一个可微函数的图像
可 か 微分 びぶん 函数 かんすう (英語 えいご :Differentiable function )在 ざい 微 ほろ 积分学 がく 中 ちゅう 是 ぜ 指 ゆび 那 な 些在定 てい 义域中 ちゅう 所有 しょゆう 点 てん 都 と 存在 そんざい 导数 的 てき 函数 かんすう 。可 か 微 ほろ 函数 かんすう 的 てき 图像 在 ざい 定 てい 义域内的 ないてき 每 ごと 一点上必存在非垂直切线。因 よし 此,可 か 微 ほろ 函数 かんすう 的 てき 图像是 ぜ 相 しょう 对光滑 すべり 的 てき ,没 ぼつ 有 ゆう 间断点 てん 、尖 とんが 点 てん 或 ある 任 にん 何 なん 有 ゆう 垂直 すいちょく 切 きり 线的点 てん 。
一般 いっぱん 来 らい 说,若 わか X 0 是 ぜ 函数 かんすう f 定 てい 义域上 じょう 的 てき 一 いち 点 てん ,且f ′(X 0 )有定 ありさだ 义,则称f 在 ざい X 0 点 てん 可 か 微 ほろ 。这就是 ぜ 说f 的 てき 图像在 ざい (X 0 , f (X 0 ))点 てん 有 ゆう 非 ひ 垂直 すいちょく 切 きり 线,且该点 てん 不 ふ 是 ぜ 间断点 てん 、尖 とんが 点 てん 。
魏 ぎ 尔斯特 とく 拉 ひしげ 斯函数 すう 连续,但 ただし 在任 ざいにん 一 いち 点 てん 都 と 不可 ふか 微 ほろ
若 わか f 在 ざい X 0 点 てん 可 か 微 ほろ ,则f 在 ざい 该点必连续 。特 とく 别的,所有 しょゆう 可 か 微 ほろ 函数 かんすう 在 ざい 其定义域内 ない 任 にん 一 いち 点 てん 必连续。逆 ぎゃく 命 いのち 题则不成立 ふせいりつ :一个连续函数未必可微。比 ひ 如,一 いち 个有折 おり 点 てん 、尖 とんが 点 てん 或 ある 垂直 すいちょく 切 きり 线的函数 かんすう 可能 かのう 是 ぜ 连续的 てき ,但 ただし 在 ざい 异常点 てん 不可 ふか 微 ほろ 。
实践中 ちゅう 运用的 てき 函数 かんすう 大 だい 多 た 在 ざい 所有 しょゆう 点 てん 可 か 微 ほろ ,或 ある 几乎处处 可 か 微 ほろ 。但 ただし 斯特凡·巴 ともえ 拿赫 声 こえ 称 しょう 可 か 微 ほろ 函数 かんすう 在 ざい 所有 しょゆう 函数 かんすう 构成的 てき 集合 しゅうごう 中 ちゅう 却是少数 しょうすう 。[ 1] 这表示 ひょうじ 可 か 微 ほろ 函数 かんすう 在 ざい 连续函数 かんすう 中 ちゅう 不具 ふぐ 代表 だいひょう 性 せい 。人 ひと 们发现的第 だい 一个处处连续但处处不可微的函数是魏 ぎ 尔斯特 とく 拉 ひしげ 斯函数 すう 。
函数 かんすう f 是 ぜ 连续可 か 微 ほろ (continuously differentiable),如果导数f'(x) 存在 そんざい 且是连续函数 かんすう 。可 か 微 ほろ 函數 かんすう f(x) 之 これ 導 しるべ 數 すう f'(x) 不可能 ふかのう 有 ゆう 跳躍 ちょうやく 不連續 ふれんぞく 點 てん ,但 ただし 可能 かのう 有本 ありもと 性 せい 不連續 ふれんぞく 點 てん 。例 れい 如考慮 こうりょ 以下 いか 函數 かんすう f(x) :
f
(
x
)
=
{
x
2
sin
(
1
/
x
)
if
x
≠
0
0
if
x
=
0
{\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}
此函數 すう 在 ざい x =0處 しょ 可 か 微 ほろ ,可 か 照 あきら 定義 ていぎ 求 もとめ 出 で f'(0):
f
′
(
0
)
=
lim
ϵ
→
0
(
ϵ
2
sin
(
1
/
ϵ
)
−
0
ϵ
)
=
0
,
{\displaystyle f'(0)=\lim _{\epsilon \to 0}\left({\frac {\epsilon ^{2}\sin(1/\epsilon )-0}{\epsilon }}\right)=0,}
但 ただし 對 たい x ≠0,
f
′
(
x
)
=
2
x
sin
(
1
/
x
)
−
cos
(
1
/
x
)
{\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)}
當 とう x 趨近於0時 じ ,f'(x) 的 てき 極限 きょくげん 並 なみ 不 ふ 存在 そんざい 。
连续可 か 微 ほろ 函数 かんすう 被 ひ 称 しょう 作 さく
C
1
{\displaystyle C^{1}}
函数 かんすう 。一 いち 个函数 すう 称 しょう 作 さく '
C
2
{\displaystyle C^{2}}
函数 かんすう 如果函数 かんすう 的 てき 一 いち 阶、二阶导数存在且连续。更 さら 一般 いっぱん 的 てき ,一 いち 个函数 すう 称 しょう 作 さく
C
k
{\displaystyle C^{k}}
函数 かんすう 如果前 まえ k 阶导数 すう f ′(x ), f ″(x ), ..., f (k ) (x ) 都 と 存在 そんざい 且连续。如果对于所有 しょゆう 正 せい 整数 せいすう n,f(n) 存在 そんざい ,这个函数 かんすう 被 ひ 称 しょう 为光 ひかり 滑 すべり 函数 かんすう 或 ある 称 しょう
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
函数 かんすう 。
多元 たげん 函数 かんすう 的 てき 可 か 微 ほろ 性 せい [ 编辑 ]
如果一个函数的所有偏导数在某点的邻域 内 うち 存在 そんざい 且连续,那 な 么该函数 かんすう 在 ざい 该点可 か 微 ほろ ,而且是 ぜ class C 1 。(这是可 か 微 ほろ 的 てき 一个充分不必要条件)
形式 けいしき 上 じょう ,一 いち 个多元 たげん 实值函数 かんすう f : R m → R n 在 ざい 点 てん x0 处可微 ほろ ,如果存在 そんざい 线性映 うつ 射 い J : R m → R n 满足
lim
h
→
0
‖
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
)
−
J
(
h
)
‖
R
n
‖
h
‖
R
m
=
0.
{\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.}
注意 ちゅうい ,偏 へん 导数(甚至所有 しょゆう 方向 ほうこう 導 しるべ 數 すう )都 と 存在 そんざい 并不能 ふのう 保 ほ 证函数 すう 在 ざい 该点可 か 微 ほろ ,考慮 こうりょ 以下 いか 函數 かんすう f : R 2 → R :
f
(
x
,
y
)
=
{
x
if
y
≠
x
2
0
if
y
=
x
2
{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}}
此函數 すう 在 ざい (0, 0) 並 なみ 不可 ふか 微 ほろ ,但 ただし 其所有 しょゆう 偏 へん 導 しるべ 數 すう 及方向 ほうこう 導 しるべ 數 すう 在 ざい 該點皆 みな 存在 そんざい 。以下 いか 是 ぜ 一 いち 個 こ 連續 れんぞく 的 てき 例 れい 子 こ :
f
(
x
,
y
)
=
{
y
3
/
(
x
2
+
y
2
)
if
(
x
,
y
)
≠
(
0
,
0
)
0
if
(
x
,
y
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}
此函數 すう 在 ざい (0, 0) 並 なみ 不可 ふか 微 ほろ ,但 ただし 其所有 しょゆう 偏 へん 導 しるべ 數 すう 及方向 ほうこう 導 しるべ 數 すう 在 ざい 該點皆 みな 存在 そんざい 。
複 ふく 變 へん 函數 かんすう 的 てき 可 か 微 ほろ 性 せい [ 编辑 ]
在 ざい 複 ふく 分析 ぶんせき 中 なか ,任 にん 何 なん 在 ざい 某 ぼう 點 てん 附近 ふきん 可 か 微 ほろ 的 てき 複 ふく 變 へん 函數 かんすう 被 ひ 稱 しょう 為 ため 全 ぜん 純 じゅん 函數 かんすう ,這類函數 かんすう 也將會 かい 是 ぜ 無限 むげん 可 か 微 ほろ ,甚至是 ぜ 解析 かいせき 函数 かんすう 。
^ Banach, S. Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. Studia. Math. 1931, (3): 174–179. . Cited by Hewitt, E and Stromberg, K. Real and abstract analysis. Springer-Verlag. 1963. Theorem 17.8.