普遍ふへん代数だいすう学がく

数学すうがくの一いち分野ぶんやとしての普遍ふへん代数だいすう学がく（ふへんだいすうがく、英えい: Universal algebra）あるいは一般いっぱん代数だいすう学がく（いっぱんだいすうがく、英えい: general algebra）は、構造こうぞうの「モデル」となる例れいについてではなく代数だいすう的てき構造こうぞうそのものについて研究けんきゅうする分野ぶんやである。例たとえば、その研究けんきゅう対象たいしょうとして個々ここの群ぐんを考かんがえるのではなく群論ぐんろんそのものをその研究けんきゅう対象たいしょうとするのである。

基本きほん的てきな考かんがえ方かた

普遍ふへん代数だいすう学がくでいう代数だいすう (algebra)（代数だいすう系けい）あるいは代数だいすう的てき構造こうぞう (algebraic structure) とは、集合しゅうごう A に A 上うえの演算えんざん（算法さんぽう）を合あわせて考かんがえたものを言いう。A 上うえの n-項こう演算えんざんとは、A の n 個この元もとを引数ひきすうに取とり、A の一ひとつの元もとを返かえす写像しゃぞうである。従したがって零れい項こう演算えんざんは単たんに A の元もとのこと、あるいは定数ていすうを意味いみすることになる（これはしばしば a などのラテン小文字こもじで表あらわされる）。単項たんこう演算えんざんは単たんに A から A への写像しゃぞうのことであり、これはその引数ひきすうのまえに ~x のように記号きごうを置おくことでしばしば表あらわされる。二に項こう演算えんざんはしばしば中置ちゅうち記法きほうに従したがって x * y のように引数ひきすうの間あいだに記号きごうを置おく。多た変数へんすう（項こう数すうは不ふ特定とくていでもいい）の場合ばあいには、通常つうじょうの写像しゃぞうの記法きほうに従したがって、引数ひきすうをコンマで区切くぎってパーレンで括くくった f(x,y,z) や f(x₁,...,x_n) のような書かき方かたをする。特定とくていの場面ばめんでは、無限むげん項こう演算えんざんが意味いみを持もつ場合ばあいもあり、適当てきとうな無限むげん添字そえじ集合しゅうごう J を用もちいて $\textstyle \bigwedge _{\alpha \in J}x_{\alpha }$ のような記法きほうが用もちいられることもある（完備かんび束たばの代数だいすう理論りろんなど）。代数だいすうについて言及げんきゅうする一ひとつの方法ほうほうは、どのような型かた Ωおめが の代数だいすうであるかを明示めいじすることである。ここで Ωおめが はその代数だいすうの演算えんざんのアリティ（項こう数すう）を表あらわす自然しぜん数すうの順序じゅんじょ組ぐみである。

等式とうしき系けい

演算えんざんを特定とくていしたあとは、その代数だいすうの内在ないざい的てきな性質せいしつというのは公理系こうりけいによってさらに限局げんきょくされることになるが、普遍ふへん代数だいすう学がくではこういった公理系こうりけいとして等式とうしき（等式とうしき律りつ、等式とうしき法則ほうそく）によって与あたえるのが普通ふつうである。例たとえば、二に項こう演算えんざんに対たいする結合けつごう性せい公理こうりは等式とうしき x * (y * z) = (x * y) * z によって定さだめられる。この公理こうりは集合しゅうごう A の任意にんいの元もと x, y, z に対たいして満みたされることが意図いとされている。

代数だいすうの多様たよう性せい

詳細しょうさいは「バラエティ (普遍ふへん代数だいすう学がく)」を参照さんしょう

等式とうしきによって定義ていぎすることのできる代数だいすう的てき構造こうぞうは、代数だいすう多様たよう性せいとして総称そうしょうされ、普遍ふへん代数だいすう学がくの一いち対象たいしょうとして代数だいすう多様たよう性せいを研究けんきゅうするものもあれば、普遍ふへん代数だいすう学がくの研究けんきゅう対象たいしょうは代数だいすう多様たよう性せいのみ調しらべれば十分じゅうぶんと考かんがえる者ものもある。

代数だいすう多様たよう性せいについて調しらべるための制約せいやくとして除のぞかれるものとして:

• 述語じゅつご論理ろんり、とりわけ普遍ふへん量りょう化か ($\forall$) を含ふくむ量りょう化か。等式とうしきに用もちいることや限定げんてい量りょう化か ($\exists$) はよい。
• 等式とうしきを除のぞく全すべての有限ゆうげん項こう関係かんけい。特とくに非ひ等号とうごう $a\neq b$ と順序じゅんじょを含ふくめた任意にんいの不等式ふとうしき

この狭せまい意味いみでの定義ていぎにおいて普遍ふへん代数だいすう学がくは、典型てんけい的てきには演算えんざんのみをもつ構造こうぞうのみを扱あつかう（型かたは函数かんすうの記号きごうは含ふくむが、等式とうしき以外いがいの関係かんけいの記号きごうは含ふくまない）のであるから、これらの構造こうぞうについて述のべる言葉ことばとしては等式とうしきのみを用もちいるような、モデル理論りろんの特別とくべつな分科ぶんかと考かんがえることができる。

より広ひろい意味いみで代数だいすう的てき構造こうぞうを扱あつかうならば、そのすべてがいま言いったような議論ぎろんの範疇はんちゅうに収おさまることは期待きたいできようはずもなく、例たとえば順序じゅんじょ群ぐんは順序じゅんじょ関係かんけいを含ふくむから、普遍ふへん代数だいすう学がくの主流しゅりゅうとしては研究けんきゅうの対象たいしょうにならない。

より基本きほん的てきな制約せいやくとして、普遍ふへん代数だいすう学がくでは体からだのクラスを研究けんきゅうすることはできない。これは、体からだの公理系こうりけいをすべて等式とうしきとして書かくような型かた（つまり算さん号ごう系けい）が存在そんざいしないことによる（逆ぎゃく元もとの存在そんざいは任意にんいの「非ひ零れい元げん」に対たいして定義ていぎされるから、この反転はんてん演算えんざんを型かたに単純たんじゅんに追加ついかすることができない）。

このような制約せいやくがあることの利点りてんは、普遍ふへん代数だいすう学がくにおいて研究けんきゅうされる構造こうぞうが、有限ゆうげん積せきを持もつ任意にんいの圏けんにおいて定義ていぎできることである。例たとえば、位相いそう群ぐんは位相いそう空間くうかんの圏けんにおける群ぐん（群ぐん対象たいしょう）である。

例れい

数学すうがくにおける通常つうじょうの代数だいすう系けいの大半たいはんは代数だいすう多様たよう性せいの例れいだが、それらの定義ていぎには量りょう化かや不等式ふとうしきが用もちいられていることも普通ふつうなので、確たしかめるのは必かならずしも明あきらかなことではない。

群ぐん

本節ほんぶしでの説明せつめいが実際じっさいにはどのように用もちいられるのかを見みるために、群ぐんの定義ていぎを考かんがえよう。群ぐんの通常つうじょうの定義ていぎは、一ひとつの二に項こう演算えんざん ∗ に対たいする以下いかの公理系こうりけいによって与あたえられる

• 結合けつごう律りつ: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z; （形式けいしき化かすると ∀x,y,z. x ∗ (y ∗ z)=(x ∗ y) ∗ z)。
• 単位たんい律りつ: 元もと e が存在そんざいして任意にんいの元もと x に対たいし e ∗ x = x = x ∗ e が成なり立たつ（形式けいしき化かすると ∃e ∀x. e ∗ x = x = x ∗ e）。
• 反転はんてん律りつ: 単位たんい元もとは明あきらかに唯一ゆいいつであり、この唯一ゆいいつの単位たんい元もと e に対たいして各かく x は x ∗ i = e = i ∗ x を満みたす i を持もつ（形式けいしき化かすると ∀x ∃i. x ∗ i = e = i ∗ x）。

（文献ぶんけんによっては演算えんざんに対たいする「閉性律りつ」と呼よばれる「x ∗ y がまた台たい集合しゅうごう A に属ぞくする」という条件じょうけんを設もうけるものもあるが、普遍ふへん代数だいすう学がくの観点かんてんではこれは既すでに ∗ を二に項こう演算えんざんと呼よんだ時点じてんで含ふくまれている。）

この群ぐんの定義ていぎは普遍ふへん代数だいすう学がくの観点かんてんからは問題もんだいを孕はらむものになっている。それは、単位たんい元もとと逆ぎゃく元もとに関かんする公理こうりにおいて、純粋じゅんすいに等式とうしきのみで与あたえられるのではなくて、「～であるような…が存在そんざいする」といった箇所かしょがあることである。これでは不便ふべんなので、零れい項こう演算えんざん e と単項たんこう演算えんざん ~ を追加ついかして群ぐんの性質せいしつを普遍ふへん量りょう化かされた等式とうしきのみで書かき表あらわそう。そうすれば、公理系こうりけいは演算えんざんに対たいする以下いかの条件じょうけん

• 結合けつごう性せい: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.
• 単位たんい律りつ: e ∗ x = x = x ∗ e; （形式けいしき化かすると ∀x. e ∗ x = x = x ∗ e）.
• 反転はんてん律りつ: x ∗ (~x) = e = (~x) ∗ x. （形式けいしき化かすると ∀x. x ∗ ~x = e = ~x ∗ x）.

（もちろん ~x と書かく代かわりに通常つうじょうの通とおり "x⁻¹" と書かいてもいい。これから分わかるのは小ちいさなアリティの演算えんざんの記法きほうはいつも第だい二に段落だんらくのような形かたちであるとは限かぎらないということ。）

普通ふつうの定義ていぎと何なにが変かわったか並ならべると、

• 一ひとつの二に項こう演算えんざん（算さん号ごう系けいが (2) で与あたえられる）
• 一ひとつの等式とうしき法則ほうそく（結合けつごう律りつ）
• 二ふたつの量りょう化かされた法則ほうそく（単位たんい律りつと反転はんてん律りつ）

だったものが、普遍ふへん代数だいすう学がく的てきな定義ていぎでは

• 三みっつの演算えんざん: 一ひとつは二に項こう、一ひとつは単項たんこう、一ひとつは零れい項こう（算さん号ごう系けいは (2,1,0) で与あたえられる）
• 三みっつの等式とうしき法則ほうそく（結合けつごう律りつ、単位たんい律りつ、反転はんてん律りつ）
• 量りょう化かされた法則ほうそくは無むし（変数へんすうに対たいする普遍ふへん量りょう化かは対象たいしょう外がい）

になっている。

これでちゃんと群ぐんの定義ていぎが表あらわせているのかということをチェックするのは重要じゅうようなことである。普遍ふへん代数だいすう学がく的てきな意味いみでの群ぐんを一ひとつとってきたときに、通常つうじょうの意味いみでの群ぐんとして取とってきたときよりも多おおくの情報じょうほうが出でてくるというようなことはあってはならない。通常つうじょうの定義ていぎにおいて単位たんい元もと e が一意いちいであると断ことわっている（一意いちいでなく他ほかの単位たんい元もと e′ が存在そんざいするなら零れい項こう演算えんざん e の値ねであるところの元もとと紛まぎらわしい）ことについて、普遍ふへん代数だいすう学がく的てきな定義ていぎでは何なにも言いっていないが、特段とくだん断ことわらずとも一意いちい性せいが出でることは古典こてん的てきな群論ぐんろんの教科書きょうかしょにおける初歩しょほ的てきな練習れんしゅう問題もんだいになるようなことなので、問題もんだいでない。逆ぎゃく元もとについても同様どうようである。故ゆえに、群ぐんの普遍ふへん代数だいすう学がく的てきな定義ていぎは通常つうじょうの定義ていぎと同おなじものになる。

一見いっけんすると、量りょう化かされた法則ほうそくを等式とうしき律りつに書かき換かえることは単たんに形かたちだけの違ちがいにも思おもえるが、しかしこれは極きわめて実利じつり的てきな結果けっかである（圏けん論ろんにおいて群ぐん対象たいしょうを定義ていぎしようとするとき、考かんがえている圏けんの対象たいしょうが集合しゅうごうでない場合ばあいには、それが元もとを持もつわけではないために、量りょう化かされた法則ほうそくが意味いみを成なさないということも起おこり得える。そこで一般いっぱんの圏けんで意味いみを持もつ性質せいしつとしての等式とうしき法則ほうそくを使つかわなければならない）。さらに言いえば、普遍ふへん代数だいすう学がくの観点かんてんは逆ぎゃく元もとや単位たんい元もとが存在そんざいすることのみならず、それが圏けんの射しゃであることまで主張しゅちょうするのである。基本きほん的てきな例れいである位相いそう群ぐんでは、逆ぎゃく元もとは各かく元もとに対たいして存在そんざいすることのみならず、逆ぎゃく元もとを対応たいおうさせる反転はんてん写像しゃぞうが連続れんぞく写像しゃぞうとなることを要求ようきゅうする（文献ぶんけんによっては単位たんい元もとについても、零れい項こう演算えんざんとしてそれが閉包へいほう含写像ぞうしたがって余よファイブレーションとなることを要求ようきゅうする。これもまた位相いそう空間くうかんの圏けんでの射いの性質せいしつとして言及げんきゅうできるものである）。

基本きほん的てきな構成こうせい法ほう

型かた Ωおめが はいま固定こていして考かんがえるものとする。このとき三さん種類しゅるいの基本きほん的てきな構成こうせい、準じゅん同型どうけい像ぞう、部分ぶぶん代数だいすう、直積ちょくせき（あるいは積せき）について述のべる。

二ふたつの代数だいすう A, B の間あいだの準じゅん同型どうけいとは A から B への写像しゃぞう h: A → B であって、A の任意にんいの演算えんざん f_A に対たいして対応たいおうする（アリティ n が等ひとしい）B の演算えんざん f_B が存在そんざいして h(f_A(x₁,...,x_n)) = f_B(h(x₁),...,h(x_n)) を満みたすことを言いう（文脈ぶんみゃくから明あきらかならば添字そえじの類るいいはしばしば省略しょうりゃくする）。例たとえば e が定数ていすう（零れい項こう演算えんざん）ならば h(e_A) = e_B が成なり立たつということであり、単項たんこう演算えんざん ~ については h(~x) = ~h(x) が成なり立たつということであり、二に項こう演算えんざん ∗ ならば h(x ∗ y) = h(x) ∗ h(y) が成立せいりつするということであり、それ以上いじょうのアリティでも同様どうようである。準じゅん同型どうけいについて述のべるべきことは、準じゅん同型どうけいの項目こうもくに書かかれているような特定とくていの種類しゅるいの準じゅん同型どうけい同様どうように、それほどない。特とくに、代数だいすうの準じゅん同型どうけい像ぞう h(A) は同種どうしゅの代数だいすうになる。

A の部分ぶぶん代数だいすうとは A の部分ぶぶん集合しゅうごうであって A の全すべての演算えんざんの下したで閉とじているものを言いう。また代数だいすう的てき構造こうぞうの適当てきとうな集合しゅうごうの積せきはそれら集合しゅうごうのデカルト積つもるに成分せいぶんごとの演算えんざんを定義ていぎしたものである。

幾いくつかの基本きほん定理ていり

• 同型どうけい定理ていりは、群ぐん、環たまき、加か群ぐんなどに対たいする同型どうけい定理ていりを包括ほうかつするものである。
• バーコフのHSP定理ていりは代数だいすうのクラスが代数だいすう多様たよう性せいであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんが、それが準じゅん同型どうけい像ぞう、部分ぶぶん代数だいすう、任意にんい直積ちょくせきに関かんして閉とじていることであることを述のべる。

動機どうき付づけと応用おうよう

手法しゅほうが一貫いっかんしていることに加くわえて、普遍ふへん代数だいすう学がくは深ふかい定理ていりや重要じゅうような例れいや反例はんれいも与あたえてくれる。つまり、新あたらしい代数だいすうのクラスを研究けんきゅうし始はじめるのに際さいして有力ゆうりょくな枠組わくぐみを提供ていきょうするのである。特定とくていの代数だいすうのクラスに対たいして発明はつめいされた方法ほうほうを、普遍ふへん代数だいすう学がくにおける言葉ことばで書かいておいて、それぞれのクラスにおける言葉ことばとして解釈かいしゃくすれば、他たの代数だいすうのクラスにも適用てきようするということができる。概念的がいねんてきな分類ぶんるいということも可能かのうである（J.D.H. Smith が言いったように「特定とくていの枠組わくぐみでは乱雑らんざつで複雑ふくざつに見みえることも、真しんに一般いっぱんの立場たちばから見みれば単純たんじゅんなものとなる」）。

特とくに普遍ふへん代数だいすう学がくはモノイドや環たまきあるいは束たばの研究けんきゅうに応用おうようすることができる。普遍ふへん代数だいすう学がく以前いぜんにもさまざまな定理ていり（最もっとも顕著けんちょなものは同型どうけい定理ていり）がそれぞれの分野ぶんやにおいて個別こべつに証明しょうめいされてきたけれども、普遍ふへん代数だいすう学がくを用もちいればそれらは一いち度どに他たの任意にんいの代数だいすう系けいに対たいしても証明しょうめいできてしまう。

ヒギンズは (Higgins 1956) において特定とくていの代数だいすう系けいの範囲はんいに対たいする枠組わくぐみをよく追及ついきゅうしていたが、(Higgins 1963) では部分ぶぶん的てきにのみ定義ていぎされた演算えんざんを持もつ代数だいすうについての議論ぎろん（典型てんけい的てきにはそれが圏けんや亜あ群ぐんを成なすこと）が特筆とくひつされる。ここから高次こうじ元もと代数だいすう学がくの主題しゅだいが生うまれ、それは幾何きか学がく的てきな条件じょうけんで定義ていぎされた定義ていぎ域いきを持もつ部分ぶぶん演算えんざんをもつ代数だいすう理論りろんの研究けんきゅうとして定義ていぎすることができる。これらの重要じゅうような例れいは様々さまざまな高次こうじ圏けんや高次こうじ亜あ群ぐんの形かたちで存在そんざいする。

圏けん論ろんとオペラド

詳細しょうさいは「圏けん論ろん」および「オペラド理論りろん」を参照さんしょう

こうした方法ほうほう論ろんをより一般いっぱんに推おし進すすめたものは圏けん論ろんにおいて効力こうりょくを発揮はっきする。普遍ふへん代数だいすう学がくにおいて演算えんざんと公理こうりのリストが与あたえられたとき、対応たいおうする代数だいすうとその間あいだの準じゅん同型どうけいの全体ぜんたいは、それらを対象たいしょうと射いとする圏けんを成なす。圏けん論ろんは普遍ふへん代数だいすう学がくがカバーしていない多おおくの状況じょうきょうにまで適用てきようできて、さまざまな定理ていりがその範囲はんいを拡張かくちょうされる。逆ぎゃくに、普遍ふへん代数だいすう学がくにおいて成立せいりつする多おおくの定理ていりがすべて圏けん論ろんにおけるものへ一般いっぱん化かされるわけでもない。従したがって、それぞれの分野ぶんやはそれぞれに有効ゆうこうである。

より演算えんざんを一般いっぱん化かした圏けん論ろんの近年きんねんの発展はってんは、オペラド理論りろんである（オペラドは普遍ふへん代数だいすう学がくで扱あつかうのと同様どうようの演算えんざんの集合しゅうごう）。

歴史れきし

1898年ねんに著あらわされたホワイトヘッドの著書ちょしょ A Treatise on Universal Algebra において universal algebra という言葉ことばは今日きょうでいうのと本質ほんしつ的てきに同おなじ意味いみで使つかわれていた。ホワイトヘッドはハミルトン、ド・モルガンらをこの主題しゅだいの創始そうし者しゃとして挙あげ、この用語ようご自体じたいはシルベスターが作つくったとしている。

そのころは、リー代数だいすうや双そう曲きょく四よん元げん数すうといった構造こうぞうが、結合けつごう的てき乗法じょうほう性せいのクラスを超こえて代数だいすう的てき構造こうぞうを拡張かくちょうすることの必要ひつよう性せいを示しめすものとして注目ちゅうもくされていた。批評ひひょうとしてマクレーンは "The main idea of the work is not unification of the several methods, nor generalization of ordinary algebra so as to include them, but rather the comparative study of their several structures." （「この仕事しごとの主要しゅようなアイデアは複数ふくすうの方法ほうほう論ろんを統一とういつすることでも通常つうじょうの代数だいすう学がくをそれらを含ふくむように一般いっぱん化かするものでもないが、それら幾いくつかの構造こうぞうを比較ひかくする研究けんきゅうである」）と書かいている。同おなじころ、通常つうじょうの数かずの代数だいすうに対たいする強力きょうりょくなカウンターパートとしてのブールの論理ろんり代数だいすうが作つくられており、「普遍ふへん的てき」という語かたりは張はりつめた感覚かんかくを緩和かんわする働はたらきをした。

ホワイトヘッドの初期しょきの成果せいかは（ハミルトンによる）四よん元げん数すうやグラスマンの外積がいせき代数だいすう (Ausdehnungslehre) およびブールの論理ろんり代数だいすうを統一とういつ的てきに扱あつかおうとするものである。ホワイトヘッドは著書ちょしょに

"Such algebras have an intrinsic value for separate detailed study; also they are worthy of comparative study, for the sake of the light thereby thrown on the general theory of symbolic reasoning, and on algebraic symbolism in particular. The comparative study necessarily presupposes some previous separate study, comparison being impossible without knowledge."（そのような代数だいすうは、独立どくりつした詳細しょうさいな研究けんきゅうに対たいし内在ないざい的てきな価値かちを持もっている。またそれらの比較ひかく研究けんきゅうも、それによって記号きごう的てきな推論すいろんや特とくに代数だいすう記号きごうを用もちいた方法ほうほう論ろん関かんする一般いっぱん論ろんに落おとし込こむために、大おおいに意味いみを持もつ。比較ひかく研究けんきゅうはそれまでの独立どくりつしたいくつかの研究けんきゅうを前提ぜんていとする必要ひつようがある。知識ちしき無なくして比較ひかくは不可能ふかのうである）

と書かいている。しかし、ホワイトヘッドはその一般いっぱん性質せいしつについては何なにの結果けっかも得えてはいない。この主題しゅだいに関かんする成果せいかはバーコフとオレが普遍ふへん代数だいすう学がくの本ほんを著あらわす1930年代ねんだい初はじめまでほとんどなかった。1940年代ねんだいや1950年代ねんだいのメタ数学すうがくや圏けん論ろんの発展はってんはこの分野ぶんやを推おし進すすめ、特とくにロビンソン、タルスキ、モストフスキらやその学生がくせいらの結果けっかがある (Brainerd 1967)。

1935年ねんから1950年ねんの間あいだの期間きかんに、バーコフの論文ろんぶんに示唆しさされた路線ろせんに沿そった多おおくの論文ろんぶんが書かかれ、自由じゆう代数だいすうや合同ごうどう、部分ぶぶん代だい数すう束たば、準じゅん同型どうけい定理ていりなどが扱あつかわれた。1940年代ねんだいに数理すうり論理ろんり学がくの発展はってんから代数だいすう学がくへの応用おうようが可能かのうになったけれども、それは非常ひじょうにゆっくりとしたものであった。それらの結果けっかが1940年代ねんだいにマルチェフによって出版しゅっぱんされたけれども、戦争せんそうの影響えいきょうで注目ちゅうもくされなかった。1950年ねんのケンブリッジにおける国際こくさい数すう学者がくしゃ会議かいぎでのタルスキーの講義こうぎが、主おもにタルスキー自身じしん、あるいは C.C. Chang、ヘンキン、Jónsson、リンドンらによって展開てんかいされたモデル理論りろん的てき側面そくめんでの新あらたな研究けんきゅうの時代じだいの先駆さきがけとなった。

1950年代ねんだいの終おわりに、マルチェフスキは、自由じゆう代数だいすうの重要じゅうよう性せいを強調きょうちょうして、マルチェフスキ自身じしんと、Jan Mycielski, Władysław Narkiewicz, Witold Nitka, J. Płonka, S. Świerczkowski, K. Urbanik らによる自由じゆう代数だいすうに関かんする代数だいすう的てき理論りろんについて50を超こえる論文ろんぶんの出版しゅっぱんを導みちびいた。

関連かんれん項目こうもく

• グラフ代数だいすう
• 準じゅん同型どうけい
• 束論そくろん
• 算さん号ごう
• 項こう代数だいすう
• 代数だいすう多様たよう性せい
• クローン (代数だいすう学がく)
• 普遍ふへん代数だいすう幾何きか学がく

参考さんこう文献ぶんけん

• Bergman, George M., 1998. An Invitation to General Algebra and Universal Constructions (pub. Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708) 398 pp. ISBN 0-9655211-4-1.
• Birkhoff, Garrett, 1946. Universal algebra. Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques, University of Toronto Press, Toronto, pp. 310–326.
• Brainerd, Barron, Aug–Sep 1967. Review of Universal Algebra by P. M. Cohn. American Mathematical Monthly, 74(7): 878–880.
• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, 1981. A Course in Universal Algebra Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 Free online edition.
• Cohn, Paul Moritz, 1981. Universal Algebra. Dordrecht, Netherlands: D.Reidel Publishing. ISBN 90-277-1213-1 (First published in 1965 by Harper & Row)
• Freese, Ralph, and Ralph McKenzie, 1987. Commutator Theory for Congruence Modular Varieties, 1st ed. London Mathematical Society Lecture Note Series, 125. Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-34832-3. Free online second edition.
• Grätzer, George, 1968. Universal Algebra D. Van Nostrand Company, Inc.
• Higgins, P. J. Groups with multiple operators. Proc. London Math. Soc. (3) 6 (1956), 366–416.
• Higgins, P.J., Algebras with a scheme of operators. Mathematische Nachrichten (27) (1963) 115–132.
• Hobby, David, and Ralph McKenzie, 1988. The Structure of Finite Algebras American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3400-2. Free online edition.
• Jipsen, Peter, and Henry Rose, 1992. Varieties of Lattices, Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. ISBN 0-387-56314-8. Free online edition.
• Pigozzi, Don. General Theory of Algebras.
• Smith, J.D.H., 1976. Mal'cev Varieties, Springer-Verlag.
• Whitehead, Alfred North, 1898. A Treatise on Universal Algebra, Cambridge. (Mainly of historical interest.)

外部がいぶリンク

• Algebra Universalis—a journal dedicated to Universal Algebra.