基本きほんアーベル群ぐん

群論ぐんろんにおける基本きほんアーベル群ぐん（きほんアーベルぐん、英えい: elementary abelian group; 初等しょとうアーベル群ぐん）または基本きほんアーベル $p$ -群ぐん (elementary abelian $p$ -group) は任意にんいの非ひ自明じめいな元もとが位い数すう $p$ であるような群ぐん（とくに有限ゆうげん群ぐん）を言いう。この $p$ は素数そすうでなければならず、任意にんいの基本きほんアーベル群ぐんは特別とくべつな $p$ -群ぐんとなる^[1]^:142^[2]^:88。 $p = 2$ の場合ばあい、すなわち基本きほんアーベル $2$ -群ぐんのことをブール群ぐん (Boolean group) と呼よぶ場合ばあいがある^[3]^:6。

任意にんいの基本きほんアーベル $p$ -群ぐんは $p$ -元もと体からだ上うえの有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかんの構造こうぞうを持もち、逆ぎゃくにそのようなベクトル空間くうかんは基本きほんアーベル群ぐんとなる。有限ゆうげん生成せいせいアーベル群ぐんの構造こうぞう定理ていりにより、あるいは任意にんいのベクトル空間くうかんが基底きていを持もつという事実じじつから、任意にんいの有限ゆうげん基本きほんアーベル群ぐんは $(Z / p Z) n$ （ $n$ はこの群ぐんの階数かいすうと呼よばれる非負ひふ整数せいすう）の形かたちになることがわかる。ここに、 $Z / p Z$ は位い数すう $p$ の巡回じゅんかい群ぐん（あるいは $p$ を法ほうとする整数せいすうの加法かほう群ぐん）であり、上うえ付つき添字そえじの $n$ は $n$ -重じゅう直積ちょくせきを表あらわす^[2]^:88。一般いっぱんに（有限ゆうげんとは限かぎらない）基本きほんアーベル $p$ -群ぐんは位い数すう $p$ の巡回じゅんかい群ぐんの適当てきとうな個数こすうの直和なおかずとなる^[4]^:43（因子いんしが有限ゆうげん個この場合ばあいには直積ちょくせきと直和なおかずは同おなじものであるが、無限むげんの場合ばあいにはそうでないことに注意ちゅうい）

以下いか有限ゆうげん群ぐんの場合ばあいについて述のべる。

例れいと性質せいしつ[編集へんしゅう]

基本きほんアーベル群ぐん $(Z /2 Z) 2$ は四よっつの元もと ${(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}$ からなる。加法かほうは成分せいぶんごとに $mod 2$ で計算けいさんすればよい（例たとえば $(1, 0) + (1, 1) = (0, 1)$ ）。実じつはこれはクラインの四よん元げん群ぐんである。
（必かならずしも有限ゆうげんでない）集合しゅうごうの対称たいしょう差さによって生成せいせいされる群ぐんは、任意にんいの元もとが位い数すう $2$ である。そのような群ぐんは、任意にんいの元もとが自身じしんを逆ぎゃく元もとに持もつからアーベル群ぐんでなければならない: $xy = (xy) -1 = y -1 x -1 = yx$ 。そのような群ぐん（つまりブール群ぐん）はクラインの四よん元げん群ぐんの成分せいぶん数すうを任意にんい個こにした一般いっぱん化かである。
$(Z / p Z) n$ は $n$ 元もとで生成せいせいされ、 $n$ は生成せいせいに必要ひつような元もとの最低さいてい個数こすうである。特とくに、集合しゅうごう ${e 1, \dots, e n}$ を各かく $e i$ は第だい $i$ -成分せいぶんが $1$ でそのほかの成分せいぶんが $0$ のベクトルとすれば、これは極小きょくしょう生成せいせい系けいを成なす。
任意にんいの基本きほんアーベル群ぐんは極きわめて単純たんじゅんな有限ゆうげん表示ひょうじを持もつ: $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{n}\cong \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\mid e_{i}^{p}=1,\ e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}\rangle .$

ベクトル空間くうかん構造こうぞう[編集へんしゅう]

$V ≅ (Z / p Z) n$ を基本きほんアーベル群ぐんとする。 $Z / p Z ≅ F p$ は $p$ -元もと体からだゆえ、 $V = ≅ (F p) n$ は $n$ -次元じげん $F p$ -ベクトル空間くうかんと見みなせる。基本きほんアーベル群ぐんが一般いっぱんには標準ひょうじゅん基底きていを持もたないことに注意ちゅういすべきである—同型どうけい $V ≅ (Z / p Z) n$ は基底きていのとり方かたに依存いぞんする。

注意深ちゅういぶかく議論ぎろんを進すすめるならば、ベクトル空間くうかん $(F p) n$ が群ぐん $V$ よりも多おおくの構造こうぞうをもともと備そなえていることは留意りゅういすべきである。特とくに群ぐん演算えんざん（加法かほう）—それはベクトルの和わと解釈かいしゃくできる—に加くわえて、スカラー倍ばいが定さだまっている。しかし、アーベル群ぐんとしての $V$ は一意いちいな $Z$ -加か群ぐん構造こうぞう— $Z$ の作用さようは各かく元もとの反復はんぷく和わに対応たいおうする—を持もち、この $Z$ -加か群ぐん構造こうぞうは $F p$ によるスカラー乗法じょうほうと両立りょうりつする。すなわち、 $c \in F p$ に対たいし（ $c$ を $0 \leq c < p$ なる整数せいすうに持もち上あげて） $c \cdot g ≔ g + g + \dots + g$ （右辺うへんは $c$ 個この和わ）とすれば $V$ に自然しぜんな $F p$ -加か群ぐん構造こうぞうが入はいる。

自己じこ同型どうけい群ぐん[編集へんしゅう]

ベクトル空間くうかんとしての $V$ は基底きてい ${e 1, \dots, e n}$ を上うえで述のべた通とおりに持もつ。 $V$ の任意にんいの $n$ 個このベクトル ${v 1, \dots, v n}$ を取とるとき、線型せんけい代数だいすう学がくの知識ちしきを用もちいて写像しゃぞう $T (e i) = v i$ は $V$ の線型せんけい変換へんかんに一意いちいに拡張かくちょうされることが示しめせる。そのような $T$ の各々おのおのは $V$ から $V$ への群ぐん準じゅん同型どうけいとしての自己じこ準じゅん同型どうけいと見みることもできるし、線型せんけい変換へんかんとしての自己じこ準じゅん同型どうけいと見みることもできる。

$V$ の自己じこ同型どうけいに限かぎって考かんがえれば、 $Aut(V) ≔ {T : V \to V | ker T = 0} = GL n (F p)$ は $F p$ 上うえの $n$ -次つぎ正則せいそく行列ぎょうれつ全体ぜんたいの成なす一般いっぱん線型せんけい群ぐんである。

自己じこ同型どうけい群ぐん $GL (V) = GL n (F p)$ はベクトル空間くうかんの一般いっぱん論ろんにより $V ∖ {0}$ に推移すいい的てきに作用さようする。実じつはこれが任意にんいの有限ゆうげん群ぐんの中なかで基本きほんアーベル群ぐんを特徴付とくちょうづける性質せいしつである。すなわち、 $G$ が有限ゆうげん群ぐんでその単位たんい元もとを $e$ とし、 $Aut(G)$ が $G ∖ {e}$ に推移すいい的てきに作用さようするならば $G$ は基本きほんアーベル群ぐんである。（証明しょうめい: $Aut(G)$ が $G ∖ {e}$ に推移すいい的てきに作用さようするならば、 $G$ の単位たんい元もとでない任意にんいの元もとは同どうじ位い数すうを持もち、それは素数そすうである必要ひつようがあるから、 $G$ は $p$ -群ぐんである。 $p$ -群ぐんは非ひ自明じめいな中心ちゅうしんを持もつが、いまそれは任意にんいの自己じこ同型どうけいで不変ふへんであるから $G$ 全体ぜんたいに一致いっちする。）

高こう階かいへの一般いっぱん化か[編集へんしゅう]

素もと数すう位い数すうの成分せいぶんを素もと冪べき位い数すうの成分せいぶんに取とり換かえることもまた意義いぎのある考察こうさつである。すなわち基本きほんアーベル群ぐん $G$ は適当てきとうな素数そすう $p$ に対たいして $(p, p, \dots, p)$ を「型かた」に持もつものと見みなし、それを一般いっぱん化かする階数かいすう $n$ のホモサイクリック群ぐん（英語えいご版ばん） (homocyclic group; 同素どうそ巡回じゅんかい群ぐん)^[5]^:8 は型かた $(p e, p e, \dots, p e)$ のアーベル群ぐん、すなわち位い数すう $p e$ の群ぐんに同型どうけいな $n$ 個この群ぐんの直積ちょくせきとして定さだめる。

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

^ Zassenhaus, Hans J. (1999) [1958]. The Theory of Groups. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-16568-4
^ ^a ^b Rose, H.E. (2009). A Course on Finite Groups. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-84882-889-6
^ Givant, Steven; Halmos, Paul (2009). Introduction to Boolean Algebras. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-40293-2
^ Fuchs, László (1970). Infinite Abelian Groups. I. Academic Press. ISBN 978-0-08-087348-0
^ Gorenstein, Daniel (1968). “1.2”. Finite Groups. New York: Harper & Row. ISBN 0-8218-4342-7

[Zassenhaus-1] Zassenhaus, Hans J. (1999) [1958]. The Theory of Groups. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-16568-4

[Rose2009-2] Rose, H.E. (2009). A Course on Finite Groups. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-84882-889-6

[GivantHalmos2009-3] Givant, Steven; Halmos, Paul (2009). Introduction to Boolean Algebras. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-40293-2

[4] Fuchs, László (1970). Infinite Abelian Groups. I. Academic Press. ISBN 978-0-08-087348-0

[5] Gorenstein, Daniel (1968). “1.2”. Finite Groups. New York: Harper & Row. ISBN 0-8218-4342-7

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