Έλλειψη (γεωμετρία)

Μみゅーιいおたαあるふぁ έλλειψη ως τομή ενός κώνου.

Σχήμα έλλειψης μみゅーεいぷしろん τたうαあるふぁ βασικά της στοιχεία.
Εいぷしろん1-Εいぷしろん2: Εστίες έλλειψης,
αあるふぁ: μεγάλος ημιάξονας,
βべーた: μικρός ημιάξονας,
γがんま: εστιακή απόσταση,
ΔでるたΒべーた: Μεγάλος άξονας,
ΑあるふぁΓがんま: μικρός άξονας,
Οおみくろん: (ηいーた τομή τたうωおめがνにゅー δύο αξόνων ή τたうοおみくろん μέσον Εいぷしろん1-Εいぷしろん2), τたうοおみくろん Κέντρο έλλειψης.

Ηいーた έλλειψη είναι μία κωνική τομή κかっぱαあるふぁιいおた προκύπτει από τたうηいーたνにゅー τομή ενός κώνου μみゅーεいぷしろん επίπεδο πぱいοおみくろんυうぷしろん τたうοおみくろんνにゅー τέμνει πλαγίως ως προς τたうοおみくろんνにゅー άξονά τたうοおみくろんυうぷしろん. Μπορεί νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί ως γενίκευση τたうοおみくろんυうぷしろん κύκλου, όπως προκύπτει σしぐまτたうηいーたνにゅー ειδική περίπτωση πぱいοおみくろんυうぷしろん ηいーた τομή τたうοおみくろんυうぷしろん κώνου μみゅーεいぷしろん επίπεδο κάθετο σしぐまτたうοおみくろんνにゅー άξονά τたうοおみくろんυうぷしろん είναι κύκλος μみゅーεいぷしろん κέντρο επί τたうοおみくろんυうぷしろん άξονα. Μみゅーιいおたαあるふぁ έλλειψη χαρακτηρίζεται από τたうοおみくろんνにゅー μεγάλο ημιάξονά της, $\alpha$ κかっぱαあるふぁιいおた από τたうηいーたνにゅー εκκεντρότητα της, $\varepsilon$.

Συγκεκριμένα, ας είναι $E_{1}$, $E_{2}$ δύο σημεία σしぐまεいぷしろん ένα ευκλείδειο επίπεδο μみゅーεいぷしろん απόσταση $2\gamma$ μεταξύ τους κかっぱαあるふぁιいおた $\alpha >\gamma$ ένας θετικός αριθμός. Έλλειψη ονομάζεται οおみくろん γεωμετρικός τόπος τたうωおめがνにゅー σημείων επιπέδου τたうωおめがνにゅー οποίων τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー αποστάσεων από τたうαあるふぁ δύο σταθερά σημεία $E_{1},E_{2}$ είναι σταθερό κかっぱαあるふぁιいおた ισούται μみゅーεいぷしろん $2\alpha$.

Βασικές έννοιες

Τたうαあるふぁ σημεία $E_{1},E_{2}$ ονομάζονται εστίες της έλλειψης.

Τたうοおみくろん μέσο Οおみくろん τたうοおみくろんυうぷしろん ευθύγραμμου τμήματος $E_{1}E_{2}$ ονομάζεται κέντρο της έλλειψης. Τたうοおみくろん κέντρο της έλλειψης αποτελεί κέντρο συμμετρίας αυτής.

Κάθε ευθύγραμμο τμήμα πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει ως άκρα δύο διαφορετικά σημεία της έλλειψης κかっぱαあるふぁιいおた διέρχεται από τたうοおみくろん κέντρο αυτής ονομάζεται διάμετρος της έλλειψης.

Μία έλλειψη έχει δύο άξονες συμμετρίας, οおみくろんιいおた οποίοι είναι ηいーた μικρότερη κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた μεγαλύτερη διάμετρός της. Αυτές ονομάζονται μικρός κかっぱαあるふぁιいおた μεγάλος άξονας αντίστοιχα. Οおみくろん μεγάλος άξονας της έλλειψης έχει μήκος 2αあるふぁ, γεγονός πぱいοおみくろんυうぷしろん προκύπτει εύκολα από τたうοおみくろんνにゅー ορισμό της έλλειψης. Οおみくろん μικρός άξονας έχει μήκος 2βべーた, $\beta ^{2}=\alpha ^{2}-\gamma ^{2}$. Αυτό προκύπτει από τたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα, αあるふぁνにゅー θεωρήσουμε τたうοおみくろん ορθογώνιο τρίγωνο $E_{1}AO$ (βべーたλらむだ. σχήμα).

Αあるふぁνにゅー καλέσουμε γがんま τたうηいーたνにゅー απόσταση Εいぷしろん1-Οおみくろん πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι ίση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー Οおみくろん-Εいぷしろん2 κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁ τたうηいーたνにゅー απόσταση ΔでるたΟおみくろん, πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι ίση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ΟおみくろんΒべーた, τότε οおみくろん λόγος γがんま/αあるふぁ = εいぷしろん ονομάζεται εκκεντρότητα ή εκκεντρότης της έλλειψης.
Ηいーた εκκεντρότητα της έλλειψης, $\varepsilon =\gamma /\alpha ,\;0\leq \varepsilon <1$ δηλώνει πόσο 'στενή' 'ηいーた 'πλατιά' είναι ηいーた έλλειψη.

Γがんまιいおたαあるふぁ $\varepsilon =0$ έχουμε κύκλο, ενώ γがんまιいおたαあるふぁ εいぷしろん κοντά σしぐまτたうοおみくろん 1 μία 'μακρόστενη' έλλειψη. Συνεπώς οおみくろん κύκλος είναι έλλειψη μみゅーεいぷしろん 0 εκκεντρότητα.

Εξισώσεις της έλλειψης

Κανονική μορφή

Μία έλλειψη θεωρείται σしぐまτたうηいーたνにゅー κανονική της μορφή, όταν τたうοおみくろん κέντρο της είναι σしぐまτたうοおみくろん (0,0) τたうοおみくろんυうぷしろん συστήματος συντεταγμένων κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた άξονές της είναι πάνω στους άξονές τたうοおみくろんυうぷしろん.

Σしぐまεいぷしろん Καρτεσιανές συντεταγμένες εκφράζεται ως:

${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1$

μみゅーεいぷしろん $\,\beta ^{2}=\alpha ^{2}-\gamma ^{2}$.

Οおみくろんιいおた παραμετρικές εξισώσεις είναι:

$x=\alpha \cos t,\quad y=\beta \sin t.$

μみゅーεいぷしろん παράμετρο τたうοおみくろん $t,\;0\leq t<2\pi$.

Ηいーた εξίσωση της έλλειψης σしぐまεいぷしろん πολικές συντεταγμένες είναι:

$\rho ={\frac {\alpha ^{2}-\gamma ^{2}}{\alpha -\gamma \cos \phi }}.$

Γενική μορφή

Έστω μία κωνική τομή

$\,ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0.$

Ηいーた καμπύλη αυτή είναι έλλειψη, αあるふぁνにゅー $\,4ac-b^{2}>0.$ Γがんまιいおたαあるふぁ $\,b=0$ έχουμε παράλληλη μετατόπιση, ενώ γがんまιいおたαあるふぁ $b\neq 0$ έχουμε κかっぱαあるふぁιいおた στροφή.

Πολικές ευθείες της έλλειψης

Έστω μία έλλειψη (σしぐまτたうηいーたνにゅー κανονική της μορφή) κかっぱαあるふぁιいおた ένα σημείο $P=(p_{1},p_{2})\neq (0,0)$ τたうοおみくろんυうぷしろん επιπέδου. Ηいーた ευθεία

${\frac {p_{1}x}{\alpha ^{2}}}+{\frac {p_{2}y}{\beta ^{2}}}=1$

ονομάζεται πολική ευθεία τたうοおみくろんυうぷしろん $P$. Τたうοおみくろん $P$ ονομάζεται πόλος της ευθείας.

• Αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん $P$ είναι ένα σημείο της έλλειψης, τότε ηいーた πολική τたうοおみくろんυうぷしろん είναι ηいーた εφαπτομένη της έλλειψης σしぐまτたうοおみくろん $P$.

• Έστω $P$ ένα εξωτερικό σημείο της έλλειψης. Τότε από αυτό διέρχονται δύο εφαπτομένες της έλλειψης. Ηいーた πολική ευθεία τたうοおみくろんυうぷしろん $P$ είναι ηいーた ευθεία πぱいοおみくろんυうぷしろん συνδέει τたうαあるふぁ δでるたυうぷしろんοおみくろん σημεία επαφής της έλλειψης μみゅーεいぷしろん τις εφαπτομένες αυτές.

• Έστω $P$ ένα εσωτερικό σημείο της έλλειψης διάφορο τたうοおみくろんυうぷしろん κέντρου της. Τότε ηいーた πολική τたうοおみくろんυうぷしろん ευθεία δでるたεいぷしろんνにゅー τέμνει τたうηいーたνにゅー έλλειψη.

Αντιστρόφως σしぐまεいぷしろん κάθε ευθεία τたうοおみくろんυうぷしろん επιπέδου πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたεいぷしろんνにゅー διέρχεται από τたうοおみくろん κέντρο της έλλειψης αντιστοιχεί ένας πόλος.

Ιδιότητες

Ανακλαστική ιδιότητα εστιών

Έστω ένα σημείο της έλλειψης $P$. Φέρουμε τたうηいーたνにゅー εφαπτόμενη σしぐまεいぷしろん αυτό τたうοおみくろん σημείο κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー κάθετη αυτής. Ηいーた κάθετη διχοτομεί τたうηいーたνにゅー γωνία $E_{1}PE_{2}$. Αυτό έχει τたうηいーたνにゅー εξής συνέπεια: Αあるふぁνにゅー θεωρήσουμε τたうηいーたνにゅー εστία $E_{1}$ ως πηγή φωτεινής ακτινοβολίας, τότε ηいーた φωτεινή ακτίνα πぱいοおみくろんυうぷしろん εκπέμπεται από τたうηいーたνにゅー $E_{1}$ κかっぱαあるふぁιいおた αντανακλάται σしぐまτたうηいーたνにゅー έλλειψη διέρχεται από τたうηいーたνにゅー $E_{2}$.

Ορθή προβολή κύκλου

Έστω ένας κύκλος μみゅーεいぷしろん ακτίνα $\alpha$ σしぐまεいぷしろん ένα επίπεδο σしぐまτたうοおみくろんνにゅー τρισδιάστατο χώρο. Θεωρούμε ένα δεύτερο επίπεδο πぱいοおみくろんυうぷしろん τέμνει τたうοおみくろん πρώτο μみゅーεいぷしろん μία γωνία $\phi \in (0,2\pi )$ κかっぱαあるふぁιいおた διέρχεται από τたうοおみくろん κέντρο τたうοおみくろんυうぷしろん κύκλου. Ηいーた ορθή προβολή τたうοおみくろんυうぷしろん κύκλου σしぐまτたうοおみくろん δεύτερο επίπεδο αποτελεί έλλειψη μみゅーεいぷしろん άξονες μήκους $2\alpha$ κかっぱαあるふぁιいおた $2\alpha \cos \phi$.

Κάθε έλλειψη μπορεί νにゅーαあるふぁ εκφραστεί ως ορθή προβολή κύκλου.

Συζυγείς διάμετροι

Έστω μία έλλειψη κかっぱαあるふぁιいおた ένας κύκλος τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου ηいーた ορθή προβολή είναι ηいーた έλλειψη αυτή. Δύο διάμετροι της έλλειψης ονομάζονται συζυγείς, όταν αποτελούν ορθή προβολή δύο κάθετων διαμέτρων τたうοおみくろんυうぷしろん κύκλου.

Μία διάμετρος έλλειψης διέρχεται από τたうαあるふぁ μέσα όλων τたうωおめがνにゅー χορδών πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι παράλληλες μみゅーεいぷしろん τたうηいーた συζυγή της.

Χαρακτηριστικά μεγέθη

Τたうοおみくろん εμβαδό της έλλειψης ισούται μみゅーεいぷしろん

$\,A=\pi \alpha \beta .$

Ηいーた περίμετρος της έλλειψης ισούται μみゅーεいぷしろん

$C=4\alpha \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}(\cos t)^{2}}}\ dt.$

Τたうοおみくろん ολοκλήρωμα πぱいοおみくろんυうぷしろん εμφανίζεται είναι ένα ελλειπτικό ολοκλήρωμα κかっぱαあるふぁιいおた δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί νにゅーαあるふぁ εκφραστεί μみゅーεいぷしろん τたうηいーた βοήθεια αρχικής συνάρτησης.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Λεξιλογικός ορισμός τたうοおみくろんυうぷしろん έλλειψη σしぐまτたうοおみくろん Βικιλεξικό
• Πολυμέσα σχετικά μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん θέμα Ellipses σしぐまτたうοおみくろん Wikimedia Commons