Κωνική τομή

Κωνικές τομές

Κωνική τομή ονομάζεται μία καμπύλη πぱいοおみくろんυうぷしろん προκύπτει από τたうηいーたνにゅー τομή κώνου κかっぱαあるふぁιいおた επιπέδου, ή ακριβέστερα, από τたうηいーたνにゅー τομή ενός επιπέδου μみゅーεいぷしろん δύο ίσες ορθές άπειρες κωνικές επιφάνειες πぱいοおみくろんυうぷしろん έχουν κοινό άξονα κかっぱαあるふぁιいおた συνδέονται σしぐまτたうηいーたνにゅー κορυφή τους (οおみくろん ένας κώνος εφαρμόζει "αναποδογυρισμένος" πάνω σしぐまτたうηいーたνにゅー κορυφή τたうοおみくろんυうぷしろん άλλου). Όλες οおみくろんιいおた καμπύλες τたうοおみくろん πολύ δεύτερης τάξης σしぐまτたうοおみくろん επίπεδο είναι κωνικές τομές.

Ηいーた θέση τたうοおみくろんυうぷしろん επιπέδου ως προς τたうοおみくろんνにゅー κώνο καθορίζει τたうηいーた μορφή της κωνικής τομής:

• Εάν τたうοおみくろん επίπεδο είναι κάθετο σしぐまτたうοおみくろんνにゅー άξονα τたうοおみくろんυうぷしろん κώνου ηいーた τομή είναι ένας κύκλος.
• Εάν τたうοおみくろん επίπεδο δでるたεいぷしろんνにゅー είναι κάθετο σしぐまτたうοおみくろんνにゅー άξονα τたうοおみくろんυうぷしろん κώνου κかっぱαあるふぁιいおた τέμνει όλες τις γενέτειρες αυτού, ηいーた κλειστή καμπύλη πぱいοおみくろんυうぷしろん δημιουργείται είναι έλλειψη.
• Εάν τたうοおみくろん επίπεδο είναι παράλληλο προς μみゅーιいおたαあるふぁ γενέτειρα τたうοおみくろんυうぷしろん κώνου, ηいーた τομή είναι παραβολή.
• Εάν τたうοおみくろん επίπεδο δでるたεいぷしろんνにゅー είναι κάθετο σしぐまτたうοおみくろんνにゅー άξονα τたうοおみくろんυうぷしろん κώνου κかっぱαあるふぁιいおた ούτε παράλληλο προς μみゅーιいおたαあるふぁ γενέτειρα αυτού, τότε ηいーた καμπύλη πぱいοおみくろんυうぷしろん προκύπτει είναι υπερβολή.
• Τέλος εάν τたうοおみくろん επίπεδο διέρχεται από τたうηいーたνにゅー κορυφή τたうοおみくろんυうぷしろん κώνου, ηいーた τομή λέγεται εκφυλισμένη κωνική τομή. Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση αυτή ηいーた τομή είναι ένα σημείο (εκφυλισμένη έλλειψη) ή μία ευθεία (εκφυλισμένη παραβολή) ή ένα ζεύγος ευθειών πぱいοおみくろんυうぷしろん διέρχονται από τたうηいーたνにゅー κορυφή (εκφυλισμένη υπερβολή).

Ενιαίος ορισμός κωνικών τομών

Γενικότερα ως κωνική τομή μπορεί νにゅーαあるふぁ οριστεί οおみくろん γεωμετρικός τόπος τたうωおめがνにゅー σημείων ενός επιπέδου τたうωおめがνにゅー οποίων οおみくろん λόγος της απόστασης αυτών από σταθερό σημείο E (εστία) προς τたうηいーたνにゅー απόσταση αυτών από μみゅーιいおたαあるふぁ σταθερή ευθεία δでるた (διευθετούσα) είναι σταθερός κかっぱαあるふぁιいおた ίσος προς $\,\epsilon$, ήτοι δηλαδή:

$\,{\dfrac {d(M,E)}{d(M,\delta )}}=\epsilon$

Οおみくろん σταθερός αυτός λόγος$\,\epsilon$ ονομάζεται εκκεντρότητα. Μπορεί νにゅーαあるふぁ αποδειχθεί ότι:

• Εάν $\,0\leq \epsilon <1$ τότε ηいーた κωνική τομή είναι έλλειψη.
  • Σしぐまτたうηいーたνにゅー ειδική περίπτωση κατά τたうηいーたνにゅー οποία $\,\epsilon =0$ ηいーた κωνική τομή είναι κύκλος.
• Εάν $\,\epsilon =1$ τότε ηいーた κωνική τομή είναι παραβολή.
• Εάν $\,\epsilon >1$ τότε ηいーた κωνική τομή είναι υπερβολή.

Ηいーた απόσταση της εστίας Εいぷしろん από τたうηいーたνにゅー διευθετούσα δでるた ορίζεται ως εστιακή παράμετρος κかっぱαあるふぁιいおた συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん p.

Γενική εξίσωση κωνικής τομής

Κάθε γεωμετρικός τόπος πぱいοおみくろんυうぷしろん αντιπροσωπεύεται από μみゅーιいおたαあるふぁ εξίσωση $\,f(x,y)=0$ δευτέρου βαθμού είναι ένας από τους εξής: σημείο, μみゅーιいおたαあるふぁ ευθεία, δύο ευθείες, κύκλος, παραβολή, έλλειψη ή υπερβολή.

Ηいーた γενική εξίσωση $\,f(x,y)=0$ δευτέρου βαθμού μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφτεί ως:

$\,Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

Θしーたαあるふぁ αρχίσουμε τたうηいーたνにゅー μελέτη μας εξετάζοντας εάν μπορούμε νにゅーαあるふぁ απαλείψουμε τたうοおみくろんυうぷしろん όρους πρώτου βαθμού από τたうηいーたνにゅー ανωτέρω εξίσωση. Προς τたうοおみくろんνにゅー σκοπό αυτό θしーたαあるふぁ μεταφέρουμε τたうηいーたνにゅー αρχή τたうωおめがνにゅー αξόνων σしぐまτたうοおみくろん σημείο $\,(x_{0},y_{0})$ θέτοντας:

$\,x=x'+x_{0}$ $\,y=y'+y_{0}$

κかっぱαあるふぁιいおた αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές τたうωおめがνにゅー $\,x,y$ σしぐまτたうηいーたνにゅー γενική εξίσωση λαμβάνουμε:

$\,Ax'^{2}+Bx'y'+Cy'^{2}+(2Ax_{0}+By_{0}+D)x'+(2Cy_{0}+Bx_{0}+E)y'+F'=0$

όπου

$\,F'=Ax_{0}^{2}+Bx_{0}y_{0}+Cy_{0}^{2}+Dx_{0}+Ey_{0}+F$

Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ απαλειφθούν οおみくろんιいおた όροι πρώτου βαθμού επιλέγουμε $\,x_{0},y_{0}$ τέτοια ώστε

$\,2Ax_{0}+By_{0}+D=0$ $\,2Cy_{0}+Bx_{0}+E=0$

Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση κατά τたうηいーたνにゅー οποία $\,B^{2}-4AC\neq 0$ οおみくろんιいおた τιμές γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ $\,x_{0},y_{0}$ ορίζονται κかっぱαあるふぁιいおた είναι ως ακολούθως:

$\,x_{0}={\dfrac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}}$ $\,y_{0}={\dfrac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}}$

Κατόπιν αυτού ηいーた γενική εξίσωση μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφτεί (παραλείποντας τις ' από τις μεταβλητές $\,x,y$)

$\,Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+F'=0$

όπου τたうοおみくろん $\,F'$ προκύπτει μετά από αντικατάσταση τたうωおめがνにゅー $\,x_{0},y_{0}$ σしぐまτたうηいーたνにゅー εξίσωση γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん $\,F$ ανωτέρω κかっぱαあるふぁιいおた είναι:

$\,F'=F+{\dfrac {CD^{2}+AE^{2}-BDE}{B^{2}-4AC}}$

Επιπλέον νにゅーαあるふぁ σημειώσουμε ότι εάν ηいーた ανωτέρω εξίσωση $\,Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+F'=0$ ικανοποιείται από ένα οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών $\,(x_{1},y_{1})$ τότε ικανοποιείται κかっぱαあるふぁιいおた από τたうοおみくろん $\,(-x_{1},-y_{1})$ κかっぱαあるふぁιいおた άρα συνεπώς ηいーた νέα αρχή τたうωおめがνにゅー αξόνων συντεταγμένων αποτελεί κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん κέντρο τたうοおみくろんυうぷしろん γεωμετρικού τόπου πぱいοおみくろんυうぷしろん αντιπροσωπεύει ηいーた γενική εξίσωση $\,f(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$.

Δηλαδή εάν $\,B^{2}-4AC\neq 0$ τότε οおみくろん γεωμετρικός τόπος $\,f(x,y)$ έχει κέντρο τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου οおみくろんιいおた συντεταγμένες είναι $\,(x_{0},y_{0})$ όπως αυτές προσδιορίστηκαν ανωτέρω.

Ακολούθως θしーたαあるふぁ απλοποιήσουμε περαιτέρω τたうηいーたνにゅー εξίσωση $\,Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+F'=0$ αλλάζοντας διεύθυνση στους άξονες συντεταγμένων. Προς τたうοおみくろんνにゅー σκοπό αυτό θέτουμε:

$\,x=x'\cos \phi -y'\sin \phi$ $\,y=x'\sin \phi +y'\cos \phi$

οπότε μみゅーεいぷしろん αντικατάσταση προκύπτει

$\,x'^{2}(A\cos ^{2}\phi +C\sin ^{2}\phi +B\sin \phi \cos \phi )+y'^{2}(A\sin ^{2}\phi +C\cos ^{2}\phi -B\sin \phi \cos \phi )+x'y'\left[2(C-A)\sin \phi \cos \phi +B(\cos ^{2}\phi -\sin ^{2}\phi )\right]+F'=0$

Σκοπός μας είναι νにゅーαあるふぁ αλλάξουμε τたうηいーたνにゅー διεύθυνση τたうωおめがνにゅー αξόνων κατά μみゅーιいおたαあるふぁ γωνία $\,\phi$ τέτοια ώστε νにゅーαあるふぁ απαλειφθεί οおみくろん όρος $\,x'y'$. Κατά συνέπεια θしーたαあるふぁ υπολογίσουμε τたうηいーたνにゅー γωνία $\,\phi$ ηいーた οποία μηδενίζει τたうοおみくろんνにゅー συντελεστή τたうοおみくろんυうぷしろん όρου $\,x'y'$, δηλαδή θέλουμε:

$\,2(C-A)\sin \phi \cos \phi +B(\cos ^{2}\phi -\sin ^{2}\phi )=(C-A)\sin 2\phi +B\cos 2\phi =(C-A)\tan 2\phi +B=0\iff$ $\,\tan 2\phi ={\dfrac {B}{A-C}}$

κかっぱαあるふぁιいおた εφόσον πάντοτε μπορεί νにゅーαあるふぁ βρεθεί $\,\phi$ τέτοιο ώστε $\,\tan 2\phi ={\dfrac {B}{A-C}}$ οおみくろん όρος $\,x'y'$ μηδενίζεται κかっぱαあるふぁιいおた λαμβάνουμε:

$\,x'^{2}(A\cos ^{2}\phi +C\sin ^{2}\phi +B\sin \phi \cos \phi )+y'^{2}(A\sin ^{2}\phi +C\cos ^{2}\phi -B\sin \phi \cos \phi )+F'=0$

οπότε μみゅーεいぷしろん απλοποίηση (παραλείποντας τις ' τたうωおめがνにゅー μεταβλητών $\,x,y$) έχουμε:

$\,A'x^{2}+B'y^{2}+F'=0$

όπου

$\,A'={\dfrac {1}{2}}\left[A+C+(A-C)\cos 2\phi +B\sin 2\phi \right]$ $\,B'={\dfrac {1}{2}}\left[A+C-(A-C)\cos 2\phi -B\sin 2\phi \right]$

κかっぱαあるふぁιいおた αφού $\,\tan 2\phi ={\dfrac {B}{A-C}}$ προκύπτει ότι:

$\,\cos 2\phi ={\dfrac {A-C}{\sqrt {B^{2}+(A-C)^{2}}}},$ $\,\sin 2\phi ={\dfrac {B}{\sqrt {B^{2}+(A-C)^{2}}}}$

οπότε

$\,A'={\dfrac {1}{2}}\left[A+C+{\sqrt {B^{2}+(A-C)^{2}}}\right]$ $\,B'={\dfrac {1}{2}}\left[A+C-{\sqrt {B^{2}+(A-C)^{2}}}\right]$

(1) Εάν $\,F'=0$:

• Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση κατά τたうηいーたνにゅー οποία $\,A',B'$ έχουν ίδιο πρόσημο, εάν δηλαδή $\,A'B'>0\iff B^{2}-4AC>0$ ηいーた εξίσωση αντιπροσωπεύει τたうηいーたνにゅー αρχή τたうωおめがνにゅー αξόνων.

• Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση κατά τたうηいーたνにゅー οποία $\,A',B'$ έχουν διαφορετικό πρόσημο, εάν δηλαδή $\,A'B'<0\iff B^{2}-4AC>0$ ηいーた εξίσωση αντιπροσωπεύει δύο ευθείες γραμμές μみゅーεいぷしろん εξισώσεις:

$\,y=\pm {\sqrt {-{\dfrac {A'}{B'}}}}x$

(2) Εάν $\,F'\neq 0$ μπορούμε νにゅーαあるふぁ γράψουμε:

$\,-{\dfrac {A'}{F'}}x^{2}-{\dfrac {B'}{F'}}y^{2}=1$

• Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση κατά τたうηいーたνにゅー οποία $\,A',B',F'$ έχουν ίδιο πρόσημο ηいーた εξίσωση είναι αδύνατη.

• Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση κατά τたうηいーたνにゅー οποία $\,A',B'$ έχουν διαφορετικό πρόσημο, εάν δηλαδή $\,A'B'<0\iff B^{2}-4AC>0$ ηいーた εξίσωση αντιπροσωπεύει υπερβολή.

• Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση κατά τたうηいーたνにゅー οποία $\,A',B'$ έχουν ίδιο πρόσημο αλλά $\,F'$ έχει διαφορετικό πρόσημο, εάν δηλαδή $\,A'B'>0\iff B^{2}-4AC<0$ ηいーた εξίσωση αντιπροσωπεύει έλλειψη.

• Σしぐまτたうηいーたνにゅー ειδική περίπτωση κατά τたうηいーたνにゅー οποία $\,A'=B'$ ήτοι δηλαδή $\,A=C$ κかっぱαあるふぁιいおた $\,B=0$ τότε ηいーた εξίσωση αντιπροσωπεύει κύκλο.

$\,$

Εάν $\,B^{2}-4AC=0$ δでるたεいぷしろんνにゅー είναι εφικτό εκτελέσουμε τたうοおみくろんνにゅー μετασχηματισμό μεταφοράς τたうωおめがνにゅー αξόνων τたうοおみくろんυうぷしろん συστήματος συντεταγμένων κかっぱαあるふぁιいおた ως εいぷしろんκかっぱ τούτου δでるたεいぷしろんνにゅー μπορούμε νにゅーαあるふぁ απαλείψουμε τους όρους πρώτου βαθμού της γενικής εξίσωσης $\,f(x,y)=0$.

Τέλος εάν $B^{2}-4AC=0$ τότε δでるたεいぷしろんνにゅー είναι εφικτό εκτελέσουμε τたうοおみくろんνにゅー μετασχηματισμό μεταφοράς τたうωおめがνにゅー αξόνων τたうοおみくろんυうぷしろん συστήματος συντεταγμένων κかっぱαあるふぁιいおた ως εいぷしろんκかっぱ τούτου δでるたεいぷしろんνにゅー μπορούμε νにゅーαあるふぁ απαλείψουμε τους όρους πρώτου βαθμού της γενικής εξίσωσης $f(x,y)=0$.

Μπορούμε όμως νにゅーαあるふぁ προχωρήσουμε σしぐまτたうοおみくろんνにゅー μετασχηματισμό αλλαγής διεύθυνσης (στροφής) τたうωおめがνにゅー αξόνων τたうοおみくろんυうぷしろん συστήματος συντεταγμένων θέτοντας:

$x=x'\cos \phi -y'\sin \phi$ $y=x'\sin \phi +y'\cos \phi$

Οπότε ηいーた γενική εξίσωση $f(x,y)$ γράφεται ως:

$x'^{2}(A\cos ^{2}\phi +C\sin ^{2}\phi +B\sin \phi \cos \phi )$ $+y'^{2}(A\sin ^{2}\phi +C\cos ^{2}\phi -B\sin \phi \cos \phi )$ $+x'y'\left[2(C-A)\sin \phi \cos \phi +B(\cos ^{2}\phi -\sin ^{2}\phi )\right]$ $+x'(D\cos \phi +E\sin \phi )+y'(E\cos \phi -D\sin \phi )+F=0$

Όπως κかっぱαあるふぁιいおた προηγουμένως εάν θέσουμε

$\tan 2\phi ={\dfrac {B}{A-C}}$

μηδενίζεται οおみくろん συντελεστής τたうοおみくろんυうぷしろん όρου $x'y'$ κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた συντελεστές τたうωおめがνにゅー $x'^{2}$ κかっぱαあるふぁιいおた $y'^{2}$ είναι:

${\dfrac {1}{2}}\left[A+C\pm {\sqrt {B^{2}+(A-C)^{2}}}\right]$

τたうωおめがνにゅー οποίων τたうοおみくろん γινόμενο υπολογίζεται

${\dfrac {1}{4}}\left[A+C+{\sqrt {B^{2}+(A-C)^{2}}}\right]\left[A+C-{\sqrt {B^{2}+(A-C)^{2}}}\right]$ $={\dfrac {1}{4}}\left\{(A+C)^{2}-\left[B^{2}+(A-C)^{2}\right]\right\}$ $={\dfrac {1}{4}}\left[A^{2}+2AC+C^{2}-B^{2}-A^{2}+2AC-C^{2}\right]$ $=-{\dfrac {B^{2}-4AC}{4}}=0$

κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん οποίο ισούται προς μηδέν δεδομένου ότι από τたうηいーたνにゅー υπόθεση διερευνούμε αυτήν ακριβώς τたうηいーたνにゅー περίπτωση.

Κατά συνέπεια ένας εいぷしろんκかっぱ τたうωおめがνにゅー δύο όρων τたうωおめがνにゅー $x'^{2}$ ή $y'^{2}$ πρέπει νにゅーαあるふぁ ισούται προς μηδέν κかっぱαあるふぁιいおた εξαφανίζεται, έστω οおみくろん όρος $x'^{2}$. Έτσι τελικά ηいーた γενική εξίσωση $f(x,y)$ σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση αυτή μετασχηματίζεται σしぐまτたうηいーたνにゅー ακόλουθη μορφή (παραλείποντας τις ' από τたうηいーた μεταβλητή $y$):

$C'y^{2}+D'x+E'y+F=0$

όπου

$C'=A\sin ^{2}\phi +C\cos ^{2}\phi -B\sin \phi \cos \phi$ $D'=D\cos \phi +E\sin \phi$ $E'=E\cos \phi -D\sin \phi$

(1) Εάν $D'\neq 0$ αυτή ηいーた εξίσωση γράφεται

$C'\left(y+{\dfrac {E'}{2C'}}\right)^{2}=-D'\left(x-{\dfrac {E'^{2}}{4C'D'}}+{\dfrac {F}{D'}}\right)$

κかっぱαあるふぁιいおた κατά συνέπεια σしぐまεいぷしろん αυτή τたうηいーたνにゅー περίπτωση οおみくろん γεωμετρικός τόπος είναι παραβολή.

(2) Εάν $D'=0$, τότε ηいーた παραπάνω εξίσωση γράφεται

$C'y^{2}+E'y+F=0$

• Εάν $E'^{2}-4C'F>0$ τότε ηいーた εξίσωση αυτή αντιπροσωπεύει δύο παράλληλες ευθείες μみゅーεいぷしろん εξισώσεις:

$y={\dfrac {-E'\pm {\sqrt {E'^{2}-4C'F}}}{2C'}}$

.

• Εάν $E'^{2}-4C'F=0$ ηいーた εξίσωση αυτή αντιπροσωπεύει μみゅーιいおたαあるふぁ ευθεία μみゅーεいぷしろん εξίσωση:

$y={\dfrac {-E'}{2C'}}$

• Κかっぱαあるふぁιいおた τέλος προφανώς εάν $E'^{2}-4C'F<0$ οおみくろん γεωμετρικός τόπος είναι αδύνατος.

Είδη κωνικών τομών

Οおみくろんιいおた κωνικές τομές είναι:

• τたうοおみくろん σημείο
• οおみくろん κύκλος
• ηいーた έλλειψη
• ηいーた παραβολή
• ηいーた υπερβολή

Αναλλοίωτα κかっぱαあるふぁιいおた ταξινόμηση κωνικών τομών

Έστω ηいーた γενική εξίσωση τετραγωνικής καμπύλης:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

Τότε ορίζονται τたうαあるふぁ παρακάτω αναλλοίωτα μみゅーεいぷしろん βάση τたうαあるふぁ οποία μπορούμε νにゅーαあるふぁ ταξινομήσουμε τις κωνικές τομές:

$J_{1}=A+C$

$J_{2}=B^{2}-AC$

$J_{3}=\Delta ={\begin{vmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\\\end{vmatrix}}$

$J_{4}={\begin{vmatrix}C&E/2\\E/2&F\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}A&D/2\\D/2&F\\\end{vmatrix}}$

			Κανονικές κωνικές $J_{3}\neq 0$	Εκφυλισμένες κωνικές $J_{3}=0$
Κεντρικές κωνικές $J_{2}\neq 0$	$J_{2}>0$	${\dfrac {J_{3}}{J_{1}}}<0$	Πραγματική έλλειψη	Δύο "φανταστικές ευθείες" τεμνόμενες σしぐまεいぷしろん ένα "κかっぱαあるふぁθしーた' υπόστασιν" σημείο
		${\dfrac {J_{3}}{J_{1}}}>0$	Κενό σύνολο (φανταστική έλλειψη)
		${\dfrac {J_{3}}{J_{1}}}=0$	-	Σημείο
	$J_{2}>0$		Υπερβολή	Δύο πραγματικές τεμνόμενες ευθείες
Μみゅーηいーた Κεντρικές κωνικές $J_{2}\neq 0$	$J_{4}>0$		Παραβολή	Φανταστικές "παράλληλες" ευθείς
	$J_{4}<0$			Παράλληλες πραγματικές ευθείες
	$J_{4}=0$			Συμπίπτουσες ευθείες

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή γがんまιいおたαあるふぁ τις κωνικές τομές
• Συλλογή από διαδραστικές εφαρμογές γがんまιいおたαあるふぁ τις κωνικές τομές
• Συλλογή από διαδραστικές εφαρμογές γがんまιいおたαあるふぁ τις κωνικές τομές

Ελληνικά βιβλία

• Χρυσάκης Θανάσης "Γραμμική Άλγεβρα κかっぱαあるふぁιいおた Αναλυτική Γεωμετρία"

Ελληνικά άρθρα

• Τουρναβίτης, Στέργιος (Ιανουαρίου 2023). «Οおみくろんιいおた κωνικές τομές κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた εφαρμογές τους». Ευκλείδης Β΄ (127): 43-46. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_t127_2023.pdf. 
• Χριστόπουλος, Θανάσης (Ιουνίου 2020). «Εισαγωγή στις κωνικές τομές». Ευκλείδης Β΄ (115): 43-46. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_115_EYKLEIDHS_2020.pdf. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Naylor, B. (Δεκεμβρίου 1931). «1010. [L 1 . 1. a. The Definition of a Conic Section»]. The Mathematical Gazette 15 (216): 495–496. doi:10.2307/3605585. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1931-12_15_216/page/495. 
• Benny, L. B. (Ιανουαρίου 1924). «Some Deductions from the Form of the Equation of the Conic Section». The Mathematical Gazette 12 (168): 8–14. doi:10.2307/3603397. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1924-01_12_168/page/8. 
• Fox, C. (Μαΐου 1929). «The Orthocentre and Some Properties of Conic Sections». The Mathematical Gazette 14 (201): 451–454. doi:10.2307/3608101. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1929-05_14_201/page/451. 
• Rumsey, C. A. (Δεκεμβρίου 1903). «Note on the Treatment of Conic Sections and Conicoids By Pure Geometry». The Mathematical Gazette 2 (42): 356–360. doi:10.2307/3603039. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1903-12_2_42/page/356. 
• Maanen, Jan Van (Ιουλίου 1992). «Seventeenth century instruments for drawing conic sections». The Mathematical Gazette 76 (476): 222–230. doi:10.2307/3619131. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1992-07_76_476/page/222. 
• Mahony, John D. (Ιουλίου 2019). «Locating parameters of interest in a conic section». The Mathematical Gazette 103 (557): 196–203. doi:10.1017/mag.2019.50.