力ちからのモーメント

古典こてん力学りきがく
	; 運動うんどうの第だい2法則ほうそく
	歴史れきし（英語えいご版ばん）
分野ぶんや
	静せい力学りきがく · 動力どうりょく学がく / 物理ぶつり学がくにおける動力どうりょく学がく · 運動うんどう学がく · 応用おうよう力学りきがく · 天体てんたい力学りきがく · 連続れんぞく体力たいりょく学がく · 統計とうけい力学りきがく
定式ていしき化か
	ニュートン力学りきがく; 解析かいせき力学りきがく: ラグランジュ力学りきがく; ハミルトン力学りきがく ; ;
基本きほん概念がいねん
	空間くうかん · 時間じかん · 速度そくど · 速はやさ · 質量しつりょう · 加速度かそくど · 重力じゅうりょく · 力ちから · 力ちから積せき · トルク / モーメント / 偶力 · 運動うんどう量りょう · 角かく運動うんどう量りょう · 慣性かんせい · 慣性かんせいモーメント · 基準きじゅん系けい · エネルギー · 運動うんどうエネルギー · 位置いちエネルギー · 仕事しごと · 仮想かそう仕事しごと · ダランベールの原理げんり
主要しゅよう項目こうもく
	剛体ごうたい · 運動うんどう · ニュートン力学りきがく · 万有引力ばんゆういんりょく · 運動うんどう方程式ほうていしき · 慣性かんせい系けい · 非ひ慣性かんせい系けい · 回転かいてん座標ざひょう系けい · 慣性かんせい力りょく · 平面へいめん粒子りゅうし運動うんどう力学りきがく · 変位へんい · 相対そうたい速度そくど · 摩擦まさつ · 単たん振動しんどう · 調和ちょうわ振動しんどう子こ · 短たん周期しゅうき振動しんどう · 減衰げんすい · 減衰げんすい比ひ · 自転じてん · 回転かいてん · 円運動えんうんどう · 非ひ等とう速そく円運動えんうんどう · 向こう心力しんりょく · 遠心えんしん力りょく · 遠心えんしん力りょく (回転かいてん座標ざひょう系けい) · 反応はんのう遠心えんしん力りょく · コリオリの力ちから · 振ふり子こ · 回転かいてん速度そくど · 角すみ加速度かそくど · 角速度かくそくど · 角すみ周波数しゅうはすう · 偏へん位い角度かくど
科学かがく者しゃ
	ニュートン · ケプラー · ホロックス · オイラー · ダランベール · クレロー · ラグランジュ · ラプラス · ハミルトン · ポアソン
	表ひょう; 話はなし; 編へん; 歴れき;

力ちからのモーメント; moment of force
量りょう記号きごう	N
次元じげん	M L2 T−2
SI単位たんい	ニュートンメートル
	テンプレートを表示ひょうじ

力ちからのモーメント（ちからのモーメント、英語えいご: moment of force）とは、力学りきがくにおいて、物体ぶったいに回転かいてんを生しょうじさせるような力ちからの性質せいしつを表あらわす量りょうである。力ちからの能率のうりつ（ちからののうりつ）とも呼よばれる^{[注ちゅう 1]}。また、明あきらかな場合ばあいは単たんにモーメントと呼よばれることもある。とくに機械きかいなどで固定こていされた回転かいてん軸じくをもつ場合ばあい、その回転かいてん軸じくのまわりの力ちからのモーメントをトルク（torque）またはねじりモーメントと呼よぶ。これに対たいして軸じくと直交ちょっこうするモーメントは曲まげモーメントと呼よぶ。

国際こくさい単位たんい系けいにおける単位たんいはニュートンメートル（N m）である。

概要がいよう[編集へんしゅう]

物体ぶったいに2つの力ちからが作用さようするとき、2つの力ちからが釣つり合あう条件じょうけんは

2つの力ちからの大おおきさが等ひとしい
2つの力ちからの方向ほうこうが反対はんたい
2つの力ちからの作用さよう線せんが一致いっちする

1番目ばんめと2番目ばんめの条件じょうけんは、力ちからをベクトルとして表あらわしたとき、力ちからのベクトル和わがゼロと表あらわされる。 3番目ばんめの条件じょうけんは、力ちからのモーメントを導入どうにゅうすることで、モーメントの和わがゼロと表あらわされる。

2つの力ちからの作用さよう線せんが一致いっちしていないとき、つまり、力ちからのモーメントの和わがゼロでないとき、物体ぶったいは作用さよう線せんを一致いっちさせるように回転かいてんする。い換いかえれば、力ちからのモーメントは物体ぶったいを回転かいてんさせるような力ちからの性質せいしつである。物体ぶったいを回転かいてんさせるために必要ひつような力ちからの大おおきさは、力ちからが作用さようする位置いちによって異ことなり、回転かいてん中心ちゅうしんからの作用さよう線せんの距離きょりに反比例はんぴれいする（てこの原理げんり）。力ちからのモーメントを作用さよう線せんの距離きょりに比例ひれいするように定義ていぎすることで、等ひとしい力ちからのモーメントに対たいして物体ぶったいは同おなじように回転かいてんする。従したがって、力ちからのモーメントは一いち次じのモーメントである。

物体ぶったいに3つ以上いじょうの力ちからが作用さようするとき、それらの力ちからが釣つり合あう条件じょうけんは、力ちからのベクトル和わとモーメントの和わがそれぞれにゼロとなることである。力ちからのベクトル和わがゼロであるが、モーメントがゼロでないような力ちからはとくに偶力と呼よばれる。一般いっぱんに、力ちからのモーメントは中心ちゅうしんをどこに選えらぶかによって変かわる。しかし、作用さようする力ちからのベクトルの和わがゼロであるときは中心ちゅうしんの選えらび方かたによらない。つまり、釣つり合あい条件じょうけんはモーメントの中心ちゅうしんの選えらび方かたによらない。また、偶力はモーメントの中心ちゅうしんの選えらび方かたによらない。

物体ぶったいに作用さようする2つの力ちからの系けいで、力ちからのベクトルの和わとモーメントの和わがそれぞれに等ひとしいとき、それらは等価とうかである。変形へんけいが無視むしできる剛体ごうたいに作用さようする等価とうかな力ちからの系けいは同等どうとうで、それぞれ置おき換かえることができる。特とくに、一いち点てんに集中しゅうちゅうして作用さようする力ちからと偶力の系けいに置おき換かえることができる。

定義ていぎ[編集へんしゅう]

点てん $P$ のまわりの力ちからのモーメント $N$ ^{[注ちゅう 2]}は以下いかのように定義ていぎされる^[1]^[2]。

${\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}$

ここで $F$ は力ちから、 $r$ は点てん $P$ と力ちからの及およぼされる点てん（作用さよう点てん^[3]）を結むすぶ位置いちベクトルである。記号きごう $\times$ はベクトル積せきを表あらわす^{[注ちゅう 3]}。

作用さよう点てんを通とおり力りょく $F$ と平行へいこうな直線ちょくせんを作用さよう線せん（さようせん、英えい: line of action）と呼よぶ^[3]。一般いっぱんに力ちからのモーメントは基準きじゅん点てん $P$ の取とり方かたに依存いぞんする^[1]が、作用さよう点てんおよび作用さよう線せんは点てん $P$ とは独立どくりつに定義ていぎされ、従したがって力ちからのモーメントとは独立どくりつに定義ていぎされる。

幾何きか学がく的てきに力ちからのモーメントは、作用さよう線せんと基準きじゅん点てん $P$ の距離きょり $d$ ^{[注ちゅう 4]} と力ちからの大おおきさ $F:=|{\boldsymbol {F}}|$ の積せきに大おおきさが等ひとしく（ $| N | ≔ N = dF$ ）、作用さよう線せんと点てん $P$ を含ふくむ平面へいめんに対たいして垂直すいちょくなベクトルと見みなせる^{[注ちゅう 5]}。

性質せいしつ[編集へんしゅう]

作用さよう点てんの移動いどう[編集へんしゅう]

作用さよう点てんが作用さよう線せん上じょうを動うごく限かぎりにおいて、力ちからのモーメントは変化へんかしない。これはベクトルの計算けいさんによって導みちびくことができる。作用さよう点てんを ${\boldsymbol {r}}$ から ${\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {a}}$ へ移動いどうした場合ばあい、移動いどう後ごの力ちからのモーメント ${\boldsymbol {N}}'$ は

${\begin{aligned}{\boldsymbol {N}}'&=({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {a}})\times {\boldsymbol {F}}\\&={\boldsymbol {N}}+{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {F}}\end{aligned}}$

となる。作用さよう点てんの移動いどうが作用さよう線せんに沿そった移動いどうの場合ばあい、 $a$ が力ちから $F$ と平行へいこうであるため右辺うへん第だい2項こうは0となって ${\boldsymbol {N}}'={\boldsymbol {N}}$ が導みちびかれ、力ちからのモーメントは変化へんかしないことが示しめされる。

モーメント中心ちゅうしんの移動いどう[編集へんしゅう]

力ちからのモーメントはその定義ていぎより基準きじゅん点てん $P$ の取とり方かたに依存いぞんする。異ことなる基準きじゅん点てん $Q$ へ移うつり変かわった際さいの力ちからのモーメントの変化へんかは、作用さよう点てんと基準きじゅん点てんを結むすぶ位置いちベクトルの計算けいさんによって求もとめられる。

点てん $P$ と点てん $Q$ を結むすぶ線分せんぶんを位置いちベクトル $q$ で表あらわすと、点てん $Q$ と各かく作用さよう点てんを結むすぶ位置いちベクトルは ${\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {q}}$ と書かけ、また個別こべつのモーメントは $({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {q}})\times {\boldsymbol {F}}_{i}$ と書かける。ベクトル積せきについて分配ぶんぱい法則ほうそくが成なり立たつから、点てん $Q$ のまわりの力ちからのモーメントは

${\boldsymbol {N}}_{\mathrm {Q} }={\boldsymbol {N}}_{\mathrm {P} }-{\boldsymbol {q}}\times \sum _{i}{\boldsymbol {F}}_{i}$

となる。右辺うへんの第だい2項こうは作用さようする力ちからのベクトル和わが0の場合ばあいに消去しょうきょでき、従したがって力ちからの和わが0（すなわち物体ぶったいに偶力が働はたらいている）ならモーメントは中心ちゅうしんの選えらび方かたによらないことが示しめされる^[4]。

運動うんどう方程式ほうていしき[編集へんしゅう]

物体ぶったいの慣性かんせいモーメント $I$ 、角すみ加速度かそくど αあるふぁ、力ちからのモーメント N の間あいだには、ニュートンの運動うんどう方程式ほうていしきとよく似にた関係かんけいが成なり立たつ。

I{\boldsymbol {\alpha }}={\boldsymbol {N}}.

回転かいてん運動うんどうと直線ちょくせん運動うんどう[編集へんしゅう]

回転かいてん運動うんどうに関かんする量りょうのあいだには、直線ちょくせん運動うんどうで成なり立たつ法則ほうそくに対応たいおうする類似るいじの法則ほうそくを見出みいだすことができる。というよりも法則ほうそくが似にるように回転かいてん運動うんどうでの量りょうを定義ていぎしたのである。したがってトルクは力ちからではなく力ちからのモーメントであり、慣性かんせいモーメントは質量しつりょうに距離きょりの2乗じょうをかけたものである。対応たいおうする量りょうは次元じげんからみて別べつのものであることに注意ちゅういする必要ひつようがある。

回転かいてん運動うんどうと並進へいしん運動うんどうの対応たいおう一覧いちらん
量りょう	回転かいてん運動うんどう		並進へいしん運動うんどう
力学りきがく変数へんすう	角度かくど	${\boldsymbol {\theta }}$	位置いち	${\boldsymbol {r}}$
一いち階かい微分びぶん	角速度かくそくど	${\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}$	速度そくど	${\boldsymbol {v}}={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}$
二に階かい微分びぶん	角すみ加速度かそくど	${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}$	加速度かそくど	${\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}$
慣性かんせい	慣性かんせいモーメント	$I$	質量しつりょう	$m$
運動うんどう量りょう	角かく運動うんどう量りょう	${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}$	運動うんどう量りょう	${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$
力ちから	力ちからのモーメント	${\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}$	力ちから	${\boldsymbol {F}}$
運動うんどう方程式ほうていしき	${\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}$		${\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}$
運動うんどうエネルギー	${\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$		${\frac {1}{2}}mv^{2}$
仕事しごと	${\boldsymbol {N}}\cdot \Delta {\boldsymbol {\theta }}$		${\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {r}}$
仕事率しごとりつ	${\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}$		${\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}$
ダンパーとばねに発生はっせいする力ちからを考慮こうりょした運動うんどう方程式ほうていしき	$I\alpha +c\omega +k\theta =N$		$ma+cv+kx=F$

注釈ちゅうしゃく[編集へんしゅう]

^ この語かたりは例たとえば江沢えざわ 2005, p. 380で使用しようされている。
^ 太字ふとじで表あらわされる変数へんすうはベクトルを表あらわす。同様どうように太字ふとじの関数かんすうはその関数かんすうの値ねがベクトルであることを表あらわす。
^ ランダウ & リフシッツ 1974 など、文献ぶんけんによってはベクトル積せきを角かく括弧かっこを使つかって $[xy]$ などと表あらわすことがある。その場合ばあい、力ちからのモーメントの定義ていぎは ${\boldsymbol {N}}=[{\boldsymbol {r}}{\boldsymbol {F}}]$ と表あらわされる。
^ ここで点てんと直線ちょくせんの距離きょりとは、点てんと直線ちょくせんを結むすぶ、直線ちょくせんに垂直すいちょくな線分せんぶんの長ながさであるとする。
^ 力ちからのモーメントの具体ぐたい的てきな向むきは、作用さよう線せんを含ふくむ平面へいめんを上うえから見みた場合ばあいに、力ちからの向むきが点てん $P$ に対たいして反はん時計とけい回まわりの方向ほうこうを指さすなら上向うわむき、時計とけい回まわりなら下向したむきになるように定さだめる（右手みぎての法則ほうそく）。

出典しゅってん[編集へんしゅう]

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

ランダウ, レフ、リフシッツ, エフゲニー『力学りきがく』広重ひろしげ, 徹とおる (訳わけ); 水戸みと, 巌いわお (訳わけ)（増ぞう訂てい第だい3版はん）、東京とうきょう図書としょ〈理論りろん物理ぶつり学がく教程きょうてい〉、1974年ねん10月がつ1日にち。ISBN 978-4-489-01160-3。
江沢えざわ, 洋よう『力学りきがく ― 高校生こうこうせい・大学生だいがくせいのために』（初版しょはん）日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、2005年ねん2月がつ20日はつか。ISBN 4-535-78501-5。

[1] この語かたりは例たとえば江沢えざわ 2005, p. 380で使用しようされている。

[2] 太字ふとじで表あらわされる変数へんすうはベクトルを表あらわす。同様どうように太字ふとじの関数かんすうはその関数かんすうの値ねがベクトルであることを表あらわす。

[6] ランダウ & リフシッツ 1974 など、文献ぶんけんによってはベクトル積せきを角かく括弧かっこを使つかって $[xy]$ などと表あらわすことがある。その場合ばあい、力ちからのモーメントの定義ていぎは ${\boldsymbol {N}}=[{\boldsymbol {r}}{\boldsymbol {F}}]$ と表あらわされる。

[7] ここで点てんと直線ちょくせんの距離きょりとは、点てんと直線ちょくせんを結むすぶ、直線ちょくせんに垂直すいちょくな線分せんぶんの長ながさであるとする。

[8] 力ちからのモーメントの具体ぐたい的てきな向むきは、作用さよう線せんを含ふくむ平面へいめんを上うえから見みた場合ばあいに、力ちからの向むきが点てん $P$ に対たいして反はん時計とけい回まわりの方向ほうこうを指さすなら上向うわむき、時計とけい回まわりなら下向したむきになるように定さだめる（右手みぎての法則ほうそく）。

[FOOTNOTEランダウリフシッツ1974136-3] ランダウ & リフシッツ 1974, p. 136.

[FOOTNOTE江沢2005373-4] 江沢えざわ 2005, p. 373.

[FOOTNOTE江沢20052-5] 江沢えざわ 2005, p. 2.

[FOOTNOTEランダウリフシッツ1974136–137-9] ランダウ & リフシッツ 1974, pp. 136–137.

[注ちゅう 1]

[注ちゅう 2]

[1]

[2]

[3]

[注ちゅう 3]

[注ちゅう 4]

[注ちゅう 5]

[4]