エネルギーと力ちから

詳細しょうさいは「エネルギー保存ほぞんの法則ほうそく」を参照さんしょう

熱ねつ力学りきがくが形成けいせいされる19世紀せいき前半ぜんはんまでは、現在げんざいのエネルギーに相当そうとうする概念がいねんが力ちから（羅ら: vis, 英えい: force, 独どく: Kraft）と呼よばれていた。たとえば、ルドルフ・クラウジウスは1850年ねんの論文ろんぶん ,,Über die bewegende Kraft der Wärme "^[7]で熱ねつ力学りきがく第だい一いち法則ほうそくについて述のべているが、Kraft という語かたりを用もちいているし、その英訳えいやくでも Force が用もちいられている。

現在げんざいの運動うんどうエネルギーに対応たいおうする概念がいねんについて、1676年ねんから1689年ねんの頃ころにゴットフリート・ライプニッツは vis viva と名付なづけた。これは当時とうじの運動うんどうに関かんする保存ほぞん則そくの議論ぎろんの中なかで、保存ほぞん量りょうとして提案ていあんされたものである。

1807年ねんに、トマス・ヤングは vis viva にあたる概念がいねんをエネルギーと名付なづけたが、直すぐ様さまそれが一般いっぱんに用もちいられることはなかった。力学りきがくの言葉ことばとして運動うんどうエネルギーや位置いちエネルギーが定義ていぎされるのは1850年ねん以降いこうのことで、運動うんどうエネルギーは1850年ねん頃ごろにウィリアム・トムソンによって、位置いちエネルギーは1853年ねんにウィリアム・ランキンによってそれぞれ定義ていぎされている^[8]。

古典こてん力学りきがく

定義ていぎ

古典こてん力学りきがくにおける力ちから（英語えいご: force）の、最もっとも初等しょとう的てきな定義ていぎは質量しつりょうと加速度かそくどの積せきを力ちからとするものである。

{\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}.

^{[注ちゅう 3]}

ここで $F$ は物体ぶったいに働はたらく力ちから、 $m$ は物体ぶったいの質量しつりょう、 $a$ は物体ぶったいの加速度かそくどを表あらわす^{[注ちゅう 4]}。力ちからは向むきと大おおきさによって特徴とくちょうづけられ、一般いっぱんにはベクトル量りょうとして表現ひょうげんされる。この定義ていぎはニュートン力学りきがく^{[注ちゅう 5]}における運動うんどう量りょうの定義ていぎと運動うんどうの第だい2法則ほうそくから導みちびかれる。上述じょうじゅつの $F = m a$ はしばしばニュートンの運動うんどう方程式ほうていしき（あるいは短縮たんしゅくして運動うんどう方程式ほうていしき）と呼よばれる。

一般いっぱんに力ちからは運動うんどうの第だい2法則ほうそくを満みたし、物体ぶったいに働はたらく力ちからの総和そうわ（合力ごうりょく）は運動うんどう量りょうの時間じかん変化へんかに等ひとしい。

{\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}\,.

ここで $F$ は物体ぶったいに働はたらく力ちから、 $p$ は物体ぶったいの運動うんどう量りょう、 $t$ は慣性かんせい系けいの時刻じこくを表あらわす。ニュートン力学りきがくにおいて運動うんどう量りょうは速度そくど $v$ と慣性かんせい質量しつりょう $m$ の積せきで表あらわされ、

{\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}

また速度そくど $v$ の時間じかん微分びぶんは加速度かそくど $a$ であることから、物体ぶったいの慣性かんせい質量しつりょうは一定いっていである場合ばあいについて、次つぎの関係かんけいが成なり立たつ。

{\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}\,.

以上いじょうは相対そうたい論ろんを考かんがえに入いれない場合ばあいである。そのため実際じっさいには、慣性かんせい系けいから見みた対象たいしょうの（相対そうたい）速度そくどが光速こうそくに近ちかくなると良よい近似きんじではなくなる。特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんでは慣性かんせい系けいの定義ていぎのほか、運動うんどう量りょうの定義ていぎもまたニュートン力学りきがくと異ことなる。相対そうたい論ろん的てきな粒子りゅうしの運動うんどう量りょうをニュートン力学りきがくに合あわせて表現ひょうげんすると、運動うんどう量りょうは以下いかのように修正しゅうせいされる。

{\boldsymbol {p}}={\frac {m}{1-v^{2}/c^{2}}}{\boldsymbol {v}}.

^{[注ちゅう 6]}

ここで $c$ は光速こうそくであり、 $m$ は不変ふへん質量しつりょう（静止せいし質量しつりょう）である。したがって、運動うんどう方程式ほうていしきは以下いかのようになる。

{\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m}{1-v^{2}/c^{2}}}{\boldsymbol {v}}\right).

光速こうそくに対たいして速度そくどの大おおきさ $v$ が極きわめて小ちいさければ、相対そうたい論ろん的てきな運動うんどう量りょうはニュートン力学りきがくにおける定義ていぎとほとんど一致いっちする。たとえば音速おんそくは光速こうそくの 0.0001% 程度ていどであり、地球ちきゅう上じょうで起おこる大抵たいていの運動うんどうに関かんしてはニュートン力学りきがくを適用てきようすることができる。

運動うんどうの第だい2法則ほうそくは慣性かんせい系けいにおいてのみ成なり立たち、慣性かんせい系けいは運動うんどうの第だい1法則ほうそくによって定義ていぎされる。一般いっぱんに取とり扱あつかわれる系けいが完全かんぜんな意味いみで慣性かんせい系けいであることはなく、例たとえば地上ちじょうの運動うんどうは少すくなからず地球ちきゅうの自転じてんの影響えいきょうを受うけるが、自転じてんによって生しょうじる慣性かんせい力りょくを運動うんどう方程式ほうていしきに加くわえることで、非ひ慣性かんせい系けいの運動うんどうを慣性かんせい系けいの場合ばあいと同おなじように取とり扱あつかうことができる。

ニュートン力学りきがくでは、運動うんどうの第だい3法則ほうそくが成なり立たつ。運動うんどうの第だい3法則ほうそくは「作用さよう反作用はんさようの法則ほうそく」とも呼よばれ、作用さよう（力ちから）に対たいしてその対たいとなる反作用はんさようが必かならず存在そんざいすることを述のべる。例たとえば物体ぶったいAから物体ぶったいBに及およぼされる力ちから $F A \to B$ が存在そんざいするとき、それを打うち消けす力ちから $F B \to A$ が物体ぶったいBから物体ぶったいAへ及およぼされる。両者りょうしゃの和わを考かんがえるとこれは常つねに 0 に等ひとしくなる。

F_{\mathrm {A\to B} }+F_{\mathrm {B\to A} }=0.

作用さよう反作用はんさようの法則ほうそくは慣性かんせい力りょくに対たいしては成なりたず、この意味いみで慣性かんせい力りょくは見みかけの力ちから (fictitious force) であるということができる。慣性かんせい力りょくは慣性かんせい系けいから非ひ慣性かんせい系けいへ視点してんを移うつした際さいに現あらわれる力ちからであり、その反作用はんさようは存在そんざいしない。ニュートン力学りきがくにおいては慣性かんせい力りょくを除のぞくすべての力ちからが物体ぶったい間あいだの相互そうご作用さようとして理解りかいされるが、電磁場でんじばのような場ばとの相互そうご作用さようを含ふくめる場合ばあい、物体ぶったい間あいだだけで相互そうご作用さようが閉とじるという前提ぜんていは破綻はたんし、その結果けっかとして上述じょうじゅつの作用さよう反作用はんさようの法則ほうそくが成なりたなくなる。そのため、電磁場でんじばを含ふくむ力学りきがくにおいては、作用さよう反作用はんさようの法則ほうそくは電磁気でんじき学がくに適合てきごうするように修正しゅうせいされる。

作用さよう反作用はんさようの法則ほうそくはより一般いっぱん化かされ運動うんどう量りょう保存ほぞん則そくとして述のべれられることがある。運動うんどう量りょう保存ほぞん則そくに則そくした立場たちばでは、力ちからは物体ぶったい間あいだ（あるいは物体ぶったいと場ばの間あいだ）で行おこなわれる相互そうごの運動うんどう量りょうの授受じゅじゅを示しめすものと理解りかいできる。ある時間じかんに物体ぶったいに及およぼされる力ちからの総和そうわと時間じかんの積せき、すなわち力ちからの時間じかんに関かんする積分せきぶんは、その時間じかんにおける物体ぶったいの運動うんどう量りょうの変化へんか量りょうに等ひとしい。この運動うんどう量りょうの変化へんか量りょうは力ちから積せきと呼よばれる。

古典こてん力学りきがくで採用さいようされる運動うんどうの諸しょ法則ほうそくによって定さだめられる範囲はんいでは、力ちからの定義ていぎは速度そくどや加速度かそくどのような運動うんどう学がく的てきな量りょうに比くらべて抽象ちゅうしょう的てきである。より具体ぐたい的てきな定義ていぎは個々ここの現象げんしょう論ろんによって与あたえられる。多おおくの場合ばあい、地球ちきゅうの重力じゅうりょくやばねの復元ふくげん力りょくのように何なんらかのポテンシャルを最小さいしょう化かしようとする働はたらきとして表あらわされる。

通常つうじょう、力ちからはそれが働はたらく物体ぶったいに付随ふずいするものとして考かんがえられるため、力ちからに個々ここの作用さよう点てんを付ふして特別とくべつに注意ちゅういを払はらうことはない。しかしながらより一般いっぱん的てきに、ある点てんに対たいしてその点てんを作用さよう点てんとする力ちからを与あたえる関数かんすうを用もちいて運動うんどうを捉とらえることもできる。そのような関数かんすうは力ちからの場ば (field of force) とか力ちから場じょうと呼よばれる^[9]^[10]。力ちからの場ばは、空間くうかんの点てんに対たいしてその点てんに束縛そくばくされたベクトルを与あたえる関数かんすうであり、このような関数かんすうはベクトル場じょうと総称そうしょうされる。力ちからの場ばは、文脈ぶんみゃくに応おうじていくつか異ことなる定義ていぎが与あたえられる。一ひとつの定義ていぎでは、単位たんい質量しつりょうの試験しけん物体ぶったいに加くわえられる力ちからを与あたえる場ばをいい、別べつの定義ていぎでは単たんにある物体ぶったいに働はたらく力ちからを与あたえる場ばとされる^[11]。前者ぜんしゃの定義ていぎでは、何なんらかの単位たんい系けいで質量しつりょうが 1 となる^{[注ちゅう 7]}物体ぶったいに働はたらく力ちからを与あたえる。従したがってその量りょうの次元じげんは力ちから/質量しつりょうとなる。後者こうしゃの定義ていぎは前者ぜんしゃの場ば $F (\cdot)$ に適当てきとうな質量しつりょう $m$ を乗じょうじた場ば $m F (\cdot)$ に相当そうとうする。この場合ばあい、ある点てん $x$ で物体ぶったいに働はたらく力ちからは $m F (x)$ と表あらわされる。具体ぐたい的てきな力ちからの場ばは何なんらかのポテンシャルによって与あたえられる。例れいとして、重力じゅうりょくポテンシャルや電磁でんじポテンシャルなどが挙あげられる。

力ちからは文脈ぶんみゃくによって、相互そうご作用さよう (interaction)、作用さよう (action) などとも呼よばれる。ただし、相互そうご作用さようは（本質ほんしつ的てきには多た体からだ間あいだの）ポテンシャルを指さすこともあり、また作用さようは解析かいせき力学りきがくにおいては力ちからと異ことなる概念がいねんとして定義ていぎされている。

次元じげんと単位たんい

「ニュートン (単位たんい)」、「国際こくさい単位たんい系けい」、「SI基本きほん単位たんいの再さい定義ていぎ (2019年ねん)」、「国際こくさい量りょう体系たいけい」、および「次元じげん解析かいせき」も参照さんしょう

力ちからの量りょうの次元じげんは MLT⁻²（[質量しつりょう]×[長ながさ]×[時間じかん]⁻²）である^{[注ちゅう 8]}。力ちからの次元じげんが他たの量りょうの次元じげんによって組くみ立たてられることは、ニュートン力学りきがくにおいて力ちから $F$ が質量しつりょう $m$ と加速度かそくど $a$ の積せきとして与あたえられること、

{\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}},

加速度かそくど $a$ が、加か減速げんそくされる時間じかんに対たいする速度そくど $v$ の変化へんかの割合わりあい、すなわち速度そくどの時間じかん微分びぶんとして定義ていぎされること、

{\boldsymbol {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}(t)}{\mathrm {d} t}},

速度そくど $v$ もまた、運動うんどうする時間じかんに対たいする位置いち $x$ の変化へんかの割合わりあいとして定義ていぎされること、

{\boldsymbol {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}(t)}{\mathrm {d} t}},

から導みちびかれる。位置いち、あるいは変位へんいは基準きじゅん点てんに対たいする距離きょりを測はかることによって決定けっていでき、位置いちの変化へんか量りょう $d x$ は長ながさの次元じげん (L) を持もつ。速度そくどは位置いちの変化へんか量りょう $d x$ と時間じかん $d t$ の比ひなので、次元じげんは長ながさ (L) に時間じかん (T) の逆数ぎゃくすうを乗じょうじた LT⁻¹ となる。加速度かそくどについても同様どうようの手続てつづきから量りょうの次元じげんが定さだまり、加速度かそくどの量りょうの次元じげんは LT⁻² である。力ちからは加速度かそくどに質量しつりょうを乗じょうじたものなので、量りょうの次元じげんも加速度かそくどの量りょうの次元じげんに質量しつりょうの次元じげん (M) を掛かけた MLT⁻² となる。

力ちからの単位たんいもまた、それぞれの基本きほん量りょうに対応たいおうする基本きほん単位たんいから組くみ立たてられる。国際こくさい量りょう体系たいけいでは基本きほん量りょうとして質量しつりょう、時間じかん、長ながさを採とり、国際こくさい単位たんい系けいでは国際こくさい量りょう体系たいけいに対応たいおうして質量しつりょうの単位たんいをキログラム (kg)、時間じかんの単位たんいを秒びょう (s)、長ながさの単位たんいをメートル (m) としてこれらを基本きほん単位たんいとしている。国際こくさい単位たんい系けいに従したがえば、力ちからの単位たんいは kg·m·s⁻² と表あらわすことができる。また国際こくさい単位たんい系けいでは、目的もくてきに応おうじて組立くみたて単位たんいが定義ていぎされており、力ちからの単位たんいとしてニュートン (N) が定さだめられている。ニュートンなどの組立くみたて単位たんいはすべて基本きほん単位たんいの代数だいすう操作そうさによって定義ていぎされており、ニュートンの場合ばあい、N = kg·m·s⁻² と定義ていぎされている。

静せい力学りきがく

静せい力学りきがくでは力ちからは基本きほん的てきな状態じょうたい量りょうになる。力ちからを構成こうせいする要素ようそは、力ちからの大おおきさ (magnitude)、力ちからの向むき (direction)、作用さよう線せんの方向ほうこう、作用さよう線せんの位置いちである^[12]。力ちからが及およぼされる点てんを作用さよう点てん^{[注ちゅう 9]}(point of action) と呼よぶ^[13]。作用さよう線せん (line of action) とは作用さよう点てんを通とおり、力ちからの向むきに対たいして平行へいこうな直線ちょくせんのことである^[14]。また、力ちからが2体力たいりょくである場合ばあいには、力ちからを及およぼすものと力ちからが及およぼされるものとの組くみを考かんがえることができる。すべての力ちからが2体力たいりょくであるなら、それぞれの力ちからは互たがいに独立どくりつであり、物体ぶったいにかかる正味しょうみの力ちから (net force) はそれぞれの独立どくりつな力ちからの単純たんじゅんな和わとして表あらわされる^[12]。

たとえば、物体ぶったい $A$ に物体ぶったい $B, C$ が力ちからを及およぼしている場合ばあい、物体ぶったい $A$ に働はたらく正味しょうみの力ちからは、

{\boldsymbol {F}}_{\mathrm {A} }={\boldsymbol {F}}_{\mathrm {B\to A} }+{\boldsymbol {F}}_{\mathrm {C\to A} }

と分解ぶんかいすることができる。ここで $F A$ は物体ぶったい $A$ に働はたらく正味しょうみの力ちから、 $F B \to A, F C \to A$ はそれぞれ物体ぶったい $B, C$ が物体ぶったい $A$ に及およぼしている力ちからを表あらわす。このことは $A$ に力ちからを及およぼす物体ぶったいが増ふえても同様どうように成なり立たつ。

解析かいせき力学りきがく

「オイラー＝ラグランジュ方程式ほうていしき#ニュートン力学りきがくとの関係かんけい」も参照さんしょう

解析かいせき力学りきがくにおける力ちからは、ニュートン力学りきがくの定義ていぎと異ことなり、オイラー＝ラグランジュ方程式ほうていしきを通つうじて一般いっぱん化か運動うんどう量りょう (generalized momentum) の時間じかん微分びぶんに等ひとしくなる関数かんすうとして与あたえられる。一般いっぱん化か運動うんどう量りょうの時間じかん微分びぶんという意味いみでの力ちからは、一般いっぱん化か力りょく (generalized force) あるいは広義こうぎの力ちからと呼よばれ、ニュートン力学りきがくにおける力ちからとは区別くべつされる。

一般いっぱん化か運動うんどう量りょうはラグランジアンの一般いっぱん化か速度そくどによる偏へん微分びぶんとして定義ていぎされる^[15]。一般いっぱん化か運動うんどう量りょうを $P$ 、ラグランジアンを $L$ 、一般いっぱん化か座標ざひょう系けいの組くみを $q$ 、一般いっぱん化か速度そくどの組くみを $\cdot q$ と表あらわせば、一般いっぱん化か運動うんどう量りょうは以下いかのように定義ていぎされる。

{\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)={\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}.

^{[注ちゅう 10]}

オイラー＝ラグランジュ方程式ほうていしき

\left.{\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\right|_{({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})=({\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\left.{\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}\right|_{({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})=({\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))}\right)

^{[注ちゅう 11]}

を一般いっぱん化か運動うんどう量りょう $P$ で書かき換かえると、以下いかのように書かける。

\left.{\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\right|_{({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})=({\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\left.{\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)\right|_{({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})=({\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))}\right)

上記じょうきのオイラー＝ラグランジュ方程式ほうていしきの右辺うへんから、一般いっぱん化か力りょく $Ψ ぷさい$ ^{[注ちゅう 12]} は次つぎのように定義ていぎされる^[16]。

{\boldsymbol {\Psi }}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)={\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.

オイラー＝ラグランジュ方程式ほうていしき

\left.{\boldsymbol {\Psi }}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)\right|_{({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})=({\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\left.{\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)\right|_{({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})=({\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))}\right)

とニュートンの運動うんどう方程式ほうていしき

{\boldsymbol {F}}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {p}}(t)

と見比みくらべれば、左辺さへんの一般いっぱん化か力りょく $Ψ ぷさい$ は力ちからに相当そうとうする量りょうであることが分わかる。

力ちからの釣つり合あい

その物体ぶったいの速度そくどが変化へんかしないとき、力ちからが釣つり合あっていると言いう。例たとえば、自動車じどうしゃが時速じそく 40 km/h のまま直進ちょくしんしているとき、車体しゃたいにかかる力ちからは釣つり合あっている。この時とき、エンジン等とうによって動うごかされた車輪しゃりんが加速かそくしようとする力ちからと車軸しゃじくの摩擦まさつや空気くうき抵抗ていこうによって減速げんそくしようとする力ちからが釣つり合あっている、と考かんがえるのである。

力ちからの合成ごうせいと分解ぶんかい

**力ちからの合成ごうせい** 力ちから $d T$ と力ちから $d N$ を合成ごうせいした力ちから $d F$ は平行四辺形へいこうしへんけいの法則ほうそくによって対角線たいかくせんとして計算けいさんできる。

力ちからの合成ごうせいとは、ある点てんに働はたらく複数ふくすうの力ちからを 1 つの等価とうかな力ちからとして表あらわすことを言いう。またその逆ぎゃくの操作そうさを力ちからの分解ぶんかい (decomposition of force) と呼よぶ^[17]。合成ごうせいされた力ちからのことを合力ごうりょく (resultant force) という^[18]。力ちからはベクトルとして定義ていぎされているので^[19]、ベクトル空間くうかんにおける加法かほうの規則きそくに従したがい合成ごうせいと分解ぶんかいを行おこなうことができる^[20]。力ちからと運動うんどう量りょうがベクトルであることにより、運動うんどう方程式ほうていしきを任意にんいの成分せいぶんに分解ぶんかいすることができる。この原理げんりを運動うんどうの独立どくりつ性せい (independence of motions) という^[19]。

分解ぶんかいされた力ちからと元もとの力ちから、あるいは合成ごうせいされる力ちからとそれらの合力ごうりょくの関係かんけいを図形ずけい的てきに表あらわすものとして、力ちからの平行四辺形へいこうしへんけいがしばしば用もちいられる。力ちからの分解ぶんかいに関かんして、2 成分せいぶんに分解ぶんかいされた力ちからは平行四辺形へいこうしへんけいの辺あたりをなし、その対角線たいかくせんは元もとの力ちからとなる。同様どうように、2つの力ちからが同おなじ点てんに働はたらくと、それらは平行四辺形へいこうしへんけいの辺あたりをなす。2つの力ちからの合力ごうりょくは2つの力ちからのなす平行四辺形へいこうしへんけいの対角線たいかくせんとして図示ずしされる^[20]。力ちからの分解ぶんかいや合成ごうせいを平行四辺形へいこうしへんけいの組くみ合あわせによって表あらわすことができる、という法則ほうそくを平行四辺形へいこうしへんけいの法則ほうそく (parallelogram law) と呼よぶ^[14]。平行四辺形へいこうしへんけいの法則ほうそくはまた、ニュートンの第だい4法則ほうそく (Newton's fourth law) とか力ちからの重畳ちょうじょう原理げんり (superposition principle of force) とも呼よばれる^[14]。

分類ぶんるい

連続れんぞく体力たいりょく学がくなどの分野ぶんやでは、力ちからは次つぎの 2 つに分類ぶんるいされる。

面積めんせき力りょく: 面めんを通とおして作用さようし、その大おおきさが面積めんせきに比例ひれいする力ちから^[21]。表面ひょうめんを横切よこぎる微視的びしてきな運動うんどう量りょうの流ながれ束たばとも言いえ^[22]、表面ひょうめん力りょくとも呼よばれる。物体ぶったいの面めんを介かいして作用さようするので近接きんせつ作用さよう力ちからである^[23]。例れいとしては圧力あつりょく、応力おうりょく、表面張力ひょうめんちょうりょくなどが挙あげられる。
体積たいせき力りょく: 物体ぶったいの体積たいせきに比例ひれいする力ちから^[24]。物体ぶったい力りょくとも呼よばれる。物体ぶったいには直接ちょくせつ触ふれずに作用さようする力ちからなので遠隔えんかく作用さよう力ちからである^[23]。例れいとして重力じゅうりょく、遠心えんしん力りょく、コリオリの力ちから、電力でんりょくなどがある。

量子力学りょうしりきがく

詳細しょうさいは「量子力学りょうしりきがく」、「場ばの量子りょうし論ろん」、「基本きほん相互そうご作用さよう」、および「標準ひょうじゅん模型もけい」を参照さんしょう

量子力学りょうしりきがくでは、場ばの量子りょうし論ろんにより、宇宙うちゅうにおける力ちからの源みなもとは基本きほん相互そうご作用さようによる、電磁でんじ相互そうご作用さよう・弱よわい相互そうご作用さよう・強つよい相互そうご作用さよう・重力じゅうりょく相互そうご作用さようの 4つに整理せいりされた。ただし、重力じゅうりょくは古典こてん物理ぶつり学がくに属ぞくする一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんも関係かんけいし、また、重力じゅうりょくの量子りょうし化か（量子りょうし重力じゅうりょく理論りろん）は研究けんきゅうの途上とじょうである。一方いっぽうで電磁でんじ相互そうご作用さようと弱よわい相互そうご作用さようとを統一とういつ的てきに記述きじゅつする電でん弱じゃく統一とういつ理論りろんはワインバーグ＝サラム理論りろんによって完成かんせいした。その次つぎと言いえる強つよい相互そうご作用さようの統一とういつは大だい統一とういつ理論りろんとして研究けんきゅう中ちゅうである。

その他た、主おもな未み解決かいけつの問題もんだいについての概観がいかんは標準ひょうじゅん模型もけいを参照さんしょうのこと。

批判ひはん

（古典こてん力学りきがくの）力りょくは物理ぶつり学がくの根幹こんかんにかかわるものであるが、力ちからの定義ていぎづけは自明じめいではないともいわれる^[1]。アイザック・ニュートンは『自然しぜん哲学てつがくの数学すうがく的てき諸しょ原理げんり』において力ちからと質量しつりょうについて明確めいかくな定義ていぎを与あたえていない。現代げんだい的てきな視点してんでは、ニュートン力学りきがくにおける力ちからは運動うんどうの第だい2法則ほうそく $F = m a$ によって定義ていぎされるものと解釈かいしゃくされるが、この解釈かいしゃくのもとでは、比例ひれい定数ていすうの慣性かんせい質量しつりょう $m$ が未定義みていぎな量りょうであるため、力ちからと慣性かんせい質量しつりょうの定義ていぎが独立どくりつしておらず、不満ふまんである。そのため、力ちからと質量しつりょうの定義ていぎを分離ぶんりすべきという批判ひはんがなされている^[1]。

アメリカ航空こうくう宇宙うちゅう局きょくのサイトでは「自由じゆう物体ぶったいの動うごきに変化へんかを起おこしたり、あるいは固定こてい物体ぶったいに応力おうりょくを与あたえる基もととなる agent（エージェント）^[25]」といった説明せつめいになっている。

脚注きゃくちゅう

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

注釈ちゅうしゃく

^ ステヴィンによるこの問題もんだいの証明しょうめいは Epitaph of Stevinus （ステウィヌスの碑いしぶみ）と呼よばれる。Stevinus はステヴィンのラテン語らてんご名めい。
^ ただし現在げんざい用もちいられるベクトルの記法きほうが発達はったつしたのは19世紀せいき以降いこうである^[3]。
^ ^a ^b 太字ふとじの変数へんすうはベクトル量りょうを表あらわす。
^ 力ちから、質量しつりょう、加速度かそくどの順序じゅんじょや記号きごうは単たんに慣習かんしゅう的てきなものであり、文献ぶんけんによって様々さまざまな表現ひょうげんがある。例たとえば $m a = F$ のように書かかれている文献ぶんけんも数多かずおおくある。いずれにせよ、数学すうがく上じょうあるいは物理ぶつり学がく上じょうの意味いみは同おなじである。
^ 古典こてん力学りきがくのうち、非ひ相対そうたい論ろん的てきな力学りきがくをニュートン力学りきがくと呼よぶ。ただし文献ぶんけんによっては古典こてん力学りきがくに相対そうたい論ろんを含ふくめないものもある。
^ この運動うんどう量りょうは四元よつもと運動うんどう量りょうの空間くうかん成分せいぶんである。
^ 科学かがく技術ぎじゅつ分野ぶんやで一般いっぱん的てきな国際こくさい単位たんい系けいでは質量しつりょうの基本きほん単位たんいはキログラムである。従したがってこの場合ばあいの単位たんい質量しつりょうは 1 kg となる。ヤード・ポンド法ほうでは質量しつりょうの基本きほん単位たんいはポンドとなるため、単位たんい質量しつりょうは 1 lb となる。
^ 記号きごうに対たいする上うえ付つきの添字そえじはその量りょうのベキを表あらわす。たとえば $A 2$ は $A \times A$ を意味いみする。負数ふすうのベキは逆数ぎゃくすうのベキを表あらわし、たとえば $B -2$ は $1 / B \times 1 / B$ 、つまり $1 / B\timesB$ を意味いみする。折衷せっちゅう的てきな表現ひょうげんとして $B -2$ を $1 / B 2$ と表あらわすこともしばしばある。
^ 作用さよう点てんはまた着き力点りきてんとも呼よばれる^[13]。
^ 関数かんすう $f (u)$ のベクトル $u$ による微分びぶんは、ベクトル $u$ の各かく成分せいぶん $u i, i = 1, 2, ..., d$ に対たいする偏へん導しるべ関数かんすう $\partial f / \partial u i$ を成分せいぶんに持もつベクトル $(\partial f / \partial u 1, \partial f / \partial u 2, ..., \partial f / \partial u d)$ 、つまり勾配こうばいを与あたえる。
^ ここで $\cdot q (t)$ は関数かんすう $q (t)$ の $t$ による微分びぶんを表あらわす。この微分びぶんの記法きほうはニュートンの記法きほうと呼よばれる。
^ この記法きほうはあまり一般いっぱん的てきではない。一般いっぱん化か力りょくを表あらわす記号きごうとしてはしばしば $Q$ が用もちいられる。

出典しゅってん

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^ ^a ^b 江沢えざわ 2005, p. 7.
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^ ^a ^b 江沢えざわ 2005, p. 62.
^ ^a ^b 江沢えざわ 2005, pp. 4–6.
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^ "Any external agent that causes a change in the motion of a free body, or that causes stress in a fixed body."　Glossary - Earth Observatory, NASA

参考さんこう文献ぶんけん

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外部がいぶリンク

『力ちから』 - コトバンク

[3] ステヴィンによるこの問題もんだいの証明しょうめいは Epitaph of Stevinus （ステウィヌスの碑いしぶみ）と呼よばれる。Stevinus はステヴィンのラテン語らてんご名めい。

[5] ただし現在げんざい用もちいられるベクトルの記法きほうが発達はったつしたのは19世紀せいき以降いこうである^[3]。

[futoji-9] 太字ふとじの変数へんすうはベクトル量りょうを表あらわす。

[12] 力ちから、質量しつりょう、加速度かそくどの順序じゅんじょや記号きごうは単たんに慣習かんしゅう的てきなものであり、文献ぶんけんによって様々さまざまな表現ひょうげんがある。例たとえば $m a = F$ のように書かかれている文献ぶんけんも数多かずおおくある。いずれにせよ、数学すうがく上じょうあるいは物理ぶつり学がく上じょうの意味いみは同おなじである。

[Newtonian-13] 古典こてん力学りきがくのうち、非ひ相対そうたい論ろん的てきな力学りきがくをニュートン力学りきがくと呼よぶ。ただし文献ぶんけんによっては古典こてん力学りきがくに相対そうたい論ろんを含ふくめないものもある。

[relativistic_momentum-14] この運動うんどう量りょうは四元よつもと運動うんどう量りょうの空間くうかん成分せいぶんである。

[18] 科学かがく技術ぎじゅつ分野ぶんやで一般いっぱん的てきな国際こくさい単位たんい系けいでは質量しつりょうの基本きほん単位たんいはキログラムである。従したがってこの場合ばあいの単位たんい質量しつりょうは 1 kg となる。ヤード・ポンド法ほうでは質量しつりょうの基本きほん単位たんいはポンドとなるため、単位たんい質量しつりょうは 1 lb となる。

[power-19] 記号きごうに対たいする上うえ付つきの添字そえじはその量りょうのベキを表あらわす。たとえば $A 2$ は $A \times A$ を意味いみする。負数ふすうのベキは逆数ぎゃくすうのベキを表あらわし、たとえば $B -2$ は $1 / B \times 1 / B$ 、つまり $1 / B\timesB$ を意味いみする。折衷せっちゅう的てきな表現ひょうげんとして $B -2$ を $1 / B 2$ と表あらわすこともしばしばある。

[22] 作用さよう点てんはまた着き力点りきてんとも呼よばれる^[13]。

[25] 関数かんすう $f (u)$ のベクトル $u$ による微分びぶんは、ベクトル $u$ の各かく成分せいぶん $u i, i = 1, 2, ..., d$ に対たいする偏へん導しるべ関数かんすう $\partial f / \partial u i$ を成分せいぶんに持もつベクトル $(\partial f / \partial u 1, \partial f / \partial u 2, ..., \partial f / \partial u d)$ 、つまり勾配こうばいを与あたえる。

[26] ここで $\cdot q (t)$ は関数かんすう $q (t)$ の $t$ による微分びぶんを表あらわす。この微分びぶんの記法きほうはニュートンの記法きほうと呼よばれる。

[27] この記法きほうはあまり一般いっぱん的てきではない。一般いっぱん化か力りょくを表あらわす記号きごうとしてはしばしば $Q$ が用もちいられる。

[FOOTNOTE培風館物理学三訂版2005【力】-1] 培風館ばいふうかん物理ぶつり学がく三さん訂てい版ばん 2005, 【力ちから】.

[FOOTNOTE小出199718-2] 小出こいで 1997, p. 18.

[FOOTNOTE湯川197558–62-4] 湯川ゆかわ 1975, pp. 58–62.

[FOOTNOTEBarbour2001-6] Barbour 2001.

[FOOTNOTE内井2006-7] 内うち井い 2006.

[8] Newton's Mathematical Principles of Natural Philosophy, Axioms or Laws of Motion, Corollary I. ウィキソース。

[FOOTNOTEClausius1850-10] Clausius 1850.

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[FOOTNOTE新井2003151–152-16] 新井あらい 2003, pp. 151–152.

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[FOOTNOTEランダウリフシッツ197417–18-24] ランダウ & リフシッツ 1974, pp. 17–18.

[FOOTNOTEランダウリフシッツ197418–19-28] ランダウ & リフシッツ 1974, pp. 18–19.

[FOOTNOTE江沢20059-29] 江沢えざわ 2005, p. 9.

[FOOTNOTE江沢20056-30] 江沢えざわ 2005, p. 6.

[FOOTNOTE江沢200562-31] 江沢えざわ 2005, p. 62.

[FOOTNOTE江沢20054–6-32] 江沢えざわ 2005, pp. 4–6.

[FOOTNOTE巽198233–31-33] 巽たつみ 1982, pp. 33–31.

[FOOTNOTEFerzigerPerić20035-34] Ferziger & Perić 2003, p. 5.

[FOOTNOTE京谷200831-35] 京谷きょうたに 2008, p. 31.

[FOOTNOTE今井199713-36] 今井いまい 1997, p. 13.

[37] "Any external agent that causes a change in the motion of a free body, or that causes stress in a fixed body."　Glossary - Earth Observatory, NASA

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