扭棱十 じゅう 二 に 面體 めんてい (单击查看旋转模型 もけい ) 類別 るいべつ 阿 おもね 基 もと 米 まい 德 とく 立體 りったい 、半 はん 正 せい 多面體 ためんたい 對偶 たいぐう 多面體 ためんたい 五 ご 角 かく 六 ろく 十 じゅう 面體 めんてい 名稱 めいしょう 扭棱十 じゅう 二 に 面體 めんてい 參考 さんこう 索引 さくいん U 29 , C 32 , W 18 鮑 あわび 爾 なんじ 斯縮寫 しゅくしゃ snid 考 こう 克 かつ 斯特符號 ふごう 施 ほどこせ 萊夫利 り 符號 ふごう sr{5,3} 或 ある
s
{
5
3
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}
|-
!style="background-color:#e7dcc3"|
|| ht0,1,2 {5,3} 威 い 佐 さ 夫 おっと 符號 ふごう | 2 3 5 康 かん 威 たけし 表示法 ひょうじほう sD 面 めん 92 邊 あたり 150 頂點 ちょうてん 60 歐 おう 拉 ひしげ 特徵 とくちょう 數 すう F=92, E=150, V=60 (χ かい =2) 二 に 面 めん 角 かく 3-3: 164°10′31″ (164.18°) 3-5: 152°55′53″ (152.93°) 面 めん 的 てき 種類 しゅるい 正三角形 せいさんかっけい 正 せい 五 ご 邊 へん 形 がた 面 めん 的 てき 佈局(20+60){3}+12{5} [ 1] 頂點 ちょうてん 圖 ず 3.3.3.3.5 對稱 たいしょう 群 ぐん I , 1 / 2 H3 , [5,3]+ , (532), order 60旋轉 せんてん 對稱 たいしょう 群 ぐん I , [5,3]+ , (532), order 60半 はん 正 せい 、凸 とつ 、手性 てしょう
在 ざい 幾何 きか 學 がく 中 なか ,扭棱十 じゅう 二 に 面体 めんてい 是 ぜ 一 いち 種 しゅ 半 はん 正 せい 多面體 ためんたい ,由 ゆかり 正三角形 せいさんかっけい 和 わ 正 せい 五 ご 邊 へん 形 がた 組成 そせい [ 2] ,由 ゆかり 於其具有 ぐゆう 點 てん 可 か 遞的性質 せいしつ ,因 いん 此屬於阿 おもね 基 もと 米 まい 德 とく 立體 りったい [ 3] ,也是面 めん 數 すう 最多 さいた 的 てき 阿 おもね 基 もと 米 まい 德 とく 立體 りったい [ 4] ,其對偶 たいぐう 多面體 ためんたい 為 ため 五 ご 角 かく 六 ろく 十 じゅう 面體 めんてい [ 5] [ 6] [ 7] 。
這個形狀 けいじょう 最早 もはや 是 ぜ 由 ゆかり 克 かつ 普 ひろし 勒 以拉丁 ひのと 文 ぶん 命名 めいめい 的 てき ,當時 とうじ 克 かつ 普 ひろし 勒給出 で 的 てき 名稱 めいしょう 為 ため dodecahedron simum [ 8] [ 9] ,該名稱 めいしょう 記載 きさい 於1619的 てき 《世界 せかい 的 てき 和 わ 諧 》。考 こう 克 かつ 斯特利用 りよう 扭棱十 じゅう 二面體不僅可以由正十二面體扭棱而成,同時 どうじ 也可以用正 せい 二 に 十面體扭棱而成,因 いん 此稱其為扭棱十 じゅう 二 に ・二 に 十 じゅう 面體 めんてい (snub icosidodecahedron )或 ある 扭棱截十 じゅう 二 に 面體 めんてい [ 10] 。其兩種 しゅ 手性 てしょう 鏡 きょう 像 ぞう 中 ちゅう ,左 ひだり 旋稱為 ため laevo[ 11] 、右 みぎ 旋稱為 ため dextro[ 5] 。
扭棱十 じゅう 二 に 面體 めんてい 是 ぜ 一 いち 種 しゅ 阿 おもね 基 もと 米 まい 德 とく 立體 りったい ,為 ため 正 せい 十 じゅう 二 に 面體 めんてい (或 ある 正 せい 二 に 十 じゅう 面體 めんてい )透過 とうか 扭稜變換 へんかん 後 ご 的 てき 結果 けっか ,在 ざい 施 ほどこせ 萊夫利 り 符號 ふごう 中 ちゅう 可 か 以用
s
{
5
3
}
{\displaystyle s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}
[ 12] 或 ある sr{5,3}表示 ひょうじ 。其具有 ぐゆう 兩個 りゃんこ 不同 ふどう 的 てき 手性 てしょう 幾何 きか 結構 けっこう ,兩者 りょうしゃ 互為鏡 きょう 像 ぞう [ 13] ,互相組合 くみあい 後 ご 可 か 以形成 けいせい 均 ひとし 勻複合體 がったい 稱 たたえ 為 ため 二複合扭棱十二面體 ,其凸包 つつみ 為 ため 大 だい 斜 はす 方 かた 截半二 に 十 じゅう 面体 めんてい [ 14] 。
扭棱十 じゅう 二 に 面體 めんてい 的 てき 展開 てんかい 動畫 どうが 。
扭棱十 じゅう 二 に 面體 めんてい 由 よし 92個 こ 面 めん [ 15] 、60個 こ 頂點 ちょうてん 和 わ 150條 じょう 邊 あたり 組成 そせい [ 16] ,在 ざい 其92個 こ 面 めん 中有 ちゅうう 80個 こ 正三角形 せいさんかっけい 和 わ 12個 こ 正 せい 五 ご 邊 へん 形 がた [ 17] [ 18] ;60個 こ 頂點 ちょうてん 中 ちゅう ,每 まい 個 こ 頂點 ちょうてん 都 と 是 ぜ 4個 こ 正三角形 せいさんかっけい 和 わ 1個 いっこ 正 せい 五 ご 邊 へん 形 がた 的 てき 公共 こうきょう 頂點 ちょうてん ,在 ざい 頂點 ちょうてん 圖 ず 中 ちゅう 可 か 以用5.3.3.3.3來 らい 表示 ひょうじ [ 19] ;150條 じょう 稜 りょう 中有 ちゅうう 60條 じょう 稜 りょう 是 ぜ 三角形和五邊形的公共稜、90條 じょう 稜 りょう 是 ぜ 三角形和三角形的公共稜。
若 わか 扭棱十 じゅう 二 に 面體 めんてい 邊 べ 長 ちょう 為 ため 1,則 のり 其表面積 ひょうめんせき 為 ため :
A
=
20
3
+
3
25
+
10
5
≈
55.286
744
958
445
15
{\displaystyle A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55.286\,744\,958\,445\,15}
體積 たいせき 為 ため :
V
=
12
ξ くしー
2
(
3
φ ふぁい
+
1
)
−
ξ くしー
(
36
φ ふぁい
+
7
)
−
(
53
φ ふぁい
+
6
)
6
3
−
ξ くしー
2
3
≈
37.616
649
962
733
36
{\displaystyle V={\frac {12\xi ^{2}(3\varphi +1)-\xi (36\varphi +7)-(53\varphi +6)}{6{\sqrt {3-\xi ^{2}}}^{3}}}\approx 37.616\,649\,962\,733\,36}
其中
φ ふぁい
=
1
+
5
2
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
為 ため 黄金 おうごん 分割 ぶんかつ 率 りつ ,而
ξ くしー
{\displaystyle \xi }
是 ぜ 三 さん 次 じ 方程式 ほうていしき
x
3
+
2
x
2
−
φ ふぁい
2
=
0
{\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}=0}
的 てき 唯 ただ 一 いち 實數 じっすう 解 かい ,換言 かんげん 之 の
ξ くしー
=
φ ふぁい
+
φ ふぁい
−
5
27
2
3
+
φ ふぁい
−
φ ふぁい
−
5
27
2
3
{\displaystyle \xi ={\sqrt[{3}]{\frac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}}
,其值約 やく 為 ため
ξ くしー
≈
0.94315125924
{\displaystyle \xi \approx 0.94315125924}
。
扭棱十 じゅう 二 に 面體 めんてい 有 ゆう 2種 しゅ 二 に 面 めん 角 かく ,一種是正三角形與正三角形交角,另一種是正三角形與正五邊形交角。其中正 ちゅうせい 三角形與正三角形交角角度約為164.175度 ど [ 11] [ 16] :
arccos
(
−
2
ξ くしー
2
−
3
3
)
≈
2.865400688
≈
164.175366
∘
{\displaystyle \arccos \left(-{\frac {2\xi ^{2}-3}{3}}\right)\approx 2.865400688\approx 164.175366^{\circ }}
而正三角形與正五邊形交角的角度約為152.9299度 ど [ 11] [ 16] :
arccos
(
−
15
(
4
(
1
ξ くしー
−
ξ くしー
)
(
3
φ ふぁい
+
1
)
+
(
12
φ ふぁい
+
19
)
)
15
)
≈
2.66913
≈
152.9299
∘
{\displaystyle \arccos \left({\frac {-{\sqrt {15\left(4\left({\frac {1}{\xi }}-\xi \right)\left(3\varphi +1\right)+\left(12\varphi +19\right)\right)}}}{15}}\right)\approx 2.66913\approx 152.9299^{\circ }}
其中
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
、
ξ くしー
{\displaystyle \xi }
定義 ていぎ 如上 じょじょう 。
座標 ざひょう 值
其中,
x
{\displaystyle x}
與 あずか
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
的 てき 定義 ていぎ 同 どう #二面 ふたおもて 角 かく 章節 しょうせつ
C
0
=
φ ふぁい
3
−
x
2
2
{\displaystyle C_{0}={\frac {\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}}
C
1
=
x
φ ふぁい
3
−
x
2
2
{\displaystyle C_{1}={\frac {x\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}}
C
2
=
φ ふぁい
(
x
−
1
−
1
x
)
φ ふぁい
2
{\displaystyle C_{2}={\frac {\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}}
C
3
=
x
2
φ ふぁい
3
−
x
2
2
{\displaystyle C_{3}={\frac {x^{2}\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}}
C
4
=
x
φ ふぁい
(
x
−
1
−
1
x
)
φ ふぁい
2
{\displaystyle C_{4}={\frac {x\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}}
C
5
=
φ ふぁい
1
−
x
+
φ ふぁい
+
1
x
2
{\displaystyle C_{5}={\frac {\varphi {\sqrt {1-x+{\frac {\varphi +1}{x}}}}}{2}}}
C
6
=
φ ふぁい
x
−
φ ふぁい
+
1
2
{\displaystyle C_{6}={\frac {\varphi {\sqrt {x-\varphi +1}}}{2}}}
C
7
=
x
2
φ ふぁい
(
x
−
1
−
1
x
)
φ ふぁい
2
{\displaystyle C_{7}={\frac {x^{2}\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}}
C
8
=
x
φ ふぁい
1
−
x
+
φ ふぁい
+
1
x
2
{\displaystyle C_{8}={\frac {x\varphi {\sqrt {1-x+{\frac {\varphi +1}{x}}}}}{2}}}
C
9
=
(
x
+
2
)
φ ふぁい
+
2
2
{\displaystyle C_{9}={\frac {\sqrt {\left(x+2\right)\varphi +2}}{2}}}
C
10
=
x
x
(
φ ふぁい
+
1
)
−
φ ふぁい
2
{\displaystyle C_{10}={\frac {x{\sqrt {x\left(\varphi +1\right)-\varphi }}}{2}}}
C
11
=
x
2
(
2
φ ふぁい
+
1
)
−
φ ふぁい
2
{\displaystyle C_{11}={\frac {\sqrt {x^{2}\left(2\varphi +1\right)-\varphi }}{2}}}
C
12
=
φ ふぁい
x
2
+
x
2
{\displaystyle C_{12}={\frac {\varphi {\sqrt {x^{2}+x}}}{2}}}
C
13
=
φ ふぁい
2
x
(
x
+
φ ふぁい
)
+
1
2
x
{\displaystyle C_{13}={\frac {\varphi ^{2}{\sqrt {x\left(x+\varphi \right)+1}}}{2x}}}
C
14
=
φ ふぁい
x
(
x
+
φ ふぁい
)
+
1
2
{\displaystyle C_{14}={\frac {\varphi {\sqrt {x\left(x+\varphi \right)+1}}}{2}}}
若 わか 一扭棱十二面體邊長為一,且質心 しん 位 い 於原點 てん ,則 のり 其頂點 てん 座標 ざひょう 為 ため 下 か 列 れつ 式子 しょくし 的 てき 偶置換 ちかん :
(
c
2
,
c
1
,
c
14
)
,
(
c
0
,
c
8
,
c
12
)
,
(
c
7
,
c
6
,
c
11
)
{\displaystyle \left(c_{2},c_{1},c_{14}\right),\left(c_{0},c_{8},c_{12}\right),\left(c_{7},c_{6},c_{11}\right)}
,且偶數 すう 加 か 上正 かみしょう 號 ごう
(
c
3
,
c
4
,
c
13
)
,
(
c
9
,
c
5
,
c
10
)
{\displaystyle \left(c_{3},c_{4},c_{13}\right),\left(c_{9},c_{5},c_{10}\right)}
,且奇數 すう 加 か 上正 かみしょう 號 ごう ,左 ひだり 旋與右 みぎ 旋則為 ため y座標 ざひょう 相反 あいはん [ 20] [ 21] 。
扭棱十 じゅう 二 に 面體 めんてい 有 ゆう 3個 こ 特殊 とくしゅ 的 てき 正 せい 交投影 とうえい [ 2] ,分別 ふんべつ 為 ため 於面上 じょう 投影 とうえい (兩 りょう 種 たね )和 かず 於稜上 じょう 投影 とうえい (一種 いっしゅ ),其中「在 ざい 正三角形 せいさんかっけい 面 めん 上 じょう 投影 とうえい 」以及「在 ざい 正 せい 五 ご 邊 へん 形 がた 面 めん 上 じょう 投影 とうえい 」其對稱 たいしょう 性 せい 對應 たいおう 於A2 和 わ H2 的 てき 考 こう 克 かつ 斯特平面 へいめん [ 22] 。
正 せい 交投影 とうえい
投影 とうえい 於
正三角形 せいさんかっけい 面 めん
正 せい 五 ご 邊 へん 形 がた 面 めん
稜 りょう
立體 りったい 圖 ず
骨 ほね 架 か 圖 ず
投影 とうえい 對稱 たいしょう 性 せい
[3]
[5]+
[2]
對偶 たいぐう 投影 とうえい
正 せい 十 じゅう 二 に 面體 めんてい 、小 しょう 斜 はす 方 かた 截半二 に 十面体以及扭棱十二面體
扭棱十 じゅう 二面體可以透過將正十二面體的正 せい 五 ご 邊 へん 形 がた 面 めん 往外拉 ひしげ ,直 ちょく 到 いた 完全 かんぜん 不 ふ 接觸 せっしょく 後 ご ,原本 げんぽん 的 てき 頂點 ちょうてん 位置 いち 填 はま 入 にゅう 三角形 さんかっけい ,剩 あま 下 した 的 てき 部分 ぶぶん 用 よう 三角形 さんかっけい 補 ほ 滿 まん 來 らい 構造 こうぞう 。而將正 せい 十 じゅう 二 に 面體 めんてい 往外拉 ひしげ 時 じ ,在 ざい 某 ぼう 個 こ 適當 てきとう 的 てき 位置 いち 時 じ ,原本 げんぽん 正 せい 五邊形與正五邊形的公共稜的位置則可以擺上正方形,此時則 そく 會 かい 構成 こうせい 小 しょう 斜 はす 方 かた 截半二 に 十 じゅう 面体 めんてい [ 23] 。
均 ひとし 勻交錯 こうさく 變換 へんかん 的 てき 大 だい 斜 はす 方 かた 截半二 に 十 じゅう 面体 めんてい
而要產 さん 生 せい 扭棱的 てき 形式 けいしき 則 そく 需要 じゅよう 在 ざい 將 しょう 正 せい 五邊形面往外拉時稍微有一點旋轉,並 なみ 只 ただ 用 よう 三角形 さんかっけい 填 はま 滿 まん 空隙 くうげき ,而五邊形旋轉的方向不同可以產生手性鏡像[ 24] 。
扭棱十 じゅう 二 に 面體 めんてい 也可以經由 けいゆ 大 だい 斜 はす 方 かた 截半二 に 十面体透過交錯變換來構造,但 ただし 構造 こうぞう 出 で 的 てき 扭棱十 じゅう 二面体並非所有面都是正多邊形,其結果 けっか 稱 しょう 為 ため 截角大 だい 斜 はす 方 かた 截半二 に 十 じゅう 面體 めんてい ,其與扭棱十 じゅう 二面體有著相同的拓樸結構。
扭棱十 じゅう 二 に 面體 めんてい 是 これ 正 せい 十 じゅう 二 に 面體 めんてい (或 ある 正 せい 二 に 十 じゅう 面體 めんてい )經過 けいか 扭棱變換 へんかん 後 ご 的 てき 結果 けっか ,其他也是由正 よしまさ 二 に 十 じゅう 面體 めんてい 透過 とうか 康 かん 威 たけし 變換 へんかん 得 え 到 いた 的 てき 多面體 ためんたい 有 ゆう :
正 せい 二 に 十 じゅう 面体 めんてい 家族 かぞく 半 はん 正 せい 多面体 ためんたい
對稱 たいしょう 群 ぐん : [5,3] , (*532)
[5,3]+ , (532)
{5,3}
t0,1 {5,3}
t1 {5,3}
t0,1 {3,5}
{3,5}
t0,2 {5,3}
t0,1,2 {5,3}
s{5,3}
半 はん 正 せい 多面体 ためんたい 对偶
V5.5.5
V3.10.10
V3.5.3.5
V5.6.6
V3.3.3.3.3
V3.4.5.4
V4.6.10
V3.3.3.3.5
扭棱十 じゅう 二 に 面體 めんてい 的 てき 頂點 ちょうてん 為 ため 4個 こ 正三角形 せいさんかっけい 與 あずか 1個 いっこ 正 せい 五 ご 邊 へん 形 がた 的 てき 公共 こうきょう 頂點 ちょうてん ,頂點 ちょうてん 圖 ず 計 けい 為 ため 3.3.3.3.5,在 ざい 考 こう 克 かつ 斯特符號 ふごう 中 ちゅう 可 か 以用來 らい 表示 ひょうじ ,其中,正 せい 五邊形可以替換為其他多邊形,而構成 こうせい 一 いち 個 こ 無窮 むきゅう 序列 じょれつ 。其他頂點 ちょうてん 圖 ず 也為4個 こ 正三角形 せいさんかっけい 與 あずか 1個 いっこ 正 ただし n邊 あたり 形 がた 的 てき 公共 こうきょう 頂點 ちょうてん (頂點 ちょうてん 圖 ず :3.3.3.3.n)、考 こう 克 かつ 斯特符號 ふごう 計 けい 為 ため 的 てき 多面體 ためんたい 如下表 ひょう 所 しょ 示 しめせ 。特別 とくべつ 地 ち ,這些幾何 きか 形狀 けいじょう 都 と 具有 ぐゆう (n32) 的 てき 旋轉 せんてん 對稱 たいしょう 性 せい ,當 とう n為 ため 6時 じ ,幾何 きか 體 たい 退化 たいか 成 なり 平面 へいめん 的 てき 無限 むげん 面體 めんてい ,為 ため 一 いち 種 しゅ 半 はん 正 せい 平面 へいめん 鑲嵌[ 25] ,n達 たち 到 いた 7或 ある 以上 いじょう 時 じ ,幾何 きか 結構 けっこう 則 のり 成 なり 為 ため 雙 そう 曲 きょく 鑲嵌圖 ず [ 26] ;而n為 ため 2時 じ ,其原 そのはら 像 ぞう 退化 たいか 為 ため 三角形 さんかっけい 二 に 面體 めんてい ,而n為 ため 1或 ある 更 さら 低 ひく 時 とき ,則 のり 該形狀 じょう 不 ふ 存在 そんざい 。
扭稜立體 りったい
原 はら 像 ぞう
正 せい 四 よん 面體 めんてい
立方體 りっぽうたい
正 せい 八 はち 面體 めんてい
正 せい 十 じゅう 二 に 面體 めんてい
正 せい 二 に 十 じゅう 面體 めんてい
扭稜
扭棱四 よん 面體 めんてい sr{3,3}
扭棱立方体 りっぽうたい sr{4,3}
扭棱八 はち 面體 めんてい sr{3,4}
扭棱十 じゅう 二 に 面体 めんてい sr{5,3}
扭棱二 に 十 じゅう 面体 めんてい sr{3,5}
完全 かんぜん 扭稜
完全 かんぜん 扭稜四 よん 面體 めんてい β べーた {3,3}
完全 かんぜん 扭稜立方體 りっぽうたい β べーた {4,3}
二 に 複 ふく 合 あい 二 に 十 じゅう 面體 めんてい β べーた {3,4}
完全 かんぜん 扭稜十 じゅう 二 に 面體 めんてい β べーた {5,3}
完全 かんぜん 扭稜二 に 十 じゅう 面體 めんてい β べーた {3,5}
在 ざい 圖 ず 論 ろん 的 てき 數學 すうがく 領域 りょういき 中 ちゅう ,與 あずか 扭棱十 じゅう 二 に 面體 めんてい 相關 そうかん 的 てき 圖 ず 為 ため 扭棱十 じゅう 二 に 面體 めんてい 圖 ず ,是 ぜ 扭棱十 じゅう 二 に 面體 めんてい 之 の 邊 あたり 與 あずか 頂點 ちょうてん 的 てき 圖 ず ,是 ぜ 一 いち 種 しゅ 阿 おもね 基 もと 米 まい 德 とく 圖 ず [ 27] 。由 よし 於其可 か 以找到哈密頓 ひたぶる 迴路因 いん 此也是 ぜ 一 いち 種 しゅ 哈密顿图 。
Jayatilake, Udaya. Calculations on face and vertex regular polyhedra . Mathematical Gazette. March 2005, 89 (514): 76–81.
Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X . (Section 3-9)
Cromwell, P. Polyhedra . United Kingdom: Cambridge. 1997: 79 –86 Archimedean solids . ISBN 0-521-55432-2 .
^ 中華民國 ちゅうかみんこく 第 だい 54屆 とどけ 中 ちゅう 小學 しょうがく 科學 かがく 展覽 てんらん 會 かい 第 だい 三 さん 名 めい 滾 たぎ 動 どう 奇跡 きせき (PDF) . 高雄 たかお 市立 しりつ 五福 ごふく 國民 こくみん 中學 ちゅうがく . [2018-09-18 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 (PDF) 于2018-09-17).
^ 2.0 2.1 The Snub Dodecahedron . eusebeia.dyndns.org. 2018-02-06 [2018-09-16 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2018-09-16).
^ Cromwell, P. Polyhedra , CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
^ ミラーボール2をつくる . d.hatena.ne.jp. [2018-10-17 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2018-10-17). 面 めん の数 かず は多 おお そうだが(正五角形 せいごかっけい と正三角形 せいさんかっけい の合計 ごうけい 92)
^ 5.0 5.1 Weisstein, Eric W. (编). Snub dodecahedron . at MathWorld --A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英 えい 语) .
^ Weisstein, Eric W. (编). Pentagonal hexecontahedron . at MathWorld --A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英 えい 语) .
^ いくろ こたろ . ねじれ立方体 りっぽうたい ,ねじれ12面体 めんてい の双対 そうつい 多面体 ためんたい . geocities.jp. 2009-03-14 [2018-09-17 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2018-10-08) (日 にち 语) .
^ Johannes Kepler . Harmonices Mundi. Tampachius, Linz. 1969.
^ Weissbach, B. and Martini, H. "On the Chiral Archimedean Solids." Contrib. Algebra and Geometry 43, 121-133, 2002.
^ 何 なに 永安 えいあん . 阿 おもね 基 もと 米 まい 德 とく 多面體 ためんたい 的 てき 視覺 しかく 化 か (PDF) . 中華 ちゅうか 大學 だいがく 應用 おうよう 數學 すうがく 學 がく 系 けい (所 ところ ). [2018-09-18 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 (PDF) 于2021-08-30).
^ 11.0 11.1 11.2 Archimedean Solids: Snub Dodecahedron (laevo) . dmccooey.com. [2018-10-17 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2018-04-01).
^ Wenninger, M.J. Spherical Models . Dover Publications. 2014: p.53 [2018-09-16 ] . ISBN 9780486143651 . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2018-09-16).
^ Snub Dodecahedron Calculator . rechneronline.de. [2018-09-16 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2018-09-16).
^ Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, 79 : 447–457, MR 0397554 , doi:10.1017/S0305004100052440
^ 捩 ねじ れ十 じゅう 二 に 面体 めんてい [3,3,3,3,5] Snub Dodecahedron . biglobe.ne.jp. [2018-09-18 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2015-10-10).
^ 16.0 16.1 16.2 Archimedean Solids: Snub Dodecahedron (dextro) . dmccooey.com. [2018-10-17 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2018-03-12).
^ Gijs Korthals Altes. Paper Snub Dodecahedron . korthalsaltes.com. [2018-09-16 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2018-09-16).
^ 多面体 ためんたい の模型 もけい . ds.cc.yamaguchi-u.ac.jp. [2018-09-16 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2018-03-19).
^ Robert Webb. Snub Dodecahedron . software3d.com. [2018-09-16 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2018-09-16).
^ Data of Snub Dodecahedron (dextro) . dmccooey.com. [2018-10-17 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2017-10-31).
^ Data of Snub Dodecahedron (laevo) . dmccooey.com. [2018-10-17 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2016-07-30).
^ Coxeter Planes (页面存 そん 档备份 ,存 そん 于互联网档案 あん 馆 ) and More Coxeter Planes (页面存 そん 档备份 ,存 そん 于互联网档案 あん 馆 ) 約 やく 翰·史 し 坦 ひろし 布里 ふり 奇 き
^ Lambert M. Surhone, Miriam T. Timpledon, Susan F. Marseken. Snub Dodecahedron . Betascript Publishing. 2010-08-12. ISBN 978-613-1-19412-2 .
^ Popko, E.S. Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere . CRC Press. 2012: 183 [2018-10-17 ] . ISBN 9781466504301 . LCCN 2011048704 . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2018-10-17).
^ Laughlin, D.E. and Hono, K. Physical Metallurgy . Elsevier Science. 2014: 17 [2018-10-17 ] . ISBN 9780444537713 . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2018-10-17).
^ Klitzing, Richard. s3s7s, hyperbolic snub triheptagonal tiling . bendwavy.org. [2018-10-17 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2016-03-25).
^ Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press : 269, 1998
星 ほし 號 ごう *
表示 ひょうじ 該
立體 りったい 屬 ぞく 於
阿 おもね 基 もと 米 まい 德 とく 立體 りったい 。
黃色 おうしょく 和 わ 紅色 こうしょく 為 ため 來 き 自 じ 原 はら 像 ぞう 的 てき 面 めん ;藍色 あいいろ 為 ため 截邊出現 しゅつげん 的 てき 正方形 せいほうけい 面 めん ;灰色 はいいろ 為 ため 扭稜出現 しゅつげん 的 てき 三角形 さんかっけい 面 めん 。