複ふく合あい函數かんすう

複ふく合あい函數かんすう（英語えいご：Function composition），又また稱たたえ作づく合成ごうせい函數かんすう，在ざい數學すうがく中ちゅう是ぜ指ゆび逐點地ち把わ一いち個こ函數かんすう作用さよう於另一いち個こ函數かんすう的てき結果けっか，所得しょとく到いた的てき第だい三さん個こ函數かんすう。例れい如，函數かんすう $f : X \to Y$ 和わ $g : Y \to Z$ 可か以複合あい，得とく到いた從したがえ $X$ 中なか的てき $x$ 映うつ射い到いた $Z$ 中なか $g (f (x))$ 的てき函數かんすう。直觀ちょっかん來らい說せつ，如果 $z$ 是これ $y$ 的てき函數かんすう， $y$ 是これ $x$ 的てき函數かんすう，那な麼 $z$ 是これ $x$ 的てき函數かんすう。得え到いた的てき複ふく合あい函數かんすう記き作さく $g \circ f : X \to Z$ ，定義ていぎ為ため對たい $X$ 中なか的てき所有しょゆう $x$ ， $(g \circ f)(x) = g (f (x))$ 。^{[note 1]} 直觀ちょっかん地ち說せつ，複ふく合あい兩個りゃんこ函數かんすう是これ把わ兩個りゃんこ函數かんすう鏈接在ざい一いち起おこり的てき過程かてい，內函數すう的てき輸出ゆしゅつ就是外がい函數かんすう的てき輸入ゆにゅう。

函數かんすう的てき複ふく合あい是ぜ關係かんけい複ふく合あい的てき一いち個こ特例とくれい，因いん此複合あい關係かんけい的てき所有しょゆう性質せいしつ也適用てきよう於函數すう的てき複ふく合あい。^[1] 複ふく合あい函數かんすう還かえ有ゆう一いち些其他た性質せいしつ。

定義ていぎ

考慮こうりょ到いた函數かんすう的てき值域跟定義ていぎ域いき，要よう簡單かんたん的てき以「計算けいさん式しき」，如把所有しょゆう $(x,\,x+1)$ 和わ $(y,\,{\sqrt {y}})$ 的てき有ゆう序じょ對たい頭あたま接尾せつび的てき這樣直觀ちょっかん定義ていぎ「合成ごうせい」是ぜ會かい遇ぐう到いた問題もんだい的てき，像ぞう是これ把わ $x$ 取と為ため實數じっすう，這樣把わ $x+1$ 很自然しぜん的てき對たい接せっ到いた $y$ 然しか後ご開ひらけ根號こんごう成なり ${\sqrt {y}}$ ，是ぜ會かい遇ぐう到いた對たい負數ふすう開ひらき根號こんごう，出現しゅつげん非ひ單一たんいつ值的問題もんだい（請參見み棣莫弗どる公式こうしき），就算不ふ考慮こうりょ單一たんいつ值的問題もんだい，我わが們期望もち的てき「合成ごうせい函數かんすう」的てき值域到底とうてい該不該包含ほうがん複數ふくすう呢？所以ゆえん (1) 我わが們一開始かいし就要把わ準備じゅんび「合成ごうせい」的てき兩個りゃんこ函數かんすう的てき值域跟定義ていぎ域いき劃分清楚せいそ (2) 要よう考慮こうりょ到いた對たい接せっ的てき時候じこう，前面ぜんめん的てき值域跟後面めん的てき值域不ふ一定いってい相等そうとう的てき問題もんだい。

如果我わが們有兩個りゃんこ函數かんすう $f$ 和わ $g$ ，而兩者しゃ的てき定義ていぎ域いき分別ふんべつ是ぜ $D_{f}$ 和わ $D_{g}$ ；值域分別ふんべつ是ぜ $I_{f}$ 和わ $I_{g}$ 。如果 $I_{f}\cap D_{g}\neq \varnothing$ ，那な我わが們定義ていぎ合成ごうせい函數かんすう為ため

g\circ f:=\{(x,\,z)\,|\,(\exists y\in I_{f}\cap D_{g})[y=f(x)\wedge z=g(y)]\}

直觀ちょっかん上じょう來き說せつ，如果 $f$ 的てき「輸出ゆしゅつ範圍はんい」是ぜ有ゆう一いち部分ぶぶん在ざい $g$ 的てき「輸入ゆにゅう範圍はんい」，那な我わが們就可か以定義ていぎ「先さき作用さよう $f$ 再さい作用さよう $g$ 」的てき函數かんすう，但ただし這個「新しん合成ごうせい」的てき函數かんすう的てき定義ていぎ域いき可能かのう會かい因いん此被限げん縮ちぢみ（輸出ゆしゅつ值處在ざい兩者りょうしゃ交集的てき那な些 $x$ 而已）。注意ちゅうい到いた每まい個こ $x$ 只ただ會かい有ゆう一いち個こ輸出ゆしゅつ值 $y$ ，而每個こ $y$ 只ただ會かい有ゆう一いち個こ輸出ゆしゅつ值 $z$ ，所以ゆえん這樣「先さき作用さよう $f$ 再さい作用さよう $g$ 」的てき話ばなし，每まい個こ $x$ 只ただ會かい有ゆう一いち個こ輸出ゆしゅつ值 $z$ 而已，這確保かくほ了りょう $g\circ f$ 符合ふごう我わが們對函數かんすう的てき要求ようきゅう。

當とう $g\circ f=f\circ g$ 時じ（注意ちゅうい這是集合しゅうごう的てき相等そうとう！），我わが們會說せつ $g$ 和わ $f$ 是これ可か交換こうかん的てき。

兩個りゃんこ一對一いちたいいち函數かんすう的てき合成ごうせい函數かんすう也是一對一いちたいいち的てき。

涉わたる及到可か導しるべ函數かんすう的てき複ふく合あい函數かんすう的てき導しるべ數すう，可か以用鏈式法則ほうそく求もとめ得う。Faà di Bruno公式こうしき給きゅう出で了りょう複ふく合あい函數かんすう的てき高階たかしな導しるべ數すう的まと表ひょう達たち式しき。

例れい子こ

$g \circ f$ ， $f$ 與あずか $g$ 的てき複ふく合あい。例れい如， $(g \circ f)(c) = #$ .

有限ゆうげん集しゅう上じょう的てき函數かんすう複ふく合あい：若わか $f = {(1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 6)}$ ， $g = {(1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (5, 3), (6, 2)}$ ，則のり $g \circ f = {(1, 4), (2, 5), (3, 1), (4, 2)}$ .
無限むげん集しゅう上うえ的てき函數かんすう複ふく合あい：若わか $f : ℝ \to ℝ$ （其中 $ℝ$ 是ぜ所有しょゆう實數じっすう的てき集合しゅうごう）表ひょう達たち式しき為ため $f (x) = 2 x + 4$ ，而 $g : ℝ \to ℝ$ 表ひょう達たち式しき為ため $g (x) = x 3$ ，則のり：

(f \circ g)(x) = f (g (x)) = f (x 3) = 2 x 3 + 4

, and

(g \circ f)(x) = g (f (x)) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3

.

如果一いち架か飛ひ機き在ざい $t$ 時刻じこく的てき海拔かいばつ為ため $h (t)$ ，而海拔かいばつ $x$ 處しょ的てき氧氣濃度のうど為ため $c (x)$ ，那な麼 $(c \circ h)(t)$ 描述了りょう $t$ 時刻じこく飛ひ機き周圍しゅうい的てき氧氣濃度のうど。

複ふく合あい幺半群ぐん

假設かせつ我わが們有兩個りゃんこ（或ある多た個こ）函數かんすう $f : X \to X,$ $g : X \to X$ ，定義ていぎ域いき與あずか到達とうたつ域いき相しょう同どう；這些函數かんすう一般いっぱん稱しょう作さく變換へんかん。於是，我わが們可以構造こうぞう多た個こ變換へんかん複ふく合あい而成的てき鏈，比ひ如 $f \circ f \circ g \circ f$ 。這種鏈具有ぐゆう幺半群ぐん的てき代數だいすう結構けっこう，稱しょう作さく變換へんかん幺半群ぐん或ある者もの複ふく合あい幺半群ぐん。通常つうじょう，變換へんかん幺半群ぐん可か以具有ぐゆう非常ひじょう複雜ふくざつ的てき結構けっこう。一個很有名的例子是德とく拉ひしげ姆曲線せん。所有しょゆう函數かんすう $f : X \to X$ 的てき集合しゅうごう稱しょう作さく $X$ 上うえ的てき全ぜん變換へんかん半はん群ぐん^[2]或ある對稱たいしょう半はん群ぐん^[3]。（我わが們其實可みか以定義ていぎ兩個りゃんこ半はん群ぐん，這取決けつ於定義ていぎ半はん群ぐん運算うんざん為ため函數かんすう左ひだり複ふく合あい和わ右みぎ複ふく合あい的てき方式ほうしき。^[4]）

如果變換へんかん是ぜ雙そう射い（也就可逆かぎゃく），則のり這些函數かんすう所有しょゆう可能かのう的てき組合くみあい就構成こうせい了りょう一いち個こ變換へんかん群ぐん；可か以說這個群ぐん是ぜ由よし這些函數かんすう生成せいせい的てき。這就引出了りょう群ぐん論ろん裡うら面めん的てき凱萊定理ていり從したがえ本質ほんしつ上じょう表明ひょうめい，（在ざい同どう構意義いぎ下か）任にん何なん群ぐん都みやこ是ただし某ぼう一いち置換ちかん群ぐん的てき子こ群ぐん。^[5]

所有しょゆう雙そう射い函數かんすう $f : X \to X$ （稱しょう作さく置換ちかん）的てき集合しゅうごう構成こうせい了りょう一個關於複合算子的群。這就是ぜ對稱たいしょう群ぐん，有ゆう時じ稱しょう作さく複ふく合ごう群ぐん。

在ざい（所有しょゆう變換へんかん的てき）對稱たいしょう半はん群ぐん中ちゅう，我わが們還可か以發現はつげん一いち個こ較弱的てき、非ひ唯ただ一いち的てき逆ぎゃく變換へんかん（稱しょう作さく偽にせ逆ぎゃく），因いん為ため對稱たいしょう子こ群ぐん是ぜ一いち個こ正則せいそく半はん群ぐん。^[6]

函數かんすう冪べき

如果 $Y \subseteq X$ ，則のり $f : X \to Y$ 有ゆう可能かのう可か以與自身じしん複ふく合あい；這有時候じこう記き作さく $f 2$ 。即そく：

(f \circ f)(x) = f (f (x)) = f 2 (x)

(f \circ f \circ f)(x) = f (f (f (x))) = f 3 (x)

(f \circ f \circ f \circ f)(x) = f (f (f (f (x)))) = f 4 (x)

更さら一般いっぱん地ち，對たい於 $n \geq 2$ 的てき自然しぜん數すう， $n$ 次つぎ函數かんすう冪べき可か以歸納きのう定義ていぎ為ため $f n = f \circ f n -1 = f n -1 \circ f$ . 這種函數かんすう與あずか自身じしん的てき反覆はんぷく複ふく合あい稱しょう作さく迭代函數かんすう。

習慣しゅうかん上じょう， $f 0$ 定義ていぎ為ため $f$ 定義ていぎ域いき上じょう的てき恆つね同どう映うつ射い， $id X$ .
如果 $Y = X$ ，而 $f : X \to X$ 存在そんざい反はん函數かんすう $f -1$ ，那な麼對於 $n > 0$ ，負まけ函數かんすう冪べき $f - n$ 定義ていぎ為ため反はん函數かんすう的てき冪べき： $f - n = (f -1) n$ .

注意ちゅうい：若わか $f$ 在ざい一いち個こ環たまき內取值（特別とくべつ是ぜ對たい於實值或復ふく值 $f$ ），存在そんざい混淆こんこう的てき風ふう險けわし，因よし為ため $f n$ 也可以表示ひょうじ $f$ 的てき $n$ 次つぎ乘じょう積せき，比ひ如 $f 2 (x) = f (x) \cdot f (x)$ . 對たい於三さん角かく函數かんすう，通常つうじょう會かい使用しよう後者こうしゃ的てき含義，至いたり少しょう對たい於正指數しすう是ぜ這樣。例れい如，在ざい三角みすみ學まなぶ中なか，使用しよう三角さんかく函數かんすう $sin 2 (x) = sin(x) \cdot sin(x)$ 的てき時候じこう，這個上じょう標記ひょうき號ごう表示ひょうじ標準ひょうじゅん的てき指數しすう運算うんざん。不ふ過か，對たい於負指數しすう（特別とくべつ是ぜ −1），則のり通常つうじょう指ゆび的てき是ぜ反はん函數かんすう，例れい如， $tan -1 = arctan \neq 1/tan$ .

在ざい一いち些情況きょう下か，對たい於給定てい函數かんすう $f$ ，方ぽう程ほど $g \circ g = f$ 只ただ有ゆう一いち個こ解かい $g$ 的てき時候じこう，該函數すう可か以定義ていぎ為ため $f$ 的てき函數かんすう平方根へいほうこん，記き作さく $g = f 1/2$ .

更さら一般いっぱん地ち，當とう $g n = f$ 只ただ有ゆう唯ただ一いち解かい時じ（自然しぜん數すう $n > 0$ ）， $f m / n$ 可か以定義ていぎ為ため $g m$ .

在ざい額がく外的がいてき限げん制せい下か，這個想そう法ほう還かえ可か以推廣ひろ，使つかい得とく迭代函數かんすう可か以是一いち個こ連續れんぞく的てき參まいり數すう；在ざい此情形がた下か，這樣的てき系統けいとう稱しょう作さく流ながれ，由ゆかり施ほどこせ羅ら德いさお方かた程ほど定義ていぎ。迭代函數かんすう和わ流りゅう很自然しぜん地ち出で現在げんざい分ぶん形かたち和わ動力どうりょく系統けいとう的てき研究けんきゅう中ちゅう。

為ため避免混淆こんこう，有ゆう些數學がく家か把わ $f$ 的てき n 次じ迭代寫うつし作さく $f ° n$ .

其他記法きほう

許多きょた數學すうがく家か，特別とくべつ是ぜ群論ぐんろん方面ほうめん的てき數學すうがく家か，省はぶけ去ざ複ふく合符あいふ號ごう，把わ $g \circ f$ 寫うつし作さく $gf$ .^[7]

在ざい20世紀せいき中葉ちゅうよう，一些數學家認為用「 $g \circ f$ 」來らい表示ひょうじ「首くび先さき施ほどこせ加か $f$ ，然しか後ご施ほどこせ加か $g$ 」太ふとし令れい人じん困惑こんわく，於是決定けってい改變かいへん記法きほう。他た們用「 $xf$ 」來らい代表だいひょう「 $f (x)$ 」，用もちい「 $(xf) g$ 」來らい代表だいひょう「 $g (f (x))$ 」。^[8] 這在某ぼう些領域りょういき會かい比ひ函數かんすう寫うつし在ざい左ひだり面めん更さら加か自然しぜん和わ簡便かんべん—比ひ如在線せん性せい代數だいすう中なか，當とう $x$ 為ため行くだり向むこう量りょう， $f$ 和わ $g$ 表示ひょうじ矩のり陣じん，而複合あい是ぜ通過つうか矩のり陣じん乘法じょうほう完成かんせい的てき時候じこう。這種替がえ代だい記法きほう稱しょう作さく後こう綴つづり表示法ひょうじほう。順序じゅんじょ很重要じゅうよう，因いん為ため函數かんすう複ふく合あい不ふ一定いってい是ぜ可か交換こうかん的てき（比ひ如矩陣じん乘法じょうほう）。向こう右みぎ進行しんこう施ほどこせ加か函數かんすう和わ複ふく合あい的てき寫うつし法ほう複ふく合從がっしょう左ひだり到いた右みぎ的てき閱讀順序じゅんじょ。

使用しよう後ご綴つづり表示法ひょうじほう的てき數學すうがく家か可能かのう會かい寫うつし「 $fg$ 」，表示ひょうじ先さき施ほどこせ加か $f$ 再さい施ほどこせ加か $g$ ，這樣就能與あずか後のち綴つづり表示法ひょうじほう中ちゅう的てき符號ふごう的てき順序じゅんじょ保持ほじ一致いっち，不ふ過か這就會かい讓ゆずる「 $fg$ 」這個記號きごう有ゆう歧義了りょう。計算けいさん機き科學かがく家か可能かのう用よう $f; g$ 來らい表示ひょうじ [1] ，這樣就能區分くぶん出で複ふく合あい的てき順序じゅんじょ了りょう。要よう把わ左ひだり複ふく合算がっさん子こ和文わぶん本分ほんぶん好こう區分くぶん開ひらけ來らい，在ざいZ表示法ひょうじほう（Z notation）中ちゅう ⨾ 字じ符ふ用よう於左關係かんけい複ふく合あい。^[9] 由よし於所有しょゆう函數かんすう都と是ぜ二に元もと關係かんけい，在ざい函數かんすう複ふく合あい中也ちゅうや應おう該用[粗あら]分ぶん號ごう（參まいり見み關係かんけい複ふく合あい條目じょうもく了解りょうかい此記法的ほうてき詳細しょうさい內容）。

複ふく合算がっさん子こ

給きゅう定てい函數かんすう $g$ ，複ふく合算がっさん子こ $C g$ 定義ていぎ為ため使し得とく

C_{g}f=f\circ g.

的てき從したがえ函數かんすう映うつ射い到いた函數かんすう的てき算さん子こ。在ざい算さん子こ理論りろん領域りょういき會かい研究けんきゅう複ふく合算がっさん子こ。

多元たげん函數かんすう

對たい於多元もと函數かんすう來らい說せつ，部分ぶぶん複ふく合あい是ぜ有ゆう可能かのう的てき。當とう函數かんすう $f$ 的てき部分ぶぶん參さん數すう $x i$ 由ゆかり $g$ 換かわ掉後得え到いた的てき結果けっか在ざい一些計算機工程文獻中，記き作さく $f | x i = g$

f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

當とう $g$ 是ぜ一いち個こ常數じょうすう $b$ 時とき，複ふく合あい退化たいか為ため一いち個こ（部分ぶぶん）求もとめ值，其結果けっか就會是ぜ限きり制せい或ある者もの輔因子こ。^[10]

f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

通常つうじょう，多元たげん函數かんすう的てき複ふく合あい可能かのう涉わたる及若干じゃっかん其他函數かんすう作為さくい參さん數すう，如原始げんし遞歸函數かんすう的てき定義ていぎ。給きゅう定じょう $f$ ，一いち個こ $n$ 元もと函數かんすう， $n$ 個こ $m$ 元もと函數かんすう $g 1, ..., g n$ ， $f$ 與あずか $g 1, ..., g n$ 的てき複ふく合あい是ぜ $m$ 元もと函數かんすう

h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m}))

.

這有時じ稱しょう作さく f 與あずか $g 1, ..., g n$ 的てき廣義こうぎ複ふく合あい。^[11] 在ざい這個一般いっぱん化か的てき情じょう形がた中ちゅう，可か以通過つうか把わ所有しょゆう這些用作ようさく參さん數すう的てき函はこ數すう合ごう適地てきち選せん為ため射影しゃえい函數かんすう，只ただ保留ほりゅう一いち個こ參まいり數すう函數かんすう，就能得え到いた前面ぜんめん提ひっさげ到いた的てき只ただ有ゆう一個參數部分複合的函數。還かえ要よう注意ちゅうい，在ざい這個一般いっぱん化か情じょう形がた中ちゅう， $g 1, ..., g n$ 可か以看作さく是ぜ單たん個こ向むこう量りょう或ある元もと組くみ值函數すう，這樣理解りかい的てき話ばなし，這就是ぜ複ふく合あい函數かんすう的てき標準ひょうじゅん定義ていぎ。^[12]

某ぼう些基本きほん集しゅう X 上うえ的てき一いち些有限げん性せい運算うんざん稱しょう作さく克かつ隆たかし，它們需要じゅよう包含ほうがん所有しょゆう射影しゃえい，並なみ且在廣義こうぎ複ふく合ごう下か封ふう閉。請注意ちゅうい，克かつ隆たかし通常つうじょう包含ほうがん各種かくしゅ元もと數かず（arity）的てき運算うんざん。^[11] 交換こうかん的てき概念がいねん在ざい多元たげん情じょう形がた中葉ちゅうよう有ゆう一いち個こ有ゆう意思いし的てき推廣：如果元もと數かず n的てき函數かんすう f 是ぜ保持ほじ g 的てき同どう態たい函數かんすう（g 的てき元もと數すう為ため m），則のり可か以說 f與あずか g 是ぜ可か交換こうかん的てき，反たん之の亦また然しか。例れい如：^[13]

f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))

.

一元運算總是與自己可交換，但ただし二に元げん（或ある者もの更さら多元たげん）運算うんざん不ふ一定いってい如此。與あずか自身じしん可か交換こうかん的てき二に元げん（或ある更さら多元たげん）運算うんざん稱たたえ為ためmedial或あるentropic。^[13]

推廣

複ふく合あい可か以推廣こう到いた任意にんい二に元もと關係かんけい。若わか $R \subseteq X \times Y$ 與あずか $S \subseteq Y \times Z$ 是ぜ兩個りゃんこ二に元もと關係かんけい，則のり它們的てき複ふく合あい $S \circ R$ 是ぜ定義ていぎ為ため ${(x, z) \in X \times Z : \exists y \in Y . (x, y) \in R \land (y, z) \in S}$ . 考慮こうりょ二元關係的一個特殊情形（函數かんすう關係かんけい），複ふく合あい函數かんすう滿足まんぞく關係かんけい複ふく合あい的てき定義ていぎ。

偏へん函數かんすう的てき複ふく合あい可か是ぜ用よう相しょう同どう方式ほうしき定義ていぎ的てき定義ていぎ，有ゆう一いち個こ類似るいじ凱萊定理ていり（Cayley's theorem）的てき定理ていり叫さけべ做Wagner-Preston定理ていり。^[14]

具有ぐゆう態たい射しゃ函數かんすう的てき集合しゅうごう範疇はんちゅう叫さけべ做原型がた範疇はんちゅう（prototypical category）。範疇はんちゅう的てき公理こうり實際じっさい上じょう受到了りょう複ふく合あい函數かんすう的てき性質せいしつ（和かず定義さだよし）啟發けいはつ。^[15] 由よし複ふく合あい形成けいせい的てき結構けっこう在ざい範疇はんちゅう論ろん中ちゅう被ひ公理こうり化か和わ推廣，函數かんすう的てき概念がいねん換かわ成なり了りょう範疇はんちゅう論ろん中ちゅう的てき態たい射しゃ。公式こうしき $(f \circ g) -1 = (g -1 \circ f -1)$ 中なか的てき反はん序じょ複ふく合あい，同樣どうよう適用てきよう於使用しよう逆ぎゃく關係かんけい的てき關係かんけい複ふく合あい，因いん此在群論ぐんろん中也ちゅうや適用てきよう。這些結構けっこう形成けいせい了りょうdagger範疇はんちゅう。

排はい版ばん

複ふく合算がっさん子こ $\circ$ 編へん碼為U+2218 ∘ RING OPERATOR ，HTML：∘。參まいり見みDegree symbol條目じょうもく中外ちゅうがい觀かん類似るいじ的てきUnicode字じ符ふ。在ざいTeX中なか，寫うつし作さく\circ。

參まいり見み

組合くみあい子こ邏輯
函數かんすう分解ぶんかい（英語えいご：Functional decomposition）
迭代函數かんすう
解析かいせき函數かんすう的てき無限むげん複ふく合あい（英語えいご：Infinite compositions of analytic functions）
流ながれ
高階たかしな函數かんすう
蛛網圖ず（英語えいご：Cobweb plot），函數かんすう複ふく合あい的てき圖形ずけい方法ほうほう
Λらむだ演算えんざん
函數かんすう平方根へいほうこん（英語えいご：Functional square root）
複ふく合あい環たまき（英語えいご：Composition ring），複ふく合あい運算うんざん的てき形式けいしき公理こうり化か
隨ずい機き變量へんりょう函數かんすう

注釋ちゅうしゃく

^ 有ゆう些作者しゃ使用しよう $f \circ g : X \to Z$ ，定義ていぎ為ため $(f \circ g)(x) = g (f (x))$ 。

參考さんこう文獻ぶんけん

^ Daniel J. Velleman. How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. 2006: 232. ISBN 978-1-139-45097-3.
^ Christopher Hollings. Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. 2014: 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.
^ Pierre A. Grillet. Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. 1995: 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.
^ Pál Dömösi; Chrystopher L. Nehaniv. Algebraic Theory of Automata Networks: A Introduction. SIAM. 2005: 8. ISBN 978-0-89871-569-9.
^ Nathan Carter. Visual Group Theory. MAA. 9 April 2009: 95. ISBN 978-0-88385-757-1.
^ Olexandr Ganyushkin; Volodymyr Mazorchuk. Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction. Springer Science & Business Media. 2008: 24. ISBN 978-1-84800-281-4.
^ Oleg A. Ivanov. Making Mathematics Come to Life: A Guide for Teachers and Students. American Mathematical Soc. 1 January 2009: 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1.
^ Jean Gallier. Discrete Mathematics. Springer. 2011: 118 [2018-08-05]. ISBN 978-1-4419-8047-2. （原始げんし內容存そん檔於2019-06-06）.
^ ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23
^ Bryant, R.E. Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis (PDF). IEEE Transactions on Computers. August 1986, C–35 (8): 677–691 [2018-08-05]. doi:10.1109/tc.1986.1676819. （原始げんし內容存そん檔 (PDF)於2020-11-29）.
^ ^11.0 ^11.1 Clifford Bergman. Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. 2011: 79–80. ISBN 978-1-4398-5129-6.
^ George Tourlakis. Theory of Computation. John Wiley & Sons. 2012: 100. ISBN 978-1-118-31533-0.
^ ^13.0 ^13.1 Clifford Bergman. Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. 2011: 90–91. ISBN 978-1-4398-5129-6.
^ S. Lipscomb, "Symmetric Inverse Semigroups", AMS Mathematical Surveys and Monographs (1997), ISBN 0-8218-0627-0, p. xv
^ Peter Hilton; Yel-Chiang Wu. A Course in Modern Algebra. John Wiley & Sons. 1989: 65. ISBN 978-0-471-50405-4.

外部がいぶ連結れんけつ

Hazewinkel, Michiel (編へん), Composite function, 数学すうがく百科ひゃっか全ぜん书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
"Composition of Functions （頁ぺーじ面めん存そん檔備份，存そん於網あみ際ぎわ網もう路ろ檔案館かん）" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.

[1] 有ゆう些作者しゃ使用しよう $f \circ g : X \to Z$ ，定義ていぎ為ため $(f \circ g)(x) = g (f (x))$ 。

[Velleman2006-2] Daniel J. Velleman. How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. 2006: 232. ISBN 978-1-139-45097-3.

[3] Christopher Hollings. Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. 2014: 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.

[Grillet1995-4] Pierre A. Grillet. Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. 1995: 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.

[DömösiNehaniv2005-5] Pál Dömösi; Chrystopher L. Nehaniv. Algebraic Theory of Automata Networks: A Introduction. SIAM. 2005: 8. ISBN 978-0-89871-569-9.

[Carter2009-6] Nathan Carter. Visual Group Theory. MAA. 9 April 2009: 95. ISBN 978-0-88385-757-1.

[GanyushkinMazorchuk2008-7] Olexandr Ganyushkin; Volodymyr Mazorchuk. Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction. Springer Science & Business Media. 2008: 24. ISBN 978-1-84800-281-4.

[Ivanov2009-8] Oleg A. Ivanov. Making Mathematics Come to Life: A Guide for Teachers and Students. American Mathematical Soc. 1 January 2009: 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1.

[Gallier2011-9] Jean Gallier. Discrete Mathematics. Springer. 2011: 118 [2018-08-05]. ISBN 978-1-4419-8047-2. （原始げんし內容存そん檔於2019-06-06）.

[10] ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23

[11] Bryant, R.E. Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis (PDF). IEEE Transactions on Computers. August 1986, C–35 (8): 677–691 [2018-08-05]. doi:10.1109/tc.1986.1676819. （原始げんし內容存そん檔 (PDF)於2020-11-29）.

[Bergman2011-12] 11.0 ^11.1 Clifford Bergman. Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. 2011: 79–80. ISBN 978-1-4398-5129-6.

[Tourlakis2012-13] George Tourlakis. Theory of Computation. John Wiley & Sons. 2012: 100. ISBN 978-1-118-31533-0.

[Bergman2011b-14] 13.0 ^13.1 Clifford Bergman. Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. 2011: 90–91. ISBN 978-1-4398-5129-6.

[15] S. Lipscomb, "Symmetric Inverse Semigroups", AMS Mathematical Surveys and Monographs (1997), ISBN 0-8218-0627-0, p. xv

[HiltonWu1989-16] Peter Hilton; Yel-Chiang Wu. A Course in Modern Algebra. John Wiley & Sons. 1989: 65. ISBN 978-0-471-50405-4.

[note 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

各種かくしゅ函數かんすう
$x \mapsto f (x)$
不同ふどう定義ていぎ域いき和わ陪域
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $\mathbb {B}$ $X$ →（英語えいご：integer-valued function） $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ → $X$ $X$ →（英語えいご：real-valued function） $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ →（英語えいご：function of several real variables） $X$ $X$ →（英語えいご：complex-valued function） $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ →（英語えいご：Function of several complex variables） $X$
函數かんすう類るい/性質せいしつ
常つね值恆等こうとう線せん性せい多項式たこうしき有理ゆうり代數だいすう解析かいせき光ひかり滑すべり連續れんぞく可か測はか單たん射い滿まん射しゃ雙そう射い
構造こうぞう
限きり制せい複ふく合あい λらむだ逆ぎゃく
推廣
偏へん（英語えいご：Partial function）多た值隱かくれ
閱論ろん編へん