单环

在ざい环论中なか，若わか某ぼう非ひ无零因子いんし环除了りょう零れい理想りそう及其本身ほんみ两个理想りそう外がい没ぼつ有ゆう其他双そう边理想りそう，则称该环为单环。特とく别地，交换环是ぜ单环当とう且仅当とう它是一いち个域いき。

单环的てき中心ちゅうしん必是一いち个域，所以ゆえん单环是ぜ该域上じょう的てき一いち个结合代数だいすう。因よし此，单代数すう和わ单环是ぜ相しょう同どう的てき概念がいねん。

此外，一いち些参考さんこう文献ぶんけん（例れい如Lang（2002）或あるBourbaki（2012））还要求ようきゅう该环是ぜ左ひだり阿おもね廷环或ある右みぎ阿おもね廷环（即そく半はん单环）。在ざい这种术语下か，没ぼつ有ゆう非ひ平凡へいぼん双そう边理想りそう的てき非ひ无零因子いんし环被称しょう为准单环（quasi-simple）。

存在そんざい在ざい自身じしん上じょう不ふ是ぜ单模的てき单环，即そく单环可か以有非ひ平凡へいぼん的てき左ひだり理想りそう和わ/或ある右みぎ理想りそう：例れい如域上じょう的てき全ぜん矩のり阵环，它没有ゆう非ひ平凡へいぼん理想りそう（因いん为$M_{n}(R)$的てき任にん何なん理想りそう都と具有ぐゆう$M_{n}(I)$的てき形式けいしき，其中$I$是これ$R$的てき理想りそう），但ただし却有非ひ平凡へいぼん的てき左ひだり理想りそう（例れい如，某ぼう些固定こてい列れつ为零的てき矩のり阵组成なり的てき集合しゅうごう）。

根ね据すえ阿おもね廷-韦德伯はく恩おん定理ていり，所有しょゆう单左/右みぎ阿おもね廷环都と是ぜ除じょ环上的てき矩のり阵环。特とく别地，如果一个单环是实数域上的有限维度向量空间，则它必然ひつぜん与あずか实数域いき、复数域いき或ある四元数域上的矩阵环同构。

单环，但ただし非ひ除じょ环上的てき矩のり阵环的てき一いち个例子こ是ぜ外そと尔代数すう。

特とく征せい

如果一个环不包含非平凡的双边理想，则它是ぜ一いち个单代数だいすう。

单代数すう的てき直接ちょくせつ示しめせ例れい是ぜ除法じょほう代数だいすう，其中每ごと个非零れい元素げんそ都と有ゆう一いち个乘法ほう逆ぎゃく，比ひ如四よん元げん数すう的てき实代数すう。此外，可か以证明あきら在ざい除じょ环中有元ありもとn  ×  n矩のり阵的代数だいすう是ぜ单代数すう。实际上じょう，它可以描述じゅつ所有しょゆう有限ゆうげん维度的てき单代数すう，直ちょく到いた同どう构为止。换言之の，在ざい其中心ちゅうしん上じょう的てき任にん何なん有限ゆうげん维度单代数すう与あずか某ぼう个除法ほう环上的てき矩のり阵代数すう同どう构。1907年ねん，约瑟夫おっと·韦德伯はく恩おん在ざい其博士はかせ学位がくい论文《论超复数》中ちゅう证明这一いち件けん事ごと。该论文ぶん出で现于伦敦数学すうがく学会がっかい论文集しゅう里さと。韦德伯はく恩おん在ざい其论文中ぶんちゅう分ぶん类了单和半はん单代数すう。单代数すう是ぜ半はん单代数すう的てき构建块：在ざい代数だいすう的てき意い义上，任にん何なん有限ゆうげん维度的てき半はん单代数すう都と是ぜ单代数すう的てき笛ふえ卡尔积。

后きさき来らい阿おもね廷-韦德伯はく恩おん定理ていり将はた韦德伯はく恩おん的てき结果广义化か到いた半はん单环。

例れい子こ

• 一いち个中心ちゅうしん单代数すう（有ゆう时称为布饶尔代数だいすう）是ぜ一いち个域いきF上うえ的てき有限ゆうげん维度单代数すう，且该域いき的てき中心ちゅうしん为F。

设R为实数すう域いき，C为复数すう域いき，H为四よん元げん数すう域いき。

• R上うえ的てき所有しょゆう有限ゆうげん维度单代数すう都と与あずかR、C或あるH上うえ的てき矩のり阵环同どう构。R上うえ的てき所有しょゆう中心ちゅうしん单代数すう都と与あずかR或あるH上うえ的てき矩のり阵环同どう构。这些结果由ゆかり弗どる罗贝尼あま乌斯定理ていり得とく出で。
• C上うえ的てき所有しょゆう有限ゆうげん维度单代数すう都と是ぜ中心ちゅうしん单代数すう，与あずかC上うえ的てき矩のり阵环同どう构。
• 有限ゆうげん域いき上うえ的てき所有しょゆう有限ゆうげん维度的てき中心ちゅうしん单代数すう都と与あずか该域上じょう的てき矩のり阵环同どう构。
• 对于一いち个交换环，下しも列れつ四个性质都是等价的：作さく为半はん单环、作さく为约化阿おもね廷环、作さく为克かつ鲁尔维数为0的てき约化诺特环以及与域いき的てき有限ゆうげん直ちょく积同构。

韦德伯はく恩おん定理ていり

主しゅ条目じょうもく：阿おもね廷-韦德伯はく恩おん定理ていり

韦德伯はく恩おん定理ていり描述具有ぐゆう可逆かぎゃく元和げんな最小さいしょう左ひだり理想りそう的てき环的特とく征せい（左ひだり阿おもね廷环的てき条件じょうけん是ぜ第だい二条假设的广义化）。也就是ぜ说，所有しょゆう此类的てき环都是ぜ除じょ环上的てきn × n矩のり阵，直ちょく至いたり同どう构为止。

设D为一个除环，M_n(D)为D上うえ有ゆう元もと矩のり阵的环。因よし此，可か以证明あきらM_n(D)中なか的てき所有しょゆう左ひだり理想りそう都と用よう以下いか形式けいしき出で现：

{M ∈ M_n(D) | M的てき第だい n₁, ..., n_k行くだり没ぼつ有元ありもと},

对于某ぼう个固定こてい{n₁, ..., n_k} ⊆ {1, ..., n}。因よし此，M_n(D)中ちゅう最小さいしょう理想りそう的てき格式かくしき为

{M ∈ M_n(D) | 除じょ第だいk行くだり外がい其余所有しょゆう行ぎょう都と没ぼつ有元ありもと},

对于某ぼう个给定じょう的てきk。换言之の，如果I是ぜ一いち个最小さいしょう左ひだり理想りそう，则I = M_n(D)e，其中e是ぜ一いち个幂等矩のり阵，在ざい(k, k)元もと为1，在ざい所有しょゆう其他地方ちほう为0。此外，D与あずかeM_n(D)e同どう构。左ひだり理想りそうI可か以视作さくeM_n(D)e上うえ的てき右みぎ模も。环M_n(D)与あずか该模上じょう同どう胚はい的てき代数だいすう同どう构。

以上いじょう例れい子こ引出了りょう下か列れつ引理：

引理：A是ぜ一个单位为1，幂等元素げんそ为e的てき环，其中AeA = A。设I为左理想りそうAe，视作一いち个eAe上うえ的てき右みぎ模も。则A与あずかI上うえ同どう胚はい的てき代数だいすう同どう构，以Hom(I)表示ひょうじ。

证明：我わが们使用しようΦふぁい(a)m = am定てい义“左ひだり规则表示ひょうじ”为Φふぁい : A → Hom(I)，对于m ∈ I。Φふぁい是ぜ单射的てき，因いん为如果はてa ⋅ I = aAe = 0，则aA = aAeA = 0，暗示あんじa = a ⋅ 1 = 0。

对于满射，设T ∈ Hom(I)。由よし于AeA = A，元素げんそ1可か以表达成1 = Σしぐまa_ieb_i。因よし此

T(m) = T(1 ⋅ m) = T(Σしぐまa_ieb_im) = Σしぐま T(a_ieeb_im) = Σしぐま T(a_ie) eb_im = [ΣしぐまT(a_ie)eb_i]m.

由よし于表达式[ΣしぐまT(a_ie)eb_i]不ふ取と决于m，Φふぁい是ぜ满射的てき。引理证毕。

从以上じょう引理可か以得出で韦德伯はく恩おん定理ていり。

定理ていり（韦德伯はく恩おん）：如果A是ぜ一いち个有单位1和わ最小さいしょう左ひだり理想りそうI的てき环，则A与あずか除じょ环上n × n矩のり阵的环同构。

证明eAe是ぜ一いち个除环，只ただ需验证引理り的てき假かり设，即そく求もとめ一いち个幂等とう元素げんそe使つかい得とくI = Ae。表明ひょうめいA是ぜ单环后きさき可か以得出でA = AeA这个假かり设。

参考さんこう文献ぶんけん

• A. A. Albert, Structure of algebras, Colloquium publications 24, American Mathematical Society, 2003, ISBN 0-8218-1024-3.  P.37.
• Bourbaki, Nicolas, Algèbre Ch. 8 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-3-540-35315-7 
• Henderson, D.W. A short proof of Wedderburn's theorem. Amer. Math. Monthly. 1965, 72: 385–386. doi:10.2307/2313499. 
• Lam, Tsit-Yuen, A First Course in Noncommutative Rings 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0 
• Lang, Serge, Algebra 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0387953854 
• Jacobson, Nathan, Basic algebra II 2nd, W. H. Freeman, 1989, ISBN 978-0-7167-1933-5