非ひ交换代数だいすう几何

非ひ交换代数だいすう几何是これ非ひ交换几何的てき一いち个方向ほうこう，研究けんきゅう非ひ交换代数だいすう对象（如环）的てき形式けいしき对偶的てき几何性せい质，以及由よし它们导出的てき几何对象（如由沿局部ぶ胶合或ある取と非ひ交换叠商）的てき几何性せい质。

例れい如，非ひ交换代数だいすう几何通どおり过适当地とうち粘ねば合ごう非ひ交换环的谱，来らい推广概がい形がた，已やめ经取得しゅとく了りょう部分ぶぶん成功せいこう。非ひ交换环推广了交换概がい形がた上うえ的てき交换正せい规函数すう环。在ざい传统（交换）代数だいすう几何中なか，空そら间上的てき函数かんすう有ゆう由よし逐点乘じょう积定てい义的积，函数かんすう的てき值交换时，函はこ数也かずや交换：$a\times b=b\times a$。值得注意ちゅうい的てき是ぜ，将はた非ひ交换结合代数だいすう视作“非ひ交换”空そら间上的てき函数かんすう代数だいすう是ぜ一种意义深远的几何直觉，尽つき管かん在ざい形式けいしき上じょう看み像ぞう是ぜ谬误。

非ひ交换代数だいすう几何的てき主要しゅよう动机来き自じ物理ぶつり学がく，尤ゆう其是量子りょうし物理ぶつり，当とう中なか可か观察量りょう代数だいすう被ひ视作函数かんすう的てき非ひ交换类似物ぶつ，因いん此有动机观察其几何なん性せい质。非ひ交换代数だいすう几何还为研究けんきゅう交换代数だいすう几何中ちゅう的てき对象（如布ぬの饶尔群ぐん）提供ていきょう了りょう新しん技わざ术。

非ひ交换代数だいすう几何的てき方法ほうほう与あずか交换的てき类似，但ただし基もと础往往おうおう不同ふどう。交换代数だいすう几何中ちゅう的てき局部きょくぶ行ぎょう为由局部きょくぶ环之これ类的交换代数だいすう对象来らい捕捉ほそく，在ざい非ひ交换环境中ちゅう没ぼつ有ゆう类似的てき环论；不ふ过在范畴论情景じょうけい中ちゅう，我わが们可以讨论非交换谱上的てき准じゅん凝聚ぎょうしゅう层的てき局部きょくぶ范畴叠。来らい自じ同どう调代数すう和わK-理り论的てき全局ぜんきょく性せい质更常用じょうよう于非交换情景じょうけい。

历史

经典方法ほうほう：非ひ交换局部きょくぶ化か问题

交换代数だいすう几何始はじめ于构造づくり环的谱。代数だいすう簇むらが（更さら一般いっぱん的てき概がい形がた）的てき点てん是ぜ环的素もと理想りそう，代数だいすう簇むらが上うえ的てき函数かんすう是ぜ环的元素げんそ。但ただし非ひ交换环可能かのう没ぼつ有ゆう适当的てき非ひ零れい双そう侧素理想りそう，仿射空そら间上うえ多た项式微分びぶん算さん子こ的てき外そと尔代数すう就如此：外そと尔代数すう是ぜ单环。因よし此，可か尝试用よう主しゅ谱代替だいたい素もと谱：还有非ひ交换局部きょくぶ化か和わ下降かこう理り论。这在某ぼう种程度ていど上じょう是ぜ可か行ぎょう的てき：例れい如，雅まさ克かつ·迪すすむ克かつ斯米耶的てき包つつみ络代数すう可か看み作さく是ぜ为李り代数だいすう的てき包つつみ络代数すう的てき主しゅ谱研究けんきゅう非ひ交换代数だいすう几何。迈克尔·阿おもね廷的てき“非ひ交换环”笔记具有ぐゆう相似そうじ精神せいしん，部分ぶぶん内容ないよう尝试从非交换几何的てき角度かくど研究けんきゅう表示ひょうじ论。这两种方法的ほうてき关键在ざい于，不可ふか约表示ひょうじ，或ある至いたり少しょう是ぜ主しゅ理想りそう，可か视作“非ひ交换点てん”。

使用しよう层范畴的现代观点

事こと实证明あきら，（举例来らい说）要よう从主谱开始はじめ发展出で一いち套可行ぎょう的てき层理り论并不ふ容易ようい。可か以想象ぞう，这种困难由一种量子现象造成：空そら间中的てき点てん可か以影响远处的点てん（事こと实上，单独处理点てん、将はた空そら间视作さく点てん集しゅう并不合あい适）。

于是，人にん们接受せつじゅ了りょうPierre Gabriel论文中ちゅう预设的てき隐含范式，Gabriel–Rosenberg重じゅう构定理ていり也部分ぶぶん证明了りょう：在ざい概がい形がた同どう构的意い义下，交换概がい形がた可か完全かんぜん从概形がた上じょう的てき准じゅん凝聚ぎょうしゅう层的てき阿おもね贝尔范畴重じゅう构出来でき。亚历山大やまだい·格かく罗滕迪すすむ克かつ指出さしで，做几何なん不ふ需要じゅよう空そら间，只ただ要よう有ゆう空そら间上的てき层范畴就够了。这思想しそう由ゆかり尤ゆう里さと·马宁引入了りょう非ひ交换代数だいすう。（准じゅん）凝聚ぎょうしゅう层的导出范畴中ちゅう，有ゆう些稍弱じゃく的てき重じゅう构定理ていり，是ぜ导出非ひ交换代数だいすう几何（下しも详）的てき动机。

导出代数だいすう几何

主しゅ条目じょうもく：导出代数だいすう几何

最新さいしん的てき方法ほうほう是ぜ通どおり过形かたち变理论，将はた非ひ交换代数だいすう置おけ于导出代数だいすう几何的てき领域中ちゅう。

作さく为一个激励性例子，考こう虑复数$\mathbb {C}$上うえ的てき1维外そと尔代数すう，它是自由じゆう环$\mathbb {C} \langle x,\ y\rangle$对关系けい式しき

$xy-yx=1$

的てき商しょう。此环表示ひょうじ单变量りょうx的てき多た项式微分びぶん算さん子こ；y表示ひょうじ微分びぶん算さん子こ$\partial _{x}$。这个环符合ふごう$xy-yx=\alpha$关系给出的てき单参数すう族ぞく。αあるふぁ若わか非ひ零れい，则关系けい决定了りょう与あずか外そと尔代数すう同どう构的环；αあるふぁ为零时，关系就是x与あずかy的てき交换关系，由ゆかり此得到いた的てき商しょう环就是ぜ两变量りょう多た项式环$\mathbb {C} [x,\ y]$。从几何なん学がく角度かくど看み，两变量りょう多た项式环表示ひょうじ2维仿射空そら间$\mathbb {A} ^{2}$，因いん此单参さん数すう族ぞく的てき存在そんざい说明，仿射空そら间允许对外がい尔代数すう确定的てき空そら间进行ぎょう非ひ交换形がた变。这种形がた变与微分びぶん算さん子こ符号ふごう及$\mathbb {A} ^{2}$是ぜ仿射线的余よ切きり丛有ゆう关（研究けんきゅう外がい尔代数すう可か获得仿射空そら间信息いき：外そと尔代数すう的てき迪すすむ克かつ斯米耶猜想そう等ひとし同どう于仿射しゃ平面へいめん的てき雅みやび可か比ひ猜想）。

这一思おもえ路ろ中ちゅう，算さん畴（运算集合しゅうごう或ある空そら间）概念がいねん变得尤ゆう为重要じゅうよう。（Francis 2008）导言写うつし道どう：

“ 我わが们开始はじめ研究けんきゅう一些不太交换的代数几何。… ${\mathcal {E}}_{n}$环上うえ的てき代数だいすう几何可か看み作さく是非ぜひ交换与交换代数だいすう几何一些导出理论之间的插值。随ずい着ぎn增加ぞうか，这些${\mathcal {E}}_{n}$-代数だいすう收おさむ敛到Toën-Vezzosi和わ卢里的てき导出代数だいすう几何。 ”

非ひ交换环的射影しゃえい

主しゅ条目じょうもく：非ひ交换射影しゃえい几何

交换代数だいすう几何的てき基本きほん构造之の一是分次交换环的射影しゃえい构造，建立こんりゅう了りょう射影しゃえい簇むらが和わ十じゅう分ふん丰沛线丛，其齐次坐すわ标环是ぜ原げん环。构造簇むらが的てき底そこ拓つぶせ扑空间需要じゅよう将はた环局部ぶ化か，但ただし构造空そら间上的てき层则不ふ需要じゅよう。根ね据すえ让-皮かわ埃ほこり尔·塞ふさが尔的てき定理ていり，分ふん次じ环射影しゃえい上じょう的てき准じゅん凝聚ぎょうしゅう层等同どう于环上じょう的てき分ぶん次じ模も，都みやこ是ただし有限ゆうげん维因子こ。亚历山大やまだい·格かく罗滕迪すすむ克かつ提出ていしゅつ的てき意い象ぞう论认为，空そら间上的てき层范畴可作さく为空间本身ほんみ。因よし此，在ざい非ひ交换代数だいすう几何中ちゅう，常つね以下いか面めん的てき方式ほうしき定てい义射影しゃえい：令れいR为分次じC代数だいすう，Mod-R表示ひょうじ分ぶん次じ右みぎR模かたぎ范畴。令れいF表示ひょうじMod-R包含ほうがん所有しょゆう有限ゆうげん长模的てき子こ范畴。这样，Proj R的てき定てい义是阿おもね贝尔范畴Mod-R对F的てき商しょう。等とう价地，它是Mod-R的てき局部きょくぶ化か，其中若わか两模与あずか适当选择的てきF对象直接ちょくせつ相しょう加か后きさき，在ざいMod-R中ちゅう同どう构，则两模も同どう构。

这种方法ほうほう引出了りょう非ひ交换射影しゃえい几何。非ひ交换光こう滑すべり射影しゃえい曲きょく线就是ぜ光こう滑すべり交换曲きょく线，但ただし对于奇き异曲线或光こう滑すべり高だか维空间，非ひ交换情景じょうけい允まこと许有新しん的てき对象。

另见

• 导出非ひ交换代数だいすう几何
• Q范畴
• 准じゅん自由じゆう代数だいすう

参考さんこう文献ぶんけん

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阅读更さら多おお

• A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006 （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Tomasz Maszczyk, Noncommutative geometry through monoidal categories, math.QA/0611806 （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• S. Mahanta, On some approaches towards non-commutative algebraic geometry, math.QA/0501166 （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Ludmil Katzarkov, Maxim Kontsevich, Tony Pantev, Hodge theoretic aspects of mirror symmetry, arxiv/0806.0107 （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Dmitri Kaledin, Tokyo lectures "Homological methods in non-commutative geometry", pdf （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）, TeX （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）; and (similar but different) Seoul lectures （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）

外部がいぶ链接

• MathOverflow, Theories of Noncommutative Geometry
• nLab的てきnoncommutative algebraic geometry條目じょうもく
• nLab的てきequivariant noncommutative algebraic geometry條目じょうもく
• nLab的てきnoncommutative scheme條目じょうもく
• nLab的てきKapranov's noncommutative geometry條目じょうもく