GCD環たまき

GCD環たまき是ぜ一いち種しゅ有ゆう特殊とくしゅ性質せいしつ的てき整せい环R，滿足まんぞく其中任にん二個非零的元素都有最さい大公たいこう因數いんすう（GCD），或ある者もの等價とうか的てき，都みやこ有ゆう最小公倍數さいしょうこうばいすう（LCM）。

GCD環たまき是ただし將しょう唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい環たまき推廣到いた非ひ諾だく特とく環たまき的てき情況じょうきょう，事實じじつ上じょう，一いち個こ整せい環たまき是ただし唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい環たまき若わか且惟若わか其為滿足まんぞく主しゅ理想りそう升ます链条件じょうけん的てきGCD環たまき。

性質せいしつ

GCD環たまき中ちゅう每まい個こ不可ふか約やく元素げんそ都みやこ是ただし質しつ元素げんそ（不ふ過かGCD環たまき中ちゅう不ふ一定いってい要よう有ゆう不可ふか約やく元素げんそ，其至GCD環たまき可能かのう不ふ是ぜ一いち個こ域いき）。GCD環たまき是ただし 整數せいすう封ふう閉的てき，且其中ちゅう每ごと一個非零的元素都是素性すじょう元素げんそ。換かわ句く話はなし說せつ，每まい個こGCD環たまき都と是ぜSchreier環たまき。

針はり對たいGCD環たまきR中なか的てき每ごと一いち對たい元素げんそx和わy，其最大公たいこう因數いんすうd及最小公倍數さいしょうこうばいすうm可か以選擇せんたく為ため使しdm = xy成立せいりつ的てき數すう值，換かわ句く話はなし說せつ，若わかx和わy為ため非ひ零れい元素げんそ，而d是これx的てきy的てき任にん何なん一いち個こ最大さいだい公こう因數いんすう，則のりxy/d為ためx和わy的てき最小公倍數さいしょうこうばいすう，反たん之の亦また然しか。

若わかR是ぜGCD環たまき，其多た项式环R[X₁,...,X_n]也是GCD環たまき。

針はり對たい一いち個こGCD環たまき中ちゅう的てき多項式たこうしきX，可か以定義ていぎ其內容よう為ため所有しょゆう係數けいすう的てき最大さいだい公こう因數いんすう。因よし此多項式たこうしき乘じょう積せき的てき內容即そく為ため其多項式たこうしき內容的てき乘じょう積せき，如同高こう斯引理り敘述的てき一いち樣よう。

舉例

• 唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい環たまき是ぜGCD環たまき，唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい環たまき是ただしGCD環たまき中ちゅう恰好かっこう也是原子はらこ環たまき（每まい一いち個こ非ひ零れい非ひ單位たんい元素げんそ，至いたり少しょう有ゆう一種分解為不可約元素乘積的方式）的てき部ぶ份。
• Bézout環たまき（每まい個こ有限ゆうげん生成せいせい的てき理想りそう都みやこ是ただし主要しゅよう理想りそう的てき整せい環たまき）是ぜGCD環たまき。Bézout環かん不同ふどう於主要しゅよう理想りそう環たまき（每まい個こ理想りそう都と是ぜ主要しゅよう理想りそう），Bézout環かん不ふ一定要是唯一分解整環，例れい如一いち個こ整せい函数かんすう的てき環たまき是非ぜひ原子げんし性せい的てきBézout環たまき，也有やゆう許多きょた其他類似るいじ的てき例れい子こ。整せい環たまき是ただしPrüfer的てきGCD環たまき的てき充たかし份必要ひつよう條件じょうけん是ぜ其為Bézout環たまき
• 若わかR是非ぜひ原子げんし性せい的てきGCD環たまき，則のりR[X]是ぜGCD環たまき中ちゅう既すんで不ふ是ぜ唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい環たまき（因いん為ため非ひ原子げんし性せい），也不是ぜBézout環たまき（因よし為ためX和わR一個不能取倒數的非零元素a可か以產生せい一いち個こ不ふ包括ほうかつ1的てき理想りそう，但ただし1是ぜX和わa的てき最大さいだい公こう因數いんすう）的てき例れい子こ。任にん何なん符合ふごう此條件じょうけん的てき環たまきR[X₁,...,X_n]都みやこ有ゆう類似るいじ性質せいしつ。