مثلثات
مثلثات |
---|
![]() |
منابع |
قوانین و قضایا |
حساب دیفرانسیل و انتگرال |
مثلثات (به انگلیسی: Trigonometry) شاخه ای از ریاضیات است که روابط میان طول اضلاع و زاویههای مثلث را مطالعه میکند. نخستین کاربرد مثلثات در مطالعات اخترشناسی بودهاست. اکنون مثلثات کاربردهای زیادی در زمینههای ریاضیات محض و کاربردی، فیزیک و… دارد.
بعضی از روشهای بنیادی تحلیل، مانند تبدیل فوریه و معادلات موج، از توابع مثلثاتی برای توصیف رفتار تناوبی موجود در بسیاری از فرآیندهای فیزیکی استفاده میکنند. همچنین مثلثات، پایهٔ علم نقشهبرداری است.
سادهترین کاربرد مثلثات در مثلث قائمالزاویه است. هر شکل هندسی دیگری را نیز میتوان به مجموعهای از مثلثهای قائمالزاویه تبدیل کرد. شکل خاصی از مثلثات، مثلثات کروی است که برای مطالعهٔ مثلثات روی سطوح کروی و منحنی به کار میرود.
تاریخچه
[ویرایش]احتمالاً اولین بار مثلثات برای استفاده در نجوم ایجاد شدهاست.
خواجه نصیرالدین طوسی اولین کسی بود که مثلثات را بعنوان شاخهای از ریاضیات معرفی کرد.
بتانی منجم مسلمان قرن دهم میلادی اولین کسی بود که فرمولهای مثلثاتی امروزی را ابداع کرد.[۱]
واژگان مثلثات در متون فارسی و عربی قدیم با امروزه تفاوت داشت:[۲]
نام قدیم در فارسی | معنی نام | نام امروزی |
---|---|---|
جیب | گریبان | سینوس |
جیب تمام | گریبان پُر | کسینوس |
ظل، ظل معکوس | سایه | تانژانت |
ظل تمام، ظل مستوی | سایه پُر | کتانژانت |
قاطع، قطر ظل | بُرنده | سکانت |
قاطع تمام | بُرنده پُر | کسکانت |
کلیات
[ویرایش]تابع های اصلی مثلثات
[ویرایش]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB_%D9%82%D8%A7%D8%A6%D9%85%E2%80%8C%D8%A7%D9%84%D8%B2%D8%A7%D9%88%DB%8C%D9%87.svg/220px-%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB_%D9%82%D8%A7%D8%A6%D9%85%E2%80%8C%D8%A7%D9%84%D8%B2%D8%A7%D9%88%DB%8C%D9%87.svg.png)
مجموع زاویه های داخلی مثلث برابر ۱۸۰ درجه است؛ بنابراین در مثلث قائم الزاویه با داشتن مقدار یک زاویه تند، می توان مقدار زاویه دیگر را به دست آورد. با مشخص بودن زاویه ها می توان نسبت میان اضلاع را یافت. به این ترتیب، اگر اندازهٔ یک ضلع معلوم باشد، اندازه دو ضلع دیگر قابل محاسبه است. نسبت میان اضلاع مثلث، با استفاده از توابع مثلثاتی زیر، محاسبه می شود. در شکل روبرو، برای زاویه تند A که مجاور وتر c و ضلع b و روبرو به ضلع a است، داریم:
- تابع سینوس که به صورت نسبت ضلع مقابل به وتر تعریف می شود:
- تابع کسینوس که به صورت نسبت ضلع مجاور به وتر تعریف می شود:
- تابع تانژانت که به صورت نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور تعریف می شود:
توابع مثلثاتی برای زاویه B نیز به همین ترتیب قابل محاسبه هستند. از آنجایی که ضلع مقابل زاویه A مجاور زاویه B است و برعکس، سینوس یک زاویه برابر با کسینوس زاویهٔ دیگر است. به عبارت دیگر: و .
عکس تابع های بالا نیز با نام های سکانت (معکوس کسینوس)، کسکانت (معکوس سینوس) و کتانژانت (معکوس تانژانت) تعریف می شوند.
سکانت: | |
کسکانت: | |
کتانژانت: |
دایره واحد مثلثاتی
[ویرایش]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/Circle-trig6.svg/300px-Circle-trig6.svg.png)
تابعهای مثلثاتی برای زاویههای تند بر اساس رابطههای بالا محاسبه میشوند. برای زاویههای بزرگتر از ۹۰ درجه (
دوران |
---|
تناوب
[ویرایش]تابعهای مثلثاتی برای زاویههای بزرگتر از ۳۶۰ درجه (۲
تابع وارون
[ویرایش]برای تابعهای مثلثاتی، تابع وارون در بازه مشخصی که شرط یک به یک بودن تابع برقرار باشد، تعریف میشود. این تابعها متناظر با تابع اصلی، آرکسینوس، آرککسینوس و آرکتانژانت نامیده میشوند.
زاویههای مرزی
[ویرایش]ربع | زاویه + | زاویه - |
---|---|---|
ربع اول | ||
ربع دوم | ||
ربع سوم | ||
ربع چهارم |
علامت توابع مثلثاتی در هر ناحیه دایره مثلثاتی
[ویرایش]نسبتهای مثلثاتی | ربع اول | ربع دوم | ربع سوم | ربع چهارم |
---|---|---|---|---|
روابط اصلی
[ویرایش]بعضی از رابطههای مثلثاتی برای همه زاویهها بر قرار هستند که به این رابطهها، اتحاد مثلثاتی گفته میشود. از جمله، برخی از این اتحادها در تعیین مشخصات مثلث (مانند مساحت و شعاع دایره محیطی) کاربرد دارند و برخی برای محاسبه تابعهای مثلثاتی برای مجموع یا تفاضل دو زاویه مورد استفاده قرار میگیرند.
اتحادهای فیثاغورس
[ویرایش]اتحاد اصلی به صورت زیر است:
میتوان از اتحاد بالا دو اتحاد دیگر را استخراج نمود:
کاربرد اتحادها در مثلث
[ویرایش]قانون سینوسها
[ویرایش]با استفاده از قانون سینوسها در هر مثلث دلخواه، میتوان با معلوم بودن اندازه یک ضلع و دو زاویه مجاور آن، اندازه دو ضلع دیگر را محاسبه نمود. همچنین میتوان مساحت مثلث (
بر اساس اتحاد بالا، مساحت مثلث با معلوم بودن اندازه دو ضلع و زاویه میان آنها از رابطه زیر، قابل محاسبه است:
قانون کسینوسها
[ویرایش]با استفاده از قانون کسینوسها در هر مثلث دلخواه، با معلوم بودن اندازه دو ضلع و زاویه میان آنها، اندازه ضلع سوم به صورت زیر تعیین میشود:
رابطههای تبدیل زاویه
[ویرایش]برخی روابط مثلثاتی
[ویرایش]نگارخانه
[ویرایش]پانوشته
[ویرایش]دایره مثلثاتی یا دایره واحد «سیده فاطمه موسوی نطنزی»
جستارهای وابسته
[ویرایش]منابع
[ویرایش]- احمد فیروزنیا (۱۳۸۲)، مثلثات، تهران: انتشارات مدرسه، شابک ۹۶۴-۳۸۵-۰۱۴-۵
- ↑ O'Connor, John J. ; Robertson, Edmund F. , "Al-Battani", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- ↑ نیر نوری (۱۳۷۵–۱۳۷۷). سهم ارزشمند ایران در فرهنگ جهان. تهران: انجمن آثار و مفاخر فرهنگی. صص. ۲۴۰. شابک ۹۶۴۶۲۷۸۲۰۵.
پیوند به بیرون
[ویرایش]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)