可か補ほ束たば

可か補ほ束たば（英えい: Complemented lattice）とは、束論そくろんにおいて、0 を最小さいしょう元もと、1 を最大さいだい元もととし、各かく元もと x に補元ほげん y が定義ていぎされ、以下いかが成なり立たつ有界ゆうかい束たばをいう。

$x\wedge y=0$    and    $\quad x\vee y=1.$

一意いちい性せい

一般いっぱんに元もと x は1つ以上いじょうの補元ほげんを持もつ。しかし、全すべての x、y、z について以下いかの分配ぶんぱい法則ほうそくが成なり立たつ「分配ぶんぱい束たば」については、

$x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z),$

各かく元もと x は最大さいだいでも1つしか補元ほげんを持もたない。

この時とき、各かく元もとに対たいしその逆ぎゃく元もとを返かえす関数かんすうは順序じゅんじょを反転はんてんする対たい合ごうになる。すなわち分配ぶんぱい的てきな可か補ほ束たばは直交ちょっこう相補そうほ束たばでもある。

ブール代数だいすうは可か補ほ束たばであり、分配ぶんぱい束たばであるため、逆ぎゃく元もとは必かならず1つだけ存在そんざいする。

直交ちょっこう相補そうほ束たば

有界ゆうかい束たばL上うえに各かく元もとa をその 直交ちょっこう補元ほげん a^⊥ に写うつす写像しゃぞうが与あたえられ

補元ほげん

a^⊥ ∨ a = 1 かつ a^⊥ ∧ a = 0。

対たい合ごう

a^⊥⊥ = a。

順序じゅんじょ保存ほぞん

a ≤ b ならば b^⊥ ≤ a^⊥。

をみたす時とき、Lと ^⊥ の組くみを直交ちょっこう相補そうほ束たばという。

一ひとつの束たばに入はいる直交ちょっこう相補そうほ束たばとしての構造こうぞうは一ひとつとは限かぎらないことに注意ちゅうい(実際じっさい、有限ゆうげん線形せんけい空間くうかんの部分ぶぶん空間くうかんから成なる束たばには内積ないせきに対応たいおうする複数ふくすうの直交ちょっこう相補そうほ束たばとしての構造こうぞうが入はいる)。

直交ちょっこう相補そうほ束たばはブール代数だいすうと同様どうように以下いかのド・モルガンの法則ほうそくをみたす。

• (a ∨ b)^⊥ = a^⊥ ∧ b^⊥
• (a ∧ b)^⊥ = a^⊥ ∨ b^⊥.