牛うし顿法

牛うし顿法（英語えいご：Newton's method）又また称しょう为牛うし顿-拉ひしげ弗どる森もり方法ほうほう（英語えいご：Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法ほうほう使用しよう函数かんすう$f(x)$的てき泰たい勒级数すう的てき前面ぜんめん几项来らい寻找方かた程ほど$f(x)=0$的てき根ね。

起源きげん

牛うし顿法最初さいしょ由ゆかり艾もぐさ萨克·牛うし頓とみ在ざい《流ながれ数すう法ほう》（Method of Fluxions，1671年ねん完成かんせい，在ざい牛うし顿去世よ后きさき於1736年ねん公おおやけ开发表ひょう）中ちゅう提出ていしゅつ。约瑟夫おっと·鮑あわび易えき也曾于1690年ねん在ざいAnalysis Aequationum中ちゅう提出ていしゅつ此方こちら法ほう。

方法ほうほう说明

蓝线表示ひょうじ方かた程ほど$f$而红线表示ひょうじ切きり线。可か以看出で$x_{n+1}$比ひ$x_{n}$更さら靠もたれ近ちか$f$所ところ要求ようきゅう的てき根ね$x$。

首くび先さき，选择一いち个接近せっきん函数かんすう$f(x)$零れい点てん的てき$x_{0}$，计算相しょう应的$f(x_{0})$和かず切きり线斜率りつ$f'(x_{0})$（这里$f'$表示ひょうじ函数かんすう$f$的てき导数）。然しか后きさき我わが们计算さん穿ほじ过点$(x_{0},f(x_{0}))$并且斜はす率りつ为$f'(x_{0})$的てき直ちょく线和$x$轴的交点こうてん的てき$x$坐すわ标，也就是ぜ求もとめ如下方かた程ほど的てき解かい：

$0=(x-x_{0})\cdot f'(x_{0})+f(x_{0})$

我わが们将新しん求もとめ得とく的てき点てん的てき$x$坐すわ标命名めいめい为$x_{1}$，通常つうじょう$x_{1}$会かい比ひ$x_{0}$更さら接近せっきん方かた程ほど$f(x)=0$的てき解かい。因よし此我们现在ざい可か以利用りよう$x_{1}$开始下か一いち轮迭代。迭代公式こうしき可か化か简为如下所しょ示しめせ：

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

已やめ有ゆう证明牛うし顿迭代だい法的ほうてき二に次じ收おさむ敛必须满足以下いか条件じょうけん：
$f'(x)\neq 0$; 对于所有しょゆう$x\in I$，其中$I$为区间[αあるふぁ − r, αあるふぁ + r]，且$x_{0}$在ざい区く间其中ちゅう$I$内うち，即そく $r\geqslant \left|a-x_{0}\right|$ 的てき;
对于所有しょゆう$x\in I$，$f''(x)$是ぜ连续的てき;
$x_{0}$足あし够接近せっきん根ね αあるふぁ。

然しか而当$f(x)=0$在ざい$x=a$处有m重根しこね时，这时牛うし顿法会かい降くだ为线性收おさむ敛，虽然使用しよう牛うし顿法也可以继续算下か去さ，但ただし收おさむ敛速度会わたらい减慢。

其它例れい子こ

第だい一いち个例子こ

求もとめ方かた程ほど$\cos(x)-x^{3}=0$的てき根ね。令れい$f(x)=\cos(x)-x^{3}$，两边求もとめ导，得とく$f'(x)=-\sin(x)-3x^{2}$。由よし于$-1\leq \cos(x)\leq 1(\forall x)$，则$-1\leq x^{3}\leq 1$，即そく$-1\leq x\leq 1$，可知かち方かた程ほど的てき根ね位い于$0$和わ$1$之これ间。我わが们从$x_{0}=0.5$开始。

${\begin{matrix}x_{1}&=&x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}&=&0.5-{\frac {\cos(0.5)-0.5^{3}}{-\sin(0.5)-3\times 0.5^{2}}}&=&1.112141637097\\x_{2}&=&x_{1}-{\frac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}&=&\vdots &=&{\underline {0.}}909672693736\\x_{3}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.86}}7263818209\\x_{4}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.86547}}7135298\\x_{5}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.8654740331}}11\\x_{6}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865474033102}}\end{matrix}}$

第だい二に个例子こ

牛うし顿法亦また可か发挥与泰たい勒展开式，对于函はこ式しき展てん开的功こう能のう。

求もとむ$a$的てき$m$次つぎ方かた根ね。

$x^{m}-a=0$

设$f(x)=x^{m}-a$，$f'(x)=mx^{m-1}$

而a的てきm次つぎ方かた根ね，亦また是ぜx的てき解かい，

以牛顿法来らい迭代：

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{m}-a}{mx_{n}^{m-1}}}$

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}}{m}}(1-ax_{n}^{-m})$

（或ある $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {1}{m}}\left(x_{n}-a{\frac {x_{n}}{x_{n}^{m}}}\right)$）

應用おうよう

求もとめ解かい最さい值問題もんだい

主しゅ条目じょうもく：應用おうよう於最優ゆう化か的てき牛うし頓ひたぶる法ほう

牛うし頓ひたぶる法ほう也被用よう於求函數かんすう的てき極ごく值。由よし於函數すう取と極ごく值的點てん處しょ的てき導しるべ數すう值為零れい，故こ可用かよう牛うし頓ひたぶる法ほう求もとめ導しるべ函數かんすう的てき零れい點てん，其疊代だい式しき為ため

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f^{\prime }(x_{n})}{f^{\prime \prime }(x_{n})}}.$

求もとめ拐点的てき公式こうしき以此类推

電腦でんのう程ほど式しき

可か以用程ほど式しき寫うつし出で牛うし頓ひたぶる法ほう:

例題れいだい:$f(x)=x^{3}-10x^{2}+x+1=0$ 求もとめx

用ようPython:

from math import pow
def f(x):
    y = pow(x,3)-(10*x*x)+x+1
    return y
def dx(x):
    y = (3*x*x)-(20*x)+1
    return y
x = 1
for i in range(1000):
    x = x - (f(x)/dx(x))
print(x)

用もちいC語ご言げん:

#include <stdio.h>
#include <math.h>
double x = 1.0;
double f(double x){
    double y = pow(x,3)-(10*x*x)+x+1;
    return y;}
double dx(double x){
    double y = (3*x*x)-(20*x)+1;
    return y;}
int main (){
    for(int i=0;i<1000;i++){
    x = x - (f(x)/dx(x));}
    printf(" %f",x);
    return 0;
}

只ただ要よう修おさむ改あらためf(x)和わdx(x)函數かんすう就可以解其他方程式ほうていしき

外部がいぶ連結れんけつ

• JAVA：牛うし頓ひたぶる勘かん根ね法ほう （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） （繁しげる體たい中ちゅう文ぶん）