冪 べき 數 すう [ 1] 英語 えいご powerful number ）也稱為 ため 幂次数 すう ，是 ぜ 指 ゆび 一 いち 正 せい 整数 せいすう
n
{\displaystyle n}
所有 しょゆう 質 しつ 因數 いんすう 的 てき 平方 へいほう 亦 また 是 これ
n
{\displaystyle n}
的 てき 因數 いんすう 換言 かんげん 之 の 若 わか 存在 そんざい 一 いち 質 しつ 因數 いんすう
p
{\displaystyle p}
則 のり
p
2
{\displaystyle p^{2}}
n
{\displaystyle n}
的 てき 因數 いんすう
冪 べき 數 すう 可 か 表示 ひょうじ 為 ため 一 いち 個 こ 平方 へいほう 數 すう 立方 りっぽう 數 すう 的 てき 乘 じょう 積 せき 若 わか
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
為 ため 正 せい 整數 せいすう 包括 ほうかつ 在 ざい
a
2
b
3
{\displaystyle a^{2}b^{3}}
即 そく 為 ため 冪 べき 數 すう 方 かた 數 すう 方 かた 數 すう 本身 ほんみ 數 すう 的 てき 更 さら 高次 こうじ 方 かた 冪 べき 數 すう
保 ほ 羅 ら 艾 もぐさ 喬 たかし 治 ち 塞 ふさが 都 と 對 たい 數字 すうじ 進行 しんこう 研究 けんきゅう 學 がく 家 か 將 はた 的 てき 數 すう 命名 めいめい 為 ため 應 おう 指 ゆび 數字 すうじ 由 よし 許多 きょた 冪 べき 所 ところ 組成 そせい 但 ただし 也有 やゆう 強大 きょうだい 的 てき 有力 ゆうりょく 的 てき 的 てき 意思 いし
以下 いか 是 ぜ 冪 べき 數 すう 的 てき 列 れつ 表 ひょう
1 , 4 , 8 , 9 , 16 , 25 , 27 , 32 , 36 , 49 , 64 , 72 , 81 , 100 , 108 , 121 , 125 , 128 , 144 , 169 , 196 , 200 , 216 , 225 , 243 , 256 , 288 , 289 , 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000 （OEIS 數列 すうれつ A001694 ）。冪 べき 數 すう 的 てき 質 しつ 因數 いんすう 分解 ぶんかい 中 なか 各 かく 質 しつ 因數 いんすう 指數 しすう 均 ひとし 大 だい
冪 べき 數 すう 的 てき 倒 たおせ 數 すう 和 わ 收斂 しゅうれん 為 ため
∏
p
(
1
+
1
p
2
+
1
p
3
+
1
p
4
+
⋯
)
=
∏
p
(
1
+
1
p
(
p
−
1
)
)
=
ζ ぜーた (
2
)
ζ ぜーた (
3
)
ζ ぜーた (
6
)
=
315
2
π ぱい
4
ζ ぜーた (
3
)
{\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \right)=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)}
其中
p 為 ため 所有 しょゆう 的 てき 質 しつ 數 すう
ζ ぜーた (
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
為 ため 黎 はじむ ζ ぜーた 函數 かんすう
ζ ぜーた (
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
為 ため 阿 おもね 培 つちかえ 里 さと 常數 じょうすう [ 2] 若 わか 用 よう k (x )來 らい 表示 ひょうじ 當 とう n ≤x 時 とき 冪 べき 數 すう n 的 てき 個數 こすう 則 のり k 滿足 まんぞく 以下 いか 的 てき 不等式 ふとうしき
c
x
1
/
2
−
3
x
1
/
3
≤
k
(
x
)
≤
c
x
1
/
2
,
c
=
ζ ぜーた (
3
/
2
)
/
ζ ぜーた (
3
)
=
2.173
⋯
{\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\cdots }
[ 2] 。
佩爾方 かた 程 ほど x 2 -8y 2 =1有無 うむ 限 げん 多 た 個 こ 正 せい 整數 せいすう 解 かい 因 いん 存在 そんざい 無限 むげん 多 た 組 ぐみ 連續 れんぞく 的 てき 冪 べき 數 すう 若 わか x 、y 為 ため 正 せい 整數 せいすう 解 かい 則 のり x 2 及8y 2 即 そく 為 ため 二 に 個 こ 連續 れんぞく 的 てき 冪 べき 數 すう 最小 さいしょう 的 てき 是 ぜ 和 わ [ 2] 和 わ 恰好 かっこう 唯一 ゆいいつ 一 いち 組 くみ 連續 れんぞく 的 てき 次 つぎ 方 かた 數 すう 卡塔蘭 らん ，後來 こうらい 已 やめ 被 ひ 數學 すうがく 家 か 普 ひろし 雷 かみなり 達 たち 米 まい 列 れつ 證明 しょうめい
每 まい k + 1)2 = k 2 + 2k +12 ，因 いん k + 1)2 - k 2 = 2k + 1。而每一 いち 個 こ 的 てき 倍數 ばいすう 都 と 可 か 表示 ひょうじ 為 ため 二 に 個 こ 彼此 ひし 差 さ 的 てき 正 せい 整數 せいすう 平方 へいほう 的 てき 差 さ k + 2)2 - k 2 = 4k + 4。以上 いじょう 數字 すうじ 均 ひとし 可 か 表示 ひょうじ 為 ため 二 に 平方 へいほう 數 すう 的 てき 差 さ 因 いん 二 に 個 こ 冪 べき 數 すう 的 てき 差 さ
但 ただし 無 む 法被 はっぴ 整除 せいじょ 的 てき 偶數 ぐうすう 即 そく 奇偶 きぐう 數 すう 無法 むほう 表示 ひょうじ 為 ため 二 に 個 こ 平方 へいほう 數 すう 的 てき 差 さ 但 ただし 不 ふ 確定 かくてい 是 ぜ 否 いや 可 か 表示 ひょうじ 為 ため 二 に 個 こ 冪 べき 數 すう 的 てき 差 さ 然 しか 發現 はつげん 以下 いか 的 てき 等式 とうしき
2=33 -52
10=133 -37
18=192 -73 =32 (33 -52 ) 以上 いじょう 的 てき 等式 とうしき 未 み 包括 ほうかつ 有無 うむ 窮 きゅう 多 た 個 こ 奇偶 きぐう 數 すう 無法 むほう 表示 ひょうじ 為 ため 二 に 個 こ 冪 べき 數 すう 的 てき 差 さ 不 ふ 過 か 後來 こうらい 發現 はつげん 表示 ひょうじ 為 ため 二 に 個 こ 冪 べき 數 すう 的 てき 差 さ
6=54 73 -4632 而且可 か 無限 むげん 多 た 組 ぐみ 的 てき 冪 べき 數 すう 證明 しょうめい 每 ごと 個 こ 整數 せいすう 都 と 有無 うむ 限 げん 多 た 組 ぐみ 表示 ひょうじ 為 ため 二 に 個 こ 冪 べき 數 すう 的 てき 差 さ 的 てき 方法 ほうほう [ 3]
保 ほ 羅 ら 艾 もぐさ 每 ごと 後 ご 來由 らいゆ 羅 ら 傑 すぐる 希 まれ 布 ぬの 朗 ろう 證 あかし 實 じつ 了 りょう 保 ほ 羅 ら 艾 もぐさ 的 てき [ 4]
冪 べき 數 すう 的 てき 質 しつ 因數 いんすう 分解 ぶんかい 中 ちゅう 所有 しょゆう 的 てき 指數 しすう 均 ひとし 不 ふ 小 しょう 概念 がいねん 再 さい 延伸 えんしん 若 わか 所有 しょゆう 的 てき 指數 しすう 均 ひとし 不 ふ 小 しょう k ，可 か 稱 しょう 為 ため k -冪 べき 數 すう
(2k k k k +1k k +1k +1 是 ぜ 由 よし 冪 べき 數 すう 所 しょ 組成 そせい 的 てき 等差 とうさ 數列 すうれつ 若 わか a 1 , a 2 , ..., a s 是 ぜ 由 ゆかり k -冪 べき 數 すう 所 しょ 形成 けいせい 的 てき 等差 とうさ 数列 すうれつ 公差 こうさ 為 ため 則 のり
a 1 (a s d )k a 2 (a s d )k a s a s d )k a s k +1則 のり 是 ぜ 由 ゆかり s +1個 いっこ 項 こう k -冪 べき 數 すう 所 しょ 組成 そせい 的 てき 等差 とうさ 数列 すうれつ
以下 いか 是 ぜ 一 いち 個 こ 有 ゆう 關 せき k -冪 べき 數 すう 的 てき 恆等 こうとう 式 しき
a k a n k a k +1a n k a k +n a n k a k a n k +1因 いん 無窮 むきゅう 多 た 組 ぐみ 的 てき k -冪 べき 數 すう 數 すう 為 ため n +1個 いっこ k -冪 べき 數 すう 的 てき 和也 かずや 是 これ k -冪 べき 數 すう 證明 しょうめい 了 りょう 存在 そんざい 無窮 むきゅう 多 た 組 ぐみ 的 てき 冪 べき 數 すう x 、y 、z ，滿足 まんぞく x +y =z 的 てき 形式 けいしき [ 5] 立方 りっぽう 數 すう 的 てき 冪 べき 數 すう x 、y 、z ，可 か 滿足 まんぞく x +y =z 的 てき 方法 ほうほう 以下 いか 的 てき 數 すう 組 くみ
X =9712247684771506604963490444281, Y =32295800804958334401937923416351, Z =27474621855216870941749052236511是 ぜ 方程式 ほうていしき X 3 + 49Y 3 = 81Z 3 的 てき 解 かい 因 いん X 3 、49Y 3 及81Z 3 即 そく 為 ため 上述 じょうじゅつ 的 てき 冪 べき 數 すう 數 すう 組 くみ 令 れい X ′=X (49Y 3 + 81Z 3 ), Y ′ = −Y (32X 3 + 81Z 3 ), Z ′ = Z (32X 3 − 49Y 3 )，再 さい 除 じょ 最 さい 大公 たいこう 因數 いんすう 即 そく 為 ため 一 いち 組 くみ 新 しん 的 てき 解 かい
^ 詞 し 都 と [2012-02-05 ] . （原始 げんし 内容 ないよう 存 そん ^ 2.0 2.1 2.2 S. W. Golomb, Powerful numbes, Amer. Math. Monthly 77 (1970), 848--852.
^ Wayne L. McDaniel, Representations of every integer as the difference of powerful numbers, Fibonacci Quart. 20 (1982), 85--87.
^ D. R. Heath-Brown, Sums of three square-full numbers, in Number Theory, I(Budapest, 1987), Colloq. Math. Soc. János Bolyai 51 (1990), 163--171.
Brown, 1987)
^ *A. Nitaj, On a conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Bull. London Math. Soc. 27 (1995), 317--318.
J. H. E. Cohn, A conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Math. Comp. 67 (1998), 439--440. [1] （页面存 そん ，存 そん 互联网档案 あん ）
P. Erdös & G. Szekeres, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, Acta Litt. Sci. Szeged 7 (1934), 95--102.
Richard Guy, Section B16 in Unsolved Problems in Number Theory , Springer-Verlag, 3rd edition, 2004; ISBN 0-387-20860-7 .
D. R. Heath-Brown, Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7 , Birkhäuser, Boston, 1988.
和 かず 因數 いんすう 有 ゆう 關 せき 的 てき 整數 せいすう 分類 ぶんるい
簡介 依 よ 因數 いんすう 分解 ぶんかい 分類 ぶんるい 依 よ 因數 いんすう 和 わ 分類 ぶんるい 有 ゆう 許多 きょた 因數 いんすう 和 わ 真 ま 因子 いんし 和 わ 數列 すうれつ 有 ゆう 關 せき 其他
