浮点数すう运算

在ざい電腦でんのう科學かがく中なか，浮點數すう運算うんざん（Floating-point arithmetic）是ぜ一いち種しゅ用よう浮點（英語えいご：floating point，縮寫しゅくしゃ為ためFP）方式ほうしき表示ひょうじ實數じっすう的てき運算うんざん方式ほうしき。浮點是ぜ一種對於實數的近似值數值表現法，由よし一いち个有效ゆうこう數字すうじ（即そく尾お数すう）加か上じょう冪べき數すう來らい表示ひょうじ，通常つうじょう是これ乘じょう以某个基数きすう的てき整数せいすう次じ指數しすう得え到いた。以這種しゅ表示法ひょうじほう表示ひょうじ的てき數すう值，稱たたえ為ため浮点數すう（floating-point number）。浮點數すう運算うんざん运算通常つうじょう伴とも随ずい着ぎ因いん为无法ほう精せい确表示ひょうじ而进行ぎょう的てき近似きんじ或ある舍しゃ入いれ。

計算けいさん機き使用しよう浮點數すう運算うんざん的てき主因しゅいん，在ざい於電腦でんのう使用しよう二に進しん位い制せい的てき運算うんざん。例れい如：4÷2=2，4=100₍₂₎、2=010₍₂₎，在ざい二に進しん位相いそう當とう於退一いち位い數すう。則のり1.0÷2=0.5=0.1₍₂₎也就是ぜ ${\frac {1}{2}}$ 。依よ此類推るいすい二に進しん位い的てき0.01₍₂₎就是十じゅう進しん位い ${\frac {1}{2^{2}}}$ = ${\frac {1}{4}}$ =0.25。由よし於十じゅう進しん位い制せい無法むほう準じゅん確かく換算かんさん成なり二に進しん位い制せい的てき部分ぶぶん小數しょうすう，如0.1，因いん此只能のう使用しよう近似きんじ值的方式ほうしき表ひょう達たち。

这种表示ひょうじ方法ほうほう类似于基数すう为10的てき科学かがく记数法ほう，在ざい計算けいさん機き上じょう，通常つうじょう使用しよう2為ため基數きすう的てき幂數來らい表示ひょうじ。一いち个浮点数てんすうa由よし两个数すうm和わe来らい表示ひょうじ：a = m × b^e。在ざい任意にんい一个这样的系统中，可か选择一いち个基數きすうb（记数系けい统的基もと）和わ精度せいどp（即そく使用しよう多少たしょう位い来らい存そん储）。m（即そく尾お數すう（英えい语：Significand））是ぜ形がた如±d.ddd...ddd的てきp位い数すう（每まい一位是一个介于0到いたb-1之これ间的整数せいすう，包括ほうかつ0和わb-1）。如果m的てき第だい一いち位い是非ぜひ0整数せいすう，m称しょう作さく正せい规化的てき。有ゆう一些描述使用一个单独的符号位（s 代表だいひょう+或ある者もの-）来らい表示ひょうじ正せい负，这样m必须是正ぜせい的てき。e是ぜ指数しすう。

這種表示法ひょうじほう的てき設計せっけい，來き自じ於對於值的てき表現ひょうげん範圍はんい，與あずか精密せいみつ度ど之これ間あいだ的てき取捨しゅしゃ：可か以在某ぼう个固定こてい长度的てき存そん储空间内表示ひょうじ出で某ぼう個こ實數じっすう的てき近似きんじ值。例れい如，一个指数范围为±4的てき4位い十じゅう进制浮点数すう可か以用来らい表示ひょうじ43210，4.321或ある0.0004321，但ただし是ぜ没ぼつ有ゆう足あし够的精度せいど来らい表示ひょうじ432.123和わ43212.3（必须近似きんじ为432.1和わ43210）。当然とうぜん，实际使用しよう的てき位い数すう通常つうじょう远大于4。

此外，浮点数すう表示法ひょうじほう通常つうじょう还包括ほうかつ一些特别的数值：+∞和わ−∞（正せい负无穷大）以及NaN（'Not a Number'）。无穷大用おおゆう于数太ふと大だい而无法ほう表示ひょうじ的てき时候，NaN则指示しじ非ひ法ほう操作そうさ或ある者もの无法定ほうてい义的结果。

其中，无穷大だい，可か表示ひょうじ为inf，在ざい内ない存そん中ちゅう的てき值是阶码为全1，尾び数すう全ぜん0。而NaN在ざい内ない存そん中ちゅう的てき值则是ぜ阶码全ぜん1，尾び数すう不全ふぜん0。

计算机つくえ的てき浮点数すう[编辑]

浮点指ゆび的てき是ぜ带有小数しょうすう的てき数すう值，浮点运算即そく是ぜ小数しょうすう的てき四よん则运算さん，常用じょうよう来らい测量电脑运算速度そくど。大部たいぶ份计算さん机つくえ采さい用よう二に進しん制せい（b=2）的てき表示ひょうじ方法ほうほう。位くらい（bit）是ぜ衡量浮点数すう所しょ需存储空间的单位，通常つうじょう为32位い或ある64位い，分ふん别被叫さけべ作づく单精度せいど和わ双そう精度せいど。有ゆう一些计算机提供更大的浮点数，例れい如英えい特とく尔公司こうし的てき浮点运算单元Intel8087协处理り器き（以及其被集成しゅうせい进x86处理器き中ちゅう的てき后きさき代だい产品）提供ていきょう80位い长的浮点数すう，用よう于存储浮点てん运算的中てきちゅう间结果はて。还有一些系统提供128位い的てき浮点数すう（通常つうじょう用よう软件实现）。

浮点数すう的てき標準ひょうじゅん[编辑]

在ざい電腦でんのう使用しよう的てき浮点数すう被ひ电气电子工程こうてい师协会かい（IEEE）規範きはん化か為ためIEEE 754。

举例[编辑]

πぱい的てき值可以表示ひょうじ为πぱい = 3.1415926...₁₀（十じゅう进制）。当とう在ざい一いち个支持しじ17位い尾お数すう的てき计算机つくえ中ちゅう表示ひょうじ时，它会变为0.11001001000011111 × 2²。

浮點數すう運算うんざん[编辑]

為ため了りょう方便ほうべん呈てい現げん，容易ようい閱讀，以下いか的てき例れい子こ會かい用よう十じゅう進しん制せい，有效ゆうこう位い數すう7位い數すう的てき浮點數すう，也就是ぜIEEE 754 decimal32格式かくしき，其原そのはら理り不ふ會かい隨ずい進しん制せい或ある是ぜ有效ゆうこう位い數すう而變。此處ここ的てきs表示ひょうじ尾お數すう（有效ゆうこう數字すうじ），而e表示ひょうじ指數しすう。

加減かげん法ほう[编辑]

處理しょり浮點數すう加法かほう的てき簡單かんたん作法さほう是ぜ將しょう二個浮點數調整到有相同的指數。在ざい以下いか例れい子中こなか，第だい二個數的小數點左移了三位，使つかい二に者しゃ的てき指數しすう相しょう同どう，之これ後ご即そく可か進行しんこう一般いっぱん的てき加法かほう運算うんざん：

  123456.7 = 1.234567 × 10^5
  101.7654 = 1.017654 × 10^2 = 0.001017654 × 10^5

  因いん此
  123456.7 + 101.7654 = (1.234567 × 10^5) + (1.017654 × 10^2)
                      = (1.234567 × 10^5) + (0.001017654 × 10^5)
                      = (1.234567 + 0.001017654) × 10^5
                      =  1.235584654 × 10^5

若わか用ようe和わs來らい表示ひょうじ

  e=5;  s=1.234567     (123456.7)
+ e=2;  s=1.017654     (101.7654)

  e=5;  s=1.234567
+ e=5;  s=0.001017654  (移うつり位い後ご)
--------------------
  e=5;  s=1.235584654  (實際じっさい的てき和わ：123558.4654)

這是真實しんじつ的てき結果けっか，二に個こ數字すうじ真正しんせい的てき和わ，之これ後會こうかい再さい四捨五入到七位有效位數，若わか有ゆう需要じゅよう的てき話ばなし，會かい再さい進行しんこう正規せいき化か，其結果けっか為ため

  e=5;  s=1.235585    (最後さいご答案とうあん：123558.5)

加數かすう的てき最低さいてい三さん位い數すう（654）沒ぼつ有ゆう出現しゅつげん在ざい結果けっか中ちゅう，這稱為ため捨入誤差ごさ。在ざい一些極端的例子中，二個浮點數的和可能和其中的被加數或是加數相等：

  e=5;  s=1.234567
+ e=−3; s=9.876543

  e=5;  s=1.234567
+ e=5;  s=0.00000009876543 (移うつり位い後ご)
----------------------
  e=5;  s=1.23456709876543 (真正しんせい的てき和わ)
  e=5;  s=1.234567         (四捨五入ししゃごにゅう及正規せいき化か後ご)

在ざい上述じょうじゅつ的てき例れい子中こなか，為ため了りょう要よう有正ありまさ確かく的てき四捨五入ししゃごにゅう結果けっか，在ざい二數指數差距很大時，要よう增加ぞうか許多きょた位い數すう才さい有正ありまさ確かく的てき結果けっか。不ふ過か，在ざい二に位い制せい的てき加減かげん法ほう中ちゅう，利用りよう一いち個こguard位い元もと、一いち個こrounding位い元もと以及一いち個こ額がく外的がいてきsticky位い元もと，就可以有正確せいかく的てき結果けっか^[1]^[2]^:218–220。

另一いち個こ失しつ去さ有效ゆうこう數字すうじ的てき情じょう形がた出現しゅつげん在ざい二個幾乎相等的數字相減時。在ざい以下いか的てき例れい子中こなか，e = 5; s = 1.234571和わe = 5; s = 1.234567是ぜ有理數ゆうりすう123457.1467和わ123456.659的てき近似きんじ值。

  e=5;  s=1.234571
− e=5;  s=1.234567
----------------
  e=5;  s=0.000004
  e=−1; s=4.000000 (四捨五入ししゃごにゅう及正規せいき化か後ご)

浮點數すう的てき差さ可か以精確かく的てき計算けいさん，如同Sterbenz引理（英えい语：Sterbenz lemma）所ところ說明せつめい的てき，就算是ぜ因いん為ため漸進ぜんしん式しき下か溢位（英えい语：gradual underflow）而出現下げんか溢位也是一いち樣よう。不ふ過か，原はら來らい二に個こ數すう的てき差さ是ぜe = −1; s = 4.877000，和わ浮點數すう計算けいさん結果けっかe = −1; s = 4.000000之これ間あいだ差さ了りょう超過ちょうか20%。在ざい極端きょくたん的てき例れい子中こなか，甚至所有しょゆう的てき有效ゆうこう數字すうじ都會とかい不ふ見み^[1]^[3]。上述じょうじゅつ的てき灾难性せい抵消說明せつめい了りょう，假設かせつ計算けいさん結果けっか的てき每ごと一いち位い數すう都と有意義ゆういぎ，這個想そう法ほう很危險けわし。這類誤差ごさ的てき處理しょり及修正しゅうせい是ぜ數かず值分析ぶんせき中なか的てき主題しゅだい之の一いち。

乘除じょうじょ法ほう[编辑]

若わか要よう進行しんこう乘法じょうほう，將はた有效ゆうこう數字すうじ相乘そうじょう，指數しすう相しょう加か，再さい進行しんこう四捨五入及正規化即可。

  e=3;  s=4.734612
× e=5;  s=5.417242
-----------------------
  e=8;  s=25.648538980104 (真實しんじつ乘じょう積せき)
  e=8;  s=25.64854        (四捨五入ししゃごにゅう後ご)
  e=9;  s=2.564854        (正規せいき化か)

而除法會ほうえ將はた被除數ひじょすう和わ除數じょすう的てき有效ゆうこう數字すうじ相しょう除じょ，二に者しゃ的てき指數しすう相しょう減げん，再さい進行しんこう四捨五入ししゃごにゅう及正規せいき化か。

乘除じょうじょ法ほう不ふ會かい有ゆう抵消或ある是ぜ某ぼう一いち數字すうじ被ひ吸收きゅうしゅう的てき問題もんだい，不ふ過か仍會出現しゅつげん一いち些小誤差ごさ，若わか連續れんぞく運算うんざん，誤差ごさ會かい變へん大だい^[1]。實務じつむ上じょう，要よう進行しんこう上述じょうじゅつ運算うんざん的てき數すう位い邏輯可能かのう會かい相當そうとう的てき複雜ふくざつ（像ぞう是ぜ布ぬの斯乘法ほう算法さんぽう以及除法じょほう器き）。

准じゅん确性[编辑]

由よし于浮点数てんすう不能ふのう表ひょう达所有しょゆう实数，浮点运算与あずか相あい应的数学すうがく运算有ゆう所しょ差さ异，有ゆう时此差さ异极为显著ちょ。

比ひ如，二进制浮点数不能表达0.1和わ0.01，0.1的てき平方へいほう既すんで不ふ是ぜ准じゅん确的0.01，也不是ぜ最さい接近せっきん0.01的てき可か表ひょう达的数すう。单精度ど（24比ひ特とく）浮点数表示すうひょうじ0.1的てき结果为 $e=-4$ , $s=110011001100110011001101_{(2)}$ ，即そく

0.100000001490116119384765625

此数的てき平方ひらかた是ただし

0.010000000298023226097399174250313080847263336181640625

但ただし最さい接近せっきん0.01的てき可か表ひょう达的数すう是ぜ

0.009999999776482582092285156250

浮点数也かずや不能ふのう表ひょう达圆周しゅう率りつ $\pi$ ，所以ゆえん $\tan {\frac {\pi }{2}}$ 不等ふとう于正无穷，也不会かい溢出。下面かめん的てきC语言代だい码

double pi = 3.1415926535897932384626433832795;
double z = tan(pi/2.0);

的てき计算结果为16331239353195370.0，如果用よう单精度せいど浮点数すう，则结果はて为−22877332.0。同どう样的， $\sin \pi \neq 0$ 。

由よし于浮点数てんすう计算过程中ちゅう丢失了りょう精度せいど，浮点运算的てき性せい质与数学すうがく运算有ゆう所しょ不同ふどう。浮点加法かほう和わ乘法じょうほう不ふ符合ふごう结合律りつ和わ分配ぶんぱい律りつ。

事故じこ[编辑]

奔騰ほんとう早期そうき的てき60-100MHz P5版本はんぽん在ざい浮點運算うんざん單元たんげん有ゆう一いち個こ問題もんだい，在ざい極少きょくしょう數すう情況じょうきょう下か，會かい導しるべ致除法ほう運算うんざん的てき精せい確度かくど降くだ低てい。這個缺陷けっかん於1994年ねん被ひ發現はつげん，變成へんせい如今廣ひろ為ため人知じんち的てき奔腾浮点除じょ错误，同時どうじ這一事件じけん導しるべ致英えい特とく爾なんじ陷おちい入にゅう巨大きょだい的てき窘態，建立こんりゅう召回計畫けいかく來らい回收かいしゅう有ゆう問題もんだい的てき處理しょり器き。

參考さんこう資料しりょう[编辑]

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Goldberg, David. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic (PDF). ACM Computing Surveys. March 1991, 23 (1): 5–48 [2016-01-20]. S2CID 222008826. doi:10.1145/103162.103163. （原始げんし内容ないよう存そん档 (PDF)于2006-07-20）. ([1] （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）, [2] （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）, [3] （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）)
^ Patterson, David A.; Hennessy, John L. Computer Organization and Design, The Hardware/Software Interface. The Morgan Kaufmann series in computer architecture and design 5th. Waltham, Massachusetts, USA: Elsevier. 2014: 793. ISBN 978-9-86605267-5 （英えい语）.
^ 美国びくに专利3037701A (PDF 版本はんぽん)（于1962年ねん6月がつ5日にち注ちゅう册さつ）Huberto M Sierra——Floating decimal point arithmetic control means for calculator。

[Goldberg_1991-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Goldberg, David. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic (PDF). ACM Computing Surveys. March 1991, 23 (1): 5–48 [2016-01-20]. S2CID 222008826. doi:10.1145/103162.103163. （原始げんし内容ないよう存そん档 (PDF)于2006-07-20）. ([1] （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）, [2] （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）, [3] （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）)

[Patterson-Hennessy_2014-2] Patterson, David A.; Hennessy, John L. Computer Organization and Design, The Hardware/Software Interface. The Morgan Kaufmann series in computer architecture and design 5th. Waltham, Massachusetts, USA: Elsevier. 2014: 793. ISBN 978-9-86605267-5 （英えい语）.

[Sierra_1962-3] 美国びくに专利3037701A (PDF 版本はんぽん)（于1962年ねん6月がつ5日にち注ちゅう册さつ）Huberto M Sierra——Floating decimal point arithmetic control means for calculator。

[1]

[2]

[3]