正せい二に十じゅう面體めんてい

正せい二に十じゅう面體めんてい
	; (按這裡うら觀かん看み旋轉せんてん模型もけい)
類別るいべつ	柏かしわ拉ひしげ圖ず立體りったい; 正せい多面体ためんたい
對偶たいぐう多面體ためんたい	正せい十じゅう二に面體めんてい
識別しきべつ
名稱めいしょう	正せい二に十じゅう面體めんてい
參考さんこう索引さくいん	U22, C25, W4
鮑あわび爾なんじ斯縮寫しゅくしゃ; （verse-and-dimensions的てきwikia：Bowers acronym）	ike
數學すうがく表示法ひょうじほう
施ほどこせ萊夫利り符號ふごう	; {3,5}
威い佐さ夫おっと符號ふごう; （英えい语：Wythoff symbol）	5 \| 2 3
康かん威たけし表示法ひょうじほう	I; sT
性質せいしつ
面めん	20
邊あたり	30
頂點ちょうてん	12
歐おう拉ひしげ特徵とくちょう數すう	F=20, E=30, V=12 （χかい=2）
二に面めん角かく	138.189685°
組成そせい與あずか佈局
面めん的てき種類しゅるい	正三角形せいさんかっけい
面めん的てき佈局; （英えい语：Face configuration）	20個こ{3}
頂點ちょうてん圖ず	3.3.3.3.3
對稱たいしょう性せい
對稱たいしょう群ぐん	Ih
特性とくせい
	正ただし凸とつ三角さんかく面めん多面體ためんたい
圖像ずぞう
	; 3.3.3.3.3; （頂點ちょうてん圖ず）
	; （展開てんかい圖ず）
	查; 论; 编;

正せい二に十じゅう面體めんてい是ぜ一いち種しゅ正せい多面體ためんたい，由ゆかり20個こ正三角形せいさんかっけい組成そせい。同時どうじ，它也是ぜ柏かしわ拉ひしげ圖ず立體りったい、三角さんかく面めん多面體ためんたい以及康かん威たけし多面體ためんたい。正せい二に十面体是所有五种凸正多面體面數最多的。

正せい二に十じゅう面體めんてい有ゆう20個こ面めん、30個こ邊あたり和わ12個こ頂點ちょうてん，其對偶たいぐう是これ正せい十じゅう二に面體めんてい。它的頂點ちょうてん佈局（英えい语：Vertex_configuration）為ため3.3.3.3.3或ある3⁵，在ざい施ほどこせ萊夫利り符號ふごう中ちゅう可用かよう{3,5}來らい表示ひょうじ。

與あずか正せい十じゅう二に面體めんてい的てき关系

在ざい平面へいめん上じょう，正ただし多邊形たへんけい內接到いた圓えん時とき，邊あたり數かず越えつ多た，佔圓面積めんせき的てき百分比ひゃくぶんひ就越高だか；而在三さん維空間あいだ中ちゅう，這個規則きそく卻不可ふか推廣——當とう正せい十じゅう二に面體めんてい和かず正ただし二に十面體內接到一個球たま時とき，前者ぜんしゃ約やく佔66.4909%，後者こうしゃ僅佔60.5461%。

正せい十じゅう二に面體めんてい是正ぜせい二に十じゅう面體めんてい的てき對偶たいぐう多面體ためんたい。

外接がいせつ球だま與あずか內切球だま

若わか有ゆう一いち個こ邊あたり長ちょう為ためa的てき正せい二に十じゅう面體めんてい，則のり它的外接がいせつ球だま（同時どうじ過か該正二に十じゅう面體めんてい所有しょゆう頂點ちょうてん的てき球たま）的てき半徑はんけい為ため：

r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}=a\sin {\frac {2\pi }{5}}\approx 0.9510565163\cdot a

A019881

則のり有ゆう內切球だま（同どう時和ときわ該正二に十じゅう面體めんてい所有しょゆう面めん相あい切きり的まと球だま）的てき半徑はんけい為ため：

r_{i}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0.7557613141\cdot a

A179294

另外，若わか有ゆう一個球同時過該正二十面體所有邊的中點，那な它的半徑はんけい為ため：

r_{m}={\frac {a\varphi }{2}}={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a=a\cos {\frac {\pi }{5}}\approx 0.80901699\cdot a

A019863

其中φふぁい （也稱作さくτたう）為ため黃金おうごん比例ひれい。

體積たいせき與あずか表面積ひょうめんせき

若わか用ようA表示ひょうじ表面積ひょうめんせき、V表示ひょうじ體積たいせき，而a是正ぜせい二に十じゅう面體めんてい的てき邊あたり長ちょう，則のり有ゆう：

A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.66025404a^{2},

A010527

V={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}\approx 2.18169499a^{3}.

A102208

後者こうしゃ約やく為ため正せい四よん面體めんてい的てき $F=20$ 倍ばい，因いん為ため20面體めんてい以外いがい接せっ球だま球心きゅうしん為ため中心ちゅうしん可か以切割出わりだし20個こ四よん面體めんてい，每まい個こ四面體的體積是底面積 $\sqrt3a 2 /4$ 乘の上高かみたか $r i$ 再さい乘じょう三さん分ふん之の一いち。

正せい二に十じゅう面體めんてい佔其外接がいせつ球だま體からだ的てき體積たいせき填はま充たかし率りつ是ぜ：

f=V/(4\pi r_{u}^{3}/3)={\frac {20(3+\surd 5)}{(2\surd 5+10)^{3/2}\pi }}\approx 0.6054613829.

直角ちょっかく坐すわ標しるべ系けい

正せい二に十面體的頂點能共同分成五組，每ごと組ぐみ擁よう有ゆう三さん個こ同心どうしん、相互そうご垂直すいちょく的てき黃金おうごん矩形くけい。

在ざい直角ちょっかく坐すわ標しるべ系けい中ちゅう，一いち個こ邊あたり長ちょう為ため二に、幾何きか中心ちゅうしん在ざい原點げんてん的てき正せい二に十面體的坐標分別為：^[1]

(0, \pm1, \pm φ ふぁい)

(\pm1, \pm φ ふぁい, 0)

(\pm φ ふぁい, 0, \pm1)

其中 $φふぁい = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 + √5/2$ 是これ黃金おうごん比例ひれい（或ある記き為ため $τ たう$ ）。值得注意ちゅうい的てき是ぜ，這些頂點ちょうてん能のう共同きょうどう形成けいせい五ご組くみ，每まい組くみ擁よう有ゆう三さん個こ同心どうしん、相互そうご垂直すいちょく的てき黃金おうごん矩形くけい，其邊あたり形成けいせい博ひろし羅ら梅安ばいあん環たまき（英えい语：Borromean rings），其中，前者ぜんしゃ是ぜ因いん為ため正せい二に十じゅう面體めんてい與あずか黃金おうごん比例ひれい有ゆう密みつ切きり的てき關係かんけい。如果原始げんし的てき二に十面體的邊長為1，那な麼它的てき對偶たいぐう——正せい十じゅう二に面體めんてい的てき邊あたり長ちょう就是 $\sqrt 5 - 1 / 2$ ，正せい好こう是ぜ一いち個こ黃金おうごん比例ひれい。

12條じょう邊べ的てき一個正八面體可以被細分在黃金比例，使つかい所得しょとく到いた的てき頂點ちょうてん可か構成こうせい一いち個こ正せい二に十じゅう面體めんてい。這首先さき要よう使つかい沿著八面體邊的向量連成一個有界的環，再さい沿著向こう量的りょうてき方向ほうこう以黃金きん比例ひれい作さく分割ぶんかつ。

球面きゅうめん坐すわ標しるべ

正せい二に十じゅう面體めんてい是ぜ一いち個こD_5d二に面體めんてい對稱たいしょう對稱たいしょう的てき一いち個こ雙そう五ご角錐かくすい反はん角柱かくちゅう，且頂點てん可か以定義ていぎ在ざい球面きゅうめん坐すわ標しるべ系けい上じょう，其中兩個りゃんこ頂いただき點在てんざい球だま的てき兩極りょうきょく，其餘在ざい緯度いど±arctan(1/2)的てき位置いち。可か以發現はつげん剩餘じょうよ的てき10頂點ちょうてん屬ぞく於反はん棱柱對稱たいしょう，從したがえ一いち個こ定點ていてん，經度けいど每ごと36°做一次極軸與赤道鏡射，直ちょく到いた回かい到いた原げん始點してん。

與あずか黃金おうごん分割ぶんかつ的てき關係かんけい

若わか以正二に十じゅう面體めんてい的てき中心ちゅうしん為ため原點げんてん，各かく頂點ちょうてん的てき坐すわ標しるべ分別ふんべつ為ため ${(0,\pm1,\pm Φ ふぁい), (\pm1,\pm Φ ふぁい,0), (\pm Φ ふぁい,0,\pm1)$ }，在ざい此 $Φ ふぁい = \sqrt 5 - 1 / 2$ ，即そく黃金おうごん分割ぶんかつ數すう。因よし此，這些頂點ちょうてん能のう共同きょうどう形成けいせい五ご組くみ，每まい組くみ擁よう有ゆう三さん個こ同心どうしん、相互そうご垂直すいちょく的てき黃金おうごん矩形くけい。

正せい交投影とうえい

正せい二に十じゅう面体めんてい有ゆう3种特殊こと的てき正せい交投影とうえい，分ふん别正对着一いち个面、一条いちじょう棱、一いち个顶点てん。

正せい交投影とうえい
正せい对于	面めん	棱	顶点
考こう克かつ斯特平面へいめん（英えい语：Coxeter plane）	A₂	A₃	H₃
图像
投影とうえい对称性せい	[6]	[2]	[10]
图像	面めん法ほう线	棱法线	对角线

其它事ごと实

正せい二に十じゅう面体めんてい有ゆう43,380种不同ふどう的てき展てん开图。
若わか要よう将しょう正せい二に十面体的表面涂色而相邻的面的颜色不同，则至少しょう需要じゅよう3种颜色しょく。
内接ないせつ与あずか同どう一球的正二十面体和正十二面体，正せい二に十面体所占球的体积（60.54%）要よう小しょう于正十じゅう二面体所占的体积（66.49%）。

通つう过一系列等夹角线段构造正二十面体

正せい二に十じゅう面体めんてい H₃考こう克かつ斯特平面へいめん	六ろく维正轴体（英えい语：6-orthoplex） D₆考こう克かつ斯特平面へいめん
这个操作そうさ可か以以几何的てき观点被ひ看み作さく六ろく维正轴体的てき12个顶点てん投影とうえい到いた三さん维空间。这代表だいひょう着ぎ一いち个D₆到いたH₃考こう克かつ斯特群ぐん的てき几何折おり叠（英えい语：Coxeter–Dynkin diagram#Geometric_folding）：见这些二に维考こう克かつ斯特平面へいめん（英えい语：Coxeter plane）正せい交投影とうえい，中ちゅう间投影とうえい后きさき重合じゅうごう的てき两个顶点给出了りょう这个图像中ちゅう的てき第だい三さん根ね轴

以下いか构建正せい二に十面体的方法避免了使用更基础的方法时必要的在数かず域いき $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ 中なか的てき复杂计算。
正せい二に十面体的存在性依赖于 $\mathbb {R} ^{3}$ 中ちゅう6条じょう等とう夹角线的存在そんざい性せい。事こと实上，我わが们很容易ようい便びん可か以发现，这样一组等夹角线与欧おう几里得とく空そら间中なか的てき球心きゅうしん在ざい等とう夹角线所共ども的てき交点こうてん的てき球たま相しょう交，得とく出で的てき交点こうてん即そく是ぜ一いち个正二に十じゅう面体めんてい的てき12个顶点てん。从相反はん方向ほうこう考こう虑，假かり设这里さと存在そんざい一いち个正二に十じゅう面体めんてい，它的6对相对顶点てん的てき连线（对角线）就形成けいせい了りょう那な样一个等夹角线系统。
为了构建这样一个等夹角线系统，我わが们开始はじめ于一个6×6方形ほうけい矩のり阵。

A=\left({\begin{array}{crrrrr}0&1&1&1&1&1\\1&0&1&-1&-1&1\\1&1&0&1&-1&-1\\1&-1&1&0&1&-1\\1&-1&-1&1&0&1\\1&1&-1&-1&1&0\end{array}}\right).

通つう过直接的ちょくせつてき计算，我わが们可以得出でA²=5I（在ざい这里I是ぜ6×6单位矩のり阵）。这表明ひょうめい矩のり阵I的てき特とく征せい值是ぜ√5和わ-√5，并且它们的てき复杂性せい都と是ぜ3，因いん为A是ぜ对称的てき，并且它的迹是ぜ0。
矩のり阵 $\scriptstyle A+{\sqrt {5}}I$ 在ざい商しょう空そら间 $\mathbb {R} ^{6}/\ker(A+{\sqrt {5}}I)$ 中ちゅう引出了りょう一いち个同どう构于 $\mathbb {R} ^{3}$ 的てき欧おう几里得とく结构因いん为它的てき核かく $\ker(A+{\sqrt {5}}I)$ 是ぜ三さん维的てき。在ざい $\mathbb {R} ^{6}$ 中なか，它的六条坐标轴线 $\mathbb {R} v_{1},\dots ,\mathbb {R} v_{6}$ 在ざい投影とうえい $\pi :\mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{6}/\ker(A+{\sqrt {5}}I)$ 下した的てき图像形成けいせい了りょう这样一いち个在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中ちゅう由よし六条等夹角线组成的系统，它们都と相しょう交于一いち点てん，两两之の间都夹着锐角 $\scriptstyle {\arccos }{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}$ 。±v₁，...，±v₆向むかいA的てき√5-特とく征せい空そら间的てき正せい交投影とうえい形成けいせい了りょう正せい二に十じゅう面体めんてい的てき12个顶点てん。
正せい二に十面体另一个直接的构造用到了交错群ぐんA₅的てき群ぐん表示ひょうじ论方法ほうほう，它直接ちょくせつ利用りよう了りょう正せい二に十じゅう面体めんてい的てき等とう距同构。

半はん正せい涂色和子わこ对称群ぐん

正せい二に十面体作为扭棱四面体，可か以通过旋转正四よん面体めんてい的てき正三角形せいさんかっけい面めん，并在4个顶点てん处插入そうにゅう新しん的てき三角形さんかっけい，在原ありわら来らい的てき6条じょう棱处插入そうにゅう新しん的てき一对三角形来构造

作さく为正多面体ためんたい之の一いち，正せい二に十面体拥有较高的对称性，它的所有しょゆう面めん在ざい几何上うえ都と是ぜ相しょう同どう的てき，不可ふか区分くぶん的てき。可か是ぜ我わが们也可か以想象ぞう将はた正せい二に十じゅう面体めんてい的てき面めん“涂上”不同ふどう的てき“颜色”，使つかい它其的てき不同ふどう面めん拥有不同ふどう的てき“几何意い义”，使つかい其拥有ゆう不同ふどう的てき次つぎ级对称しょう性せい。正せい二に十面体有三种不同的半はん正せい涂色方法ほうほう，可か以按照一个顶点引出的5个面的てき涂色来らい标记为11213、11212、11111。正せい二に十面体可以被描述为扭棱正せい四よん面体めんてい，具有ぐゆう手て征せい性せい正せい四よん面体めんてい对称性せい（英えい语：tetrahedral symmetry）；它亦可か以被描述成なり交错截顶正せい八はち面体めんてい，有ゆう五ご角かく十じゅう二に面体めんてい对称性せい（英えい语：pyritohedral symmetry）。这个具有ぐゆう五角十二面体对称的正二十面体也被叫做伪二に十じゅう面体めんてい是これ五ご角かく十じゅう二に面体めんてい的てき对偶。

名称めいしょう	正せい二に十じゅう面体めんてい	交错截角八はち面体めんてい	扭棱正せい四よん面体めんてい	正せい五ご双そう锥反柱ばしら体からだ
考こう克かつ斯特-迪すすむ肯（英えい语：Coxeter-Dynkin diagram）
施ほどこせ莱夫利り符号ふごう	{3,5}	h_0,1{3,4}	s{3,3}
Wythoff符号ふごう（英えい语：Wythoff symbol）	5 \| 3 2		\| 3 3 2
对称性せい（英えい语：List of spherical symmetry groups）	I_h [5,3] (*532)	T_h [3⁺,4] (3*2)	T [3,3]⁺ (332)	D_5d [2⁺,10] (2*5)
对称群ぐん阶	60	24	12	10
半はん正せい涂色	(11111)	(11212)	(11213)	(11122)&(22222)

与あずか其它几何图形的てき关系

正せい二に十面体是正二十面体家族的一员：

正せい二に十じゅう面体めんてい家族かぞく半はん正せい多面体ためんたい
對稱たいしょう群ぐん: [5,3]（英えい语：Icosahedral symmetry）, (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t_0,1{5,3}	t₁{5,3}	t_0,1{3,5}	{3,5}	t_0,2{5,3}	t_0,1,2{5,3}	s{5,3}
半はん正せい多面体ためんたい对偶


V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

作さく为扭棱正四面体和交错截顶正八面体，正せい二に十面体也是正四面体家族和正八面体家族的一员：

正せい四よん面体めんてい家族かぞく半はん正せい多面体ためんたい
对称性せい: [3,3], (*332)							[3,3]⁺, (332)


{3,3}	t_0,1{3,3}	t₁{3,3}	t_1,2{3,3}	t₂{3,3}	t_0,2{3,3}	t_0,1,2{3,3}	s{3,3}
半はん正せい多面体ためんたい对偶


V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

半はん正せい正せい八はち面体めんてい家族かぞく多面体ためんたい
对称性せい: [4,3], (*432)							[4,3]⁺, (432)	[1⁺,4,3], (*332)	[4,3⁺], (3*2)


{4,3}	t_0,1{4,3}	t₁{4,3}	t_1,2{4,3}	{3,4}	t_0,2{4,3}	t_0,1,2{4,3}	s{4,3}	h{4,3}	h_1,2{4,3}
半はん正せい多面体ためんたい的てき对偶


V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

正せい二に十じゅう面体めんてい在ざい拓つぶせ扑上うえ与あずか其它一いち系列けいれつ的てき正三角形せいさんかっけい镶嵌{3,n}和わ一系列的五阶正镶嵌{n,5}相あい关联：

多面体ためんたい				欧おう式しき镶嵌	双そう曲きょく镶嵌
{3,2}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,9}	...	{3,∞)

球面きゅうめん鑲嵌		雙そう曲面きょくめん鑲嵌
{2,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	...	{∞,5}

正せい二に十じゅう面体めんてい和わ三さん个星ほし形がた正せい多面体ためんたい有ゆう着ちゃく相しょう同どう的てき顶点排はい布ぬの。其中与あずか大だい十じゅう二に面体めんてい还有相しょう同どう的てき棱排布ぬの：

图像	大だい十じゅう二に面体めんてい	小星こぼし形がた十じゅう二に面体めんてい	大だい二に十じゅう面体めんてい
考こう克かつ斯特-迪すすむ肯符号ごう（英えい语：Coxeter-Dynkin diagram）

虽然由よし于正二に十じゅう面体めんてい的てき二に面めん角かく太ふとし大だい（约138.189685°>120°），因いん此正二に十じゅう面体めんてい不可能ふかのう密みつ铺三さん维欧おう几里得とく空そら间，但ただし它可以密铺适当とう的てき双そう曲きょく空そら间，称しょう为三阶正二十面体堆砌（英えい语：Icosahedral honeycomb），每まい条じょう棱处有ゆう三个正二十面体相交，每まい个顶点てん处有12个正二に十じゅう面体めんてい相しょう交，因いん此顶点图是これ正せい十じゅう二に面体めんてい，施ほどこせ莱夫利り符号ふごう{3,5,3}，是ぜ四个三维双曲空间中的正せい堆うずたか砌みぎり之これ一いち。

这里我わが们用庞加莱圆盘模型がた上うえ的てき线架来らい表示ひょうじ它，中心ちゅうしん的てき正せい二に十面体被涂上了颜色。

類別るいべつ	柏かしわ拉ひしげ圖ず立體りったい					卡塔蘭らん立體りったい
種子しゅし	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	aC	aD
倒たおせ角かく	cT	cC	cO（英えい语：Chamfered octahedron）	cD	cI	caC	caD

應用おうよう

由よし於正二に十面體非常均勻，且有20個こ面めん，因いん此適合てきごう作成さくせい骰子さいころ。

在ざい生物せいぶつ學がく中ちゅう

某ぼう些病毒びょうどく，如疱疹病毒びょうどく科か、諾だく羅ら病毒びょうどく、腺せん病毒びょうどく和わ噬菌体たい等ひとし，擁よう有正ありまさ二に十じゅう面體めんてい的てき衣ころも殼から。^[2]^[3]在ざい有ゆう些細ささい菌きん中ちゅう還かえ發現はつげん具有ぐゆう二に十じゅう面體めんてい形狀けいじょう的てき各種かくしゅ細菌さいきん的てき胞器，^[4]二に十じゅう面體めんてい的てき殼から包つつみ住じゅう酶和わ不穩ふおん定てい的中てきちゅう間あいだ產物さんぶつ，該殼由よし具ぐBMC結構けっこう域いき（英えい语：BMC domain）的てき不同ふどう蛋白質たんぱくしつ構成こうせい。

1904年ねん，恩おん斯特·海うみ克かつ尔發表はっぴょう了りょう一いち些放射ほうしゃ蟲ちゅう的てき種類しゅるい，包括ほうかつCircogonia二に十じゅう面體めんてい（Circogonia icosahedra），其骨架か的てき形狀けいじょう像ぞう一いち個こ正せい二に十じゅう面體めんてい。

參考さんこう文獻ぶんけん

^ Weisstein, Eric W. (编). Icosahedral group. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英えい语）.
^ C. Michael Hogan. 2010. Virus. Encyclopedia of Earth. National Council for Science and the Environment （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）. eds. S. Draggan and C. Cleveland
^ 存そん档副本ふくほん. [2005-06-25]. （原始げんし内容ないよう存そん档于2006-03-25）.
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Klein, Felix, Lectures on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree, 1888, Dover edition ISBN 978-0-486-49528-6.

外部がいぶ連結れんけつ

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Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3o5o - ike. bendwavy.org.
Hartley, Michael. Dr Mike's Math Games for Kids. [2013-03-23]. （原始げんし内容ないよう存そん档于2021-02-07）.
Webb, Robert. Icosahedron. [2013-03-23]. （原始げんし内容ないよう存そん档于2021-01-24）.
The Uniform Polyhedra （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
Interactive Icosahedron model - works right in your web browser
Virtual Reality Polyhedra （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） The Encyclopedia of Polyhedra
Tulane.edu A discussion of viral structure and the icosahedron
Paper Models of Polyhedra （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） Many links
Origami Polyhedra （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） - Models made with Modular Origami
Video of icosahedral mirror sculpture （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
[1] Principle of virus architecture
Stella: Polyhedron Navigator （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）: Software used to create some of the images on this page.

[3] Weisstein, Eric W. (编). Icosahedral group. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英えい语）.

[4] C. Michael Hogan. 2010. Virus. Encyclopedia of Earth. National Council for Science and the Environment （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）. eds. S. Draggan and C. Cleveland

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查论编多面体ためんたい
1 - 10	一いち面體めんてい二に面體めんてい三さん面體めんてい四よん面體めんてい正せい四よん面體めんてい鍥形體けいたい五ご面體めんてい三角柱さんかくちゅう四よん角錐かくすい六面體ろくめんたい立方體りっぽうたい長方おさかた體たい四角よつかど柱ばしら五ご角錐かくすい平行へいこう六面体ろくめんたい雙三ふたみ角錐かくすい七なな面體めんてい八はち面體めんてい九きゅう面體めんてい十じゅう面體めんてい
11 - 20	十じゅう一いち面體めんてい十じゅう二に面體めんてい十じゅう三さん面體めんてい十じゅう四よん面體めんてい十じゅう五ご面體めんてい十じゅう六面體ろくめんたい十じゅう七なな面體めんてい十じゅう八はち面體めんてい十じゅう九きゅう面體めんてい二に十じゅう面體めんてい
其他	空そら多た胞形零れい面體めんてい多面ためん形がた三面さんめん形がた超ちょう二に十じゅう面體めんてい二に十じゅう二に面體めんてい二に十じゅう四よん面體めんてい二に十じゅう七なな面體めんてい三さん十じゅう面體めんてい六ろく十じゅう面體めんてい無限むげん面體めんてい
正せい多面體ためんたい	正せい四よん面體めんてい正せい六面體ろくめんたい正せい八はち面體めんてい正せい十じゅう二に面體めんてい正せい二に十じゅう面體めんてい正せい無限むげん面體めんてい

查论编正せい多邊形たへんけい鑲嵌
二に邊へん形がた鑲嵌	二に維密鋪しき二に邊へん形がた密みつ鋪しき超ちょう二に邊へん形がた密みつ鋪しき三さん階かい二に邊へん形がた鑲嵌 ... 無限むげん階かい二に邊へん形がた鑲嵌（雙そう曲きょく）
三角形さんかっけい鑲嵌	三さん階かい三角形さんかっけい鑲嵌四よん階かい三角形さんかっけい鑲嵌五ご階かい三角形さんかっけい鑲嵌六ろく階かい三角形さんかっけい鑲嵌七なな階かい三角形さんかっけい鑲嵌八はち階かい三角形さんかっけい鑲嵌 ... 無限むげん階かい三角形さんかっけい鑲嵌
正方形せいほうけい鑲嵌	三さん階かい正方形せいほうけい鑲嵌四よん階かい正方形せいほうけい鑲嵌五ご階かい正方形せいほうけい鑲嵌六ろく階かい正方形せいほうけい鑲嵌七なな階かい正方形せいほうけい鑲嵌八はち階かい正方形せいほうけい鑲嵌 ... 無限むげん階かい正方形せいほうけい鑲嵌
五ご邊へん形がた鑲嵌	三さん階かい五ご邊へん形がた鑲嵌四よん階かい五ご邊へん形がた鑲嵌五ご階かい五ご邊へん形がた鑲嵌六ろく階かい五ご邊へん形がた鑲嵌七なな階かい五ご邊へん形がた鑲嵌八はち階かい五ご邊へん形がた鑲嵌 ... 無限むげん階かい五ご邊へん形がた鑲嵌
六ろく邊へん形がた鑲嵌	三さん階かい六ろく邊へん形がた鑲嵌四よん階かい六ろく邊へん形がた鑲嵌五ご階かい六ろく邊へん形がた鑲嵌六ろく階かい六ろく邊へん形がた鑲嵌七なな階かい六ろく邊へん形がた鑲嵌八はち階かい六ろく邊へん形がた鑲嵌 ... 無限むげん階かい六ろく邊へん形がた鑲嵌
七なな邊へん形がた鑲嵌	三さん階かい七なな邊へん形がた鑲嵌四よん階かい七なな邊へん形がた鑲嵌五ご階かい七なな邊へん形がた鑲嵌六ろく階かい七なな邊へん形がた鑲嵌七なな階かい七なな邊へん形がた鑲嵌八はち階かい七なな邊へん形がた鑲嵌 ... 無限むげん階かい七なな邊へん形がた鑲嵌
八はち邊へん形がた鑲嵌	三さん階かい八はち邊へん形がた鑲嵌四よん階かい八はち邊へん形がた鑲嵌五ご階かい八はち邊へん形がた鑲嵌六ろく階かい八はち邊へん形がた鑲嵌七なな階かい八はち邊へん形がた鑲嵌八はち階かい八はち邊へん形がた鑲嵌 ... 無限むげん階かい八はち邊へん形がた鑲嵌
無限むげん邊べ形がた鑲嵌	二階無限邊形鑲嵌（雙そう曲きょく）三階無限邊形鑲嵌四階無限邊形鑲嵌五階無限邊形鑲嵌六ろく階かい無限むげん邊べ形がた鑲嵌七なな階かい無限むげん邊べ形がた鑲嵌八階無限邊形鑲嵌 ... 無限むげん階かい無限むげん邊べ形がた鑲嵌
星ほし型がた面めん的てき鑲嵌	五ご階かい五ご角かく星ほし鑲嵌六ろく階かい六ろく角かく星ほし鑲嵌七なな階かい七なな角かく星ほし鑲嵌
星ほし型がた頂點ちょうてん圖ず的てき鑲嵌	二分にぶん之の五ご階かい五ご邊へん形がた鑲嵌二分にぶん之の七なな階かい七なな邊へん形がた鑲嵌
複ふく合あい鑲嵌（重疊ちょうじょう）	二複合正六邊形鑲嵌複ふく合あい三角形鑲嵌六邊形鑲嵌
其他	二に階かい多邊形たへんけい鑲嵌二階超無限邊形鑲嵌三角形さんかっけい-正方形せいほうけい鑲嵌