單たん環たまき

在ざい環たまき論ろん中なか，若わか某ぼう非ひ無む零れい因子いんし環たまき除じょ了りょう零れい理想りそう及其本身ほんみ兩個りゃんこ理想りそう外がい沒ぼつ有ゆう其他雙そう邊べ理想りそう，則のり稱しょう該環為ため單たん環たまき。特別とくべつ地ち，交換こうかん環たまき是ぜ單たん環たまき當とう且僅當とう它是一いち個こ域いき。

單たん環たまき的てき中心ちゅうしん必是一いち個こ域いき，所以ゆえん單たん環たまき是ただし該域上じょう的てき一いち個こ結合けつごう代數だいすう。因よし此，單たん代數だいすう和わ單たん環たまき是ただし相しょう同どう的てき概念がいねん。

此外，一いち些參考さんこう文獻ぶんけん（例れい如Lang（2002）或あるBourbaki（2012））還かえ要求ようきゅう該環是ぜ左ひだり阿おもね廷環或ある右みぎ阿おもね廷環（即そく半はん單たん環たまき）。在ざい這種術語じゅつご下か，沒ぼつ有ゆう非ひ平凡へいぼん雙そう邊べ理想りそう的てき非ひ無む零れい因子いんし環たまき被ひ稱しょう為ため準じゅん單たん環たまき（quasi-simple）。

存在そんざい在ざい自身じしん上じょう不ふ是ぜ單たん模も的てき單たん環たまき，即そく單たん環たまき可か以有非ひ平凡へいぼん的てき左ひだり理想りそう和わ/或ある右みぎ理想りそう：例れい如域上じょう的てき全ぜん矩のり陣じん環たまき，它沒有ゆう非ひ平凡へいぼん理想りそう（因よし為ため$M_{n}(R)$的てき任にん何なん理想りそう都と具有ぐゆう$M_{n}(I)$的てき形式けいしき，其中$I$是これ$R$的てき理想りそう），但ただし卻有非ひ平凡へいぼん的てき左ひだり理想りそう（例れい如，某ぼう些固定こてい列れつ為ため零れい的てき矩のり陣じん組成そせい的てき集合しゅうごう）。

根據こんきょ阿おもね廷-韋德伯はく恩おん定理ていり，所有しょゆう單たん左ひだり/右みぎ阿おもね廷環都と是ぜ除じょ環たまき上じょう的てき矩のり陣じん環たまき。特別とくべつ地ち，如果一個單環是實數體上的有限維度向量空間，則のり它必然しか與あずか實じつ數すう體たい、複數ふくすう體たい或ある四元數體上的矩陣環同構。

單たん環たまき，但ただし非ひ除じょ環たまき上じょう的てき矩のり陣じん環たまき的てき一いち個こ例れい子こ是ぜ外そと爾なんじ代數だいすう。

特徵とくちょう

如果一個環不包含非平凡的雙邊理想，則のり它是一いち個こ單たん代數だいすう。

單たん代數だいすう的てき直接ちょくせつ示しめせ例れい是ぜ除法じょほう代數だいすう，其中每ごと個こ非ひ零れい元素げんそ都と有ゆう一いち個こ乘法じょうほう逆ぎゃく，比ひ如四よん元げん數すう的てき實じつ代數だいすう。此外，可か以證明しょうめい在ざい除じょ環たまき中ちゅう有元ありもとn  ×  n矩のり陣じん的てき代數だいすう是ぜ單たん代數だいすう。實際じっさい上じょう，它可以描述じゅつ所有しょゆう有限ゆうげん維度的てき單たん代數だいすう，直ちょく到いた同どう構為ため止どめ。換言かんげん之の，在ざい其中心ちゅうしん上じょう的てき任にん何なん有限ゆうげん維度單たん代數だいすう與あずか某ぼう個こ除法じょほう環たまき上じょう的てき矩のり陣じん代數だいすう同どう構。1907年ねん，約やく瑟夫·韋德伯はく恩おん在ざい其博士はかせ學位がくい論文ろんぶん《論ろん超ちょう複數ふくすう》中ちゅう證明しょうめい這一いち件けん事ごと。該論文ろんぶん出現しゅつげん於倫敦ろんどん數學すうがく學會がっかい論ろん文集ぶんしゅう裏うら。韋德伯はく恩おん在ざい其論文中ぶんちゅう分類ぶんるい了りょう單たん和わ半はん單たん代數だいすう。單たん代數だいすう是ぜ半はん單たん代數だいすう的てき構建塊かたまり：在ざい代數だいすう的てき意義いぎ上じょう，任にん何なん有限ゆうげん維度的てき半はん單たん代數だいすう都と是ぜ單たん代數だいすう的てき笛ふえ卡爾積せき。

後來こうらい阿おもね廷-韋德伯はく恩おん定理ていり將はた韋德伯はく恩おん的てき結果けっか廣義こうぎ化か到いた半はん單たん環たまき。

例れい子こ

• 一いち個こ中心ちゅうしん單たん代數だいすう（有ゆう時じ稱しょう為ため布ぬの饒にょう爾なんじ代數だいすう）是ぜ一いち個こ域いきF上うえ的てき有限ゆうげん維度單たん代數だいすう，且該域いき的てき中心ちゅうしん為ためF。

設しつらえR為ため實數じっすう體たい，C為ため複數ふくすう體たい，H為ため四よん元げん數すう體たい。

• R上うえ的てき所有しょゆう有限ゆうげん維度單たん代數だいすう都と與あずかR、C或あるH上うえ的てき矩のり陣じん環たまき同どう構。R上うえ的てき所有しょゆう中心ちゅうしん單たん代數だいすう都と與あずかR或あるH上うえ的てき矩のり陣じん環たまき同どう構。這些結果けっか由ゆかり弗どる比ひ尼あま斯定理ていり得とく出で。
• C上うえ的てき所有しょゆう有限ゆうげん維度單たん代數だいすう都と是ぜ中心ちゅうしん單たん代數だいすう，與あずかC上うえ的てき矩のり陣じん環たまき同どう構。
• 有限ゆうげん體たい上うえ的てき所有しょゆう有限ゆうげん維度的てき中心ちゅうしん單たん代數だいすう都と與あずか該域上じょう的てき矩のり陣じん環たまき同どう構。
• 對たい於一いち個こ交換こうかん環たまき，下しも列れつ四よん個こ性質せいしつ都と是ぜ等價とうか的てき：作為さくい半はん單たん環たまき、作為さくい約やく化か阿おもね廷環、作為さくい克かつ魯爾維數為ため0的てき約やく化か諾だく特とく環たまき以及與域いき的てき有限ゆうげん直積ちょくせき同どう構。

韋德伯はく恩おん定理ていり

主しゅ條目じょうもく：阿おもね廷-韋德伯はく恩おん定理ていり

韋德伯はく恩おん定理ていり描述具有ぐゆう可逆かぎゃく元素げんそ和わ最小さいしょう左ひだり理想りそう的てき環たまき的てき特徵とくちょう（左ひだり阿おもね廷環的てき條件じょうけん是ぜ第だい二に條じょう假設かせつ的てき廣義こうぎ化か）。也就是ぜ說せつ，所有しょゆう此類的てき環たまき都と是ぜ除じょ環たまき上じょう的てきn × n矩のり陣じん，直ちょく至いたり同どう構為ため止どめ。

設しつらえD為ため一いち個こ除じょ環たまき，M_n(D)為ためD上うえ有ゆう元もと矩のり陣じん的てき環たまき。因よし此，可か以證明しょうめいM_n(D)中なか的てき所有しょゆう左ひだり理想りそう都と用よう以下いか形式けいしき出現しゅつげん：

{M ∈ M_n(D) | M的てき第だい n₁, ..., n_k行くだり沒ぼつ有元ありもと},

對たい於某個こ固定こてい{n₁, ..., n_k} ⊆ {1, ..., n}。因よし此，M_n(D)中ちゅう最小さいしょう理想りそう的てき格式かくしき為ため

{M ∈ M_n(D) | 除じょ第だいk行くだり外がい其餘所有しょゆう行ぎょう都と沒ぼつ有元ありもと},

對たい於某個こ給きゅう定じょう的てきk。換言かんげん之の，如果I是ぜ一いち個こ最小さいしょう左ひだり理想りそう，則のりI = M_n(D)e，其中e是ぜ一いち個こ冪べき等とう矩のり陣じん，在ざい(k, k)元もと為ため1，在ざい所有しょゆう其他地方ちほう為ため0。此外，D與あずかeM_n(D)e同どう構。左ひだり理想りそうI可か以視作さくeM_n(D)e上うえ的てき右みぎ模も。環たまきM_n(D)與あずか該模上じょう同どう胚はい的てき代數だいすう同どう構。

以上いじょう例れい子こ引出了りょう下か列れつ引理：

引理：A是ぜ一いち個こ單位たんい為ため1，冪べき等とう元素げんそ為ためe的てき環たまき，其中AeA = A。設しつらえI為ため左ひだり理想りそうAe，視し作さく一いち個こeAe上うえ的てき右みぎ模も。則のりA與あずかI上うえ同どう胚はい的てき代數だいすう同どう構，以Hom(I)表示ひょうじ。

證明しょうめい：我わが們使用しようΦふぁい(a)m = am定義ていぎ「左ひだり規則きそく表示ひょうじ」為ためΦふぁい : A → Hom(I)，對たい於m ∈ I。Φふぁい是ぜ單たん射い的てき，因いん為ため如果a ⋅ I = aAe = 0，則のりaA = aAeA = 0，暗示あんじa = a ⋅ 1 = 0。

對たい於滿まん射しゃ，設しつらえT ∈ Hom(I)。由よし於AeA = A，元素げんそ1可か以表達成たっせい1 = Σしぐまa_ieb_i。因よし此

T(m) = T(1 ⋅ m) = T(Σしぐまa_ieb_im) = Σしぐま T(a_ieeb_im) = Σしぐま T(a_ie) eb_im = [ΣしぐまT(a_ie)eb_i]m.

由よし於表達たち式しき[ΣしぐまT(a_ie)eb_i]不ふ取と決けつ於m，Φふぁい是ぜ滿まん射的しゃてき。引理證しょう畢。

從したがえ以上いじょう引理可か以得出で韋德伯はく恩おん定理ていり。

定理ていり（韋德伯はく恩おん）：如果A是ぜ一いち個こ有ゆう單位たんい1和わ最小さいしょう左ひだり理想りそうI的てき環たまき，則のりA與あずか除じょ環たまき上じょうn × n矩のり陣じん的てき環たまき同どう構。

證明しょうめいeAe是ぜ一いち個こ除じょ環たまき，只ただ需驗證しょう引理的てき假設かせつ，即そく求もとめ一いち個こ冪べき等とう元素げんそe使つかい得とくI = Ae。表明ひょうめいA是ぜ單たん環たまき後ご可か以得出でA = AeA這個假設かせつ。

參考さんこう文獻ぶんけん

• A. A. Albert, Structure of algebras, Colloquium publications 24, American Mathematical Society, 2003, ISBN 0-8218-1024-3.  P.37.
• Bourbaki, Nicolas, Algèbre Ch. 8 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-3-540-35315-7 
• Henderson, D.W. A short proof of Wedderburn's theorem. Amer. Math. Monthly. 1965, 72: 385–386. doi:10.2307/2313499. 
• Lam, Tsit-Yuen, A First Course in Noncommutative Rings 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0 
• Lang, Serge, Algebra 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0387953854 
• Jacobson, Nathan, Basic algebra II 2nd, W. H. Freeman, 1989, ISBN 978-0-7167-1933-5