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幾何きか学がく的てき群論ぐんろん

出典しゅってん: フリー百科ひゃっか事典じてん『ウィキペディア（Wikipedia）』
2つの生成せいせい元もとを持もつ自由じゆう群ぐんのケイリーグラフ 。 これは、グロモフ境界きょうかい（英語えいご版ばん）がカントール集合しゅうごうである双そう曲きょく群ぐん（英語えいご版ばん）である。双そう曲きょく群ぐんとその境界きょうかいは、ケイリーグラフと同様どうように、幾何きか学がく的てき群論ぐんろんにおける重要じゅうようなトピックである。

幾何きか学がく的てき群論ぐんろん（英えい: Geometric group theory, GGT）は、有限ゆうげん生成せいせい群ぐんを研究けんきゅうする数学すうがくの一いち分野ぶんやであり、群ぐんの代数だいすう的てき性質せいしつと、その群ぐんが作用さようする（つまり、幾何きか的てきな対称たいしょう性せい、あるいは連続れんぞく的てきな変換へんかん群ぐんとして実現じつげんされる）ような空間くうかんのトポロジー的てきおよび幾何きか学がく的てき性質せいしつとの間あいだの関係かんけいを調しらべるものである。

幾何きか学がく的てき群論ぐんろんにおけるもう一ひとつの重要じゅうような考かんがえ方かたは、有限ゆうげん生成せいせい群ぐん自体じたいを幾何きか学がく的てき対象たいしょうとして考かんがえることである。これは通常つうじょう、群ぐんのケイリーグラフを調しらべることによって行おこなわれる。これには、グラフ構造こうぞうに加くわえて、いわゆる語かたり距離きょり（英語えいご版ばん）によって与あたえられる距離きょり空間くうかんの構造こうぞうが備そなわっている。

幾何きか学的がくてき群ぐん論ろんは、分野ぶんやとしては比較的ひかくてき新あたらしいものであり、1980年代ねんだい後半こうはんから1990年代ねんだい初頭しょとうにかけて、明確めいかくに識別しきべつできる数学すうがくの分野ぶんやとなった。 幾何きか学的がくてき群ぐん論ろんは、低てい次元じげんトポロジー、双そう曲きょく幾何きか学がく、代数だいすうトポロジー、計算けいさん機き群ぐん論ろん（英語えいご版ばん）、微分びぶん幾何きか学がくと密接みっせつに相互そうご作用さようする。計算けいさん複雑ふくざつ性せい理論りろん、数理すうり論ろん理学りがく、リー群ぐんとその離散りさん部分ぶぶん群ぐんの研究けんきゅう、力学りきがく系けい、確率かくりつ論ろん、K理論りろん、その他たの数学すうがくの分野ぶんやとも密接みっせつに関連かんれんしている。

ピエール・デ・ラ・ハープは彼かれの著書ちょしょ『Topics in Geometric Group Theory』の冒頭ぼうとうで次つぎのように書かいている。

「私わたしの個人こじん的てきな信念しんねんの一ひとつは、対称たいしょう性せいと群ぐんに魅了みりょうされることは、人間にんげんの限界げんかいへの不満ふまんに対処たいしょする一ひとつの方法ほうほうであるということです。我々われわれは、対称たいしょう性せいを認識にんしきすることを好このみます。対称たいしょう性せいは我々われわれが見みることのできることよりも多おおくを認識にんしきさせてくれます。この意味いみで、幾何きか学的がくてき群ぐん論ろんの研究けんきゅうは文化ぶんかの一部いちぶであり、ジョルジュ・ド・ラームが数学すうがくの指導しどう、 マラルメの朗読ろうどく、友人ゆうじんへの挨拶あいさつなど、多おおくの場面ばめんで実践じっせんしたいくつかのことを思おもい出だします。」[1] :3

歴史れきし

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幾何きか学的がくてき群ぐん論ろんは、群ぐんを自由じゆう群ぐんの商しょうとして説明せつめいする群ぐんの表示ひょうじの解析かいせきを通つうじて離散りさん群ぐんの性質せいしつを主おもに研究けんきゅうした組合くみあわせ群ぐん論ろん（英語えいご版ばん）から生うまれた。この分野ぶんやは、1880年代ねんだい初頭しょとうに、フェリックス・クラインの門生もんせいのヴァルター・フォン・ダイク（英語えいご版ばん）によって最初さいしょに体系たいけい的てきに研究けんきゅうされた[2] が、初期しょきには、1856年ねんのウィリアム・ローワン・ハミルトンによる、en:Icosian calculusとよばれる十じゅう二に面体めんていの辺あたりグラフを用もちいた正せい十じゅう二に面体めんてい群ぐん（英語えいご版ばん）の研究けんきゅうがある。現在げんざい、分野ぶんやとしての組合くみあわせ群ぐん論ろんは、幾何きか学的がくてき群ぐん論ろんに大おおきく含ふくまれている。さらに、「幾何きか学がく的てき群論ぐんろん」という用語ようごには、確率かくりつ論ろん的てき、測度そくど論ろん的てき、数かず論ろん的てき、解析かいせき的てき、その他たのアプローチを使用しようして、従来じゅうらいの組合くみあわせ群ぐん論ろんの外そとにある離散りさん群ぐんの研究けんきゅうがしばしば含ふくまれるようになった。

20世紀せいきの前半ぜんはんには、マックス・デーン、ヤコブ・ニールセン(en:Jakob Nielsen (mathematician))、クルト・ライデマイスター（英語えいご版ばん）、オットー・シュライアー（英語えいご版ばん）、J・H・C・ホワイトヘッド（英語えいご版ばん）、エグバート・ファンカンペン（英語えいご版ばん）などの先駆せんく的てきな研究けんきゅうにより、離散りさん群ぐんの研究けんきゅうにトポロジー的てきおよび幾何きか学がく的てきなアイデアが導入どうにゅうされた[3]。幾何きか学的がくてき群ぐん論ろんの他ほかの前身ぜんしんには、スモールキャンセル理論りろん（英語えいご版ばん）とバスセール理論りろん（英語えいご版ばん）がある。スモールキャンセル理論りろんは、1960年代ねんだいにマーティン・グリンドリンガーによって導入どうにゅうされ[4][5] 、さらにロジャー・リンドン（英語えいご版ばん）とポール・シュップ（英語えいご版ばん）によって発展はってんされた[6]。 これは、組合くみあわせ曲きょく率りつ条件じょうけんを介かいして、群ぐんの有限ゆうげん表示ひょうじに対応たいおうするファンカンペン図式ずしき（英語えいご版ばん）を研究けんきゅうし、そのような解析かいせきから群ぐんの代数だいすう的てきおよびアルゴリズム的てき性質せいしつを導みちびくものである。 1977年ねんのセールの本ほん[7] で紹介しょうかいされたバスセール理論りろんは、単体たんたいツリーに対たいする群ぐん作用さようを研究けんきゅうすることにより、群ぐんに関かんする代数だいすう構造こうぞうの情報じょうほうを導みちびき出だす。幾何きか学的がくてき群ぐん論ろんの外的がいてきな前身ぜんしんには、リー群ぐんの格子こうしの研究けんきゅう、特とくにモストウの剛性ごうせい定理ていり、クライン群ぐん（英語えいご版ばん）の研究けんきゅう、1970年代ねんだいと1980年代ねんだい初頭しょとうに低てい次元じげんトポロジーと双そう曲きょく幾何きか学がくで達成たっせいされた進歩しんぽ、特とくにウィリアム・サーストンの幾何きか化かプログラムが含ふくまれる。

幾何きか学がく的てき群論ぐんろんが数学すうがくの別個べっこの分野ぶんやとして出現しゅつげんしたのは、通常つうじょう、1980年代ねんだい後半こうはんから1990年代ねんだい初頭しょとうにさかのぼる。これはミハイル・グロモフの1987年ねんのモノグラフ『Hyperbolic groups』[8] およびその後ごのモノグラフの『Asymptotic Invariants of Infinite Groups』[9] により拍車はくしゃがかかった。前者ぜんしゃは大だい尺度しゃくど(large-scale)で負まけの曲きょく率りつを持もつ有限ゆうげん生成せいせい群ぐんの概念がいねんを捉とらえた双そう曲きょく群ぐん（英語えいご版ばん）（語かたり双そう曲きょく群ぐんまたはグロモフ双そう曲きょく群ぐんまたは負ふ曲きょく率りつ群ぐんとしても知しられる）を概念がいねんを導入どうにゅうしたもので、後者こうしゃは離散りさん群ぐんの擬なずらえ等とう長ちょう（英語えいご版ばん）類るいを理解りかいするというグロモフのプログラムの概要がいようを説明せつめいしたものである。グロモフの研究けんきゅうは、離散りさん群ぐんの研究けんきゅうに変革へんかく的てきな影響えいきょうを与あたえ[10][11][12]、「幾何きか学がく的てき群論ぐんろん」というフレーズがその後ごすぐに現あらわれ始はじめた。（例たとえば[13] 参照さんしょう）。

現代げんだいのテーマと発展はってん

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1990年代ねんだいと2000年代ねんだいの幾何きか学的がくてき群ぐん論ろんの注目ちゅうもくすべきテーマと発展はってんには、次つぎのものがある。

  • 群ぐんの擬なずらえ等とう長ちょうの性質せいしつを研究けんきゅうするためのグロモフのプログラム。
この分野ぶんやで特とくに影響えいきょう力りょくのある広大こうだいなテーマは、大だい尺度しゃくど(large scale)な幾何きか学がくによって有限ゆうげん生成せいせい群ぐんを分類ぶんるいするグロモフのプログラム[14] である。正確せいかくには、これは語かたり距離きょり（英語えいご版ばん）を入いれた有限ゆうげん生成せいせい群ぐんの擬なずらえ等とう長ちょう（英語えいご版ばん）類るいを分類ぶんるいすることを意味いみする。このプログラムには以下いかが含ふくまれる。
  1. 擬なずらえ等とう長ちょう（英語えいご版ばん）の下したで不変ふへんである性質せいしつの研究けんきゅう。有限ゆうげん生成せいせい群ぐんのこのような性質せいしつの例れいには、次つぎのものがある。有限ゆうげん生成せいせい群ぐんの増大ぞうだい度ど（英語えいご版ばん）。有限ゆうげん表示ひょうじ群ぐんの等とう周しゅう関数かんすう（英語えいご版ばん）またはデーン関数かんすう（英語えいご版ばん）。群ぐんのエンドの数かず。 群ぐんの双そう曲きょく性せい（英語えいご版ばん）。双そう曲きょく群ぐんのグロモフ境界きょうかい（英語えいご版ばん）の同相どうしょう型かた;[15] 有限ゆうげん生成せいせい群ぐんの漸近ぜんきん錐きり（英語えいご版ばん）(asymptotic cone)（たとえば[16][17] 参照さんしょう）。有限ゆうげん生成せいせい群ぐんの従順じゅうじゅん性せい ;実質じっしつ的てきに(en:virtually)アーベルである（つまり、有限ゆうげん位い数すうのアーベル部分ぶぶん群ぐんをもつ）こと;実質じっしつ的てきにべき零れいであること。実質じっしつ的てきに自由じゆうであること。有限ゆうげん表示ひょうじできること。語かたり問題もんだい（英語えいご版ばん）が解とける有限ゆうげん表示ひょうじ群ぐんであること。など
  2. 擬なずらえ等とう長ちょう不ふ変量へんりょうを用もちいて、群ぐんに関かんする代数だいすう的てき結果けっかを証明しょうめいする定理ていり。例たとえば、グロモフの多項式たこうしき増大ぞうだい定理ていり（英語えいご版ばん）; スターリングスのエンド定理ていり; モストウの剛性ごうせい定理ていり。
  3. 擬なずらえ等とう長ちょう剛性ごうせい定理ていり。つまり、与あたえられた群ぐんまたは距離きょり空間くうかんに対たいして、擬なずらえ等とう長ちょうであるすべての群ぐんを代数だいすう的てきに分類ぶんるいするもの。この方向ほうこう性せいは、ランク1格子こうしの擬なずらえ等とう長ちょう剛性ごうせいに関かんするシュワルツ(en:Richard Schwartz (mathematician))の研究けんきゅう[18] と、バウムスラッグ・ソリター群ぐん（英語えいご版ばん）の擬なずらえ等とう長ちょう剛性ごうせいに関かんするベンソン・ファーブ（英語えいご版ばん）とリー・モーシャーの研究けんきゅうにより始はじめられた。 [19]
  • 語かたり双そう曲きょく群ぐん（英語えいご版ばん）と相対そうたい双そう曲きょく群ぐん（英語えいご版ばん）の理論りろん。ここで特とくに重要じゅうような発展はってんは、1990年代ねんだいのジル・セラ（英語えいご版ばん）の研究けんきゅうにより、語かたり双そう曲きょく群ぐんの同型どうけい問題もんだいが解とかれたことである[20] 相対そうたい双そう曲きょく群ぐんの概念がいねんは、もともと1987年ねんにグロモフによって導入どうにゅうされ[8] 1990年代ねんだいにはファーブ[21] とブライアン・ボウディッチ（英語えいご版ばん）[22] によって洗練せんれんされた。相対そうたい双そう曲きょく群ぐんの研究けんきゅうは2000年代ねんだいになって注目ちゅうもくを浴あびるようになった。
  • 数理すうり論理ろんり学がくとの相互そうご作用さようと自由じゆう群ぐんの一いち階かい理論りろんの研究けんきゅう。特とくに、セラ[23] やオルガ・ハランポビッチ（英語えいご版ばん）、アレクセイ・ミアスニコフ[24] の研究けんきゅうにより、有名ゆうめいなタルスキ予想よそう(en:free group)に重要じゅうような進展しんてんがあった。極限きょくげん群ぐん(limit group)の研究けんきゅうや、非ひ可か換かわ代数だいすう幾何きか学がくの言語げんごや道具どうぐの導入どうにゅうが進すすんだ。
  • 計算けいさん機き科学かがく、複雑ふくざつ性せい理論りろん、形式けいしき言語げんごの理論りろんとの相互そうご作用さよう。このテーマは、オートマティック群ぐん（英語えいご版ばん）[25] の理論りろんの発展はってんによって例証れいしょうされている。この概念がいねんは、有限ゆうげん生成せいせい群ぐんの積せきをとる操作そうさに特定とくていの幾何きか学がく的てき・言語げんご論ろん的てき条件じょうけんを課かすものである。
  • 有限ゆうげん表示ひょうじ群ぐんの等とう周しゅう不等式ふとうしき、デーン関数かんすうとその一般いっぱん化かの研究けんきゅう。特とくにジャン＝カミーユ・ビルジェ、アレクサンドル・オリシャンスキー、エリヤフ・リップス（英語えいご版ばん）、マーク・サピル（英語えいご版ばん）[26][27] の研究けんきゅうは、有限ゆうげん表示ひょうじ群ぐんのデーン関数かんすうとしてありうるものを本質ほんしつ的てきに特徴とくちょうづけており、分数ぶんすう次数じすうのデーン関数かんすうを持もつ群ぐんの明示めいじ的てきな構成こうせいを与あたえている。[28]
  • 有限ゆうげん生成せいせい群ぐん・有限ゆうげん表示ひょうじ群ぐんに対たいするJSJ分解ぶんかい理論りろんの展開てんかい。[29][30][31][32][33]
  • 幾何きか解析かいせき（英語えいご版ばん）, 離散りさん群ぐんに関連かんれんする C*-環たまき の研究けんきゅう、自由じゆう確率かくりつ論ろんとの関係かんけい。このテーマは、特とくにノビコフ予想よそう（英語えいご版ばん）とバウム・コンヌ予想よそう（英語えいご版ばん）に関かんするかなりの進歩しんぽと、それらに関連かんれんする群論ぐんろん的てきな概念がいねん（位相いそう的てき従順じゅうじゅん性せい、漸近ぜんきん次元じげん、ヒルベルト空間くうかんへの一様いちような埋うめ込こみ可能かのう性せい、急きゅう減衰げんすい(rapid decay)条件じょうけんなど）の発展はってんや研究けんきゅうに代表だいひょうされる (例たとえば[34][35][36] を参照さんしょう).
  • 距離きょり空間くうかん上じょうの擬なずらえ等角とうかく解析かいせきの理論りろんとの相互そうご作用さよう、特とくに2次元じげん球面きゅうめんに同相どうしょうなグロモフ境界きょうかい（英語えいご版ばん）を持もつ双そう曲きょく群ぐんの特徴とくちょう付づけに関かんするキャノンの予想よそうとの関係かんけい。[37][38][39]
  • en:Finite subdivision rules, キャノンの予想よそう（英語えいご版ばん）にも関係かんけいする。[40]
  • 様々さまざまなコンパクト空間くうかん上じょうの離散りさん群ぐんの作用さようや群ぐんのコンパクト化かを研究けんきゅうする際さいの位相いそう的てき力学りきがく系けい（英語えいご版ばん）の相互そうご作用さよう、特とくに収束しゅうそく群ぐん（英語えいご版ばん）の方法ほうほう[41][42]
  • -樹き(en:real tree)の群ぐん作用さようの理論りろんの発展はってん（特とくにRips machine）とその応用おうよう。[43]
  • CAT(0) 空間くうかんとCAT(0)立方りっぽう複ふく体たいへの群ぐん作用さようの研究けんきゅう [44] 。これはアレクサンドロフ幾何きか学がくのアイデアに動機どうきづけられている。
  • 低てい次元じげんトポロジーや双そう曲きょく幾何きか学がくとの相互そうご作用さよう、特とくに3次元じげん多様たよう体からだ群ぐんの研究けんきゅう (例たとえば[45] 参照さんしょう）。曲面きょくめんの写像しゃぞう類るい群ぐん、ブレイド群ぐん および クライン群ぐん.
  • 「ランダムな」群論ぐんろん的てき対象たいしょう（群ぐん、群ぐんの要素ようそ、部分ぶぶん群ぐんなど）の代数だいすう的てき性質せいしつを研究けんきゅうするための確率かくりつ論ろん的てき手法しゅほうの導入どうにゅう。ここで特とくに重要じゅうような発展はってんは、確率かくりつ論ろん的てき手法しゅほうを用もちいて、ヒルベルト空間くうかんに一様いちよう埋うめ込こみ不可能ふかのうな有限ゆうげん生成せいせい群ぐんの存在そんざいを証明しょうめいしたグロモフの研究けんきゅう[46] である。他たの注目ちゅうもくすべき発展はってんとしては、群論ぐんろん的てきアルゴリズムや他たの数学すうがく的てきアルゴリズムに対たいするen:generic-case complexity[47] の概念がいねんの導入どうにゅうと研究けんきゅう、ジェネリックな群ぐんの代数だいすう的てきな剛性ごうせいの結果けっか[48] などがある。
  • 根ねを無限むげん個こもつツリーの自己じこ同型どうけい群ぐんの群ぐんとしてのオートマタ群ぐんや反復はんぷくモノドロミー群ぐん（英語えいご版ばん）の研究けんきゅう。 特とくに、中間なかま増ぞう大度たいどをもつグリゴルチュク群ぐん（英語えいご版ばん）とその一般いっぱん化かがこの文脈ぶんみゃくに登場とうじょうする。[49][50]
  • 測度そくど空間くうかん上じょうの群ぐん作用さようの測度そくど論ろん的てき性質せいしつの研究けんきゅう、特とくに測度そくど同値どうちと軌道きどう同値どうちの概念がいねんの導入どうにゅうと発展はってん、モストウ剛つよし性せいの測度そくど論ろん的てき一般いっぱん化か。[51][52]
  • 離散りさん群ぐんのユニタリ表現ひょうげんとカジュダンの性質せいしつ(T)（英語えいご版ばん）の研究けんきゅう[53]
  • Out(Fn) (自由じゆう群ぐんの階数かいすう n の外部がいぶ自己じこ同型どうけい群ぐん) と自由じゆう群ぐんの個々ここの自己じこ同型どうけいの研究けんきゅう。ここで特とくに顕著けんちょな役割やくわりを果はたしたのは、カラー(Culler)とフォートマン(Vogtmann)のouter space[54] と自由じゆう群ぐんの自己じこ同型どうけい群ぐんのための線路せんろ(en:train track)の理論りろん[55] の導入どうにゅうと研究けんきゅうである。
  • バス・セール理論りろんの発展はってん（英語えいご版ばん）、特とくに多おおくの accessibility の結果けっか[56][57][58] とツリーの格子こうしの理論りろん[59]。群ぐんの複ふく体たいの理論りろんなどバス・セール理論りろんの一般いっぱん化か。[44]
  • 群ぐん上じょうの ランダム・ウォークとそれに関連かんれんする境界きょうかいの理論りろんの研究けんきゅう、特とくにポアソン境界きょうかいの概念がいねん (例たとえば[60] 参照さんしょう)。 従順じゅうじゅん性せいと、従順じゅうじゅん性せいが不明ふめいな群ぐんの研究けんきゅう。
  • 有限ゆうげん群ぐん論ろんとの相互そうご作用さよう、特とくに subgroup growth の研究けんきゅうの進展しんてん。
  • などの線形せんけい群ぐんや、他たのリー群ぐんの、部分ぶぶん群ぐんと格子こうしを、幾何きか学がく的てき方法ほうほう (例たとえばビルディング)、代数だいすう幾何きか学がく的てきツール (例たとえば 代数だいすう群ぐん と表現ひょうげん多様たよう体たい)、解析かいせき的てき手法しゅほう (例たとえば ヒルベルト空間くうかん上うえのユニタリ表現ひょうげん) 、数かず論ろん的てき手法しゅほうなどで調しらべる研究けんきゅう。
  • 代数だいすう的てき・位相いそう幾何きか学がく的てき手法しゅほうを用もちいた、群ぐんのコホモロジー。特とくに 代数だいすう的てき位相いそう幾何きか学がくとの相互そうご作用さようや組合くみあわせの文脈ぶんみゃくでのモース理論りろん的てきな考かんがえ方かたの利用りようを含ふくむ; 大だい尺度しゃくど, あるいは粗そホモロジーあるいはコホモロジー。 (たとえば[61] を参照さんしょう)
  • Burnsideの問題もんだい,[62][63] コクセター群ぐんやアルティン群ぐんの研究けんきゅうなど、伝統でんとう的てきな組合くみあわせ群ぐん論ろんのトピックの進展しんてん（これらの問題もんだいを研究けんきゅうするために現在げんざい使用しようされている方法ほうほうは、幾何きか学がく的てき・位相いそう幾何きか学がく的てきなものが多おおい）。

例れい

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次つぎの例れいは、幾何きか学的がくてき群ぐん論ろんでよく研究けんきゅうされている。

参照さんしょう

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参考さんこう文献ぶんけん

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本ほんとモノグラフ

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これらのテキストは、幾何きか学がく的てき群論ぐんろんと関連かんれんトピックをカバーしている。

外部がいぶリンク

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