IEEE 754

IEEE二進位浮點數算術標準（IEEE 754）是ぜ20世せい纪80年代ねんだい以来いらい最さい廣こう泛使用しよう的てき浮點數すう運算うんざん標準ひょうじゅん，為ため許多きょたCPU與あずか浮點運算うんざん器き所ところ採用さいよう。這個標準ひょうじゅん定義ていぎ了りょう表示ひょうじ浮點數すう的てき格式かくしき（包括ほうかつ負まけ零れい-0）與あずか反はん常つね值（denormal number），一些特殊數值（（無窮むきゅう（Inf）與あずか非ひ數すう值（NaN）），以及這些數すう值的「浮點數すう運算うんざん子こ」；它也指ゆび明あかり了りょう四よん種しゅ數かず值修約やく規則きそく和わ五ご種しゅ例外れいがい狀況じょうきょう（包括ほうかつ例外れいがい發生はっせい的てき時機じき與あずか處理しょり方式ほうしき）。

IEEE 754規定きてい了りょう四種表示浮點數值的方式：單たん精確せいかく度ど（32位い元もと）、雙そう精確せいかく度ど（64位い元もと）、延伸えんしん單たん精確せいかく度ど（43位い元もと以上いじょう，很少使用しよう）與あずか延伸えんしん雙そう精確せいかく度ど（79位い元もと以上いじょう，通常つうじょう以80位い元もと實じつ做）。只ただ有ゆう32位い元もと模も式しき有ゆう強制きょうせい要求ようきゅう，其他都と是ぜ選擇せんたく性せい的てき。大だい部分ぶぶん程ほど式しき語ご言げん都と提供ていきょう了りょうIEEE浮点数すう格式かくしき與あずか算術さんじゅつ，但ただし有ゆう些將其列為ため非ひ必需ひつじゅ的てき。例れい如，IEEE 754問もん世よ之の前ぜん就有的てきC語ご言げん，現在げんざい包括ほうかつ了りょうIEEE算術さんじゅつ，但ただし不ふ算さん作さく強制きょうせい要求ようきゅう（C語ご言げん的てきfloat通常つうじょう是ぜ指ゆびIEEE單たん精確せいかく度ど，而double是ぜ指ゆび雙そう精確せいかく度ど）。

該標準ひょうじゅん的てき全ぜん稱しょう為ためIEEE二進位浮點數算術標準（ANSI/IEEE Std 754-1985），又また稱たたえIEC 60559:1989，微ほろ處理しょり器き系統的けいとうてき二進位浮點數算術（本來ほんらい的てき編へん號ごう是ぜIEC 559:1989）^[1]。後來こうらい還かえ有ゆう「與あずか基數きすう無關むせき的てき浮點數すう」的てき「IEEE 854-1987標準ひょうじゅん」，有ゆう規定きてい基數きすう為ため2跟10的てき狀況じょうきょう。现在最新さいしん標準ひょうじゅん是ぜ「ISO/IEC/IEEE FDIS 60559:2020」。

在ざい六ろく、七なな十じゅう年代ねんだい，各かく家いえ计算机つくえ公司こうし的てき各かく个型号ごう的てき计算机つくえ，有ゆう着ぎ千差万别的浮点数表示，却没有ゆう一个业界通用的标准。这给数すう据すえ交换、计算机つくえ协同工作こうさく造成ぞうせい了りょう极大不便ふべん。IEEE的てき浮点数すう专业小しょう组于七なな十年代末期开始酝酿浮点数的标准。在ざい1980年ねん，英えい特とく尔公司こうし就推出で了りょう单片的てき8087浮点数すう协处理り器き，其浮点数てんすう表示法ひょうじほう及定义的运算具有ぐゆう足あし够的合理ごうり性せい、先さき进性，被ひIEEE采さい用作ようさく为浮点数てんすう的てき标准，于1985年ねん发布。而在此前，这一标准的内容已在八十年代初期被各计算机公司广泛采用，成なり了りょう事こと实上的てき业界工こう业标准じゅん。加州かしゅう大学だいがく伯はく克利かつとし分校ぶんこう的てき数すう值计算さん与あずか计算机つくえ科学かがく教授きょうじゅ威い廉かど·卡韩被ひ誉ほまれ为“浮点数すう之の父ちち”。

浮點數すう剖析

一いち個こ浮點數すう (Value) 的てき表示ひょうじ其實可か以這樣さま表示ひょうじ：

${\texttt {Value}}={\texttt {sign}}\times {\texttt {exponent}}\times {\texttt {fraction}}$

也就是ぜ浮點數すう的てき實際じっさい值，等とう於符號ふごう位い（sign bit）乘じょう以指數しすう偏へん移うつり值（exponent bias）再さい乘じょう以分數ぶんすう值（fraction）。

以下いか内容ないよう是ぜIEEE 754對たい浮點數すう格式かくしき的てき描述。

本文ほんぶん表示ひょうじ位い元もと的てき約定やくじょう

把わW个位い元もと（bit）的てき数すう据すえ，从内存そん地ち址し低てい端はし到いた高こう端はし，以0到いたW−1編へん碼。通常つうじょう將しょう内ない存そん地ち址し低てい端はし的てき位い元もと写うつし在ざい最さい右邊うへん，称しょう作さく最低さいてい有效ゆうこう位い（Least Significant Bit, LSB），代表だいひょう最小さいしょう的てき位い元もと，改變かいへん時じ對たい整体せいたい數すう值影響えいきょう最小さいしょう的てき位い元もと。聲明せいめい這一いち點てん的てき必要ひつよう性せい在ざい于X86体系たいけい架か构是小しょう端はし序じょ的まと数すう据すえ存そん储。

对于十じゅう进制整数せいすうN，必要ひつよう时表示ひょうじ为N₁₀以与二に进制的てき数すう的てき表示ひょうじN₂相あい区分くぶん。

对于一いち个数，其二そのじ进制科学かがく计数法ほう表示ひょうじ下か的てき指数しすう的てき值，下しも文ぶん称しょう之の为指数しすう的てき实际值；而根据すえIEEE 754标准对指数すう部分ぶぶん的てき编码的てき值，称しょう之の为浮点数てんすう表示法ひょうじほう指數しすう域いき的てき编码值。

整體せいたい呈てい現げん

二進位浮點數是以符號ふごう數すう值表示法ひょうじほう的てき格式かくしき儲もうか存そん——最高さいこう有效ゆうこう位い被ひ指定してい為ため符號ふごう位い（sign bit）；「指數しすう部ぶ份」，即そく次つぎ高だか有效ゆうこう的てきe个位元もと，存そん储指數すう部分ぶぶん；最さい后きさき剩あま下した的てきf个低有效ゆうこう位い的てき位い元もと，存そん储「有效ゆうこう数すう」（significand）的てき小數しょうすう部ぶ份（在ざい非ひ規約きやく形式けいしき下か整數せいすう部ぶ份默認もくにん為ため0，其他情況じょうきょう下か一律いちりつ默認もくにん為ため1）。

指數しすう偏へん移うつり值

指數しすう偏へん移うつり值（exponent bias），即そく浮点数すう表示法ひょうじほう中指なかゆび數すう域いき的てき编码值，等とう于指數すう的てき实际值加上じょう某ぼう個こ固定こてい的てき值，IEEE 754标准规定该固定こてい值为 $2^{e-1}-1$ ^[2]，其中的てき $e$ 为存储指数すう的てき位い元もと的てき长度。

以单精度せいど浮点数すう为例，它的指数しすう域いき是ぜ8个位元もと，固定こてい偏へん移うつり值是 $2^{8-1}-1=128-1=127$ 。此為有ゆう號ごう數すう的てき表示ひょうじ方式ほうしき，单精度せいど浮点数すう的てき指数しすう部分ぶぶん实际取值是从-126到いた127（-127和わ128被ひ用作ようさく特殊とくしゅ值处理り，见下方かた「非ひ规约形式けいしき的てき浮点数すう」和かず「特殊とくしゅ值」）。例れい如指数すう实际值为 $17_{10}$ ，在ざい单精度せいど浮点数すう中ちゅう的てき指数しすう域いき编码值为 $144_{10}$ ，即そく $144_{10}=17_{10}+127_{10}$ 。

采さい用よう指数しすう的てき实际值加上じょう固定こてい的てき偏へん移うつり值的办法表示ひょうじ浮点数すう的てき指数しすう，好こう处是可か以用长度为 $e$ 个位元もと的てき无符号ごう整数せいすう来らい表示ひょうじ所有しょゆう的てき指数しすう取と值，这使得とく两个浮点数すう的てき指数しすう大小だいしょう的てき比ひ较更为容易ようい，实际上じょう可か以按照あきら字典じてん次序じじょ比ひ较两个浮点てん表示ひょうじ的てき大小だいしょう。

这种移うつり码表示ひょうじ的てき指数しすう部分ぶぶん，中ちゅう文ぶん称しょう作さく阶码。

规约形式けいしき的てき浮点数すう

如果浮点数すう中指なかゆび数すう部分ぶぶん的てき编码值在 $0<{\textrm {exponent}}\leqslant 2^{e}-2$ 之これ間あいだ，且在科學かがく表示法ひょうじほう的てき表示ひょうじ方式ほうしき下か，分數ぶんすう（fraction）部分ぶぶん最高さいこう有效ゆうこう位い（即そく整數せいすう位い）是これ $1$ ，那な么這個こ浮点數すう將はた被ひ稱しょう為ため规约形式けいしき的てき浮点数すう。“规约”是ぜ指ゆび用よう唯ただ一确定的浮点形式去表示一个值。

由よし于这种表示ひょうじ下か的てき尾お数すう有ゆう一位隐含的二进制有效数字，为了与あずか二に进制科学かがく计数法ほう的てき尾お数すう（mantissa）相しょう区く别，IEEE754称しょう之の为有效ゆうこう数すう（significant）。

舉例來らい說せつ，雙そう精度せいど (64-bit) 的てき規約きやく形式けいしき浮點數すう在ざい指數しすう偏へん移うつり值的值域為ため $00000000001$ (11-bit) 到いた $11111111110$ ，在ざい分數ぶんすう部分ぶぶん則そく是ぜ $000.....000$ 到いた $111.....111$ (52-bit)

非ひ规约形式けいしき的てき浮点数すう

如果浮点数すう的てき指數しすう部分ぶぶん的てき编码值是0，分ふん數すう部分ぶぶん非ひ零れい，那な么这个浮点数てんすう將はた被ひ稱しょう為ため非ひ规约形式けいしき的てき浮点数すう。一般いっぱん是ぜ某ぼう個こ數字すうじ相當そうとう接近せっきん零れい時じ才ざい會かい使用しよう非ひ規約きやく型式けいしき來らい表示ひょうじ。 IEEE 754标准规定：非ひ规约形式けいしき的てき浮点数すう的てき指数しすう偏へん移うつり值比规约形式けいしき的てき浮点数すう的てき指数しすう偏へん移うつり值小1。例れい如，最小さいしょう的てき规约形式けいしき的てき单精度せいど浮点数すう的てき指数しすう部分ぶぶん编码值为1，指数しすう的てき实际值为-126；而非规约的てき单精度せいど浮点数すう的てき指数しすう域いき编码值为0，对应的てき指数しすう实际值也是ぜ-126而不是ぜ-127。实际上じょう非ひ规约形式けいしき的てき浮点数すう仍然是ぜ有效ゆうこう可か以使用しよう的てき，只ただ是ぜ它们的てき绝对值已经小于所有しょゆう的てき规约浮点数すう的てき绝对值；即そく所有しょゆう的てき非ひ规约浮点数すう比ひ规约浮点数すう更さら接近せっきん0。规约浮点数すう的てき尾お数すう大だい于等于1且小于2，而非规约浮点数すう的てき尾お数すう小しょう于1且大于0。

除じょ了りょう规约浮点数すう，IEEE754-1985标准采さい用よう非ひ规约浮点数すう，用よう来らい解かい决填补绝对值意い义下最小さいしょう规格数すう与あずか零れい的てき距离。（举例说，正数せいすう下か，最大さいだい的てき非ひ规格数すう等とう于最小さいしょう的てき规格数すう。而一个浮点数编码中，如果exponent=0，且尾かつお数すう部分ぶぶん不ふ为零，那な么就按照非ひ规约浮点数すう来らい解析かいせき）非ひ规约浮点数すう源げん于70年代ねんだい末まつIEEE浮点数すう标准化か专业技わざ术委员会酝酿浮点数すう二进制标准时，Intel公司こうし对渐进式しき下か溢出（gradual underflow）的てき力りょく荐。当とう时十じゅう分ふん流行りゅうこう的てきDEC VAX机つくえ的てき浮点数表示すうひょうじ采さい用よう了りょう突然とつぜん式しき下か溢出（abrupt underflow）。如果没ぼつ有ゆう渐进式しき下か溢出，那な么0与あずか绝对值最小さいしょう的てき浮点数すう之の间的距离（gap）将はた大だい于相邻的小浮こおけ点数てんすう之の间的距离。例れい如单精度せいど浮点数すう的てき绝对值最小さいしょう的てき规约浮点数すう是ぜ $1.0\times 2^{-126}$ ,它与绝对值次小しょう的てき规约浮点数すう之の间的距离为 $2^{-126}\times 2^{-23}=2^{-149}$ 。如果不ふ采さい用よう渐进式しき下か溢出，那な么绝对值最小さいしょう的てき规约浮点数すう与あずか0的てき距离是ぜ相しょう邻的小浮こおけ点数てんすう之の间距离的 $2^{23}$ 倍ばい，可か以说是ぜ非常ひじょう突然とつぜん的てき下か溢出到いた0。这种情じょう况的一种糟糕后果是：两个不等ふとう的てき小浮こおけ点数てんすうX与あずかY相あい减，结果将はた是ぜ0。训练有ゆう素的すてき数すう值分析ぶんせき人じん员可能会のうかい适应这种限げん制せい情じょう况，但ただし对于普通ふつう的てき程ほど序じょ员就很容易ようい陷おちい入にゅう错误了りょう。采さい用よう了りょう渐进式しき下か溢出后きさき将はた不ふ会かい出で现这种情况。例れい如对于单精度せいど浮点数すう，指数しすう部分ぶぶん实际最小さいしょう值是（-126），对应的てき尾お数すう部分ぶぶん从 $1.1111\ldots 11$ , $1.1111\ldots 10$ 一いち直ちょく到いた $0.0000\ldots 10$ , $0.0000\ldots 01$ ， $0.0000\ldots 00$ 相あい邻两小浮こおけ点数てんすう之の间的距离（gap）都みやこ是ただし $2^{-126}\times 2^{-23}=2^{-149}$ ；而与0最近さいきん的てき浮点数すう（即そく最小さいしょう的てき非ひ规约数すう）也是 $2^{-126}\times 2^{-23}=2^{-149}$ 。

特殊とくしゅ值

這里有ゆう三個特殊值需要指出：

如果指數しすう是ぜ0并且尾かつお數すう的てき小數しょうすう部分ぶぶん是ぜ0，這個數すう±0（和わ符號ふごう位い相關そうかん）
如果指數しすう = $2^{e}-1$ 并且尾かつお數すう的てき小數しょうすう部分ぶぶん是ぜ0，這個數すう是ぜ±∞（同樣どうよう和わ符號ふごう位い相關そうかん）
如果指數しすう = $2^{e}-1$ 并且尾かつお數すう的てき小數しょうすう部分ぶぶん非ひ0，這個數表示すうひょうじ為ため非ひ數かず（NaN）。

以上いじょう規則きそく，總そう結ゆい如下：

形式けいしき	指數しすう	小數しょうすう部分ぶぶん
零れい	0	0
非ひ正規せいき形式けいしき	0	大だい于0小しょう于1
正規せいき形式けいしき	$1$ 到いた $2^{e}-2$	大だい于等于1小しょう于2
無窮むきゅう	$2^{e}-1$	0
NaN	$2^{e}-1$	非ひ0

32位い單精度たんせいど

單精度たんせいど二に進しん制せい小數しょうすう，使用しよう32個こ位い元もと存そん儲もうか。

比ひ特とく长度：	1	8	23
名称めいしょう：	S	Exp	Fraction
比ひ特とく编号：	31	30至いたり23 偏へん正せい值（實際じっさい的てき指數しすう大小だいしょう+127）	22至いたり0位い編へん號ごう（從したがえ右邊うへん開始かいし為ため0）

S為ため符號ふごう位い，Exp為ため指數しすう位い，Fraction為ため有效ゆうこう數すう位い。指數しすう部分ぶぶん即そく使用しよう所謂いわゆる的てき偏へん正せい值形式けいしき表示ひょうじ，偏へん正せい值為實際じっさい的てき指數しすう大小だいしょう與一よいち個こ固定こてい值（32位い的てき情況じょうきょう是ぜ127）的てき和わ。采さい用よう這種方式ほうしき表示ひょうじ的てき目的もくてき是ぜ簡化比較ひかく。因よし為ため，指數しすう的てき值可能かのう為ため正也まさや可能かのう為ため負まけ，如果采さい用よう二に補數ほすう表示ひょうじ的てき話ばなし，全體ぜんたい符號ふごう位いS和わExp自身じしん的てき符號ふごう位い將はた導しるべ致不能ふのう簡單かんたん的てき進行しんこう大小だいしょう比較ひかく。正因まさより為ため如此，指數しすう部分ぶぶん通常つうじょう采さい用よう一個無符號的正數值存儲。單精度たんせいど的てき指數しすう部分ぶぶん是ぜ−126～+127加か上じょう偏へん移うつり值127，指數しすう值的大小だいしょう從したがえ1～254（0和わ255是ぜ特殊とくしゅ值）。浮點小數しょうすう計算けいさん時じ，指數しすう值減去さ偏へん正せい值將是ぜ實際じっさい的てき指數しすう大小だいしょう。

单精度せいど浮点数すう各かく种极值情况：

类别	正せい负号	实际指数しすう	有ゆう偏へん移うつり指数しすう	指数しすう域いき	尾お数すう域いき	数かず值
零れい	0	-127	0	0000 0000	000 0000 0000 0000 0000 0000	0.0
负零	1	-127	0	0000 0000	000 0000 0000 0000 0000 0000	−0.0
1	0	0	127	0111 1111	000 0000 0000 0000 0000 0000	1.0
-1	1	0	127	0111 1111	000 0000 0000 0000 0000 0000	−1.0
最小さいしょう的てき非ひ规约数すう	*	-126	0	0000 0000	000 0000 0000 0000 0000 0001	±2⁻²³ × 2⁻¹²⁶ = ±2⁻¹⁴⁹ ≈ ±1.4×10^-45
中ちゅう间大小しょう的てき非ひ规约数すう	*	-126	0	0000 0000	100 0000 0000 0000 0000 0000	±2⁻¹ × 2⁻¹²⁶ = ±2⁻¹²⁷ ≈ ±5.88×10^-39
最大さいだい的てき非ひ规约数すう	*	-126	0	0000 0000	111 1111 1111 1111 1111 1111	±(1−2⁻²³) × 2⁻¹²⁶ ≈ ±1.18×10^-38
最小さいしょう的てき规约数すう	*	-126	1	0000 0001	000 0000 0000 0000 0000 0000	±2⁻¹²⁶ ≈ ±1.18×10^-38
最大さいだい的てき规约数すう	*	127	254	1111 1110	111 1111 1111 1111 1111 1111	±(2−2⁻²³) × 2¹²⁷ ≈ ±3.4×10³⁸
正せい无穷	0	128	255	1111 1111	000 0000 0000 0000 0000 0000	+∞
负无穷	1	128	255	1111 1111	000 0000 0000 0000 0000 0000	−∞
NaN	*	128	255	1111 1111	非ひ全ぜん0	NaN
* 符号ふごう位い可か以为0或ある1 .

64位い雙そう精度せいど

雙そう精度せいど二に進しん制せい小數しょうすう，使用しよう64個こ位い元もと存そん儲もうか。

比ひ特とく长度：	1	11	52
名称めいしょう：	S	Exp	Fraction
比ひ特とく编号：	63	62至いたり52 偏へん正せい值（實際じっさい的てき指數しすう大小だいしょう+1023）	51至いたり0位い編へん號ごう（從したがえ右邊うへん開始かいし為ため0）

S為ため符號ふごう位い，Exp為ため指數しすう位い，Fraction為ため有效ゆうこう數すう位い。指數しすう部分ぶぶん即そく使用しよう所謂いわゆる的てき偏へん正せい值形式しき表示ひょうじ，偏へん正せい值為實際じっさい的てき指數しすう大小だいしょう與一よいち個こ固定こてい值（64位い的てき情況じょうきょう是ぜ1023）的てき和わ。采さい用よう這種方式ほうしき表示ひょうじ的てき目的もくてき是ぜ簡化比較ひかく。因よし為ため，指數しすう的てき值可能かのう為ため正也まさや可能かのう為ため負まけ，如果采さい用よう二に補數ほすう表示ひょうじ的てき話ばなし，全體ぜんたい符號ふごう位いS和わExp自身じしん的てき符號ふごう位い將はた導しるべ致不能ふのう簡單かんたん的てき進行しんこう大小だいしょう比較ひかく。正因まさより為ため如此，指數しすう部分ぶぶん通常つうじょう采さい用よう一個無符號的正數值存儲。雙そう精度せいど的てき指數しすう部分ぶぶん是ぜ−1022～+1023加か上じょう1023，指數しすう值的大小だいしょう從したがえ1～2046（0（2進しん位い全ぜん為ため0）和わ2047（2進しん位い全ぜん為ため1）是ぜ特殊とくしゅ值）。浮點小數しょうすう計算けいさん時じ，指數しすう值減去さ偏へん正せい值將是ぜ實際じっさい的てき指數しすう大小だいしょう。

浮點數すう的てき比較ひかく

浮点数すう基本きほん上じょう可か以按照あきら符号ふごう位い、指数しすう域いき、尾お数すう域いき的てき顺序作さく字典じてん比ひ较。显然，所有しょゆう正数せいすう大だい于负数すう；正せい负号相しょう同どう时，指数しすう的てき二进制表示法更大的其浮点数值更大。

浮點數すう的てき捨入

任にん何なん有效ゆうこう數すう上じょう的てき運算うんざん結果けっか，通常つうじょう都と存そん放ひ在ざい較長的てき暫存器き中ちゅう，當とう結果けっか被ひ放ひ回かい浮點格式かくしき時じ，必須ひっす將はた多た出來でき的てき位い元もと丟棄。有ゆう多種たしゅ方法ほうほう可か以用來らい執行しっこう捨入作業さぎょう，實際じっさい上じょうIEEE標準ひょうじゅん列れつ出で4種しゅ不同ふどう的てき方法ほうほう：

捨入到いた最さい接近せっきん：舍しゃ入いれ到いた最さい接近せっきん，在ざい一样接近的情况下偶数优先（Ties To Even，这是默だま认的舍しゃ入方いりがた式しき）：会かい将はた结果舍しゃ入にゅう为最接近せっきん且可以表示ひょうじ的てき值，但ただし是ぜ当とう存在そんざい两个数すう一样接近的时候，则取其中的てき偶数ぐうすう（在ざい二进制中是以0结尾的てき）。
朝あさ+∞方向ほうこう捨入：會かい將はた結果けっか朝あさ正ただし無限むげん大だい的てき方向ほうこう捨入。
朝あさ-∞方向ほうこう捨入：會かい將はた結果けっか朝あさ負ふ無限むげん大だい的てき方向ほうこう捨入。
朝あさ0方向ほうこう捨入：會かい將はた結果けっか朝あさ0的てき方向ほうこう捨入。

浮点数すう的てき运算与あずか函数かんすう

标准运算

下しも述じゅつ函数かんすう必须提供ていきょう:

加か减乘除じょうじょ（Add、subtract、multiply、divide）。在ざい加か减运算さん中ちゅう負まけ零れい與あずか零れい相等そうとう： $-0.0=0.0$
平方根へいほうこん（Square root）： ${\sqrt {x}}\geq 0(x\geq 0)$ ，另規定きてい ${\sqrt {-0.0}}=-0.0$
浮点余あまり数すう。返かえし回かい值 $x-(round(x/y)*y)$ 。
近似きんじ到いた最近さいきん的てき整数せいすう $round(x)$ 。如果恰好かっこう在ざい两个相しょう邻整数すう之の间，则近似きんじ到いた偶数ぐうすう。
比ひ较运算さん. -Inf <負まけ的てき規約きやく浮點數すう數すう<負まけ的てき非ひ規約きやく浮點數すう< -0.0 = 0.0 <正せい的てき非ひ規約きやく浮點數すう<正せい的てき規約きやく浮點數すう< Inf；
特殊とくしゅ比較ひかく： -Inf = -Inf, Inf = Inf, NaN與あずか任にん何なん浮點數すう（包括ほうかつ自身じしん）的てき比較ひかく結果けっか都と為ため假かり，即そく (NaN ≠ x) = false.

建けん议的函数かんすう与あずか谓词

copysign(x, y): copysign(x, y)返かえし回かい的てき值由x的てき不ふ带符号ごう的てき部ぶ份和y的てき符号ふごう组成。因よし此abs(x)等とう于copysign(x, 1.0)。copysign可か以对NaN正せい确操作そうさ，这是少しょう有ゆう的てき几个可か以对NaN像ぞう普通ふつう算さん术一样操作有效的函数之一。C99新しん增ぞう了りょうcopysign函数かんすう。
−x:從したがえ涵義上じょう指ゆび將しょうx的てき符號ふごう反轉はんてん。當とうx是ぜ±0或ある者ものNaN時じ，其涵義ぎ可能かのう不同ふどう於0-x.
scalb(y, N):計算けいさんy×2^N（N是ぜ整数せいすう），无需再さい计算2^N。C99中ちゅう对应的てき函はこ式しき名めい是ぜscalbn.
logb(x):計算けいさんx = 1.a×2ⁿ（x ≠ 0, a ∈[0, 1)）中ちゅう的てきn. C99新しん增ぞう了りょうlogb和わilogb函はこ式しき。
nextafter(x,y):沿y方向ほうこう找最鄰近x的てき可か表ひょう達たち浮點數すう。比ひ如nextafter(0, 1)得え到いた的てき是ぜ最小さいしょう可か表ひょう達たち的てき正數せいすう。C99新しん增ぞう了りょうnextafter函はこ式しき。
finite(x):判斷はんだんx是ぜ否ひ有限ゆうげん，即そく−Inf < x < Inf. C99新しん增ぞう了りょうisfinite函はこ式しき。
isnan(x):判斷はんだんx是ぜ否ひ是ぜ一いち個こNaN，這等價とうか于"x ≠ x". C99新しん增ぞう了りょうisnan函はこ式しき。
x <> y:僅當x < y或ある者ものx > y時とき才ざい為ためTrue，其涵義ぎ是ぜNOT（x = y）。注意ちゅうい這不同どう于"x ≠ y"。
unordered(x, y):當とうx與あずかy無法むほう比較ひかく大小だいしょう時じ為ためTrue，比ひ如說x或ある者ものy是ぜ一いち個こNaN. C99中ちゅう對應たいおう的てき函はこ式しき名めい是ぜisunordered.
class(x):區分くぶんx的てき浮點數すう類るい屬ぞく：发信NaN、靜しずか默だまNaN、-Inf、負まけ的てき規約きやく浮點數すう，負まけ的てき非ひ規約きやく浮點數すう，-0.0,0.0，正せい的てき非ひ規約きやく浮點數すう，正せい的てき規約きやく浮點數すう，Inf。

精度せいど

在ざい二に進しん制せい，第だい一いち個こ有效ゆうこう數字すうじ必定ひつじょう是ぜ「1」，因いん此這個こ「1」並なみ不ふ會かい儲もうか存そん。

讨论一いち

單たん精せい和わ雙そう精せい浮點數すう的てき有效ゆうこう數字すうじ分別ふんべつ是ぜ有ゆう儲もうか存そん的てき23和わ52個こ位い，加か上じょう最さい左手ひだりて邊べ沒ぼつ有ゆう儲もうか存そん的てき第だい1個いっこ位い，即そく是ぜ24和わ53個こ位い。

\log 2^{24}=7.22

\log 2^{53}=15.95

由よし以上いじょう的てき計算けいさん，單たん精せい和わ雙そう精せい浮點數すう可か以保證ほしょう7位い和わ15位い十じゅう進しん制せい有效ゆうこう數字すうじ。

讨论二に

C++语言标准定てい义的浮点数すう的てき十じゅう进制精度せいど(decimal precision)：十じゅう进制数字すうじ的てき位い数すう，可か被ひ(浮点数すう)表示ひょうじ而值不ふ发生变化^[3]。C语言标准定てい义的浮点数すう的てき十じゅう进制精度せいど为：十じゅう进制数字すうじ的てき位い数すうq，使つかい得とく任にん何なん具有ぐゆうq位くらい十进制数字的浮点数可近似表示为b进制的てきp位くらい数字すうじ并且能のう近似きんじ回かい十进制表示而不改变这q位くらい十じゅう进制数字すうじ^[4]。

但ただし由よし于相对近似きんじ误差不ふ均ひとし匀，有ゆう的てき7位い十进制浮点数不能保证近似转化为32比ひ特とく浮点再さい近似きんじ转化回かい7位い十进制浮点后保持值不变：例れい如8.589973e9将しょう变成8.589974e9。这种近似きんじ误差不ふ会かい超ちょう过1比ひ特とく的てき表示ひょうじ能力のうりょく，因いん此(24-1)*std::log10(2)等とう于6.92，下取したどり整せい为6，成なり为std::numeric_limits<float>::digits10以及FLT_DIG的てき值。std::numeric_limits<float>::max_digits10的てき值为9，含义是ぜ必须9位い十进制数字才能区分float的てき所有しょゆう值；也即float的てき最大さいだい表示ひょうじ区分くぶん度ど。

类似的てき，std::numeric_limits<double>::digits10或あるDBL_DIG是ぜ15， std::numeric_limits<double>::max_digits10是ぜ17。

例れい子こ

以下いか的てきC++程ほど式しき，概略がいりゃく地ち展示てんじ了りょう單たん精せい和わ雙そう精せい浮點數すう的てき精度せいど。

#include <iostream>

int main () {
    std::cout.precision(20);
    float a=123.45678901234567890;
    double b=123.45678901234567890;
    std::cout << a << std::endl;
    std::cout << b << std::endl;
    return 0;
}

// Xcode 5.1
// Output:
// 123.456787109375
// 123.45678901234568059
// Program ended with exit code: 0

外部がいぶ連結れんけつ

IEEE 754 references
Let's Get To The (Floating) Point by Chris Hecker
What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic by David Goldberg（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） - a good introduction and explanation.
IEEE 854-1987（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） History and minutes
Converter
Another Converter
Converter as MS-Windows program
Comparing doubles in C++
An Interview with the Old Man of Floating-Point（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
Coprocessor.info : x87 FPU pictures, development and manufacturer information

參考さんこう文獻ぶんけん

^ Codes. [2007-04-30]. （原始げんし内容ないよう存そん档于2006-09-23）（英えい语）.
^ 參まいり見み有ゆう符號ふごう數すう處理しょり的てきExcess-N
^ 原文げんぶん：Number of base 10 digits that can be represented without change
^ 原文げんぶん：number of decimal digits, q, such that any floating-point number with q decimal digits can be rounded into a floating-point number with p radix b digits and back again without change to the q decimal digits.

[1] Codes. [2007-04-30]. （原始げんし内容ないよう存そん档于2006-09-23）（英えい语）.

[2] 參まいり見み有ゆう符號ふごう數すう處理しょり的てきExcess-N

[3] 原文げんぶん：Number of base 10 digits that can be represented without change

[4] 原文げんぶん：number of decimal digits, q, such that any floating-point number with q decimal digits can be rounded into a floating-point number with p radix b digits and back again without change to the q decimal digits.

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