一个可微函数的图像 可 か 微分 びぶん 函数 かんすう 英語 えいご Differentiable function ）在 ざい 微 ほろ 学 がく 中 ちゅう 是 ぜ 指 ゆび 那 な 定 てい 中 ちゅう 所有 しょゆう 点 てん 都 と 存在 そんざい 导数 的 てき 函数 かんすう 可 か 微 ほろ 函数 かんすう 的 てき 图像 在 ざい 定 てい 内的 ないてき 每 ごと 因 よし 可 か 微 ほろ 函数 かんすう 的 てき 是 ぜ 相 しょう 滑 すべり 的 てき 没 ぼつ 有 ゆう 点 てん 尖 とんが 点 てん 或 ある 任 にん 何 なん 有 ゆう 垂直 すいちょく 切 きり 点 てん
一般 いっぱん 来 らい 若 わか X 0 是 ぜ 函数 かんすう f 定 てい 上 じょう 的 てき 一 いち 点 てん f ′(X 0 )有定 ありさだ f 在 ざい X 0 点 てん 可 か 微 ほろ 是 ぜ f 的 てき 在 ざい X 0 , f (X 0 ))点 てん 有 ゆう 非 ひ 垂直 すいちょく 切 きり 点 てん 不 ふ 是 ぜ 点 てん 尖 とんが 点 てん
魏 ぎ 特 とく 拉 ひしげ 数 すう 但 ただし 在任 ざいにん 一 いち 点 てん 都 と 不可 ふか 微 ほろ 若 わか f 在 ざい X 0 点 てん 可 か 微 ほろ f 在 ざい 连续 。特 とく 所有 しょゆう 可 か 微 ほろ 函数 かんすう 在 ざい 内 ない 任 にん 一 いち 点 てん 逆 ぎゃく 命 いのち 不成立 ふせいりつ 比 ひ 一 いち 折 おり 点 てん 尖 とんが 点 てん 或 ある 垂直 すいちょく 切 きり 函数 かんすう 可能 かのう 是 ぜ 的 てき 但 ただし 在 ざい 异常点 てん 不可 ふか 微 ほろ
实践中 ちゅう 的 てき 函数 かんすう 大 だい 多 た 在 ざい 所有 しょゆう 点 てん 可 か 微 ほろ 或 ある 几乎处处 可 か 微 ほろ 但 ただし 斯特凡·巴 ともえ 声 こえ 称 しょう 可 か 微 ほろ 函数 かんすう 在 ざい 所有 しょゆう 函数 かんすう 的 てき 集合 しゅうごう 中 ちゅう 少数 しょうすう [ 1] 表示 ひょうじ 可 か 微 ほろ 函数 かんすう 在 ざい 函数 かんすう 中 ちゅう 不具 ふぐ 代表 だいひょう 性 せい 人 ひと 第 だい 魏 ぎ 特 とく 拉 ひしげ 数 すう
函数 かんすう f 是 ぜ 可 か 微 ほろ f'(x) 存在 そんざい 函数 かんすう 可 か 微 ほろ 函數 かんすう f(x) 之 これ 導 しるべ 數 すう f'(x) 不可能 ふかのう 有 ゆう 跳躍 ちょうやく 不連續 ふれんぞく 點 てん 但 ただし 可能 かのう 有本 ありもと 性 せい 不連續 ふれんぞく 點 てん 例 れい 考慮 こうりょ 以下 いか 函數 かんすう f(x) ：
f
(
x
)
=
{
x
2
sin
(
1
/
x
)
if
x
≠
0
0
if
x
=
0
{\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}
此函數 すう 在 ざい x =0處 しょ 可 か 微 ほろ 可 か 照 あきら 定義 ていぎ 求 もとめ 出 で
f
′
(
0
)
=
lim
ϵ
→
0
(
ϵ
2
sin
(
1
/
ϵ
)
−
0
ϵ
)
=
0
,
{\displaystyle f'(0)=\lim _{\epsilon \to 0}\left({\frac {\epsilon ^{2}\sin(1/\epsilon )-0}{\epsilon }}\right)=0,}
但 ただし 對 たい x ≠0，
f
′
(
x
)
=
2
x
sin
(
1
/
x
)
−
cos
(
1
/
x
)
{\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)}
當 とう x 趨近於0時 じ f'(x) 的 てき 極限 きょくげん 並 なみ 不 ふ 存在 そんざい
连续可 か 微 ほろ 函数 かんすう 被 ひ 称 しょう 作 さく
C
1
{\displaystyle C^{1}}
函数 かんすう 一 いち 数 すう 称 しょう 作 さく
C
2
{\displaystyle C^{2}}
函数 かんすう 函数 かんすう 的 てき 一 いち 更 さら 一般 いっぱん 的 てき 一 いち 数 すう 称 しょう 作 さく
C
k
{\displaystyle C^{k}}
函数 かんすう 前 まえ k 阶导数 すう f ′(x ), f ″(x ), ..., f (k ) (x ) 都 と 存在 そんざい 所有 しょゆう 正 せい 整数 せいすう (n) 存在 そんざい 函数 かんすう 被 ひ 称 しょう 光 ひかり 滑 すべり 函数 かんすう 或 ある 称 しょう
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
函数 かんすう
多元 たげん 函数 かんすう 的 てき 可 か 微 ほろ 性 せい [ 编辑 ] 如果一个函数的所有偏导数在某点的邻域 内 うち 存在 そんざい 那 な 函数 かんすう 在 ざい 可 か 微 ほろ 是 ぜ C 1 。(这是可 か 微 ほろ 的 てき
形式 けいしき 上 じょう 一 いち 多元 たげん 函数 かんすう f : R m R n 在 ざい 点 てん x0 微 ほろ 存在 そんざい 线性映 うつ 射 い J : R m R n
lim
h
→
0
‖
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
)
−
J
(
h
)
‖
R
n
‖
h
‖
R
m
=
0.
{\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.}
注意 ちゅうい 偏 へん 所有 しょゆう 方向 ほうこう 導 しるべ 數 すう 都 と 存在 そんざい 不能 ふのう 保 ほ 数 すう 在 ざい 可 か 微 ほろ 考慮 こうりょ 以下 いか 函數 かんすう f : R 2 → R
f
(
x
,
y
)
=
{
x
if
y
≠
x
2
0
if
y
=
x
2
{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}}
此函數 すう 在 ざい (0, 0) 並 なみ 不可 ふか 微 ほろ 但 ただし 所有 しょゆう 偏 へん 導 しるべ 數 すう 方向 ほうこう 導 しるべ 數 すう 在 ざい 皆 みな 存在 そんざい 以下 いか 是 ぜ 一 いち 個 こ 連續 れんぞく 的 てき 例 れい 子 こ
f
(
x
,
y
)
=
{
y
3
/
(
x
2
+
y
2
)
if
(
x
,
y
)
≠
(
0
,
0
)
0
if
(
x
,
y
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}
此函數 すう 在 ざい (0, 0) 並 なみ 不可 ふか 微 ほろ 但 ただし 所有 しょゆう 偏 へん 導 しるべ 數 すう 方向 ほうこう 導 しるべ 數 すう 在 ざい 皆 みな 存在 そんざい
複 ふく 變 へん 函數 かんすう 的 てき 可 か 微 ほろ 性 せい [ 编辑 ] 在 ざい 複 ふく 分析 ぶんせき 中 なか 任 にん 何 なん 在 ざい 某 ぼう 點 てん 附近 ふきん 可 か 微 ほろ 的 てき 複 ふく 變 へん 函數 かんすう 被 ひ 稱 しょう 為 ため 全 ぜん 純 じゅん 函數 かんすう 函數 かんすう 會 かい 是 ぜ 無限 むげん 可 か 微 ほろ 是 ぜ 解析 かいせき 函数 かんすう
^ Banach, S. Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. Studia. Math. 1931, (3): 174–179. Hewitt, E and Stromberg, K. Real and abstract analysis. Springer-Verlag. 1963. Theorem 17.8.
