自己じこ同型どうけい

数学すうがくにおいて自己じこ同型どうけい（じこどうけい、英えい: automorphism）とは、数学すうがく的てき対象たいしょうから自分じぶん自身じしんへの同型どうけい射しゃのことを言いう。ある解釈かいしゃくにおいては、構造こうぞうを保たもちながら対象たいしょうをそれ自身じしんへと写像しゃぞうする方法ほうほうのことで、その対象たいしょうの対称たいしょう性せいを表あらわしていると言いえる。対象たいしょうの全すべての自己じこ同型どうけいの集合しゅうごうは群ぐんを成なし、自己じこ同型どうけい群ぐん(automorphism group)と呼よばれる。大おおまかにいえば、自己じこ同型どうけいは、対象たいしょうの対称たいしょう群ぐんである。

定義ていぎ

自己じこ同型どうけいの正確せいかくな定義ていぎは「数学すうがく的てき対象たいしょう」の種類しゅるいや、その対象たいしょう上じょうの「同型どうけい射しゃ」の定義ていぎによって変化へんかする。「自己じこ同型どうけい」という言葉ことばが意味いみを持もつ最もっとも一般いっぱん性せいの高たかい領域りょういきは圏けん論ろんと呼よばれる数学すうがくの抽象ちゅうしょう的てきな分野ぶんやである。圏けんは、抽象ちゅうしょう的てきな対象たいしょう(object)とそれらの対象たいしょうの間あいだの射い(morphism)を扱あつかう。圏けん論ろんにおいては、（圏けん論ろん的てきな意味いみで）同型どうけいでもあるような自己じこ準じゅん同型どうけい（つまり、対象たいしょうから対象たいしょう自身じしんへの射しゃである）である。

圏けん論ろんでは、射いは函数かんすうである必要ひつようもないし、対象たいしょうは集合しゅうごうである必要ひつようもないので、この定義ていぎは非常ひじょうに抽象ちゅうしょう的てきな定義ていぎである。しかし、より具体ぐたい的てきな設定せっていでは、対象たいしょうはある加法かほう構造こうぞうを持もつであろうし、射いはこの構造こうぞうを保たもつであろう。 抽象ちゅうしょう代だい数学すうがくの文脈ぶんみゃくでは、「数学すうがく的てき対象たいしょう」とは例たとえば、群ぐん、環たまき、ベクトル空間くうかんといった代数だいすう的てき構造こうぞうである。この場合ばあいは、同型どうけいは単たんに全ぜん単たん射しゃな準じゅん同型どうけいである。（準じゅん同型どうけいの定義ていぎは代数だいすう構造こうぞうの種類しゅるいに依存いぞんする、例たとえば、群ぐん準じゅん同型どうけい、環たまき準じゅん同型どうけい、線型せんけい作用素さようそを参照さんしょう。）

恒等こうとう射しゃは自明じめいな自己じこ同型どうけい(trivial automorphism)と呼よばれることもある。他たの（恒等こうとう射しゃではない）自己じこ同型どうけいは非ひ自明じめいな自己じこ同型どうけい(nontrivial automorphisms)と呼よばれる。

自己じこ同型どうけい群ぐん

対象たいしょう X の自己じこ同型どうけい全体ぜんたいが（真しんのクラスではなく）集合しゅうごうをなす場合ばあい、この集合しゅうごうは写像しゃぞうの合成ごうせいの下したに群ぐんをなす。この群ぐんを X の自己じこ同型どうけい群ぐんと呼よぶ。これが群ぐんをなすことは、以下いかのことから簡単かんたんに確認かくにんできる。

• 閉性(Closure)：2つの自己じこ準じゅん同型どうけいの合成ごうせいは再ふたたび自己じこ準じゅん同型どうけいとなる。
• 結合けつごう法則ほうそく(Associativity)： 射いの合成ごうせいは常つねに結合けつごう的てきである。
• 単位たんい元もと(Identity)： 対象たいしょうからそれ自身じしんへの恒等こうとう写像しゃぞうは単位たんい元もととなる。
• 逆ぎゃく元もと(Inverses)： 定義ていぎより、全すべての同型どうけいは逆ぎゃく写像しゃぞうを持もつ。その逆ぎゃく写像しゃぞうも同型どうけいであり、また自己じこ準じゅん同型どうけいでもあるため、それは自己じこ同型どうけいとなる。

圏けん C の対象たいしょう X の自己じこ同型どうけい群ぐんは、Aut_C(X) あるいは、圏けんが前後ぜんご関係かんけいより明あきらかな場合ばあいは、単たんに Aut(X) と書かく。

例れい

• 集合しゅうごう論ろんでは、集合しゅうごう X 上うえの任意にんいの置換ちかんは、自己じこ同型どうけいである。X の自己じこ同型どうけい群ぐんは、X の対称たいしょう群ぐんとも呼よばれる。
• 初等しょとう的てきな算術さんじゅつ(elementary arithmetic)では、整数せいすうの集合しゅうごう Z は加法かほうの下したで群ぐんとみることができ、符号ふごうの反転はんてんが唯一ゆいいつの非ひ自明じめいな自己じこ同型どうけいとなる。しかし、環たまきと考かんがえた場合ばあいは自明じめいな自己じこ同型どうけいしか持もたない。一般いっぱん的てきに、符号ふごう反転はんてんは任意にんいのアーベル群ぐん上うえの自己じこ同型どうけいになるが、環たまきや体からだではそうならない。
• 群ぐんの自己じこ同型どうけいは、群ぐんからそれ自身じしんへの群ぐん同型どうけいである。非公式ひこうしきに言いうと、構造こうぞうを変化へんかさせない群ぐん上じょうの置換ちかんである。すべての群ぐん G に対たいして、像ぞうは内部ないぶ自己じこ同型どうけい(inner automorphism)の群ぐん Inn(G) となり、核かくが G の中心ちゅうしんとなるような、自然しぜんな作用さようをもつ準じゅん同型どうけい G → Aut(G) が存在そんざいする。従したがって、G が自明じめいな中心ちゅうしんを持もつならば、G を G 自身じしんの自己じこ同型どうけい群ぐんに埋うめ込こむことができる。

• 線型せんけい代数だいすうでは、ベクトル空間くうかん V の自己じこ準じゅん同型どうけいが、線型せんけい変換へんかん V → V である。自己じこ同型どうけいは V 上うえの可逆かぎゃくな線型せんけい変換へんかんのことである。ベクトル空間くうかんが有限ゆうげん次元じげんのとき、V の自己じこ同型どうけい群ぐんは一般いっぱん線型せんけい群ぐん GL(V) と同おなじになる。
• 体からだの自己じこ同型どうけいは、体からだから自分じぶん自身じしんへの全ぜん単たん射しゃな環たまき準じゅん同型どうけいである。有理数ゆうりすう Q と実数じっすう R の場合ばあいには、非ひ自明じめいな体からだ自己じこ同型どうけいは存在そんざいしない。R が非ひ自明じめいな体からだ自己じこ同型どうけいを持もつとすると、R の全体ぜんたいへの拡大かくだいができない（なぜならば、R は平方根へいほうこんを持もつ数かずの性質せいしつを保たもたなくなるからであるからである）。複素数ふくそすう C の場合ばあいは、R を R の中なかへ移うつす非ひ自明じめいな自己じこ同型どうけいは複素ふくそ共役きょうやくただ一ひとつである。しかし、（選択せんたく公理こうりを前提ぜんていとすると、）無限むげん個こ（非ひ可算かさん個この）「ワイルド」な自己じこ同型どうけいが存在そんざいする。 体からだ自己じこ同型どうけいは体からだの拡大かくだい、特とくにガロア拡大かくだいの理論りろんで重要じゅうようである。ガロア拡大かくだい L/K の場合ばあいには、K を各かく元もとごとに固定こていする L の自己じこ同型どうけい全体ぜんたいの部分ぶぶん群ぐんを拡大かくだいのガロア群ぐんと呼よぶ。
• p-進数しんすうの体からだ Q_p は非ひ自明じめいな自己じこ同型どうけいを持もたない。
• グラフ理論りろんでは、グラフの自己じこ同型どうけい(automorphism of a graph)は、頂点ちょうてんの置換ちかんで隣接りんせつ関係かんけいを保たもつ写像しゃぞうのことを言いう。
• 関係かんけい性せいの自己じこ同型どうけいについては、自己じこ同型どうけいを保存ほぞんする関係かんけい(relation-preserving automorphism)を参照さんしょう。
  • 順序じゅんじょ理論りろん(order theory)については、順序じゅんじょ自己じこ同型どうけい(order automorphism)を参照さんしょう。
• 幾何きか学がくでは、自己じこ同型どうけいは空間くうかんの動うごき(motion)と呼よばれる。下記かきの特別とくべつな意味いみで使つかわれる。
  • 計量けいりょう幾何きか学がく(metric geometry)では、自己じこ同型どうけいは、自己じこ等ひとし長ちょう写像しゃぞうを意味いみする。自己じこ同型どうけい群ぐんは等ひとし長ちょう群ぐん(isometry group)と呼よばれる。
  • リーマン面めんのカテゴリでは、自己じこ同型どうけいは、あるリーマン面めんから自分じぶん自身じしんへの全ぜん単たん射いな双そう正則せいそく(biholomorphic)写像しゃぞうをいう（共きょう形かたち写像しゃぞうとも言いう）。 例たとえば、リーマン球面きゅうめんの自己じこ同型どうけいはメビウス変換へんかんである。
  • 微分びぶん可能かのう多様たよう体たい M の自己じこ同型どうけいは、M からそれ自身じしんへの微分びぶん同相どうしょう写像しゃぞうである。自己じこ同型どうけい群ぐんは Diff(M) と書かく。
  • トポロジーでは、位相いそう空間くうかんの間あいだの準じゅん同型どうけいは、連続れんぞく写像しゃぞうであり、位相いそう空間くうかんの自己じこ同型どうけい群ぐんは、空間くうかんから自分じぶん自身じしんへの同相どうしょう群ぐんである（同相どうしょう群ぐん(homeomorphism group)を参照さんしょう）。この例れいは、全ぜん単たん射しゃが同型どうけいとなることは充分じゅうぶんではないことを示しめしている。

歴史れきし

群ぐんの自己じこ同型どうけいの最初さいしょ期きにおける例れいは、1856年ねんにアイルランドの数学すうがく者しゃウィリアム・ローワン・ハミルトンにより与あたえられた。彼かれは著書ちょしょ「icosian calculus」の中なかで、位くらい数すう 2 の自己じこ同型どうけいを発見はっけんし、次つぎのように書かいている。

従したがって、$\mu$ は 1 の新あらたな5 乗じょう根ねであり、先さきの 5 乗じょう根ね $\lambda$ と完璧かんぺきな相互そうご関係かんけいで結むすばれている。

内部ないぶ自己じこ同型どうけいと外部がいぶ自己じこ同型どうけい

ある種しゅの圏けん、特とくに群ぐん、環たまき、リー代数だいすうでは、自己じこ同型どうけいを「内部ないぶ自己じこ同型どうけい」と「外部がいぶ自己じこ同型どうけい」の 2種類しゅるいに分わけることができる。

群ぐんの場合ばあい、内部ないぶ自己じこ同型どうけい(inner automorphism)は、その群ぐんの元もとによる共役きょうやく作用さようである。群ぐん G の各かく元もと a に対たいし、a による共役きょうやくとは $\varphi _{a}(g)=aga^{-1}$（もしくは、a⁻¹ga 、使つかい道みちにより異ことなる）により与あたえられる作用さよう φふぁい_a : G → G のことである。a による共役きょうやくが群ぐんの自己じこ同型どうけいであることは容易よういに分わかる。内部ないぶ自己じこ同型どうけい全体ぜんたいは Aut(G) の正規せいき部分ぶぶん群ぐんを成なし、これを Inn(G) で表あらわす。これをグルサの補題ほだい(Goursat's lemma)という。

これ以外いがいの自己じこ同型どうけいを外部がいぶ自己じこ同型どうけい(outer automorphism)と呼よぶ。商しょう群ぐん Aut(G) / Inn(G) を普通ふつう、Out(G) で表あらわす。この群ぐんの非ひ自明じめいな元もとは、外部がいぶ自己じこ同型どうけいを含ふくむ剰余じょうよ類るいである。

a が可逆かぎゃく元もとであれば、任意にんいの単位たんい元もとを持もつ環たまきや体からだ上じょうの代数だいすうにおいても同様どうようの定義ていぎが成なり立たつ。リー代数だいすうに対たいしては、定義ていぎは少すこし異ことなる。

関連かんれん項目こうもく

• 自己じこ準じゅん同型どうけい環たまき
• 反はん自己じこ同型どうけい(antiautomorphism)
• フロベニウス自己じこ同型どうけい
• 射い
• 特性とくせい部分ぶぶん群ぐん(characteristic subgroup)

外部がいぶリンク

• Automorphism at Encyclopaedia of Mathematics
• Weisstein, Eric W. "Automorphism". mathworld.wolfram.com (英語えいご).