几何代数だいすう

  关于一般いっぱん代数だいすう结构，请见「克利かつとし福德ふくとく代数だいすう」。

  提示ていじ：此条目め页的主ぬし题不是ぜ代数だいすう几何。

数学すうがく中なか，几何代数だいすう（也称作さく实克利かつとし福德ふくとく代数だいすう）是これ初等しょとう代数だいすう的てき推广，用よう于处理り向むかい量りょう等とう几何对象。几何代数だいすう由加ゆか法ほう与あずか几何积两种基本きほん运算组成，向こう量的りょうてき乘じょう积是更さら高だか维对象ぞう，称しょう作さく多重たじゅう向むこう量りょう。与あずか其他处理几何对象的てき形式けいしき相しょう比ひ，几何代数だいすう在ざい支持しじ不同ふどう维度的てき对象的てき向むこう量りょう除法じょほう与あずか加法かほう方面ほうめん具有ぐゆう优势。

几何积最早由さより赫尔曼·格かく拉ひしげ斯曼简单提ひさげ及，他た的てき兴趣主要しゅよう在ざい于发展てん与あずか之これ紧密相しょう关的外そと代数だいすう。1878年ねん，威い廉かど·金きん顿·克利かつとし福德ふくとく大だい大だい扩展了りょう格かく拉ひしげ斯曼的てき工作こうさく，形成けいせい现在所しょ谓克利かつとし福德ふくとく代数だいすう以纪念ねん他た（虽然克利かつとし福德ふくとく自己じこ称しょう之の为“几何代数だいすう”）。克利かつとし福德ふくとく将はた克利かつとし福德ふくとく代数だいすう及其积定义为格かく拉ひしげ斯曼代数だいすう和かず哈密顿的四よん元げん数すう代数だいすう的てき统一。加か上うえ格かく拉ひしげ斯曼外がい积的对偶（“相あい遇ぐう”）就可以使用しよう格かく拉ひしげ斯曼–凯莱代数だいすう，后きさき者しゃ的てき共きょう形かたち版本はんぽん与あずか共きょう形かたち克利かつとし福德ふくとく代数だいすう一いち起おこり产生了りょう共きょう形かたち几何代数だいすう（CGA），为经典几何提供ていきょう了りょう框かまち架か。实践中ちゅう，这些运算和わ一些可派生运算可将代数的元素、子こ空そら间、运算同どう几种几何解かい释对应起来らい。几十じゅう年来ねんらい，几何代数だいすう有ゆう些被忽ゆるがせ视了，因いん为当时为描述电磁学がく产生的てき向こう量りょう分析ぶんせき挤占了りょう几何代数だいすう的てき地ち盘。1960年代ねんだい，“几何代数だいすう”由ゆかり大だい卫·黑くろ斯廷斯重じゅう新しん发掘出来でき，主しゅ张其对相对论物理ぶつり学がく的てき重要じゅうよう性せい。

标量和わ向むこう量りょう有ゆう其通常つうじょう的てき解かい释，并构成なり几何代数だいすう的てき不同ふどう子こ空そら间。二に重じゅう向むこう量りょう可か更さら自然しぜん地ち表示ひょうじ向こう量りょう分析ぶんせき中なか的てき伪向量りょう，如有向ゆうこう面めん积、旋转的てき有向ゆうこう角度かくど、挠、角すみ动量与あずか电磁场。三重向量可表示有向体积，等とう等とう。称しょう作さく刃は的てき元素げんそ可用かよう于表示ひょうじV的てき子こ空そら间，及其上じょう的てき正せい交投影とうえい。旋转与反射はんしゃ也可用よう元素げんそ表示ひょうじ。不同ふどう于向量りょう分析ぶんせき，几何代数だいすう可か自然しぜん地ち容よう纳任何なん维度和わ任にん何なん二に次じ型がた，如相あい对论中なか的てき二に次じ型がた。

几何代数だいすう在ざい物理ぶつり学がく中ちゅう的てき应用有ゆう时空代数だいすう（及不太ふと常つね见的物理ぶつり空そら间代数すう）与あずか共きょう形かたち几何代数だいすう。几何微ほろ积分是ぜ几何代数だいすう的てき推广，包含ほうがん了りょう微分びぶん和わ积分，可用かよう于形成けいせい其他理り论，如复分析ぶんせき和わ微分びぶん几何，例れい如用克利かつとし福德ふくとく代数だいすう代替だいたい微分びぶん形式けいしき。大だい卫·黑くろ斯廷斯和かずChris Doran等とう人ひと一直主张将几何代数作为物理ぶつり学がく的てき主要しゅよう数学すうがく框かまち架か。支持しじ者しゃ声ごえ称たたえ，几何代数だいすう为包括ほうかつ经典力学りきがく、量子力学りょうしりきがく、电磁学がく、相あい对论等とう许多领域提供ていきょう了りょう紧凑而直观地描述。几何代数だいすう还被用作ようさく计算机つくえ图形学がく和わ机つくえ器き人じん学がく的てき计算工具こうぐ。

定てい义与符号ふごう

几何代数だいすう有ゆう多た种定义。黑くろ斯廷斯最初さいしょ的てき定てい义是公理こうり化か的てき、“充たかし盈みつる着ぎ几何意い义”，等とう价于泛克利り福德ふくとく代数だいすう。给定域いきF上うえ的てき有限ゆうげん维向量りょう空そら间V，并配备对称たたえ双そう线性形式けいしき（即そく内ない积，如欧氏し或ある洛らく伦兹度量どりょう）$g:V\times V\to F$，则二に次じ空そら间$(V,g)$的てき几何代数だいすう是これ克利かつとし福德ふくとく代数だいすう$\operatorname {Cl} (V,g)$，成なり员乘坐すわ多た重子しげこ或ある多重たじゅう向むこう量りょう（多重たじゅう向むこう量りょう一词更常用于指外代数的具体元素）。按领域内いきない的てき通常つうじょう做法，本文ほんぶん将はた只ただ考こう虑实数すう情じょう形がた，即そく$F=\mathbb {R}$。符号ふごう${\mathcal {G}}(p,q)$（分ぶん别为${\mathcal {G}}(p,q,r)$）将しょう用よう于表示ひょうじ双そう线性形式けいしきg具有ぐゆう符号ふごう$(p,q)$（分ぶん别是$(p,q,r)$）的てき几何代数だいすう。

代数だいすう中ちゅう的てき本ほん质积称しょう作さく几何积，包含ほうがん的てき外そと代数だいすう的てき积称作さく外がい积（更さら多た叫さけべ楔くさび积）。标准写うつし法ほう分ぶん别是并列（省はぶけ去ざ任にん何なん符号ふごう）和かず楔くさび形がた$\wedge$。几何代数だいすう的てき上述じょうじゅつ定てい义是抽象ちゅうしょう的てき，因いん此我们用下面かめん一组公理概括几何积的性质。对于多子おいご$A,B,C\in {\mathcal {G}}(p,q)$，几何积具有ぐゆう如下性せい质：

• $AB\in {\mathcal {G}}(p,q)$（封ふう闭）
• $1A=A1=A$，其中$1$是ぜ单位元もと（单位元もと的てき存在そんざい）
• $A(BC)=(AB)C$（结合律りつ）
• $A(B+C)=AB+AC$ and $(B+C)A=BA+CA$（分配ぶんぱい律りつ）
• $a^{2}=g(a,a)1$，其中a是ぜ代だい数すう子し空そら间V的てき任意にんい元素げんそ。

外そと积具有ぐゆう相しょう同どう的まと性せい质，只ただ是ぜ最さい后きさき一いち条じょう改あらため为$a\wedge a=0,\ \forall a\in V$。

注意ちゅうい，在ざい上述じょうじゅつ最さい后きさき一いち个性质中，若わかg不ふ是正ぜせい定じょう的てき，则实数すう$g(a,a)$不ふ必是非ぜひ负的。 几何积的一个重要性质是元素有乘法逆元：$\forall {\vec {a}}$，若わか$a^{2}\neq 0$，则$a^{-1}$存在そんざい，且等于$g(a,a)^{-1}a$。代数だいすう的てき非ひ零れい元もと不ふ一定いってい有ゆう乘法じょうほう逆ぎゃく元もと，例れい如若${\vec {u}}\in V$，且使$u^{2}=1$，则元素げんそ$\textstyle {\frac {1}{2}}(1+u)$既すんで是非ぜひ平凡へいぼん幂等元素げんそ，也是非ぜひ零れい零れい除じょ子こ，于是没ぼつ有ゆう逆ぎゃく。

通常つうじょう将しょう$\mathbb {R}$、V与あずか其在自然しぜん嵌入かんにゅう$\mathbb {R} \to {\mathcal {G}}(p,q)$、$V\to {\mathcal {G}}(p,q)$下した的てき像ぞう视作等とう同どう的てき。本文ほんぶん中ちゅう，标量和わ向むこう量りょう分ぶん别指$\mathbb {R}$、V的てき元素げんそ（及它们在此嵌入かんにゅう下か的てき像ぞう）。

几何积

主しゅ条目じょうもく：对称双そう线性形式けいしき和わ外そと代数だいすう

给定两向量りょうa、b，若わか其几何なん积$ab$反はん交换，则是垂直すいちょく的てき，因いん为$a\cdot b=0$；若わか是ぜ交换的てき，则是平行へいこう的てき，因いん为$a\wedge b=0$。

由ゆかり有ゆう序じょ向こう量りょう集しゅう定てい义的方向ほうこう

反はん转方向ほうこう相当そうとう于对外がい积取负

实外代数だいすう中ちゅうn次元じげん素的すてき几何解かい释：$n=0$（有ゆう符号ふごう点てん）、$1$（有向ゆうこう线段或ある向こう量りょう）、$2$（有向ゆうこう面めん元もと）、$3$（有向ゆうこう体たい积） 。n个向量的りょうてき外がい积可直ちょく观视作さく任にん何なにn维形状じょう（如n-超ちょう平行へいこう体たい、n-椭球）；其大小しょう（超ちょう体からだ积）和わ方向ほうこう由ゆかり(n-1)维边界かい上じょう的てき方向ほうこう和わ内部ないぶ哪一边的方向定义。

可か将しょう任意にんい两向量りょうa、b的てき几何积写成なり对称积与反はん对称积之和わ：

$ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba)$

于是可か以定义内积

$a\cdot b:=g(a,b),$

于是，对称积可写うつし作さく

${\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}\left((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)=a\cdot b$

反はん之これ，g完全かんぜん由よし代数だいすう决定。反はん对称部分ぶぶん是ぜ两个向こう量的りょうてき外がい积，即そく含外そと代数だいすう部分ぶぶん之の积：

$a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a)$

那な么从简单加法かほう就能有ゆう：

$ab=a\cdot b+a\wedge b$几何积的非ひ广义或ある向こう量りょう形式けいしき。

内外ないがい积与标准向むこう量りょう代数だいすう中ちゅう的てき相しょう应概念がいねん有ゆう关。几何上じょう，若わかa和わb的てき几何积等于其内ない积，则就是ぜ平行へいこう的てき；若わか等とう于其外がい积，则就是ぜ垂直すいちょく的てき。在ざい几何代数だいすう中ちゅう，非ひ零れい向こう量的りょうてき平方へいほう都と是正ぜせい的てき，因いん此两向こう量的りょうてき内ない积可视作标准向むこう量りょう代数だいすう的てき点てん积。两向量りょう外がい积可用向ようむき量りょう形成けいせい的てき平行へいこう四よん边形所ところ包つつみ围的有向ゆうこう面めん积来らい表示ひょうじ。3维中具有ぐゆう正せい定じょう二に次じ型がた的てき两向量りょう之の叉また积与あずか其外积密切きり相しょう关。

大だい多数たすう相しょう关几何なん代数だいすう的てき实例都と具有ぐゆう非ひ退化たいか二に次じ型がた。若わか二に次じ型がた是ぜ完全かんぜん退化たいか的てき，则任意にんい两向量的りょうてき内ない积总是ぜ零れい，几何代数だいすう就是简单的てき外そと代数だいすう。除じょ非ひ另有说明，本文ほんぶん只ただ讨论非ひ退化たいか几何代数だいすう。

外そと积可自然しぜん推广为代数すう中ちゅう任意にんい两元素之もとゆき间的结合双そう线性算さん子こ，且满足あし

${\begin{aligned}1\wedge a_{i}&=a_{i}\wedge 1=a_{i}\\a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}&={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (r)},\end{aligned}}$

其中，和かず是ただし对指数すう的てき所有しょゆう排列はいれつ，$\operatorname {sgn} (\sigma )$是ぜ排列はいれつ的てき符号ふごう，$a_{i}$是ぜ向むこう量りょう（不ふ是ぜ代数だいすう的てき一般いっぱん元素げんそ）。由よし于代数すう中ちゅう的てき每まい个元素げんそ都と可か表示ひょうじ为这种形式しき的てき积之和わ，这也就定义了代数だいすう中ちゅう每まい对元素的すてき外がい积。从定义中可か以看出で，外そと积构成なり交替こうたい代数だいすう。

克利かつとし福德ふくとく代数だいすう的てき等とう价结构方程ほど为

$a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}=\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}\sum _{\mu \in {}{\mathcal {C}}}(-1)^{k}Pf(a_{\mu _{1}}\cdot a_{\mu _{2}},\dots ,a_{\mu _{2i-1}}\cdot a_{\mu _{2i}})a_{\mu _{2i+1}}\land \dots \land a_{\mu _{n}}$

其中$Pf(A)$是これA的てき普ひろし法夫のりお值， ${\mathcal {C}}={\binom {n}{2i}}$提供ていきょう了りょう将しょうn个索引分ひきわけ为2i、n-2i两部分ぶぶん的てき组合$\mu$，k是これ组合的てき奇偶きぐう性せい。

普ひろし法夫のりお值为外がい代数だいすう提供ていきょう了りょう度量どりょう。另外，正せい如Claude Chevalley指出さしで的てき，克利かつとし福德ふくとく代数だいすう可か还原为二次型为零的外代数。从几何なん角度かくど看み，可か从单纯形がた出で发，发展克利かつとし福德ふくとく代数だいすう，来らい理解りかい普あまね法夫のりお值所起おこり的てき作用さよう。这种推导为杨辉三さん角かく和かず单纯形がた之の间提供ていきょう了りょう更さら好このみ的てき联系，因いん为提供ていきょう了りょう对杨辉三角第一层一个1的てき解かい释。

刃は、次つぎ、规范基もと

多重たじゅう向むこう量りょう是ぜr个线性せい独立どくりつ向こう量的りょうてき外がい积，称しょう作さく一いち个刃（blade），次数じすう为r（grade）。r次つぎ刃ば之の和わ形成けいせい的てき多重たじゅう向むこう量りょう称しょう作さく（齐性）r次じ多重たじゅう向むこう量りょう。根ね据すえ公理こうり与あずか闭包，几何代数だいすう中ちゅう的てき多重たじゅう向むこう量りょう都と是ぜ刃ば之の和わ。

考こう虑r次じ线性独立どくりつ向こう量りょう集合しゅうごう$\{a_{1},\ldots ,a_{r}\}$，跨またが越えつ向むこう量りょう空そら间的r维子空そら间，之これ后きさき就可定てい义实对称矩のり阵（与あずか构造格かく拉ひしげ姆矩阵的てき方法ほうほう相しょう同どう）：

$[\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}$

根ね据すえ谱定理ていり，$\mathbf {A}$可か由ゆかり正せい交矩阵$\mathbf {O}$对角化か为对角矩のり阵$\mathbf {D}$：

$\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}$

定てい义一组新的てき向むこう量りょう$\{e_{1},\ldots ,e_{r}\}$，称しょう作さく正せい交基向むこう量りょう，是ぜ由正よしまさ交矩阵变换的向むこう量りょう：

$e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}$

由よし于正交变换保内ない积，所以ゆえん$e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}$，$\{e_{1},\ldots ,e_{r}\}$垂直すいちょく。也就是ぜ说，两不同どう向むこう量りょう$e_{i}\neq e_{j}$的てき几何积完全ぜん由よし外がい积决定じょう，更さら一般いっぱん地ち说

${\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}$

于是，r次じ刃は都と可か写うつし作さくr个向量的りょうてき外がい积。更さら一般いっぱん地ち，若わか允まこと许退化か几何代数だいすう，则正交矩阵将被ひ替がえ换为非ひ退化たいか块中正せい交的分ぶん块矩阵，对角阵的零れい值项沿退化か维度分布ぶんぷ。若わか非ひ退化たいか子こ空そら间的新しん向むこう量りょう是ぜ归一化的单位向量：

${\hat {e}}_{i}={\frac {1}{\sqrt {|e_{i}\cdot e_{i}|}}}e_{i},$

则这些归一化向量必须平方为$\pm 1$。西にし尔维斯特惯性定理ていり指出さしで，沿对角かく阵的$+1$、$-1$的てき总数是ぜ不ふ变的。推而广之，平方へいほう得とく$+1$的まと向むこう量りょう总数p、得とく$-1$的まと向むこう量りょう总数q也是不ふ变的。（平方へいほう为零的てき基もと向むこう量りょう总数也不变，若わか允まこと许退化か情じょう形がた，则可能かのう不ふ为零。）记此代数だいすう为${\mathcal {G}}(p,q)$。例れい如，${\mathcal {G}}(3,0)$是ぜ3维欧おう氏し空そら间的てき模型もけい，${\mathcal {G}}(1,3)$是ぜ相しょう对论时空。${\mathcal {G}}(4,1)$是ぜ3维空间的共きょう形かたち几何代数だいすう。

索さく引依次じ递增的てきn个正交基向こう量的りょうてき所有しょゆう可能かのう积集合しゅうごう，包括ほうかつ作さく为空积的$1$，构成了りょう整せい个几何なん代数だいすう的てき基もと（类似于PBW定理ていり）。例れい如，下面かめん是ぜ几何代数だいすう${\mathcal {G}}(3,0)$的てき基もと：

$\{1,e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}e_{2},e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}e_{3}\}$

这样形成けいせい的てき基もと称しょう作さく规范基もと，V的てき任にん何なん其他正せい交基都会とかい产生另外的てき规范基もと。每まい个规范基都みやこ有ゆう$2^{n}$个元素げんそ，几何代数だいすう的てき每まい个多重たじゅう想おもえ来らい那な个都可か表ひょう为规范基元素げんそ的てき线性组合。若わか规范基もと元素げんそ是ぜ$\{B_{i}\mid i\in S\}$，其中S是ぜ索引さくいん集しゅう，则任意にんい两多重おも向こう量的りょうてき几何积是

$\left(\sum _{i}\alpha _{i}B_{i}\right)\left(\sum _{j}\beta _{j}B_{j}\right)=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}B_{i}B_{j}.$

在ざい描述只ただ含1次元じげん素的すてき多重たじゅう向むこう量りょう时，常用じょうよう“$k$-向むこう量りょう”。高位こうい空そら间中，有ゆう些这样的多重たじゅう向むこう量りょう不能ふのう视作刃ば（不能ふのう分解ぶんかい为k个向量的りょうてき外がい积）。举例来らい说，${\mathcal {G}}(4,0)$中なか的てき$e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}$不能ふのう分解ぶんかい，不ふ过通常つうじょう情じょう况下，代数だいすう中ちゅう这类元素げんそ不能ふのう被ひ几何解かい释为对象，尽つき管かん它们可能かのう代表だいひょう诸如旋转之の类的几何量りょう。只ただ有ゆう$0,1,(n-1),n$-向むこう量りょう在ざいn-空そら间中还是刃ば。

另见

• 克利かつとし福德ふくとく代数だいすう
• 格かく拉ひしげ斯曼–凯莱代数だいすう
• 时空代数だいすう
• 旋量
• 四よん元げん数すう
• 物理ぶつり空そら间代数すう
• 泛几何なん代数だいすう

参考さんこう文献ぶんけん

时间顺序排列はいれつ

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外部がいぶ链接

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• Imaginary Numbers are not Real – the Geometric Algebra of Spacetime. Introduction (Cambridge GA group).
• Geometric Algebra 2015, Masters Course in Scientific Computing, from Dr. Chris Doran (Cambridge).
• Maths for (Games) Programmers: 5 – Multivector methods. Comprehensive introduction and reference for programmers, from Ian Bell.
• IMPA Summer School 2010 Fernandes Oliveira Intro and Slides.
• University of Fukui E.S.M. Hitzer and Japan GA publications.
• Google Group for GA
• Geometric Algebra Primer Introduction to GA, Jaap Suter.
• Geometric Algebra Resources curated wiki, Pablo Bleyer.
• Applied Geometric Algebras in Computer Science and Engineering 2018 Early Proceedings
• GAME2020 Geometric Algebra Mini Event
• AGACSE 2021 Videos

English translations of early books and papers

• G. Combebiac, "calculus of tri-quaternions" (Doctoral dissertation)
• M. Markic, "Transformants: A new mathematical vehicle. A synthesis of Combebiac's tri-quaternions and Grassmann's geometric system. The calculus of quadri-quaternions"
• C. Burali-Forti, "The Grassmann method in projective geometry" A compilation of three notes on the application of exterior algebra to projective geometry
• C. Burali-Forti, "Introduction to Differential Geometry, following the method of H. Grassmann" Early book on the application of Grassmann algebra
• H. Grassmann, "Mechanics, according to the principles of the theory of extension" One of his papers on the applications of exterior algebra.

研究けんきゅう组

• Geometric Calculus International. Links to Research groups, Software, and Conferences, worldwide.
• Cambridge Geometric Algebra group. Full-text online publications, and other material.
• University of Amsterdam group
• Geometric Calculus research & development (Arizona State University).
• GA-Net blog and newsletter archive. Geometric Algebra/Clifford Algebra development news.
• Geometric Algebra for Perception Action Systems. Geometric Cybernetics Group (CINVESTAV, Campus Guadalajara, Mexico).