单环

在ざい环论中なか，若わか某ぼう非ひ无零因子いんし环除了りょう零れい理想りそう及其本身ほんみ兩個りゃんこ理想りそう外がい沒ぼつ有ゆう其他双そう边理想りそう，则称该环为单环。特とく别地，交换环是ぜ单环当とう且仅当とう它是一いち个域いき。

单环的てき中心ちゅうしん必是一いち個こ域いき，所以ゆえん单环是ぜ该域上じょう的てき一いち个結合けつごう代數だいすう。因よし此，单代数すう和わ单环是ぜ相しょう同どう的てき概念がいねん。

此外，一いち些参考さんこう文献ぶんけん（例れい如Lang（2002）或あるBourbaki（2012））还要求ようきゅう该环是ぜ左ひだり阿おもね廷环或ある右みぎ阿おもね廷环（即そく半はん单环）。在ざい這種术语下か，没ぼつ有ゆう非ひ平凡へいぼん雙そう邊べ理想りそう的てき非ひ无零因子いんし环被称しょう为准单环（quasi-simple）。

存在そんざい在ざい自身じしん上じょう不ふ是ぜ单模的てき单环，即そく单环可か以有非ひ平凡へいぼん的てき左ひだり理想りそう和わ/或ある右みぎ理想りそう：例れい如域上じょう的てき全ぜん矩のり阵环，它没有ゆう非ひ平凡へいぼん理想りそう（因いん为$M_{n}(R)$的てき任にん何なん理想りそう都と具有ぐゆう$M_{n}(I)$的てき形式けいしき，其中$I$是これ$R$的てき理想りそう），但ただし却有非ひ平凡へいぼん的てき左ひだり理想りそう（例れい如，某ぼう些固定こてい列れつ为零的てき矩のり阵组成なり的てき集合しゅうごう）。

根ね据すえ阿おもね廷-韦德伯はく恩おん定理ていり，所有しょゆう单左/右みぎ阿おもね廷环都と是ぜ除じょ环上的てき矩のり阵环。特とく别地，如果一个单环是实数域上的有限維度向量空间，则它必然ひつぜん與あずか实数域いき、複數ふくすう域いき或ある四元數域上的矩阵环同構。

单环，但ただし非ひ除じょ环上的てき矩のり阵环的てき一いち个例子こ是ぜ外そと尔代数すう。

特徵とくちょう

如果一個环不包含非平凡的雙邊理想，则它是ぜ一いち個こ單たん代数だいすう。

单代数すう的てき直接ちょくせつ示しめせ例れい是ぜ除法じょほう代数だいすう，其中每ごと个非零れい元素げんそ都と有ゆう一いち个乘法ほう逆ぎゃく，比ひ如四よん元げん数すう的てき实代数すう。此外，可か以证明あきら在ざい除じょ環たまき中ちゅう有元ありもとn  ×  n矩のり阵的代数だいすう是ぜ單たん代數だいすう。实际上じょう，它可以描述じゅつ所有しょゆう有限ゆうげん維度的てき单代数すう，直ちょく到いた同どう构為ため止どめ。換言かんげん之の，在ざい其中心ちゅうしん上じょう的てき任にん何なん有限ゆうげん維度單たん代数だいすう与あずか某ぼう个除法ほう环上的てき矩のり阵代数すう同どう构。1907年ねん，约瑟夫おっと·韦德伯はく恩おん在ざい其博士はかせ学位がくい论文《論ろん超ちょう复数》中ちゅう證明しょうめい這一いち件けん事ごと。該論文ろんぶん出現しゅつげん於伦敦あつし数学すうがく学会がっかい论文集しゅう裡うら。韋德伯はく恩おん在ざい其论文中ぶんちゅう分類ぶんるい了りょう单和半はん单代数すう。单代数すう是ぜ半はん单代数すう的てき构建块：在ざい代数だいすう的てき意い义上，任にん何なん有限ゆうげん維度的てき半はん单代数すう都と是ぜ單たん代數だいすう的てき笛ふえ卡尔积。

後來こうらい阿おもね廷-韦德伯はく恩おん定理ていり將はた韋德伯はく恩おん的てき結果けっか廣義こうぎ化か到いた半はん单环。

例れい子こ

• 一いち個こ中心ちゅうしん单代数すう（有ゆう时称为布饒にょう爾なんじ代数だいすう）是ぜ一いち个域いきF上うえ的てき有限ゆうげん維度單たん代數だいすう，且該域いき的てき中心ちゅうしん為ためF。

设R为实数すう域いき，C为複數すう域いき，H为四よん元げん数すう域いき。

• R上うえ的てき所有しょゆう有限ゆうげん維度單たん代數だいすう都と與あずかR、C或あるH上うえ的てき矩のり陣じん環たまき同どう構。R上うえ的てき所有しょゆう中心ちゅうしん單たん代數だいすう都と與あずかR或あるH上うえ的てき矩のり陣じん環たまき同どう構。這些結果けっか由ゆかり弗どる罗贝尼あま乌斯定理ていり得とく出で。
• C上うえ的てき所有しょゆう有限ゆうげん維度單たん代數だいすう都と是ぜ中心ちゅうしん單たん代數だいすう，與あずかC上うえ的てき矩のり陣じん環たまき同どう構。
• 有限ゆうげん域いき上うえ的てき所有しょゆう有限ゆうげん維度的てき中心ちゅうしん單たん代數だいすう都と與あずか該域上じょう的てき矩のり陣じん環たまき同どう構。
• 對たい於一いち個こ交换环，下しも列れつ四よん個こ性質せいしつ都と是ぜ等價とうか的てき：作為さくい半はん單たん環たまき、作為さくい约化阿おもね廷环、作為さくい克かつ鲁尔维数為ため0的てき約やく化か诺特环以及與域いき的てき有限ゆうげん直積ちょくせき同どう構。

韋德伯はく恩おん定理ていり

主しゅ条目じょうもく：阿おもね廷-韦德伯はく恩おん定理ていり

韋德伯はく恩おん定理ていり描述具有ぐゆう可逆かぎゃく元素げんそ和わ最小さいしょう左ひだり理想りそう的てき環たまき的てき特徵とくちょう（左ひだり阿おもね廷環的てき條件じょうけん是ぜ第だい二に條じょう假設かせつ的てき廣義こうぎ化か）。也就是ぜ說せつ，所有しょゆう此類的てき環たまき都と是ぜ除じょ環たまき上じょう的てきn × n矩のり陣じん，直ちょく至いたり同どう構為ため止どめ。

設しつらえD為ため一いち個こ除じょ環たまき，M_n(D)為ためD上うえ有ゆう元もと矩のり陣じん的てき環たまき。因よし此，可か以證明しょうめいM_n(D)中なか的てき所有しょゆう左ひだり理想りそう都と用よう以下いか形式けいしき出現しゅつげん：

{M ∈ M_n(D) | M的てき第だい n₁, ..., n_k行くだり沒ぼつ有元ありもと},

對たい於某個こ固定こてい{n₁, ..., n_k} ⊆ {1, ..., n}。因よし此，M_n(D)中ちゅう最小さいしょう理想りそう的てき格式かくしき為ため

{M ∈ M_n(D) | 除じょ第だいk行くだり外がい其餘所有しょゆう行ぎょう都と沒ぼつ有元ありもと},

對たい於某個こ給きゅう定じょう的てきk。換言かんげん之の，如果I是ぜ一いち個こ最小さいしょう左ひだり理想りそう，則のりI = M_n(D)e，其中e是ぜ一いち個こ幂等矩のり阵，在ざい(k, k)元もと為ため1，在ざい所有しょゆう其他地方ちほう為ため0。此外，D與あずかeM_n(D)e同どう構。左ひだり理想りそうI可か以視作さくeM_n(D)e上うえ的てき右みぎ模も。環たまきM_n(D)與あずか該模上じょう同どう胚はい的てき代數だいすう同どう構。

以上いじょう例れい子こ引出了りょう下か列れつ引理：

引理：A是ぜ一いち個こ單位たんい為ため1，冪べき等とう元素げんそ為ためe的てき環たまき，其中AeA = A。設しつらえI為ため左ひだり理想りそうAe，視し作さく一いち個こeAe上うえ的てき右みぎ模も。則のりA與あずかI上うえ同どう胚はい的てき代數だいすう同どう構，以Hom(I)表示ひょうじ。

證明しょうめい：我わが們使用しようΦふぁい(a)m = am定義ていぎ「左ひだり規則きそく表示ひょうじ」為ためΦふぁい : A → Hom(I)，對たい於m ∈ I。Φふぁい是ぜ单射的てき，因いん為ため如果a ⋅ I = aAe = 0，則のりaA = aAeA = 0，暗示あんじa = a ⋅ 1 = 0。

對たい於满射，設しつらえT ∈ Hom(I)。由よし於AeA = A，元素げんそ1可か以表達成たっせい1 = Σしぐまa_ieb_i。因よし此

T(m) = T(1 ⋅ m) = T(Σしぐまa_ieb_im) = Σしぐま T(a_ieeb_im) = Σしぐま T(a_ie) eb_im = [ΣしぐまT(a_ie)eb_i]m.

由よし於表達たち式しき[ΣしぐまT(a_ie)eb_i]不ふ取と決けつ於m，Φふぁい是ぜ滿まん射的しゃてき。引理證しょう畢。

從したがえ以上いじょう引理可か以得出で韋德伯はく恩おん定理ていり。

定理ていり（韋德伯はく恩おん）：如果A是ぜ一いち個こ有ゆう單位たんい1和わ最小さいしょう左ひだり理想りそうI的てき環たまき，則のりA與あずか除じょ環たまき上じょうn × n矩のり陣じん的てき環たまき同どう構。

證明しょうめいeAe是ぜ一いち個こ除じょ環たまき，只ただ需驗證しょう引理的てき假設かせつ，即そく求もとめ一いち個こ冪べき等とう元素げんそe使つかい得とくI = Ae。表明ひょうめいA是ぜ單たん環たまき後ご可か以得出でA = AeA這個假設かせつ。

參考さんこう文獻ぶんけん

• A. A. Albert, Structure of algebras, Colloquium publications 24, American Mathematical Society, 2003, ISBN 0-8218-1024-3.  P.37.
• Bourbaki, Nicolas, Algèbre Ch. 8 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-3-540-35315-7 
• Henderson, D.W. A short proof of Wedderburn's theorem. Amer. Math. Monthly. 1965, 72: 385–386. doi:10.2307/2313499. 
• Lam, Tsit-Yuen, A First Course in Noncommutative Rings 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0 
• Lang, Serge, Algebra 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0387953854 
• Jacobson, Nathan, Basic algebra II 2nd, W. H. Freeman, 1989, ISBN 978-0-7167-1933-5