p-群ぐん

数学すうがくの特とくに群論ぐんろんにおいて、与あたえられた素数そすう p に対たいする p-準じゅん素もと群ぐん（ピーじゅんそぐん、英えい: p-primary group）あるいは、p-群ぐん（ピーぐん、英えい: p-group）もしくは準じゅん素もと群ぐん（じゅんそぐん、英えい: primary group）とは、任意にんいの元もとの位い数すうが p の冪べきになっているようなねじれ群ぐんをいう。すなわち p-群ぐんにおいて、各かく元もと g は非負ひふ整数せいすう n を適当てきとうに選えらべば g の pⁿ-乗のが単位たんい元もとに一致いっちする。

有限ゆうげん群ぐんの場合ばあいには、それが p-群ぐんであることと、その群ぐんの位い数すう (つまり元もとの個数こすう) が p の冪べきであることとは同値どうちになる（コーシーの定理ていり (群論ぐんろん)より）。以下いか本ほん項こうにおいては有限ゆうげん p-群ぐんに関かんして述のべる。無限むげんアーベル p -群ぐんの例れいについてはプリューファー群ぐんの項こうを、また無限むげん単純たんじゅん p -群ぐんの例れいについてはタルスキのモンスター群ぐんの項こうを参照さんしょう。

性質せいしつ

有限ゆうげん p -群ぐんの構造こうぞうについて、以下いかのような多おおくの事実じじつが知しられている。

p-群ぐんの中心ちゅうしんは自明じめいでないこと

類るい等式とうしきからすぐに分わかる事実じじつのひとつが、非ひ自明じめいな有限ゆうげん p -群ぐんの中心ちゅうしんは自明じめいでないことである。

この事実じじつを起点きてんとして p -群ぐんについての多おおくの性質せいしつが帰納的きのうてきに導みちびき出だされる。

たとえば、有限ゆうげん p -群ぐん G の真ま部分ぶぶん群ぐん H の正規せいき化か群ぐん N は真しんに H を含ふくむ。実際じっさい、H =N なる部分ぶぶん群ぐん N が存在そんざいすれば中心ちゅうしん Z は正規せいき化か群ぐん N に含ふくまれ、したがって H にも含ふくまれるが、このとき H/Z は G/Z における正規せいき化か群ぐんが N/Z = H/Z に一致いっちする。中心ちゅうしんが自明じめいでないことから H/Z は H より位い数すうの小ちいさな反例はんれいであり、無限むげん降下こうか法ほうにより矛盾むじゅんが導みちびかれる。この事実じじつの系けいとして、任意にんいの有限ゆうげん p -群ぐんは冪べき零れい群ぐんであることが分わかる。

別べつの例れいとして、有限ゆうげん p -群ぐんの任意にんいの正規せいき部分ぶぶん群ぐん N と中心ちゅうしん Z との交まじわりは自明じめいでない。これは G が N に共役きょうやくとして作用さようするときに固定こていされる元もとを考かんがえればよい。中心ちゅうしんに含ふくまれる任意にんいの部分ぶぶん群ぐんは正規せいきゆえ、先さきの結果けっかから p -群ぐんの任意にんいの極小きょくしょう正規せいき部分ぶぶん群ぐんは中心ちゅうしん Z に含ふくまれ、その位い数すうは p となる。実際じっさい、有限ゆうげん p -群ぐんのソークルは位い数すう p の中心ちゅうしん元もと全体ぜんたいからなる Z の部分ぶぶん群ぐんになる。

G が p-群ぐんならば G/Z もまた p-群ぐんであり、したがってその中心ちゅうしんもまた自明じめいでない。G/Z の中心ちゅうしんの G における原はら像ぞうは、二に次じの中心ちゅうしんと呼よばれ、以下いか同様どうように繰くり返かえして昇のぼり中心ちゅうしん列れつが定義ていぎされる。ソークルに関かんして先さきに述のべたことを一般いっぱん化かすれば、位い数すう pⁿ の有限ゆうげん p-群ぐんは 0 ≤ i ≤ n なる各かく i に対たいして位くらい数すう pⁱ の正規せいき部分ぶぶん群ぐんを含ふくみ、また位い数すう pⁱ の任意にんいの正規せいき部分ぶぶん群ぐんは i-次つぎの中心ちゅうしん Z_i に含ふくまれる。ある正規せいき部分ぶぶん群ぐんが Z_i に含ふくまれないならば、その正規せいき部分ぶぶん群ぐんと Z_i+1 との交まじわりの位い数すうは pⁱ⁺¹ 以上いじょうである。

自己じこ同型どうけい

p-群ぐんの自己じこ同型どうけい群ぐんは十分じゅうぶんに研究けんきゅうされている。有限ゆうげんp-群ぐんは自明じめいでない中心ちゅうしんを持もつことから、内部ないぶ自己じこ同型どうけい群ぐんは自己じこ同型どうけい群ぐんの真しんの商しょう群ぐんとなり、したがって自明じめいでない外部がいぶ自己じこ同型どうけい群ぐんを持もつ。G のフラッティーニ部分ぶぶん群ぐんを Φふぁい(G) と書かけば、G の任意にんいの自己じこ同型どうけいは G/Φふぁい(G) 上じょうの自己じこ同型どうけいを誘導ゆうどうするが、商しょう群ぐんG/Φふぁい(G)は基本きほんアーベル群ぐんとなり、その自己じこ同型どうけい群ぐんは一般いっぱん線型せんけい群ぐんであるので、非常ひじょうによく分わかっている。 G の自己じこ同型どうけい群ぐんからこの一般いっぱん線型せんけい群ぐんへの写像しゃぞうはバーンサイドによって研究けんきゅうされており、その核かくは p-群ぐんであることが分わかっている。

例れい

同どうじ位い数すうの p-群ぐんは必かならずしも同型どうけいでない。たとえば巡回じゅんかい群ぐん C₄ とクラインの四よん元げん群ぐん V₄ はともに位くらい数すう 4 の 2-群ぐんだが、互たがいに同型どうけいでない。

p-群ぐんは必かならずしも可か換かわでない。たとえば位くらい数すう 8 の二に面体めんてい群ぐん Dih₄ は非ひ可か換かわである。しかし、位い数すう p² の群ぐんは必かならず可か換かわとなる。

二に面体めんてい群ぐんは四よん元げん数すう群ぐんおよび半はん二に面体めんてい群ぐんとよく似にている面めんもあるし、まったく似にていない面めんもある。二に面体めんてい群ぐん、半はん二に面体めんてい群ぐん、四元よつもと数すう群ぐんはいずれも冪べき零れい度ど最大さいだい (maximal class) の 2-群ぐんを成なす。つまりこれらの群ぐんの位い数すうは 2ⁿ⁺¹ かつ冪べき零れい度ど (nilpotency class) は n である。

輪わ冪べき

「対称たいしょう群ぐん#シロー部分ぶぶん群ぐん」も参照さんしょう

位い数すう p の巡回じゅんかい群ぐんの輪わ冪べきは p-群ぐんの非常ひじょうに重要じゅうような例れいを与あたえる。位い数すう p の巡回じゅんかい群ぐんをここでは W(1) と書かくことにし、W(n) と W(1) との輪わ積せきを W(n + 1) として帰納的きのうてきに定義ていぎすれば、W(n) は対称たいしょう群ぐん Sym(pⁿ) のシロー p-群ぐんになる。一般いっぱん線型せんけい群ぐん GL(n, Q) の極大きょくだい p-部分ぶぶん群ぐんは適当てきとうな W(n) の直積ちょくせきの形かたちに分解ぶんかいされる。W(n) の位い数すうは k = (pⁿ − 1)/(p − 1) のときの p^k で与あたえられる。またその冪べき零れい度どは pⁿ⁻¹ であり、その降くだ中心ちゅうしん列れつ、昇のぼり中心ちゅうしん列れつおよび降くだ冪べき-p 中心ちゅうしん列れつ、昇のぼり冪べき-p 中心ちゅうしん列れつはすべて一致いっちする。W(n) は位い数すう p の元もとで生成せいせいされるが、その冪べき数すうは pⁿ である。二に番目ばんめの群ぐん W(2) はさらに冪べき零れい度ど最大さいだいの p-群ぐんにもなる。このことはその位い数すうが p^p+1 であり冪べき零れい度どが p となることから従したがう。しかし W(2) は正則せいそく p-群ぐんにはならない。位い数すう p^p の群ぐんは常つねに正則せいそくとなるから、W(2) は正則せいそくでない p-群ぐんの最小さいしょうの例れいにもなっている。

一般いっぱん二に面体めんてい群ぐん

p = 2 かつ n = 2 のとき W(n) は位くらい数すう 8 の二に面体めんてい群ぐんであるから、ある意味いみで W(n) は n = 2 のときには二に面体めんてい群ぐんの一般いっぱんの素数そすう p への一般いっぱん化かを与あたえていると理解りかいすることができる。しかしこれをより大おおきな n についての類推るいすいとするのは相当そうとうでない。それよりはもっと位くらい数すう 2ⁿ の二に面体めんてい群ぐんと類似るいじの群ぐんの族ぞくが知しられているが、それは W(n) よりは構成こうせいに手順てじゅんを要ようする。まず ζぜーた を 1 の原始げんし p-乗じょう根ねとなる複素数ふくそすうとして、それが生成せいせいする円えん分ぶん整数せいすう環たまき Z[ζぜーた] および 1−ζぜーた の生成せいせいする素すイデアル P を考かんがえる。また G を z を生成せいせい元もととする位い数すう p の巡回じゅんかい群ぐんとする。z が ζぜーた を掛かける操作そうさとして作用さようするときの Z[ζぜーた] と G との半はん直積ちょくせき E(p) を作つくれば、冪べき Pⁿ はいずれも E(p) の正規せいき部分ぶぶん群ぐんであり、また所期しょきの群ぐんの族ぞくが E(p, n) = E(p)/Pⁿ で与あたえられる。この群ぐん E(p, n) は位い数すう pⁿ⁺¹ かつ冪べき零れい度ど n であるから、冪べき零れい度ど最大さいだいの p-群ぐんである。特とくに p = 2 のとき E(2, n) は位くらい数すう 2ⁿ の二に面体めんてい群ぐんになる。奇き素数そすう p に対たいして W(2) と E(p, p) はともに冪べき零れい度ど最大さいだいの非ひ正則せいそく群ぐんで位い数すうは p^p+1 だが、これらは互たがいに同型どうけいではない。

単たん三角さんかく行列ぎょうれつ群ぐん

同様どうようの一般いっぱん化かとして他ほかに基本きほん的てきな例れいに一般いっぱん線型せんけい群ぐんのシロー部分ぶぶん群ぐんがある。n-次元じげんベクトル空間くうかん V に基底きてい {e₁, e₂, …, e_n} を取とり、1 ≤ i ≤ n の各かく i について {e_i, e_i+1, …, e_n} の張はる部分ぶぶん空間くうかんを V_i とする。また i > n のとき V_i = 0 と定さだめる。各かく 1 ≤ m ≤ n に対たいして V の正則せいそく線型せんけい変換へんかんで各かく V_i を V_i+m へ写うつすもの全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう U_m は Aut(V) の部分ぶぶん群ぐんを成なす。V の係数けいすう体たいが Z/pZ ならば U₁ は Aut(V) = GL(n, p) のシロー p-部分ぶぶん群ぐんであり、降くだ中心ちゅうしん列れつの各項かくこうはちょうど U_m で与あたえられる。行列ぎょうれつの言葉ことばで書かき下くだせば、 U_m は対角線たいかくせんに全すべて 1 が並ならび、その一ひとつとなりが上うえから m − 1 個こまで 0 が並ならぶような上うえ三角さんかく行列ぎょうれつの全体ぜんたいである。群ぐん U₁ は位い数すう p^n(n−1)/2 かつ冪べき零れい度ど n で、その冪べき数すうは p^k となる。ただし、k は n の底そこ p に対たいする対数たいすうを下回したまわらない最小さいしょうの整数せいすうである。

p-群ぐんの分類ぶんるい

位い数すうの小ちいさなp-群ぐんの分類ぶんるいとしては、以下いかが知しられている。

• 位い数すう p の群ぐんはただ 1 種類しゅるいの可か換かわ群ぐんのみが存在そんざいし、それは巡回じゅんかい群ぐん C_p と同型どうけいになる。
• 位い数すう p² の群ぐんはちょうど 2 種類しゅるいの可か換かわ群ぐんのみが存在そんざいし、それらは C_p² または C_p × C_p と同型どうけいになる。たとえば、位くらい数すう 4 の 2-群ぐんは位くらい数すう 4 の巡回じゅんかい群ぐん C₄ または位い数すう 2 の巡回じゅんかい群ぐんの直積ちょくせき C₂ × C₂ であるクラインの四よん元げん群ぐん V₄ と同型どうけいになる。
• 位い数すう p³ の群ぐんは 5 種類しゅるいあり、そのうちの 3 種類しゅるいは可か換かわ、残のこりの 2 種類しゅるいは非ひ可か換かわである。
  • 可か換かわなものは C_p³, C_p² × C_p, C_p × C_p × C_p と同型どうけいになる。
  • 非ひ可か換かわなものは p ≠ 2 のときは C_p × C_p の C_p による半はん直積ちょくせきおよび C_p² の C_p による半はん直積ちょくせきとして記述きじゅつできる。前者ぜんしゃは p-元もと体からだ上じょうの単たん三角さんかく行列ぎょうれつ全体ぜんたいの成なす群ぐん UT(3, p) として述のべることもでき、有限ゆうげんハイゼンベルク群ぐんと呼よばれる。p = 2 のときは、これら二に種類しゅるいの半はん直積ちょくせきはいずれも位くらい数すう 8 の二に面体めんてい群ぐん Dih₄ に同型どうけいで、その代かわりもう一ひとつ四よん元げん数すう群ぐん Q₈ が加くわわる。
• 位い数すう p⁴ の群ぐんは p ≠ 2 のときちょうど 15 種類しゅるい、p = 2 のときちょうど 14 種類しゅるいある。
• 位い数すう p⁵ の群ぐんはすべて累るいアーベル群ぐんである。OEISのA232105も参照さんしょう。

0 ≤ n ≤ 4 に対たいする位い数すう pⁿ の群ぐんは群論ぐんろんの歴史れきしの初期しょきにおいて分類ぶんるいが完了かんりょうしていたが、n を大おおきくするにつれて考察こうさつすべき群ぐんの数かずが急激きゅうげきに増ふえるために、従来じゅうらいの方法ほうほうでこれらの結果けっかの更さらなる拡張かくちょうを推おし進すすめることは困難こんなんであることは明あきらかであったにもかかわらず、実際じっさいにこれらの結果けっかの p⁷ を割わる位い数すうの群ぐんへ拡張かくちょうする現代げんだい的てきな研究けんきゅうは既すでになされている。たとえば (Hall & Senior 1964) は n ≤ 6 のときの位くらい数すう 2ⁿ の群ぐんの分類ぶんるいを行おこなっている。

位い数すうによる p-群ぐんの分類ぶんるい以外いがいの方法ほうほうとして、ホールは有限ゆうげん p-群ぐんを大おおきな商しょうと部分ぶぶん群ぐんに基もとづく族ぞくへ分解ぶんかいしてまとめて扱あつかうための概念がいねんとして群ぐんの同質どうしつ (英えい: isoclinism) を用もちいる方法ほうほうを提唱ていしょうした。

まったく異ことなる分類ぶんるい法ほうとして、p-群ぐんの余よ冪べき零れい度ど (英えい: coclass)、つまり組成そせい列れつの長ながさと冪べき零れい度どとの差さを用もちいるものがある。いわゆる余よ冪べき零れい度ど予想よそう (英えい: coclass conjectures) は、同おなじ余あまり冪べき零れい度どを持もつ有限ゆうげん p-群ぐん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうは有限ゆうげん個この副ふく p-群ぐんの摂動せつどうとして記述きじゅつする。この余よ冪べき予想よそうは1980年代ねんだいにリー代数だいすうおよび多た冪べき p-群ぐん に関連かんれんする手法しゅほうを用もちいて証明しょうめいされた。

p-群ぐんの遍在へんざい性せい

異ことなる群ぐんの中なかで多おおくの部分ぶぶんを占しめていること

位い数すう pⁿ の群ぐんの同型どうけい類るいの総数そうすうは $p^{2/27\,n^{3}+O(n^{8/3})}$ 程度ていどの増加ぞうかであり、それらは二に段階だんかい冪べき零れい群ぐんによって支配しはいされる。このように増加ぞうかが急速きゅうそくであることから、「ほとんどすべての有限ゆうげん群ぐんが 2-群ぐんである」という都市とし伝説でんせつ的てきな予想よそうがある。その意味いみは、位い数すうが高々たかだか n の群ぐんの同型どうけい類るいの中なかに占しめる 2-群ぐんの同型どうけい類るいの個数こすうの割合わりあいは n を無限むげん大だいに飛とばす極限きょくげんで 1 になるということである。たとえば位い数すう高だか々 2000 の群ぐんは 49 910 529 484 種類しゅるい存在そんざいするが、そのうちの実じつに 99% 以上いじょうが位くらい数すう 1024 の 2-群ぐんで占しめられている。

一ひとつの群ぐんの中なかに多おおく存在そんざいすること

「コーシーの定理ていり」および「シローの定理ていり」も参照さんしょう

位い数すうが p で割われる任意にんいの有限ゆうげん群ぐん G はコーシーの定理ていりから得えられる位い数すう p の元もとが生成せいせいする非ひ自明じめいな p-群ぐんを含ふくむ。また G はシロー p-部分ぶぶん群ぐんと呼よばれる可能かのうな限かぎり最大さいだいの p-群ぐんを含ふくむ。すなわち |G| = p^km かつ p は m を割わらないとすれば G は位い数すう p^k の部分ぶぶん群ぐん P を含ふくむ。シロー p-部分ぶぶん群ぐんは一ひとつではないが全すべて互たがいに共役きょうやくであり、G の任意にんいの p-部分ぶぶん群ぐんは必かならずいずれかのシロー p-部分ぶぶん群ぐんに含ふくまれる。

群ぐんの構造こうぞう論ろんへの応用おうよう

p-群ぐんは群ぐんの構造こうぞうを理解りかいするための基本きほん的てきな道具立どうぐだてのひとつであり、有限ゆうげん単純たんじゅん群ぐんの分類ぶんるいにおいてもそのように扱あつかわれている。構造こうぞうとしての p-群ぐんは部分ぶぶん群ぐんとしても剰余じょうよ群ぐんとしても生しょうじるのだけれども、たとえば部分ぶぶん群ぐんとしては与あたえられた p に対たいするシロー p-部分ぶぶん群ぐん P（最もっとも位い数すうの大おおきい p-部分ぶぶん群ぐん。一意いちいではないが全すべて互たがいに共役きょうやく）や p-核かく $O_{p}(G)$ （唯一ゆいいつの極大きょくだい正規せいき p-部分ぶぶん群ぐん）などといったようなものがさまざま存在そんざいし、また剰余じょうよ群ぐんとしては最大さいだい剰余じょうよ p-群ぐんが G を G の p-残余ざんよ部分ぶぶん群ぐん $O^{p}(G)$ で割わって得えられる。（異ことなる素数そすうに対たいする）これらの部分ぶぶん群ぐんの間あいだには関連かんれん性せいがあり、焦点しょうてん部分ぶぶん群ぐん定理ていりなどが成なり立たって、与あたえられた群ぐんの構造こうぞうのさまざまな側面そくめんを決定けっていすることができる。

局所きょくしょ構造こうぞうからの統制とうせい

有限ゆうげん群ぐんの構造こうぞう論ろんの多おおくは、そのいわゆる「局所きょくしょ部分ぶぶん群ぐん」（非ひ自明じめいな p-部分ぶぶん群ぐんの正規せいき化か群ぐん）全体ぜんたいのなす構造こうぞうへ持もち込こむことができる。

有限ゆうげん群ぐんの大おおきな基本きほんアーベル部分ぶぶん群ぐんはファイト・トンプソンの定理ていりの証明しょうめいにおいて出でてきたような群ぐんの統制とうせいに力ちからを発揮はっきする。基本きほんアーベル群ぐんのある種しゅの中心ちゅうしん拡大かくだいでエクストラスペシャル群ぐんと呼よばれるものは、斜はす交ベクトル空間くうかんに作用さようする群ぐんとしての構造こうぞうを記述きじゅつするのを助たすける。

ブラウアーは、シロー 2-部分ぶぶん群ぐんが位くらい数すう 4 の巡回じゅんかい群ぐん二ふたつの直積ちょくせきとなるような群ぐんを全すべて分類ぶんるいした。またウォルター、ゴレンシュタイン、ブレンダー、鈴木すずき、グローバーマンなどにより、シロー 2-部分ぶぶん群ぐんがアーベル群ぐん、二に面体めんてい群ぐん、半はん二に面体めんてい群ぐん、四元よつもと数すう群ぐんとなるような単純たんじゅん群ぐんの分類ぶんるいが行おこなわれた。

参考さんこう文献ぶんけん

• Berkovich, Yakov (2008), Groups of Prime Power Order, de Gruyter Expositions in Mathematics 46, 1, Berlin: Walter de Gruyter GmbH, ISBN 978-3-1102-0418-6, MR2464640, Zbl 1168.20001 
• Berkovich, Yakov; Janko, Zvonimir (2008), Groups of Prime Power Order, de Gruyter Expositions in Mathematics 47, 2, Berlin: Walter de Gruyter GmbH, ISBN 978-3-1102-0419-3, MR2464640, Zbl 1168.20002, https://books.google.co.jp/books?id=0hdb3gtwdisC 
• Berkovich, Yakov; Janko, Zvonimir (2011-06-16), Groups of Prime Power Order, de Gruyter Expositions in Mathematics 56, 3, Berlin: Walter de Gruyter GmbH, ISBN 978-3-1102-0717-0, MR2814214, Zbl 1229.20001 
• Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, E. A. (2002), “A millennium project: constructing small groups”, International Journal of Algebra and Computation 12 (5): 623–644, doi:10.1142/S0218196702001115, MR1935567 
• Burnside, William (1897), Theory of Groups of Finite Order, Cambridge University Press, http://www.gutenberg.org/ebooks/40395 
• Glauberman, George (1971), “Global and local properties of finite groups”, Finite Simple Groups (Proc. Instructional Conf., Oxford, 1969), Boston, MA: Academic Press, pp. 1–64, MR0352241 
• Hall, Marshall, Jr.; Senior, James K. (1964), The groups of order 2ⁿ (n ≤ 6), Macmillan, LCCN 64-16861, MR168631. An exhaustive catalog of the 340 non-abelian groups of order dividing 64 with detailed tables of defining relations, constants, and lattice presentations of each group in the notation the text defines. "Of enduring value to those interested in finite groups" (from the preface). 
• Hall, Philip (1940), “The classification of prime-power groups”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 182 (182): 130–141, doi:10.1515/crll.1940.182.130, ISSN 0075-4102, MR0003389, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00217491X 
• Leedham-Green, C. R.; McKay, Susan (2002), The Structure of Groups of Prime Power Order, London Mathematical Society Monographs. New Series, 27, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853548-5, MR1918951, Zbl 1008.20001, https://books.google.co.jp/books?id=34khoLiyP_QC 
• Sims, Charles (1965), “Enumerating p-groups”, Proc. London Math. Soc. (3) 15: 151–166, doi:10.1112/plms/s3-15.1.151, MR0169921 

関連かんれん項目こうもく

• 基本きほんp-群ぐん
• 正則せいそくp-群ぐん
• プリューファー階数かいすう

外部がいぶリンク

• Rowland, Todd; Weisstein, Eric W. "p-Group". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “P-group”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=title=P-group