部分ぶぶん群ぐん

群ぐん G の部分ぶぶん集合しゅうごう H が G の部分ぶぶん群ぐん（英えい: subgroup）であるとは、 H が G の演算えんざんに関かんして群ぐんになることである——より正確せいかくに表現ひょうげんすると、 H が G の部分ぶぶん群ぐんであるとは、G 上うえの演算えんざんを制限せいげんして得えられる H 上うえの演算えんざんに関かんして H が群ぐんになることである。この関係かんけいは通常つうじょう、

$H\leq G$

という記号きごうで表現ひょうげんされ、「 H は G の部分ぶぶん群ぐんである」と読よむ。

G の真ま部分ぶぶん群ぐん（英えい: proper subgroup）とは、部分ぶぶん群ぐん H が G の真ま部分ぶぶん集合しゅうごうである（つまり H ≠ G である）ことであり、この関係かんけいは H < G という記号きごうで表現ひょうげんされる。任意にんいの群ぐん G に対たいし、G 自身じしんと単位たんい元もとのみからなる集合しゅうごう {e} は常つねに G の部分ぶぶん群ぐんである。 H が G の部分ぶぶん群ぐんであるとき、 G は H の拡大かくだい群ぐんであると表現ひょうげんする場合ばあいがある。

G が任意にんいの半はん群ぐんであるときも、G の部分ぶぶん群ぐんの定義ていぎはそのまま通用つうようするが、本ほん項こうでは群ぐんの部分ぶぶん群ぐんについてのみを扱あつかうにとどめる。群ぐん G は順序じゅんじょ対たい (G, ∗) として記述きじゅつされることもあるが、このように書かくのは普通ふつう、G を台だいとなる集合しゅうごうとしてその上うえに演算えんざん "∗" が代数だいすう的てき構造こうぞう（あるいはもっとほかの構造こうぞう）を定さだめるということを強調きょうちょうするためである。

以下いかでは、通常つうじょうの慣習かんしゅうに倣ならって ∗ を省略しょうりゃくし、積せき a ∗ b を単たんに ab と表記ひょうきする。また、群ぐんの演算えんざんを単たんに「積せき」と表記ひょうきする場合ばあいもある。

部分ぶぶん群ぐんの基本きほん的てきな性質せいしつ

• H が群ぐん G の部分ぶぶん群ぐんであるということは、 H が空そら集合しゅうごうではなく、演算えんざんと逆ぎゃく元もとに対たいして閉とじているということを意味いみする（「閉とじている」というのは「 H に含ふくまれる任意にんいの元もと a および b について、 ab および a⁻¹ も H に含ふくまれる」ということである。なおこの2つの条件じょうけんは、同値どうちな1つの条件じょうけんにまとめることができる。「 H に含ふくまれる任意にんいの元もと a および b について、 ab⁻¹ も H に含ふくまれる」という条件じょうけんである）。 H が有限ゆうげん集合しゅうごうの場合ばあい、 H が部分ぶぶん群ぐんであるということは、 H が空そら集合しゅうごうでなく、積せきに関かんして閉とじているということと同値どうちである（この場合ばあい、 H の任意にんいの元もとは、 H の有限ゆうげん巡回じゅんかい部分ぶぶん群ぐんを生成せいせいする。そして a の逆ぎゃく元もとは、 a の位い数すうが n ならば a⁻¹ = a^{n − 1} となる）。
• 上記じょうきの条件じょうけんは準じゅん同型どうけいの言葉ことばで書かき換かえることができる。つまり H が G の部分ぶぶん群ぐんとなる必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、H が G の部分ぶぶん集合しゅうごうで、H から G への包含ほうがん写像しゃぞう（任意にんいの a ∈ H に対たいして i(a) = a となる写像しゃぞう）が準じゅん同型どうけいを与あたえることである。
• 部分ぶぶん群ぐんの単位たんい元もとは群ぐんの単位たんい元もとと等ひとしい。つまり、G が e_G を単位たんい元もととする群ぐんで、H が e_H とする G の部分ぶぶん群ぐんならば e_H = e_G でなければならない。
• 部分ぶぶん群ぐんのある元もとの逆ぎゃく元もとは、もとの群ぐんにおけるその元もとの逆ぎゃく元もとと等ひとしい。つまり H が群ぐん G の部分ぶぶん群ぐんであり、a, b が H の元もとで ab = ba = e_H を満みたすならば ab = ba = e_G が成なり立たつ。
• 部分ぶぶん群ぐん A と B の共通きょうつう部分ぶぶんはまた部分ぶぶん群ぐんになる。一方いっぽう、部分ぶぶん群ぐん A と B の和わ集合しゅうごうが部分ぶぶん群ぐんになるのは、 A と B の一方いっぽうが他方たほうを包含ほうがんしている場合ばあいのみに限かぎられる。たとえば、2 と 3 はともに加法かほう群ぐんとしての 2Z と 3Z の和わ集合しゅうごうに含ふくまれるが、それらの和やわである 5 はこの和わ集合しゅうごうには属ぞくさない。別べつの例れいでは、平面へいめん上じょうのX軸じくとY軸じく（加法かほうについて考かんがえる）がある。それぞれは部分ぶぶん群ぐんをなすが、それらの和わ集合しゅうごうは部分ぶぶん群ぐんにならない。ついでながら、これら二ふたつの部分ぶぶん群ぐんの共通きょうつう部分ぶぶんは、単位たんい元もとである原点げんてんのみの部分ぶぶん群ぐんとなる。
• S が G の部分ぶぶん集合しゅうごうならば S を含ふくむ最小さいしょうの部分ぶぶん群ぐんが存在そんざいする。これは S を含ふくむ部分ぶぶん群ぐんすべての共通きょうつう部分ぶぶんをとることによって求もとめられる。これを記号きごう ⟨S⟩ で表あらわし、「 S から生成せいせいされる部分ぶぶん群ぐん」とよぶ。 G のある元もとが ⟨S⟩ に含ふくまれるという事ことは、その元もとは S の元もとおよび S の元もとの逆ぎゃく元もとの有限ゆうげん個この積せきで表あらわされるという事ことである。
• G の任意にんいの元もと a は巡回じゅんかい群ぐん ⟨a⟩ を生成せいせいする。 ⟨a⟩ が適当てきとうな正せいの整数せいすう n に対たいする Z/nZ と同型どうけいであるならば、n は aⁿ = e を満みたす最小さいしょうの正せい整数せいすうである。この n を a の位い数すう (order) という。もし ⟨a⟩ が Z と同型どうけいならば、 a は無限むげん位い数すうを持もつ、あるいは a の位い数すうは無限むげん大だいであるという。
• 与あたえられた群ぐんの部分ぶぶん群ぐん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうは、包含ほうがん関係かんけいに関かんして完備かんび束たばになる。これを部分ぶぶん群ぐんの束たばと言いう（この束たばの下限かげんは通常つうじょうの集合しゅうごう論ろん的てきな意味いみでの共通きょうつう部分ぶぶんだが、上限じょうげんは集合しゅうごう論ろん的てきな意味いみでの和わ集合しゅうごうではなく、それから生成せいせいされる部分ぶぶん群ぐんである）。G の単位たんい元もとを e と書かけば、単位たんい群ぐん {e} が G の最小さいしょうの部分ぶぶん群ぐんであり、また最大さいだいの部分ぶぶん群ぐんは G そのものである。

例れい

可か換かわ群ぐん G をその元もとが

$G=\{0,2,4,6,1,3,5,7\}$

で与あたえられ、8を法ほうとする加法かほうを群ぐん演算えんざんとするものとする。その乗の積せき表ひょうは以下いかのようになる。

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

この群ぐんは、二ふたつの自明じめいでない群ぐんを持もつ。 J = {0, 4} および H = {0, 2, 4, 6} である。 J はまた H の部分ぶぶん群ぐんにもなっている。 H の群ぐん表ひょうは、 G の群ぐん表ひょうの左上ひだりうえ1/4の部分ぶぶんである。 G は巡回じゅんかい群ぐんであり、また部分ぶぶん群ぐんも巡回じゅんかい群ぐんである。一般いっぱんに、巡回じゅんかい群ぐんの部分ぶぶん群ぐんはやはり巡回じゅんかい群ぐんになる。

剰余じょうよ類るいとラグランジュの定理ていり

群ぐん G に関かんし、部分ぶぶん群ぐん H と元もと a が与あたえられたとする。このとき左ひだり剰余じょうよ類るいをこのように定義ていぎする： aH = { ah : h ∈ H } 。 a は可逆かぎゃく元もとであるため、 φふぁい(h) = ah で与あたえられる写像しゃぞう φふぁい : H → aH は全ぜん単たん射しゃである。さらに、 G の任意にんいの元もとは、 H の左ひだり剰余じょうよ類るいのどれか1個いっこのみに含ふくまれる。H に関かんする左ひだり剰余じょうよ類るいは、「 a₁ ∼ a₂ となるのは a₁⁻¹a₂ が H に属ぞくするとき、かつそのときに限かぎる」という同値どうち関係かんけいから定さだまる同値どうち類るいである。H の左ひだり剰余じょうよ類るいの個数こすうを、 G における H の指数しすうと言いい、 [G : H] で表あらわす。

ラグランジュの定理ていりにより、有限ゆうげん群ぐん G とその部分ぶぶん群ぐん H について以下いかのことが言いえる。

$[G:H]={|G| \over |H|}$

|G| と |H| はそれぞれ G と H の位い数すうを表あらわす。特とくに、 G の任意にんいの部分ぶぶん群ぐんの位い数すう（および G の任意にんいの元もとの位い数すう）は、 |G| の約数やくすうである。

右みぎ剰余じょうよ類るいも同様どうようにして定義ていぎできる。: Ha = { ha : h ∈ H } 。これもまた、適切てきせつな同値どうち関係かんけいを適用てきようする事ことによって同値どうち類るいになる。その個数こすうは [G : H] である。

G に含ふくまれるすべての a について aH = Ha であるとき、 H を正規せいき部分ぶぶん群ぐんと言いう。指数しすう 2 の部分ぶぶん群ぐんは必かならず正規せいき部分ぶぶん群ぐんである（実際じっさい、部分ぶぶん群ぐん H の指数しすうが 2 であるということは、H に関かんする左ひだり剰余じょうよ類るいの全体ぜんたいも右みぎ剰余じょうよ類るいの全体ぜんたいもともに、部分ぶぶん群ぐん H とその補ほ集合しゅうごうで尽つくされる）。より一般いっぱんに、有限ゆうげん群ぐん G の位い数すうの約数やくすうの最小さいしょうの素数そすう p に対たいして、指数しすう p の部分ぶぶん群ぐんは（存在そんざいすれば）正規せいきである。

参考さんこう文献ぶんけん

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 .

関連かんれん項目こうもく

• 正規せいき部分ぶぶん群ぐん
• カルタン部分ぶぶん群ぐん
• フィッティング部分ぶぶん群ぐん
• 安定あんてい部分ぶぶん群ぐん