CW复形

CW复形，又また称たたえ胞腔复形，在ざい拓つぶせ扑学上うえ屬ぞく於拓つぶせ扑空间之これ一類いちるい，由ゆかりJ.H.C.怀特海うみ德とく引入，用よう于同どう伦理论。其思想しそう是ぜ构造一いち类空间，比ひ单纯复形更さら为广泛（我わが们现在ざい可か以说，有ゆう更さら好このみ的てき范畴论属性ぞくせい）；但ただし还要保留ほりゅう组合的てき本ほん质，因いん此计算さん方面ほうめん的てき考こう虑没有ゆう被ひ忽ゆるがせ略りゃく。

形式けいしき表ひょう述じゅつ

粗略そりゃく地ち说，CW复形由よし称しょう作さく胞腔的てき基本きほん元もと件けん组成。其精确定义规定てい胞腔如何いか在ざい拓つぶせ扑意义上“粘ねば合ごう”。CW复形名称めいしょう中ちゅう的てき“C”代表だいひょう“闭有限げん”（closure-finite），而“W”则代表だいひょう“弱じゃく拓つぶせ扑”（weak topology）。

单个 $n$ 维闭胞腔是ぜ指ゆび $n$ 维闭球在ざい贴映射しゃ下した的てき像ぞう。例れい如，每まい个单纯形がた都と是ぜ一いち个闭胞腔，或ある更さら一般いっぱん地ち，每まい个凸とつ多面体ためんたい都と是ぜ一いち个闭胞腔。单个 $n$ 维开胞腔则是一いち个同どう胚はい于 $n$ 维开球的まと拓つぶせ扑空间。零れい维的开（或ある闭）胞腔是ぜ指ゆび一いち个单元素げんそ空そら间。而“闭有限げん”条件じょうけん要求ようきゅう每ごと个闭胞腔都と可か由よし有限ゆうげん个开胞腔所しょ覆くつがえ盖。

CW复形是ぜ一いち个豪ごう斯多夫おっと空そら间 $X$，连同一いち个将 $X$ 划为开胞腔（维度不ふ必统一いち）的てき划分，并满足あし以下いか性せい质：

• 对 $X$ 的てき划分中ちゅう的てき任意にんい一いち个 $n$ 维开胞腔 $C$，存在そんざい一いち个从 $n$ 维闭球だま到いた $X$ 的てき连续映射しゃ $f$，使つかい得とく：
  • $f$ 限きり制せい在ざい闭球的てき内部ないぶ上じょう是ぜ到いた胞腔 $C$ 的てき同どう胚はい，且
  • 闭球的てき边界在ざい $f$ 下した的てき像ぞう包含ほうがん于 $X$ 的てき划分中ちゅう的てき有限ゆうげん个维度ど小しょう于 $n$ 的てき元素げんそ的てき并集内ない。
• $X$ 的てき闭子集しゅう即そく是ぜ与あずか每まい一个开胞腔交于闭集（相あい对于开胞腔本身ほんみ的てき拓つぶせ扑）的てき集合しゅうごう（$X$ 的まと拓つぶせ扑为所有しょゆう开胞腔的并的弱じゃく拓つぶせ扑）。

相あい对CW复形

笼统地ち说，相あい对CW复形与あずかCW复形的てき区く别在于它容よう许一个额外的がいてき、不ふ须带有ゆう任にん何なん胞腔结构的てき组件。遵照上じょう文ぶん的てき定てい义，这个组件被ひ视作负一维胞腔。

CW复形的てき归纳法定ほうてい义

如果一いち个CW复形中ちゅう胞腔的てき维度最大さいだい为 $n$，那な么我们称这个CW复形是ぜ $n$ 维的。若わか胞腔的てき维度没ぼつ有ゆう上限じょうげん，那な么我们说这个CW复形是ぜ无穷维的。CW复形的てき $n$ 维骨架か是ぜ指ゆび所有しょゆう维度不ふ超ちょう过 $n$ 的てき胞腔的てき并。如果这个并集是ぜ闭集，那な么它本身ほんみ就是一いち个CW复形，称しょう为原复形的てき子こ复形。因よし此，CW复形的てき $n$ 维骨架か是ぜ维度不ふ超ちょう过 $n$ 的てき最大さいだい子こ复形。

CW复形常常つねづね由よし其各个维度ど上じょう的てき骨ほね架か通どおり过归纳来定てい义。首くび先さき定てい义0维骨架か为离散空そら间。紧接着せっちゃく将しょう1维胞腔黏着き到いた0维骨架か上じょう。这一步先将每个1维胞腔先视作1维闭球だま，然しか后きさき通どおり过某个从这个闭球的てき边界——即そく0维球面めん $S^{0}$ ——到いた0维骨架か的てき连续影かげ射しゃ贴合。$S^{0}$ 上うえ的てき每ごと一点都与其在该映射下的像与0维骨架か上じょう的てき某ぼう一いち点てん等とう同どう；这构成なり一いち个等价关系けい。如此，1维骨架か就定义成0维骨架か和わ所有しょゆう1维胞腔的并、再さい模も去さ此等价关系けい后きさき的てき商しょう空そら间。

概括がいかつ而言，给定 $(n-1)$ 维骨架か，$n$ 维骨架か是ぜ由ゆかり在ざい此基础上黏着 $n$ 维胞腔得到いた。每まい个 $n$ 维胞腔同样先视作 $n$ 维闭球だま，然しか后きさき通どおり过某个从这个闭球的てき边界——即そく $(n-1)$ 维球面めん $S^{n-1}$ ——到いた $(n-1)$ 维骨架か的てき连续影かげ射しゃ贴合。$S^{n-1}$ 上うえ的てき每ごと一点都与其在该映射下的像与 $(n-1)$ 维骨架か上じょう的てき某ぼう一いち点てん等とう同どう；这同样构成なり一いち个等价关系けい。这样，$n$ 维骨架か就定义成 $(n-1)$ 维骨架か和わ所有しょゆう $n$ 维胞腔的并、再さい模も去さ此等价关系けい后きさき的てき商しょう空そら间。

在ざい同どう构意义上，每まい个 $n$ 维CW复形都と可か依よ此由其 $(n-1)$ 维骨架か构造而成，因いん此每个有限げん维CW复形都と能のう按以上じょう方法ほうほう构造。甚至对于无穷维CW复形也成立せいりつ，只ただ要よう借か助じょ拓つぶせ扑空间的归纳极限来らい描述以上いじょう无穷过程的てき结果，这个结论也是对的：在ざい极限的てき集合しゅうごう $X$ 中ちゅう，子し集しゅう是ぜ闭集当とう且仅当とう它与每ごと一いち个骨ほね架か都と交于闭集（相あい对于骨こつ架か本身ほんみ的てき拓つぶせ扑）。

例れい子こ

• 实数集しゅう $\mathbb {R}$ 上うえ的てき标准CW结构中なか的てき0维骨架か为整数すう集しゅう $\mathbb {Z}$，而1维胞腔则是ぜ区く间 $\{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}$ 。相似そうじ地ち，在ざい $\mathbb {R} ^{n}$ 上うえ的てき标准CW结构中ちゅう的てき胞腔是ぜ $\mathbb {R}$ 的てき0维和1维胞腔的积。
• 多面体ためんたい带有自然しぜん的てきCW复形结构。
• 图是ぜ一いち维CW复形。
• 无穷维希まれ尔伯特とく空そら间不ふ是ぜCW复形：它是一いち个贝尔空そら间（见贝尔纲定理ていり），因いん此不能ふのう写うつし成なり其 $n$ 维骨架か的てき并，因いん每ごと个骨架か都と是ぜ闭集且内部ぶ为空。这个论证也可引申到いた许多无穷维空间。
• $n$ 维球面きゅうめん容よう许一个只有两个胞腔的CW结构：一いち个0维胞腔和一いち个 $n$ 维胞腔，依よ靠もたれ从 $S^{n-1}$ 到いた0维胞腔的常つね映うつ射い黏着。另外一个替代的胞腔分解也很受欢迎，因いん赤道せきどう包つつみ含映射しゃ $S^{n-1}\to S^{n}$ 的てき补集恰好かっこう是ぜ两个球だま：上うえ半球はんきゅう和わ下か半球はんきゅう。由よし归纳法ほう可か得とく $S^{n}$ 的てき一いち个CW分解ぶんかい，每まい个维度ど $0\leq k\leq n$ 上うえ恰好かっこう有ゆう两个 $k$ 维胞腔。
• $n$ 维实射影しゃえい空そら间容よう许一个CW结构，每まい个维度ど $0\leq k\leq n$ 上うえ恰好かっこう有ゆう一いち个 $k$ 维胞腔。
• 格かく拉ひしげ斯曼流りゅう形がた容よう许一个CW结构，其胞腔称作さく舒伯特とく胞腔.
• 微ほろ分流ぶんりゅう形がた、代数だいすう和わ射影しゃえい簇むらが都と同どう伦于CW复形。
• 空そら间 $\{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subset \mathbb {C}$ 同どう伦于CW复形（甚至是ぜ可か收おさむ缩的），但ただし不ふ容よう许任何なにCW结构，因いん其不是ぜ局部きょくぶ可か收おさむ缩的。
• 夏なつ威たけし夷えびす耳みみ环是ぜ不同ふどう伦于CW的てき拓つぶせ扑空间的一いち例れい。

CW复形的てき同どう调与上じょう同どう调

CW复形的てき奇き异同调（或ある上うえ同どう调）可か以通过胞腔同どう调计算。此外，在ざいCW复形和わ胞腔映射的しゃてき范畴内ない，胞腔同どう调可以解读成一いち种同どう调论。如要计算CW复形的てき广义（上うえ）同どう调，阿おもね提つつみ亚-希まれ策さく布ぬの鲁赫谱序列じょれつ是ぜ胞腔同どう调的一いち个类比ひ。

以下いか是ぜ一些计算的实例：

• 对于球面きゅうめん $S^{n}$，取と只ただ带有一いち个0维胞腔和一いち个 $n$ 维胞腔的分解ぶんかい。胞腔链复形がた $C_{*}$ 与あずか同どう调皆为

$H_{k}=C_{k}=\left\{{\begin{array}{lr}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{array}}\right.$

因いん为所有しょゆう微分びぶん算さん子こ皆みな为零（实际上じょう，上うえ链复形がた与あずか上じょう同どう调亦然しか）。或ある者もの，如果我わが们取赤道せきどう分解ぶんかい，使つかい得とく每ごと个维度ど上じょう各かく有ゆう两个胞腔，那な么

$C_{k}=\left\{{\begin{array}{lr}\mathbb {Z} ^{2}&0\leq k\leq n\\0&{\text{otherwise}}\end{array}}\right.$

而微分ぶん算さん子こ是ぜ形がた为 ${\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}}$ 的てき矩のり阵。这个复形给出的てき同どう调与以上いじょう计算一致いっち，因いん为复形がた在ざい除じょ $C_{0}$ 与あずか $C_{n}$ 项外都と是正ぜせい合あい的てき。

• 对于复射影しゃえい空そら间 $\mathbb {P} ^{n}\mathbb {C}$，可か以相似そうじ地ち算さん得とく

$H^{k}(\mathbb {P} ^{n}\mathbb {C} )={\begin{cases}\mathbb {Z} \quad {\text{for }}0\leq k\leq 2n,{\text{even}}\\0\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}$

之これ所以ゆえん这两例れい中ちゅう计算都と尤ゆう其简单，是ぜ因いん为同调完全ちょん由ゆかり胞腔数すう目もく确定——换言之の，胞腔的てき黏着映うつ射い在ざい计算中ちゅう没ぼつ有ゆう扮ふん演えんじ任にん何なん角かく色しょく。这个现象只ただ是ぜ特例とくれい，在ざい一般情况下并不成立。

同どう伦范畴

在ざい某ぼう些专家か眼中がんちゅう，CW复形的てき同どう倫りん範疇はんちゅう即そく使つかい不ふ是ぜ唯ただ一的同伦范畴（基もと于技术原因げんいん，实际使用しよう的てき版本はんぽん是ぜ带基点てん的てき空そら间），也是同どう伦范畴的最さい佳けい候こう选。因いん此，可能かのう会得えとく出で非ひCW复形的てき空そら间的辅助构造需尽量りょう避免。在ざい这方面ほうめん的てき基本きほん结论是ぜ布ぬの朗ろう可か表ひょう性せい定理ていり：同どう伦范畴上的てき可か表ひょう函はこ子こ可か以借助すけCW复形来らい相当そうとう精しらげ简地刻こく画が。

性せい质

• CW复形是ぜ局部きょくぶ可か收おさむ缩的。
• CW复形满足懷ふところ特とく黑くろ德とく定理ていり：CW复形之の间的映うつ射い是ぜ同どう伦等价当且仅当とう在ざい所有しょゆう同どう伦群上うえ都と诱导出で同どう构。
• 两个CW复形的てき积可以转化成なり一いち个CW复形。具体ぐたい而言，设 $X$ 和わ $Y$ 为CW复形，那な么 $X\times Y$ 上うえ容ひろし许一个CW复形的てき结构，其胞腔即 $X$ 中なか的てき胞腔与あずか $Y$ 中ちゅう胞腔的てき积，并配备弱拓つぶせ扑。不ふ出所しゅっしょ料りょう，这个新しん的てきCW复形的てき底そこ集合しゅうごう就是 $X\times Y$ 本身ほんみ。此外，多数たすう情じょう况下弱じゃく拓つぶせ扑与 $X\times Y$ 上うえ的てき积拓扑一致いっち，例れい如当 $X$ 或ある $Y$ 之これ一いち是ぜ有限ゆうげんCW复形（或ある更さら一般いっぱん地ち，当とう它们之の一いち是ぜ局部きょくぶ有限ゆうげん的てき，也即在ざい每まい个维度ど它有有限ゆうげん个胞腔）。然しか而，如果 $X$ 和わ $Y$ 皆みな非ひ局部きょくぶ紧，弱じゃく拓つぶせ扑可能かのう比ひ积拓扑更精せい细。在ざい这种不利ふり的てき情じょう形がた下か，两个复形的てき积（作さく为拓扑空间） $X\times Y$ 不ふ是ぜ一いち个CW复形。另一方面ほうめん，$X$ 和わ $Y$ 在ざい紧生成せいせい空そら间范畴中ちゅう的てき积的拓つぶせ扑与弱じゃく拓つぶせ扑一致いっち，因いん此确实定义出一いち个CW复形。
• 设 $X$ 和わ $Y$ 为CW复形。函数かんすう空そら间 $\operatorname {Hom} (X,Y)$ （带紧致开拓扑）一般いっぱん不ふ是ぜCW复形。若わか $X$ 是ぜ有限ゆうげんCW复形，那な么 $\operatorname {Hom} (X,Y)$ 同どう伦等价于一个CW复形；这是由よし于约翰·米まい尔诺的てき一いち个定理ていり (1959)。 注意ちゅうい到いた $X$ 和わ $Y$ 都みやこ是ただし紧生成せいせい豪ごう斯多夫おっと空そら间，因いん此 $\operatorname {Hom} (X,Y)$ 常常つねづね取と其紧生成せいせい的てき变种；以上いじょう结论对于这个变种仍然成立せいりつ。
• CW复形的てき覆くつがえ疊たたみ空間くうかん也是CW复形。
• CW复形是ぜ仿紧空そら间，而有限げんCW复形是ぜ紧空间。CW复形的てき紧子空そら间必定包さだかね含于一いち有限ゆうげん子こ复形内ない。

參考さんこう文獻ぶんけん

综合参考さんこう

• Whitehead, J. H. C. Combinatorial homotopy. I.. Bull. Amer. Math. Soc. 1949a, 55 (5): 213–245 [2016-05-29]. MR 0030759. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09175-9. （原始げんし内容ないよう存そん档于2016-05-29）.  (open access)
• Whitehead, J. H. C. Combinatorial homotopy. II.. Bull. Amer. Math. Soc. 1949b, 55 (3): 453–496 [2016-05-29]. MR 0030760. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09213-3. （原始げんし内容ないよう存そん档于2016-05-29）.  (open access)
• Hatcher, Allen. Algebraic topology. Cambridge University Press. 2002. ISBN 0-521-79540-0.  该教材ざい在ざい第だい一いち章しょう定じょう义了CW复形，且对它们的てき使用しよう贯穿全ぜん书；书末有ゆう一いち节关于CW复形的てき拓つぶせ扑的附ふ录。免めん费电子こ版本はんぽん可か见作者さくしゃ的てき网站（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）。
• Lundell, A. T.; Weingram, S. The topology of CW complexes. Van Nostrand University Series in Higher Mathematics. 1970. ISBN 0-442-04910-2. 
• Brown, R.; Higgins, P.J.; Sivera, R. Nonabelian Algebraic Topology:filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids. European Mathematical Society Tracts in Mathematics Vol 15. 2011. ISBN 978-3-03719-083-8.  更さら多た细节请见第だい一いち作者さくしゃ的てき网站（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）