冪べき零れい群ぐん

群論ぐんろんにおける冪べき零れい群ぐん（べきれいぐん、英えい: nilpotent group）は、「ほとんど」アーベルな群ぐんである。この概念がいねんは、冪べき零れい群ぐんが可か解かい群ぐんとなるという事実じじつに裏打うらうちされ、有限ゆうげん冪べき零れい群ぐんに対たいして位い数すうが互たがいに素もとな二に元げんは可か換かわとなる。有限ゆうげん冪べき零れい群ぐんはさらに超ちょう可か解かい（英語えいご版ばん）でさえある。冪べき零れい群ぐんの概念がいねんの創始そうしは1930年代ねんだいにおけるロシア人数にんずう学者がくしゃセルゲイ・チェルニコフ（英語えいご版ばん）の業績ぎょうせきに帰かえせられる^[1]。

冪べき零れい群ぐんはガロワ理論りろんにおいて、また群ぐんの分類ぶんるい理論りろんにおいて、用もちいられる。あるいはまた、リー群ぐんの分類ぶんるいにおいても顕著けんちょである。

冪べき零れいあるいは降くだ中心ちゅうしん列れつ・昇のぼり中心ちゅうしん列れつといった用語ようごは、（導しるべ来らい群ぐんを作つくる操作そうさを、リー括弧かっこ積せきで代用だいようした類似るいじ概念がいねんを用もちいて）リー環たまきの理論りろんにおいても用もちいられる（冪べき零れいリー環たまきの項こうを参照さんしょう）。

定義ていぎ[編集へんしゅう]

「群ぐんの中心ちゅうしん」および「交換こうかん子こ部分ぶぶん群ぐん」も参照さんしょう

考かんがえている群ぐんが冪べき零れいであるとは、以下いかの同値どうちな条件じょうけんの何いずれか（したがってすべて）を満足まんぞくするときに言いう:

有限ゆうげんの長ながさの中心ちゅうしん列れつ（英語えいご版ばん）を持もつ。それはすなわち、正規せいき部分ぶぶん群ぐんからなる有限ゆうげんの系列けいれつ $\{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G$ であって、 $G i +1 / G i \leq Z (G / G i)$ あるいは同おなじことだが $[G, G i +1] \leq G i$ となるものである。
降くだ中心ちゅうしん列れつ（英語えいご版ばん）が有限ゆうげんの長ながさで自明じめい群ぐんに到達とうたつする。すなわち、 $G 0 ≔ G$ および $G i +1 ≔ [G i, G]$ によって定さだまる正規せいき部分ぶぶん群ぐんの系列けいれつで $G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}$ とできる。
昇のぼり中心ちゅうしん列れつ（英語えいご版ばん）が有限ゆうげんの長ながさでもとの群ぐんに到達とうたつする。すなわち、 $Z 0 ≔ {1}$ および $Z i +1$ は $Z i +1 / Z i = Z (G / Z i)$ なる $G$ の部分ぶぶん群ぐんと定さだめるとき、得えられる正規せいき部分ぶぶん群ぐんの系列けいれつで $\{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G$ とできる。

冪べき零れい群ぐん $G$ に対たいして、 $G$ が長ながさ $n$ の中心ちゅうしん列れつを持もつとき（定義ていぎにより、長ながさ $n$ を持もつとは中心ちゅうしん列れつに自明じめい群ぐんと $G$ 自身じしんを含ふくめて $n + 1$ 個この部分ぶぶん群ぐんが並ならぶときに言いう）、そのような $n$ の最小さいしょう値ちを $G$ の冪べき零れい度ど (nilpotency class; 冪べき零れい性せいの等級とうきゅう) と呼よび、また $G$ は冪べき零れい度ど $n$ の冪べき零れい群ぐんであるという。 $G$ の冪べき零れい度どは、降くだ中心ちゅうしん列れつまたは昇のぼり中心ちゅうしん列れつを用もちいても同おなじ値ちが定さだめられる。^{[注釈ちゅうしゃく 1]}

冪べき零れい度どを上記じょうきのどの仕方しかたで定義ていぎしたとしても、直ただちにわかることに「自明じめい群ぐんが冪べき零れい度ど零れいの唯一ゆいいつの群ぐんである」ことおよび「冪べき零れい度ど $1$ の群ぐんは非ひ自明じめいなアーベル群ぐんである」ことが挙あげられる^[2]^[3]

例れい[編集へんしゅう]

よく知しられた冪べき零れい群ぐんの例れいである離散りさんハイゼンベルク群ぐんのケイリーグラフの一部いちぶ

既すでに述のべたように、任意にんいのアーベル群ぐんは冪べき零れいである^[2]^[4]。
小しょう位い数すうの非ひアーベルな例れいとして、最小さいしょうの非ひアーベル $p$ -群ぐんである四よん元げん数すう群ぐん $Q 8$ を挙あげることができる。その中心ちゅうしんは位い数すう $2$ の ${1, -1}$ であり、昇のぼり中心ちゅうしん列れつ ${1}, {1, -1}, Q 8$ が得えられるから、これは冪べき零れい度ど $2$ の例れいということになる。
実じつは任意にんいの有限ゆうげん $p$ -群ぐんが冪べき零れいである。位い数すう $p n$ の $p$ -群ぐんに対たいし、最大さいだいの冪べき零れい度どは $n - 1$ である。冪べき零れい度ど最大さいだいの $2$ -群ぐんは、四よん元げん数すう群ぐん、二に面体めんてい群ぐんあるいは半はん二に面体めんてい群ぐん（英語えいご版ばん）の一般いっぱん化かと考かんがえられる。
二ふたつの冪べき零れい群ぐんの直積ちょくせきはまた冪べき零れいである^[5]。
逆ぎゃくに、任意にんいの有限ゆうげん冪べき零れい群ぐんは $p$ -群ぐんの直積ちょくせきになる^[6]。
ハイゼンベルク群ぐんは非ひアーベル^[7]無限むげん冪べき零れい群ぐんの例れいである^[8]。
任意にんいの体からだ $F$ 上うえの $n$ -次つぎ冪べき単行たんこう列れつ（英語えいご版ばん）（単たん上うえ三角さんかく行列ぎょうれつ）全体ぜんたいの成なす乗法じょうほう群ぐんは、冪べき零れい度ど $n - 1$ の冪べき零れい（代数だいすう）群ぐん（英語えいご版ばん）である。
$F$ 上うえの $n$ -次つぎ正則せいそく上じょう三角さんかく行列ぎょうれつ全体ぜんたいの成なす乗法じょうほう群ぐんは一般いっぱんには冪べき零れい群ぐんでない（が、可か解かい群ぐんではある）。

用語ようごの説明せつめい[編集へんしゅう]

冪べき零れい群ぐんの名称めいしょうは、それが任意にんいの元もとによる「随伴ずいはん作用さよう」が冪べき零れいとなることによる。つまり、冪べき零れい度ど $n$ の冪べき零れい群ぐんに対たいして、その元もと $g$ の定さだめる作用さよう

\operatorname {ad} _{g}\colon G\to G;\;x\mapsto \operatorname {ad} _{g}(x):=[g,x]

が

g, x

に依よらず

n

回かい反復はんぷく合成ごうせいで自明じめいとなる（ここで、

[g, x] ≔ g -1 x -1 gx

は

g, x

の交換こうかん子こである）。

これは冪べき零れい群ぐんを定義ていぎ可能かのうな特徴とくちょうづけとはなっていない。実際じっさい、（既すでにみたように冪べき零れい度ど $n$ の）随伴ずいはん作用素さようそ $ad g$ 全体ぜんたいの成なす群ぐんは $n$ -次つぎエンゲル群ぐん（英語えいご版ばん）^{[注釈ちゅうしゃく 2]}と呼よばれ、一般いっぱんには冪べき零れい群ぐんでない。位い数すう有限ゆうげんならば冪べき零れいであることが示しめされ、有限ゆうげん生成せいせいならば冪べき零れいであろうと予想よそうされている。

アーベル群ぐんはちょうど、そのような群ぐんで随伴ずいはん作用さようが冪べき零れいでも自明じめいでもないもの（ $1$ -次じエンゲル群ぐん）になっている。

性質せいしつ[編集へんしゅう]

昇のぼり中心ちゅうしん列れつの連続れんぞくする部分ぶぶん群ぐんによる各かく剰余じょうよ群ぐん $Z i +1 / Z i$ はアーベル群ぐんであり、かつ列れつは有限ゆうげんであるから、任意にんいの冪べき零れい群ぐんは比較的ひかくてき単純たんじゅんな構造こうぞうを持もつ可か解かい群ぐんである。

冪べき零れい度ど $n$ の冪べき零れい群ぐんの任意にんいの部分ぶぶん群ぐんは、冪べき零れい度ど高だか々 $n$ である^[9]。加くわえて、 $f$ が冪べき零れい度ど $n$ の冪べき零れい群ぐん上じょうの準じゅん同型どうけいならば、 $f$ の像ぞうは冪べき零れい度ど高だか々 $n$ の冪べき零れい群ぐんになる^[9]。

有限ゆうげん群ぐんに対たいして以下いかは同値どうち^[10]であり、冪べき零れい性せいの有効ゆうこう性せいが顕あらわわになる:

(a) $G$ は冪べき零れい群ぐんである。
(b) 正規せいき化か性質せいしつ: $H$ が $G$ の真しんの部分ぶぶん群ぐんならば、 $H$ は（ $H$ の $G$ における）正規せいき化か群ぐん $N G$ の真しんの正規せいき部分ぶぶん群ぐんになる。
(c) $G$ の任意にんいのシロー部分ぶぶん群ぐんは正規せいき部分ぶぶん群ぐんである。
(d) $G$ はそのシロー部分ぶぶん群ぐんの直積ちょくせきである。

証明しょうめい

(a) → (b)

$G$ がアーベル群ぐんならば、任意にんいの $H$ に対たいして $N G (H) = G$ であるからよい。そうでないとき、中心ちゅうしん $Z (G)$ が $H$ を含ふくまないならば、 $h Z \cdot H -1 Z h -1 = hHh -1 = H$ であるから、 $H\cdotZ (G)$ は $H$ を正規せいき化かする。

以下いか、それ以外いがいのときについて $G$ の位い数すう $| G |$ に関かんする帰納きのう法ほうで示しめす。 $Z (G)$ が $H$ を含ふくむならば $H / Z (G)$ は $G / Z (G)$ に含ふくまれる。 $G / Z (G)$ が冪べき零れいであることに注意ちゅういせよ。したがって、帰納きのう法ほうの仮定かていにより、 $G / Z (G)$ の部分ぶぶん群ぐんで $H / Z (G)$ の正規せいき化か群ぐんであるものが存在そんざいし、 $H / Z (G)$ はその真しんの部分ぶぶん群ぐんとなる。それにより、その部分ぶぶん群ぐんを $G$ の部分ぶぶん群ぐんに引ひき戻もどせば、それは $H$ を正規せいき化かする^{[注釈ちゅうしゃく 3]}。

(b) → (c)

$G$ の任意にんいのシロー部分ぶぶん群ぐんを $P$ とし、 $N = N G (P)$ と置おく。 $P$ は $N$ の正規せいき部分ぶぶん群ぐんであるから、 $P$ は $N$ の特性とくせい部分ぶぶん群ぐん $char N$ である。 $P = char N$ かつ $N$ は $N G (N)$ の正規せいき部分ぶぶん群ぐんであるから、 $P$ は $N G (N)$ の正規せいき部分ぶぶん群ぐんとなる。これは $N G (N)$ が $N$ の部分ぶぶん群ぐんであることを意味いみするから、 $N G (N) = N$ であり、(b) により $N = G$ でなければならず、それは (c) ということである。

(c) → (d)

$G$ の位い数すうを割わり切きる相そう異ことなる素数そすうを $p 1, p 2, \dots, p s$ とし、部分ぶぶん群ぐん $P i$ はそれぞれシロー $p i$ -部分ぶぶん群ぐんに含ふくまれるとする。任意にんいの $t$ に対たいし、帰納的きのうてきに $P 1 \cdot P 2 \dots P t$ が $P 1 \times P 2 \times \dots \times P t$ に同型どうけいであることが示しめせる。実際じっさい、まず各かく $P i$ が $G$ の正規せいき部分ぶぶん群ぐんであるという仮定かていに注意ちゅういすれば、積せき集合しゅうごう $P 1 \cdot P 2 \dots P t$ は $G$ の部分ぶぶん群ぐんである。 $H ≔ P 1 \cdot P 2 \dots P t -1$ および $K ≔ P t$ とすれば、帰納きのう法ほうの仮定かていにより $H$ は直積ちょくせき群ぐん $P 1 \times P 2 \times \dots \times P t -1$ に同型どうけいで、特とくに $| H | = | P 1 |\cdot| P 2 | \dots | P t -1 |$ が成なり立たつ。 $| K | = | P t |$ であったから、 $H, K$ の位い数すうは互たがいに素そであり、ラグランジュの定理ていりによって $H, K$ の交まじわりは自明じめい群ぐん ${1}$ 、したがって $HK ≅ H \times K$ だが、これは作つくり方かたから $P 1 \cdot P 2 \dots P t = HK ≅ H \times K = P 1 \times P 2 \times \dots \times P t$ であり、帰納きのう法ほうは完成かんせいする。 $t = s$ と取とって (d) を得える。

(d) → (a)

$Z (P 1 \times P 2 \times \dots \times P s)$ が $Z (P 1) \times \dots \times Z (P s)$ に同型どうけい、したがって $G / Z (G) = (P 1 / Z (P 1)) \times \dots \times (P s / Z (P s))$ となることを見みるのは易やさしい。ゆえに (d) の仮定かていは $G / Z (G)$ についても成なり立たつ。 $P i \neq 1$ ならば $Z (P i) \neq 1$ であるから、 $G \neq 1$ ならば $| G / Z (G)|$ は $| G |$ より小ちいさく、帰納きのう法ほうの仮定かていにより $G / Z (G)$ は冪べき零れい、したがって $G$ は冪べき零れいとなる。

最後さいごの性質せいしつ (d) は無限むげん群ぐんの場合ばあいにも拡張かくちょうすることができる:

命題めいだい: $G$ が冪べき零れい群ぐんならば、 $G$ の任意にんいのシロー $p$ -部分ぶぶん群ぐん $G p$ は正規せいきであり、それらシロー部分ぶぶん群ぐんの直積ちょくせきは $G$ における位くらい数すう有限ゆうげんな元もと全体ぜんたいの成なす部分ぶぶん群ぐんに一致いっちする。

冪べき零れい群ぐんの性質せいしつの多おおくは超ちょう中心ちゅうしん群ぐん（英語えいご版ばん）と共通きょうつうしている。

注ちゅう[編集へんしゅう]

注釈ちゅうしゃく[編集へんしゅう]

^ 冪べき零れい度ど高だか々 $m$ の冪べき零れい群ぐんを、nil- $m$ group（ $m$ -乗じょう零れい群ぐん）と呼よぶこともある
^ この呼よび名なに関かんして、冪べき零れいリー環たまきの表現ひょうげんに関かんするエンゲルの定理ていりを想起そうきせよ
^ これは $p$ -群ぐんに対たいするのと同おなじ論法ろんぽう—単たんに $G$ と $G / Z (G)$ がともに冪べき零れいとなるという事実じじつだけあればよい—ゆえ、詳細しょうさいは省略しょうりゃくする

出典しゅってん[編集へんしゅう]

^ Dixon, M. R.; Kirichenko, V. V.; Kurdachenko, L. A.; Otal, J.; Semko, N. N.; Shemetkov, L. A.; Subbotin, I. Ya. (2012). “S. N. Chernikov and the development of infinite group theory”. Algebra and Discrete Mathematics 13 (2): 169–208.
^ ^a ^b Suprunenko 1976, p. 205.
^ Tabachnikova & Smith 2000, p. 169.
^ Hungerford 1974, p. 100.
^ Zassenhaus 1999, p. 143.
^ Zassenhaus 1999, p. 143, Theorem 11.
^ von Haeseler 2002, p. 15.
^ Palmer 1994, p. 1283.
^ ^a ^b Bechtell 1971, p. 51, Theorem 5.1.3.
^ Isaacs 2008, Thm. 1.26.

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

Bechtell, Homer (1971). The theory of groups. Addison-Wesley
Hungerford, Thomas Gordon (1974). Algebra. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9
Isaacs, I. Martin (2008). Finite group theory. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4344-3
Palmer, Theodore W. (1994). Banach algebras and the general theory of *-algebras. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36638-0
Suprunenko, D. A. (1976). Matrix Groups. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1341-2
Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Topics in Group Theory. Springer Undergraduate Mathematics Series. Berlin: Springer. ISBN 1-85233-235-2
von Haeseler, Friedrich (2002). Automatic Sequences. De Gruyter Expositions in Mathematics. 36. Berlin: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015629-6
Zassenhaus, Hans (1999). The theory of groups. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-40922-8

外部がいぶリンク[編集へんしゅう]

Renze, John. "Nilpotent Group". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
nilpotent group in nLab
nilpotent group - PlanetMath.（英語えいご）
Shmel'kin, A.L. (2001), “Nilpotent group”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[2] 冪べき零れい度ど高だか々 $m$ の冪べき零れい群ぐんを、nil- $m$ group（ $m$ -乗じょう零れい群ぐん）と呼よぶこともある

[10] この呼よび名なに関かんして、冪べき零れいリー環たまきの表現ひょうげんに関かんするエンゲルの定理ていりを想起そうきせよ

[13] これは $p$ -群ぐんに対たいするのと同おなじ論法ろんぽう—単たんに $G$ と $G / Z (G)$ がともに冪べき零れいとなるという事実じじつだけあればよい—ゆえ、詳細しょうさいは省略しょうりゃくする

[Dixon-1] Dixon, M. R.; Kirichenko, V. V.; Kurdachenko, L. A.; Otal, J.; Semko, N. N.; Shemetkov, L. A.; Subbotin, I. Ya. (2012). “S. N. Chernikov and the development of infinite group theory”. Algebra and Discrete Mathematics 13 (2): 169–208.

[FOOTNOTESuprunenko1976205-3] Suprunenko 1976, p. 205.

[FOOTNOTETabachnikovaSmith2000169-4] Tabachnikova & Smith 2000, p. 169.

[FOOTNOTEHungerford1974100-5] Hungerford 1974, p. 100.

[FOOTNOTEZassenhaus1999143-6] Zassenhaus 1999, p. 143.

[FOOTNOTEZassenhaus1999143Theorem_11-7] Zassenhaus 1999, p. 143, Theorem 11.

[FOOTNOTEvon_Haeseler200215-8] von Haeseler 2002, p. 15.

[FOOTNOTEPalmer19941283-9] Palmer 1994, p. 1283.

[FOOTNOTEBechtell197151Theorem_5.1.3-11] Bechtell 1971, p. 51, Theorem 5.1.3.

[FOOTNOTEIsaacs2008Thm._1.26-12] Isaacs 2008, Thm. 1.26.

[1]

[注釈ちゅうしゃく 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[注釈ちゅうしゃく 2]

[9]

[10]

[注釈ちゅうしゃく 3]