物理ぶつり空そら间代数すう

物理ぶつり学がく中なか，物理ぶつり空そら间代数すう （APS）是ぜ用よう三さん维欧おう氏し空そら间的てき克利かつとし福德ふくとく代数だいすう或ある几何代数だいすう${\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )$作さく为(3+1)维时空的てき模型もけい，通つう过副ふく向むこう量りょう（3维向量りょう加か1维标量りょう）表示ひょうじ时空中ちゅう的てき一いち个点。

克利かつとし福德ふくとく代数だいすう${\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )$在ざい旋量表示ひょうじ$\mathbb {C} ^{2}$上うえ有ゆう由ゆかり泡あわ利り矩のり阵生成せいせい的てき忠ちゅう实表示ひょうじ；此外，${\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )$同どう构于克利かつとし福德ふくとく代数だいすう${\rm {Cl}}_{3,\ 1}(\mathbb {R} )$的てき偶子代数だいすう${\rm {Cl}}_{3,\ 1}^{[0]}(\mathbb {R} )$。

APS可か为经典てん力学りきがく与あずか量子力学りょうしりきがく构建一いち个紧凑、统一的てき几何形式けいしき。

注意ちゅういAPS与あずか时空代数だいすう（STA）不同ふどう，后きさき者しゃ涉わたる及4维闵氏时空的てき克利かつとし福德ふくとく代数だいすう${\rm {Cl}}_{1,\ 3}(\mathbb {R} )$。

狭せま义相对论

时空位置いち副ふく向むこう量りょう

APS中ちゅう，时空位置いち可か表ひょう为副ふく向むこう量りょう

$$x=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3},$$

其中时间由よし标绿部分ぶぶん$x^{0}=t$给出，${\vec {e}}_{1},\ {\vec {e}}_{2},\ {\vec {e}}_{3}$是ぜ位置いち空そら间的标准基もと。整せい个过程ほど中ちゅう使用しよう的てき单位是ぜ$c=1$，称しょう作さく自然しぜん单位制せい。在ざい泡あわ利り矩のり阵表おもて述じゅつ中ちゅう，单位基もと向むこう量りょう被ひ泡あわ利り矩のり阵代替だいたい，标量部分ぶぶん被ひ单位矩のり阵代替だいたい，这意味いみ着ぎ时空位置いち的てき泡あわ利り矩のり阵表述じゅつ为

$$x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}$$

洛らく伦兹变换与转子

主しゅ条目じょうもく：洛らく伦兹变换和わ转子 (数学すうがく)

保ほ时间方向ほうこう、包含ほうがん旋转与递升的てき受限洛らく伦兹变换，可用かよう对时空そら旋转双そう副ふく向むこう量りょうW进行指数しすう化か实现：

$$L=e^{{\frac {1}{2}}W}.$$

在ざい矩のり阵表示ひょうじ中ちゅう，洛らく伦兹转子被ひ看み作さく是ぜ${\rm {SL}}(2,\ \mathbb {C} )$群ぐん（复数上うえ度ど为2的てき特殊とくしゅ线性群ぐん）的てき一いち个例子こ，其是洛らく伦兹群ぐん的てき双そう覆くつがえ盖。洛らく伦兹转子的てき幺模性せい可か由よし以下いか条件じょうけん，转为洛らく伦兹转子与あずか其克利り福德ふくとく共ども轭之积：

$$L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1.$$

此洛伦兹转子总可以分解ぶんかい为两个因子こ，是ぜ厄やく米まい的てき$B=B^{\dagger }$与あずか幺正的てき$R^{\dagger }=R^{-1}$，使つかい得とく

$$L=BR.$$

酉とり元もとR称しょう作さく转子，因いん为其编码了りょう旋转，厄やく米まい元もとB则编码了递升。

四维速度副向量

四よん维速度そくど也称原はら速そく，定てい义为时空位置いち副ふく向むこう量りょう对原はら时τたう的てき导数：

$$u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}\left[1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})\right].$$

定てい义普通どおり速度そくど为

$$\mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3}),$$

回想かいそう伽とぎ马因子いんし的てき定てい义：

$$\gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}},$$

于是原ばら速そく的てき更さら紧凑定てい义是：

$$u=\gamma (\mathbf {v} )(1+\mathbf {v} ).$$

原はら速そく是正ぜせい幺模副ふく向むこう量りょう，意味いみ着ぎ下か列れつ克利かつとし福德ふくとく共ども轭条件じょうけん：

$$u{\bar {u}}=1.$$

在ざい洛らく伦兹转子L作用さよう下か，原はら速そく变换为

$$u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.$$

四维动量副向量

APS中ちゅう的てき四よん维动量りょう可か通どおり过将原ばら速そく与あずか质量相乘そうじょう得え到いた：

$$p=mu,$$

质壳条件じょうけん转化为

$${\bar {p}}p=m^{2}.$$

经典电动力学りきがく

主しゅ条目じょうもく：经典电动力学りきがく

电磁场、电势与电流

电磁场可か表ひょう为双副ふく向むこう量りょうF：

$$F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ,$$

其中厄やく米まい部分ぶぶん代表だいひょう电场E，反はん厄やく米まい部分ぶぶん代表だいひょう磁场B。在ざい标准泡あわ利り矩のり阵表示ひょうじ中ちゅう，电磁场为

$$F\rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}\,.$$

场F的てき源みなもと是ただし电磁四よん维电流りゅう

$$j=\rho +\mathbf {j} \,,$$

其中标量部分ぶぶん等とう于电荷密度みつどρろー，向むこう量りょう部分ぶぶん等とう于电流密度みつどj。引入电磁势副ふく向むこう量りょう：

$$A=\phi +\mathbf {A} \,,$$

当とう中ちゅう标量部分ぶぶん等とう于电势ϕ，向むこう量りょう部分ぶぶん等とう于磁势A。则电磁场为

$$F=\partial {\bar {A}}.$$

此场也可分ぶん为电部分ぶぶん

$$E=\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{V}$$

与あずか磁部分ぶぶん

$$B=i\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{BV}$$

当とう中なか

$$\partial =\partial _{t}+\mathbf {e} _{1}\,\partial _{x}+\mathbf {e} _{2}\,\partial _{y}+\mathbf {e} _{3}\,\partial _{z}$$

且F在ざい下した列れつ规范变换下した不ふ变：

$$A\rightarrow A+\partial \chi \,,$$

其中$\chi$是これ标量场。

电磁场在洛らく伦兹变换下か是ぜ协变的てき，规律是ぜ

$$F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}\,.$$

麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组与洛らく伦兹力りょく

麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组可用かよう单一方いっぽう程ほど表示ひょうじ：

$${\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}}\,,$$

其中上横うえよこ线表示ひょうじ克利かつとし福德ふくとく共ども轭。

洛らく伦兹力りょく方かた程ほど形式けいしき为

$${\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}\,.$$

电磁拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう

电磁拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう是これ

$$L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}\,,$$

是ぜ实标量りょう不ふ变量。

相あい对论量子力学りょうしりきがく

主しゅ条目じょうもく：相あい对论量子力学りょうしりきがく

对质量りょう为m、电荷为e的てき带电粒子りゅうし，其狄拉克かつ方かた程ほど的てき形式けいしき为

$$i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger },$$

其中${\vec {e}}_{3}'$是ぜ任意にんい酉とり向むこう量りょう，A是ぜ如上じょじょう所しょ述じゅつ的てき电磁副ふく向むこう量りょう。电磁相互そうご作用さよう通どおり过最小さいしょう耦合包含ほうがん在ざい势A中なか。

经典旋量

主しゅ条目じょうもく：旋量

与あずか洛らく伦兹力りょく一致的洛伦兹转子的微分びぶん方かた程ほど为

$${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,$$

这样，原はら速そく可か通どおり过静止せいし时的洛らく伦兹变换计算出来でき：

$$u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },$$

积分之の，就可得え到いた时空轨迹$x(\tau )$，同どう时还能のう使用しよう

$${\frac {dx}{d\tau }}=u.$$

另见

• 副ふく向むこう量りょう
• 多重たじゅう向むこう量りょう
• wikibooks:Physics Using Geometric Algebra
• 相あい对论量子力学りょうしりきがく
• 代数だいすう

参考さんこう文献ぶんけん

教科きょうか书

• Baylis, William. Electrodynamics: A Modern Geometric Approach 2nd. 2002. ISBN 0-8176-4025-8. 
• Baylis, William (编). Clifford (Geometric) Algebras: with applications to physics, mathematics, and engineering. Springer. 1999 [1996]. ISBN 978-0-8176-3868-9. 
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony. Geometric Algebra for Physicists. Cambridge University Press. 2007 [2003]. ISBN 978-1-139-64314-6. 
• Hestenes, David. New Foundations for Classical Mechanics 2nd. Kluwer. 1999. ISBN 0-7923-5514-8. 

文章ぶんしょう

• Baylis, W E. Relativity in introductory physics. Canadian Journal of Physics. 2004, 82 (11): 853–873. Bibcode:2004CaJPh..82..853B. S2CID 35027499. arXiv:physics/0406158 . doi:10.1139/p04-058. 
• Baylis, W E; Jones, G. The Pauli algebra approach to special relativity. Journal of Physics A: Mathematical and General. 7 January 1989, 22 (1): 1–15. Bibcode:1989JPhA...22....1B. doi:10.1088/0305-4470/22/1/008. 
• Baylis, W. E. Classical eigenspinors and the Dirac equation. Physical Review A. 1 March 1992, 45 (7): 4293–4302. Bibcode:1992PhRvA..45.4293B. PMID 9907503. doi:10.1103/physreva.45.4293. 
• Baylis, W. E.; Yao, Y. Relativistic dynamics of charges in electromagnetic fields: An eigenspinor approach. Physical Review A. 1 July 1999, 60 (2): 785–795. Bibcode:1999PhRvA..60..785B. doi:10.1103/physreva.60.785.