群ぐんの表示ひょうじ

数学すうがくのとくに群論ぐんろんにおける、生成せいせい元もとと基本きほん関係かんけいによる群ぐんの表示ひょうじ（ぐんのひょうじ、英えい: presentation of group）とは、群ぐんをその生成せいせい元もとと生成せいせい元もとの間あいだに成なり立たつ関係かんけいによって特定とくていすることを言いう。一般いっぱんに群ぐんはある自由じゆう群ぐんの全ぜん射い準じゅん同型どうけい像ぞうなので必かならず表示ひょうじを持もつが、それは一意的いちいてきではない。

定義ていぎ

集合しゅうごう X から生成せいせいされた自由じゆう群ぐんを F とし、R を X 上うえの語かたりからなる集合しゅうごうとする。このとき R の正規せいき閉包へいほう N による商しょう群ぐんを G = F/N とおく。これを

$G=\langle X\mid R\rangle$

と表あらわし、（生成せいせい元もとと基本きほん関係かんけいによる）群ぐんの表示ひょうじという。またこのとき、X の元もとを生成せいせい元もと、R の元もとを関係かんけい（または定義ていぎ関係かんけい、基本きほん関係かんけい）といい、群ぐん G は生成せいせい元もとと基本きほん関係かんけいによって与あたえられると言いう。基本きほん関係かんけい w ∈ R に対たいし、式しき w = 1 (1 は G の単位たんい元もと) は基本きほん関係かんけい式しきとも呼よばれる。略式りゃくしきのい方いかたをすれば、N で割わることは G が自由じゆう群ぐん F の元もとのうち、R に属ぞくする元もとを単位たんい元もと 1 に等ひとしいものとみなして得えられるものであることを意味いみしている。

X が有限ゆうげん集合しゅうごうであるとき G は有限ゆうげん生成せいせいであるといい、R が有限ゆうげん集合しゅうごうであるとき G は有限ゆうげん関係かんけいであるという。また X と R が共ともに有限ゆうげん集合しゅうごうのとき、群ぐん G は有限ゆうげん型がたであるまたは有限ゆうげん表示ひょうじされるという。

具体ぐたい的てきに与あたえられた群ぐん G が、有限ゆうげん生成せいせい、有限ゆうげん関係かんけい、有限ゆうげん表示ひょうじであるとは、それぞれ有限ゆうげん生成せいせい、有限ゆうげん関係かんけい、有限ゆうげん表示ひょうじであるような適当てきとうな表示ひょうじを持もつときに言いう。

例れい

歴史れきし的てきな例れい

生成せいせい元もとと関係かんけいによる群ぐんの表示ひょうじが現あらわれる最初さいしょ期きの例れいは、1856年ねんにアイルランドの数学すうがく者しゃウィリアム・ローワン・ハミルトンが自身じしんの本ほん icosian calculus（正せい二に十じゅう面体めんてい群ぐんの解析かいせき）において正せい二に十じゅう面体めんてい群ぐん（＝正せい十じゅう二に面体めんてい群ぐん）の表示ひょうじを与あたえたものである。

最初さいしょの系統けいとう的てき研究けんきゅうは、フェリックス・クラインの弟子でしであるヴァルター・フォンディックが1880年代ねんだい前半ぜんはんに、組合くみあわせ群ぐん論ろんの基礎きそ付づけに基もとづいて与あたえた。

よくある例れい

• ⟨S | ∅⟩ は S 上うえの自由じゆう群ぐんである。自由じゆう群ぐんが「自由じゆう」であるというのは、この場合ばあい基本きほん関係かんけいが（したがって任意にんいの関係かんけいが）無ないことを意味いみする。
• X = {x} のとき ⟨X | ∅⟩ は無限むげん巡回じゅんかい群ぐん、すなわち整数せいすう全体ぜんたいのなす加法かほう群ぐん Z と同型どうけいである。
• 自然しぜん数すう n に対たいして X = {x}, R = {xⁿ} とすれば ⟨X | R⟩ は位い数すう n の巡回じゅんかい群ぐん C_n = Z/nZ と同型どうけいである。これを ⟨x | xⁿ = 1⟩ と書かくこともある。
• R は S の元もとの交換こうかん子こ全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうとすると、⟨S | R⟩ は S 上うえの自由じゆうアーベル群ぐんである。
• 自然しぜん数すう n に対たいして X = {s₁, …, s_n−1}, R = {s_i²  |  1 ≤ i < n} ∪ {(s_is_i+1)³  |  1 ≤ i < n − 1} ∪ {(s_is_j)²  |  |i − j| > 1} とすれば ⟨X | R⟩ は n 次つぎ対称たいしょう群ぐん S_n と同型どうけいである
• 自然しぜん数すう n に対たいして X = {s₁, …, s_n−1}, R = {(s_is_i+1)³  |  1 ≤ i < n − 1} ∪ {(s_is_j)²  |  |i − j| > 1} とすれば ⟨X | R⟩ は n-次つぎ組くみ紐ひも群ぐん B_n に同型どうけい
• 素数そすう p に対たいして X = {x₁, x₂, x₃, …}, R = {x₁^p, x₂^px₁⁻¹, x₃^px₂⁻¹, …} とすれば ⟨X | Y⟩ はプリューファー群ぐん Z(p^∞) と同型どうけいである。これを ⟨x₁, x₂, x₃, … | x₁^p = 1, x₂^p = x₁, x₃^p = x₂, …⟩ と書かくこともある

以下いかの表ひょうは、よく調しらべられている群ぐんに対たいする表示ひょうじの例れいを一覧いちらんしたものである。各々おのおのの場合ばあいにおいてこれとは異ことなる表示ひょうじの取とり方かたが複数ふくすう可能かのうであり、以下いかに挙あげたものも可能かのうな最もっとも効果こうか的てきな表示ひょうじとは限かぎらないことに注意ちゅういすべきである。

群ぐん	表示ひょうじ	補足ほそく
位い数すう 2n の二に面体めんてい群ぐん Dn	$\langle r,f\mid r^{n},f^{2},(rf)^{2}\rangle$	ここで r は回転かいてん、f は鏡かがみ映うつを表あらわす
無限むげん二に面体めんてい群ぐん D∞	$\langle r,f\mid f^{2},(rf)^{2}\rangle$
二に重じゅう巡回じゅんかい群ぐん Dicn	$\langle r,f\mid r^{2n},r^{n}=f^{2},frf^{-1}{=}r^{-1}\rangle$	r, f は上うえと同様どうよう。四よん元げん数すう群ぐんは n = 2 の場合ばあい
Z × Z	$\langle x,y\mid xy=yx\rangle$
Z/mZ × Z/nZ	$\langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle$
正せい四よん面体めんてい群ぐん T ≅ A4	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$
正せい八はち面体めんてい群ぐん O ≅ S4	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$
正せい十じゅう二に面体めんてい群ぐん I ≅ A5	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$
四よん元げん数すう群ぐん Q8	$\langle i,j\mid jij=i,iji=j\rangle$	別べつの表示ひょうじについては Dicn の欄らんを参照さんしょう
SL(2, Z)	$\langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle$	位相いそう的てきには a, b はトーラス上うえのデーンひねり
GL(2, Z)	${\Bigl \langle }a,b,j:{aba=bab,(aba)^{4}, \atop j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}}{\Bigr \rangle }$	SL(2, Z) の非ひ自明じめいな Z/2Z-拡大かくだい
モジュラー群ぐん PSL(2, Z)	$\langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle$	PSL(2, Z) は二ふたつの巡回じゅんかい群ぐん Z/2Z と Z/3Z の自由じゆう積せきに同型どうけい
ハイゼンベルク群ぐん	${\Bigl \langle }x,y,z:{z=xyx^{-1}y^{-1}, \atop xz=zx,yz=zy}{\Bigr \rangle }$
バウムスラッグ–ソリター群ぐん BS(m, n)	$\langle a,b\mid a^{n}=ba^{m}b^{-1}\rangle$
ティッツ群ぐん	${\Bigl \langle }a,b:{a^{2},b^{3},(ab)^{13},[a,b]^{5}, \atop [a,bab]^{4},(ababababab^{-1})^{6}}{\Bigr \rangle }$	[a, b] は交換こうかん子こ

有限ゆうげん表示ひょうじを持もたない有限ゆうげん生成せいせい群ぐんの例れいとして、無限むげん巡回じゅんかい群ぐん Z 同士どうしの輪はなわ積つもる Z ≀ Z が挙あげられる。

性質せいしつ

定理ていり

任意にんいの群ぐんは生成せいせい元もとと基本きほん関係かんけいによる表示ひょうじを持もつ

これを見みるには与あたえられた群ぐん G に対たいし G 上うえの自由じゆう群ぐん F_G を作つくればよい。実際じっさい、自由じゆう群ぐんの普遍ふへん性せいにより、群ぐん準じゅん同型どうけい φふぁい: F_G → G でその G への制限せいげんが恒等こうとう写像しゃぞうとなるものが一意いちいに存在そんざいする。この準じゅん同型どうけいの核かくを K とすれば K は F_G の正規せいき部分ぶぶん群ぐん（したがってその正規せいき包つつみは K 自身じしん）であるから、⟨G | K⟩ = F_G/K となる。恒等こうとう写像しゃぞうは全ぜん射いゆえ φふぁい もそうで、ゆえに第だい一同いちどう型がた定理ていりにより ⟨G | K⟩ ≅ im(φふぁい) = G を得える。この表示ひょうじは、G および K が必要ひつよう以上いじょうに大おおきいときには極きわめて非ひ効率こうりつなものとなり得えることに注意ちゅうい。

系けい

任意にんいの有限ゆうげん群ぐんは有限ゆうげん表示ひょうじを持もつ

これは与あたえられた群ぐんの元もとすべてを生成せいせい元もととし、乗の積せき表ひょうを基本きほん関係かんけいに置おけばよい。

Novikov–Boone の定理ていり

群ぐんに対たいする語かたりの問題もんだいに対たいする否定ひてい的てきな解答かいとうとして、任意にんいの有限ゆうげん表示ひょうじ ⟨S | R⟩ に対たいして、与あたえられた二ふたつの語かたり u, v がその群ぐんの同おなじ元もとを定さだめるか否ひかを決定けっていするアルゴリズムは存在そんざいしないことが知しられている。これは Pyotr Novikovが1955年ねんに、また別べつ証明しょうめいをWilliam Booneが1958年ねんにそれぞれ得えている。

別べつな表示ひょうじの構成こうせい

G = ⟨X | R⟩, H = ⟨Y | S⟩ を群ぐんの表示ひょうじとする。

• 群ぐんの自由じゆう積せき: G ∗ H ≅ ⟨X ∪ Y | R ∪ S⟩
• アーベル化か: G/[G, G] ≅ ⟨X | R ∪ [X, X]⟩
  • ただし左辺さへんの [G, G] は交換こうかん子こ部分ぶぶん群ぐんで、右辺うへんの [X, Y] は {x⁻¹y⁻¹xy  |  x ∈ X, y ∈ Y} である
• 群ぐんの直積ちょくせき: G × H ≅ ⟨X ∪ Y | R ∪ S ∪ [X, Y]⟩

不足ふそく数すう

有限ゆうげん表示ひょうじ ⟨S | R⟩ の不足ふそく数すう (deficiency) とは |S| − |R| のことを言いい、有限ゆうげん生成せいせい群ぐんの不足ふそく数すう def G は G の任意にんいの表示ひょうじに対たいする不足ふそく数すうの最大さいだい値ちを言いう。有限ゆうげん群ぐんの不足ふそく数すうは非ひ正せいになる。群ぐん G のシューア乗数じょうすうは −def G 個この元もとを用もちいて生成せいせいすることができる（十分じゅうぶん条件じょうけん）ことが知しられており、 G が充足じゅうそく (efficient) であるとは、この数かずが必要ひつよう条件じょうけんでもあるときに言いう

幾何きか学がく的てき群論ぐんろん

幾何きか学がく的てき群論ぐんろんの意味いみにおいて、群ぐんの表示ひょうじはある種しゅの幾何きかを決定けっていする。それはケイリーグラフであったり、語かたりの距離きょりであったりといったものである。これらは二に種類しゅるいの順序じゅんじょ（弱じゃく順序じゅんじょおよびブリュア順序じゅんじょ）を与あたえ、ハッセ図ずと対応たいおうする。その重要じゅうような例れいはコクセター群ぐんである。

さらにいえば、このグラフの適当てきとうな性質せいしつ（粗そ構造こうぞう）は生成せいせい元もとの取とり方かたに依よらないという意味いみで内在ないざい的てきである。

参考さんこう文献ぶんけん

• Robinson, Derek J. S. (1993). A Course in the Theory of Groups. Graduate texts in Mathematics (1st ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94092-2. https://books.google.co.jp/books?id=BFrTBwAAQBAJ&pg=PA50 

関連かんれん項目こうもく　

• ティーツェ変換へんかん
• Schreierアルゴリズム: 部分ぶぶん群ぐんの表示ひょうじを求もとめるアルゴリズム

外部がいぶリンク

• de Cornulier, Yves. "Group Presentation". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Generators and relations in nLab
• presentation of a group - PlanetMath.（英語えいご）
• Definition:Group Presentation at ProofWiki
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Presentation”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Presentation