欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう

  提示ていじ：此条目め页的主ぬし题不是ぜ欧おう拉ひしげ数すう。

在ざい代数だいすう拓つぶせ扑中なか，欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう（英語えいご：Euler characteristic）是ぜ一いち个拓つぶせ扑不变量，对于一いち大だい类拓つぶせ扑空间有定ありさだ义。它通常つうじょう记作$\chi$。

二に维拓扑多面体ためんたい的まと欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう可か以用以下いか公式こうしき计算：

$\chi =F-E+V$

其中V、E和わF分ぶん别是点てん、边和面めん的てき个数。特とく别的，对于所有しょゆう和わ一いち个球面きゅうめん同どう胚はい的てき多面体ためんたい，我わが们有

$\chi (S^{2})=F-E+V=2.$

例れい如，对于立方体りっぽうたい，我わが们有6 − 12 + 8 = 2，而对于四よん面体めんてい我わが们有4 − 6 + 4 = 2. 刚才的てき公式こうしき也叫做欧おう拉ひしげ公式こうしき。该公式しき最早もはや由ゆかり法ほう国こく数学すうがく家か笛ふえ卡儿于1635年ねん左右さゆう证明，但ただし不ふ为人知じんち。后きさき瑞みず士し数学すうがく家か莱昂哈德·欧おう拉ひしげ于1750年ねん独立どくりつ证明了りょう这个公式こうしき。1860年ねん，笛ふえ卡儿的てき工作こうさく被ひ发现，此后该公式こうしき遂とげ被ひ称しょう为欧拉ひしげ-笛ふえ卡儿公式こうしき。

定てい义及性せい质

对于有限ゆうげんCW-复形（CW-Complex）包括ほうかつ有限ゆうげん单纯复形（simplicial complex），欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう可か以定义为交错和わ

$\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-\cdots ,$

其中$k_{i}$表示ひょうじ$i$维胞腔的个数。

然しか后きさき，可か以把流りゅう形がた的てき欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう定てい义为一个和它同胚的单纯复形的欧拉示性数。例れい如，圆圈和わ环面其欧拉ひしげ示しめせ性せい数すう为0而实心しん球だま欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう为1。

闭可定てい向むかい曲面きょくめん的まと欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう可か以通过它们的亏格g来らい计算

$\chi =2-2g$.

闭不可ふか定てい向むかい曲面きょくめん的まと欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう可か以用下か式しき通どおり过它们的（不可ふか定てい向むこう）亏格k来らい计算

$\chi =2-k$.

欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう和わ三角さんかく化か的てき选择无关。公式こうしき也可用よう于到任意にんい多た边形的てき分解ぶんかい。

对于圆盘，我わが们有$\chi =1$，对于平面へいめん我わが们有$\chi =2$，数すう的てき时候把わ外面がいめん作さく为一个面。

对于闭流形がた，欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう和わ欧おう拉ひしげ数すう，也就是ぜ其切きり丛的てき在ざい流りゅう形がた的てき基本きほん类上うえ计算的てき欧おう拉ひしげ类。

对于闭黎はじむ曼曲面めん，欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数也かずや可か以通过曲率りつ的てき积分得え到いた—参看さんかん对于二に维情况的高こう斯-博はく内ない定理ていり（Gauss-Bonnet）和かず对于一般いっぱん情じょう况的广义高だか斯-博はく内ない定理ていり。高こう斯-博はく内ない定理ていり的てき离散情じょう况的对应是ぜ笛ふえ卡儿定理ていり，它表明ひょうめい多面体ためんたい用よう完かん整せい圆圈测量的てき“总亏量りょう”，是ぜ多面体ためんたい的てき欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう；参看さんかん亏量。

更さら一般いっぱん的てき，对于所有しょゆう拓つぶせ扑空间，我わが们可以定义第n个贝蒂数すう$b_{n}$作さく为第n个同どう调群ぐん的てき阶。欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう可か以定义为如下交换和わ

$\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,\cdots .$

这个定てい义在贝蒂数すう全ぜん都と有限ゆうげん并且在ざい一个特定指标$n_{0}$以外いがい为0时有意ゆうい义。

两个同どう伦的まと拓つぶせ扑空间有同どう构的てき同どう调群，所以ゆえん有ゆう相しょう同どう的てき欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう。

从这个定义和庞加莱对偶性，可か以得到いた所有しょゆう闭合奇数きすう维流形がた的てき欧おう拉ひしげ数すう为0的てき结论。

如果M和わN是ぜ拓つぶせ扑空间，则它们的积空间M × N的まと欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう为

$\chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N)$.

偏へん序じょ集しゅう

有界ゆうかい偏へん序じょ集しゅう的まと欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう的てき概念がいねん是ぜ另一种推广，在ざい组合论中ちゅう很重要じゅうよう。一いち个偏序じょ集しゅう“有界ゆうかい”，如果它有最小さいしょう和わ最大さいだい元素げんそ，我わが们把它们叫さけべ作さく0和わ1。这样一个偏序集的欧拉示性数是μみゅー(0,1)，其中μみゅー是ぜ在ざい偏へん序じょ集しゅう的てき相あい交代こうたい数すう中なか的てき默だま比ひ乌斯函数かんすう。

证明

第だい一个欧拉公式的严格证明，由よし柯西在ざい20岁时给出，大だい致如下か：

从多面体ためんたい去さ掉一面めん，通つう过把去さ掉的面めん的てき边互相しょう拉ひしげ远，把わ所有しょゆう剩あま下した的てき面めん变成点てん和わ曲きょく线的平面へいめん网络。不ふ失しつ一般いっぱん性せい，可か以假设变形がた的てき边继续保持ほじ为直线段。正常せいじょう的てき面めん不ふ再さい是ぜ正常せいじょう的てき多た边形即そく使し开始的てき时候它们是ぜ正常せいじょう的てき。但ただし是ぜ，点てん，边和面めん的てき个数保持ほじ不ふ变，和かず给定多面体ためんたい的てき一いち样

重じゅう复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数（也是欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう）F − E + V的てき额外变换。

1. 若わか有ゆう一个多边形面有3条じょう边以上じょう，我わが们划一いち个对角かく线。这增加ぞうか一いち条じょう边和一いち个面。继续增加ぞうか边直到いた所有しょゆう面めん都と是ぜ三角形さんかっけい。
2. 除じょ掉只有ゆう一条边和外部相邻的三角形。这把边和面めん的てき个数各かく减一而保持顶点数不变。
3. （逐个）除去じょきょ所有しょゆう和わ网络外部がいぶ共ども享とおる两条边的三角形さんかっけい。这会减少一いち个顶点てん、两条边和一いち个面。

重じゅう复使用しよう第だい2步ほ和わ第だい3步ほ直じき到いた只ただ剩あま一いち个三角形さんかっけい。对于一いち个三角形さんかっけいF = 2（把わ外部がいぶ数すう在ざい内ない），E = 3，V = 3。所以ゆえんF − E + V = 2。证毕。