GCD环

GCD环是ぜ一种有特殊性质的整せい环R，满足其中任にん二个非零的元素都有最さい大公たいこう因数いんすう（GCD），或ある者もの等とう价的，都みやこ有ゆう最小公倍数さいしょうこうばいすう（LCM）。

GCD环是将しょう唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい环推广到いた非ひ诺特环的てき情じょう况，事こと实上，一いち个整环是唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい环若わか且惟若わか其为满足主しゅ理想りそう升ます链条件じょうけん的てきGCD环。

性せい质

GCD环中每ごと个不可ふか约元素げんそ都みやこ是ただし质元素げんそ（不ふ过GCD环中不ふ一定要有不可约元素，其至GCD环可能かのう不ふ是ぜ一いち个域いき）。GCD环是 整数せいすう封ふう闭的てき，且其中ちゅう每ごと一个非零的元素都是素性すじょう元素げんそ。换句话说，每まい个GCD环都是ぜSchreier环。

针对GCD环R中なか的てき每ごと一いち对元素げんそx和わy，其最大公たいこう因数いんすうd及最小公倍数さいしょうこうばいすうm可か以选择为使しdm = xy成立せいりつ的てき数すう值，换句话说，若わかx和わy为非零れい元素げんそ，而d是これx的てきy的てき任にん何なん一いち个最大公たいこう因数いんすう，则xy/d为x和わy的てき最小公倍数さいしょうこうばいすう，反たん之の亦また然しか。

若わかR是ぜGCD环，其多た项式环R[X₁,...,X_n]也是GCD环。

针对一いち个GCD环中的てき多た项式X，可か以定义其内容ないよう为所有しょゆう系けい数すう的てき最大さいだい公こう因数いんすう。因よし此多项式乘じょう积的内容ないよう即そく为其多た项式内容ないよう的てき乘じょう积，如同高こう斯引理り叙述じょじゅつ的てき一いち样。

举例

• 唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい环是ぜGCD环，唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい环是GCD环中恰好かっこう也是原子げんし环（每まい一个非零非单位元素，至いたり少しょう有ゆう一种分解为不可约元素乘积的方式）的てき部ぶ份。
• Bézout环（每まい个有限げん生成せいせい的てき理想りそう都みやこ是ただし主要しゅよう理想りそう的てき整せい环）是ぜGCD环。Bézout环不同どう于主要しゅよう理想りそう环（每まい个理想りそう都と是ぜ主要しゅよう理想りそう），Bézout环不一定要是唯一分解整环，例れい如一个整せい函数かんすう的てき环是非ぜひ原子げんし性せい的てきBézout环，也有やゆう许多其他类似的てき例れい子こ。整せい环是Prüfer的てきGCD环的充たかし份必要ひつよう条件じょうけん是ぜ其为Bézout环
• 若わかR是非ぜひ原子げんし性せい的てきGCD环，则R[X]是ぜGCD环中既すんで不ふ是ぜ唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい环（因いん为非原子げんし性せい），也不是ぜBézout环（因いん为X和わR一个不能取倒数的非零元素a可か以产生せい一いち个不包括ほうかつ1的てき理想りそう，但ただし1是ぜX和わa的てき最大さいだい公こう因数いんすう）的てき例れい子こ。任にん何なん符合ふごう此条件じょうけん的てき环R[X₁,...,X_n]都みやこ有ゆう类似性せい质。