半はん単純たんじゅんリー代数だいすう

数学すうがくにおいてリー代数だいすうが半はん単純たんじゅんであるとは単純たんじゅんリー代数だいすう（自分じぶん自身じしんと0以外いがいにイデアルを持もたないような非ひ可か換かわリー代数だいすう）の直和なおかずとなる事ことをいう。

この記事きじ内ないでは特とくに注意ちゅういしない限かぎり ${\mathfrak {g}}$ を標しるべ数すう0の体からだ上じょうの有限ゆうげん次元じげんリー代数だいすうとする。以下いかの条件じょうけんは全すべて同値どうちである。

${\mathfrak {g}}$ は半はん単純たんじゅん
キリング形式けいしき κかっぱ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)) が非ひ退化たいか
${\mathfrak {g}}$ は0でない可か換かわイデアルを持もたない
${\mathfrak {g}}$ は0でない可か解かいイデアルを持もたない
${\mathfrak {g}}$ の根基こんき (最大さいだい可か解かいイデアル) は0

例れい

以下いかの半はん単純たんじゅんリー代数だいすうの例れいは、ディンキン図形ずけいの分類ぶんるいに由来ゆらいする記法きほうを用もちいて表あらわされている。

$A_{n}:$ ${\mathfrak {sl}}_{n+1}$ 、特殊とくしゅ線形せんけいリー代数だいすう
$B_{n}:$ ${\mathfrak {so}}_{2n+1}$ 、奇き数すう次元じげん特殊とくしゅ直交ちょっこうリー代数だいすう
$C_{n}:$ ${\mathfrak {sp}}_{2n}$ 、斜はす交リー代数だいすう
$D_{n}:$ ${\mathfrak {so}}_{2n}$ 、偶数ぐうすう次元じげん特殊とくしゅ直交ちょっこうリー代数だいすう

これらのリー代数だいすうは n がランクとなるように番号ばんごう付つけられている。低てい次元じげんでの例外れいがいを除のぞき、これらの大だい部分ぶぶんは単純たんじゅんリー代数だいすうである。これら４よっつの族ぞくと５いつつの例外れいがい型がた (E₆、E₇、E₈、F₄、G₂)で複素数ふくそすう体たい上じょうの単純たんじゅんリー代数だいすうは尽つくされている。

分類ぶんるい

代数だいすう閉体上じょうの半はん単純たんじゅんリー代数だいすうは定義ていぎより単純たんじゅんリー代数だいすうの直和なおかずであり、また単純たんじゅんリー代数だいすうは４よっつの族ぞく（A_n、B_n、C_n、D_n）と５いつつの例外れいがい（ E₆、E₇、E₈、F₄、G₂）で尽つくされる。単純たんじゅんリー代数だいすうは右みぎに示しめした連結れんけつディンキン図形ずけいによって分類ぶんるいされ、半はん単純たんじゅんリー代数だいすうは必かならずしも連結れんけつとは限かぎらないディンキン図形ずけいに対応たいおうしている。

分類ぶんるいはカルタン部分ぶぶん代数だいすう(最大さいだい可か換かわリー代数だいすう)とそれに対たいする随伴ずいはん表現ひょうげんを調しらべることにより進すすめられる。その作用さようのルート系けいは元もとのリー代数だいすうを決定けっていし、また強つよい制約せいやくを満みたすことからディンキン図形ずけいにより分類ぶんるいされる。

単純たんじゅんリー代数だいすうの分類ぶんるいは数学すうがくにおける最もっともエレガントな結果けっかの一ひとつであると広ひろく考かんがえられており、簡潔かんけつないくつかの公理こうりが比較的ひかくてき短みじかい証明しょうめいにより完全かんぜんかつ非ひ自明じめいで驚おどろくべき構造こうぞうを備そなえた分類ぶんるいを生うみ出だしている。これはより複雑ふくざつな有限ゆうげん単純たんじゅん群ぐんの分類ぶんるいとも比較ひかくされるべきである。

重複じゅうふくのない単純たんじゅんリー代数だいすうの列挙れっきょが、 A_n に対たいし $n\geq 1$ 、 B_n に対たいし $n\geq 2$ 、C_n に対たいし $n\geq 3$ 、D_n に対たいし $n\geq 4$ とすることにより得えられる。より低てい次つぎの部分ぶぶんはディンキン図形ずけいの同型どうけいにより重複じゅうふくが発生はっせいする。また E_nの添字そえじを6よりも小ちいさくすることも可能かのうであるが、その場合ばあいは例外れいがい的てきではない他ほかのディンキン図形ずけいと同型どうけいになる。

代数だいすう閉体でない場合ばあいには分類ぶんるいはより複雑ふくざつである。その場合ばあいには、代数だいすう閉体上じょうの単純たんじゅんリー代数だいすうを分類ぶんるいし、その各々おのおのに対たいして（代数だいすう閉包へいほうの上うえで）同おなじキリング形式けいしきを持もつようなリー代数だいすうを分類ぶんるいする。例たとえば単純たんじゅん実じつリー代数だいすうを分類ぶんるいするには与あたえられた複素ふくそ化かを持もつような実じつリー代数だいすう（複素ふくそリー代数だいすうの実じつ形かたちと呼よばれる）を分類ぶんるいする必要ひつようがある。これは佐武さたけ図形ずけいと呼よばれる付加ふか構造こうぞう付つきのディンキン図形ずけいを用もちいることによる可能かのうとなる。

歴史れきし

複素数ふくそすう体たい上じょうの半はん単純たんじゅんリー代数だいすうはヴィルヘルム・キリング (1888–90)により初はじめて分類ぶんるいされたが、彼かれの証明しょうめいは厳密げんみつ性せいを欠かいていた。エリ・カルタン (1894) はその学位がくい論文ろんぶんの中なかでキリングの証明しょうめいを厳密げんみつ化かし、更さらに半はん単純たんじゅん実じつリー代数だいすうの分類ぶんるいも与あたえた。これはさらに洗練せんれんされ、現在げんざいのディンキン図形ずけいによる分類ぶんるいは22歳さいのユージン・ディンキンにより1947年ねんに与あたえられた。

性質せいしつ

完全かんぜん可か約やく性せい

半はん単純たんじゅん性せいの帰結きけつの一ひとつは、全すべての有限ゆうげん次元じげん表現ひょうげんが完全かんぜん可か約やくになるというワイルの完全かんぜん可か約やく性せい定理ていりである。半はん単純たんじゅんリー代数だいすうの無限むげん次元じげん表現ひょうげんは一般いっぱんに必かならずしも完全かんぜん可か約やくとならない。

中心ちゅうしんがゼロとなること

リー代数だいすう ${\mathfrak {g}}$ の中心ちゅうしんは可か換かわイデアルとなるため、もし ${\mathfrak {g}}$ が半はん単純たんじゅんであれば、その中心ちゅうしんはゼロである。例たとえば ${\mathfrak {gl}}_{n}$ は非ひ自明じめいな中心ちゅうしんを持もつので半はん単純たんじゅんではない。別べつのい方いかたをすれば随伴ずいはん表現ひょうげん $\operatorname {ad}$ は単たん射しゃである。さらに ${\mathfrak {g}}$ 上うえの微分びぶんからなるリー代数だいすう $\operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})$ は ${\mathfrak {g}}$ と同型どうけいになる。これはホワイトヘッドの補題ほだいの特別とくべつな場合ばあいである。また半はん単純たんじゅんリー代数だいすうのイデアル、商しょう、積せきは全すべて半はん単純たんじゅんとなる。

ジョルダン分解ぶんかい

代数だいすう閉体上じょうの有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかんの任意にんいの自己じこ準じゅん同型どうけい x に対たいし、対たい角かく化か可能かのう部分ぶぶん s と冪べき零れい部分ぶぶん n が唯ただ一ひとつ存在そんざいし s と n は可か換かわかつ

x=s+n\

となる。より強つよく s と n は x の多項式たこうしきとなる。これはジョルダン分解ぶんかいから従したがう。

$x\in {\mathfrak {g}}$ に対たいし x の随伴ずいはん写像しゃぞうでの像ぞうのジョルダン分解ぶんかいは

\operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} (s)+\operatorname {ad} (n)

で与あたえられる。 s と n は、 n が冪べき零れい、 s が半はん単純たんじゅん、n と s が可か換かわ、 $x=s+n$ となる唯一ゆいいつの ${\mathfrak {g}}$ の元もとである。この抽象ちゅうしょう的てきなジョルダン分解ぶんかいは ${\mathfrak {g}}$ の任意にんいの表現ひょうげん ρろーに対たいしてもジョルダン分解ぶんかいを与あたえる。つまり

\rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,

は表現ひょうげんの自己じこ同型どうけい環たまきにおける ρろー(x) のジョルダン分解ぶんかいを与あたえている。

ランク

複素ふくそ半はん単純たんじゅんリー代数だいすうのランクはそのカルタン部分ぶぶん代数だいすうの次元じげんに一致いっちする。

重要じゅうよう性せい

半はん単純たんじゅん性せいの第だい一いちの重要じゅうよう性せいは、任意にんいの有限ゆうげん次元じげんリー代数だいすうが可か解かいイデアルと半はん単純たんじゅんリー代数だいすうの半はん直積ちょくせきとなることを述のべたレヴィ分解ぶんかいから来きている。

可か解かいイデアルの場合ばあいとは対照たいしょう的てきに、半はん単純たんじゅんリー代数だいすうは非常ひじょうにエレガントな分類ぶんるいを持もっている。代数だいすう閉体上じょうの半はん単純たんじゅんリー代数だいすうはルート系けいによって、またルート系けいはディンキン図形ずけいによって完全かんぜんに分類ぶんるいされてしまう。

また半はん単純たんじゅんリー代数だいすうの有限ゆうげん次元じげん表現ひょうげんの分類ぶんるいは一般いっぱんのリー代数だいすうの分類ぶんるいと比くらべ簡単かんたんである。例たとえば半はん単純たんじゅんリー代数だいすうのジョルダン分解ぶんかいはその表現ひょうげんにおけるジョルダン分解ぶんかいと一致いっちする。これは一般いっぱんのリー代数だいすうでは成立せいりつしないことである。

${\mathfrak {g}}$ が半はん単純たんじゅんであれば ${\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ となる。特とくに線形せんけい半はん単純たんじゅんリー代数だいすうは全すべて特殊とくしゅ線形せんけいリー代数だいすう ${\mathfrak {sl}}$ の部分ぶぶん代数だいすうとなる。 ${\mathfrak {sl}}$ の構造こうぞうの研究けんきゅうは半はん単純たんじゅんリー代数だいすうの表現ひょうげん論ろんの重要じゅうような一部分いちぶぶんである。

一般いっぱん化か

半はん単純たんじゅんリー代数だいすうにはいくつかの一般いっぱん化かがある。まず半はん単純たんじゅんリー代数だいすうに対たいして成立せいりつする多おおくの命題めいだいが、より一般いっぱんに簡約かんやくリー代数だいすうに対たいしても成立せいりつする。抽象ちゅうしょう的てきには簡約かんやくリー代数だいすうとはその随伴ずいはん表現ひょうげんが完全かんぜん可か約やくとなるものであり、具体ぐたい的てきには簡約かんやくリー代数だいすうとは半はん単純たんじゅんリー代数だいすうと可か換かわリー代数だいすうの直和なおかずである。例たとえば ${\mathfrak {sl}}_{n}$ は半はん単純たんじゅんリー代数だいすうであり ${\mathfrak {gl}}_{n}$ は簡約かんやくリー代数だいすうである。

（半はん単純たんじゅん/簡約かんやく）複素ふくそリー代数だいすうの性質せいしつの多おおくが、代数だいすう閉体とは限かぎらない体からだ上じょうの分裂ぶんれつ（半はん単純たんじゅん/簡約かんやく）リー代数だいすうに対たいして成立せいりつする。代数だいすう閉体上じょうの（半はん単純たんじゅん/簡約かんやく）リー代数だいすうは必かならず分裂ぶんれつするが他たの体からだでは必かならずしもそうではない。分裂ぶんれつ半はん単純たんじゅんリー代数だいすうは代数だいすう閉体上じょうの半はん単純たんじゅんリー代数だいすうと本質ほんしつ的てきに同おなじ表現ひょうげん論ろんを持もっている。例たとえば分裂ぶんれつカルタン部分ぶぶん代数だいすうは代数だいすう閉体上じょうのカルタン部分ぶぶん代数だいすうと同おなじ役割やくわりを果はたす。これは例たとえば (Bourbaki 2005) でとられたアプローチである。

脚注きゃくちゅう

参考さんこう文献ぶんけん

Bourbaki, Nicolas (2005), “VIII: Split Semi-simple Lie Algebras”, Elements of Mathematics: Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 7–9
Erdmann, Karin; Wildon, Mark (2006), Introduction to Lie Algebras (1st ed.), Springer, ISBN 1-84628-040-0 .
Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90053-7 .
Varadarajan, V. S. (2004), Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations (1st ed.), Springer, ISBN 0-387-90969-9 .