整せい環たまき

  提示ていじ：此條目め頁ぺーじ的てき主題しゅだい不ふ是ぜ整數せいすう環たまき。

整せい環たまき（Integral domain），又また譯わけ作さく整せい域いき，是ぜ抽象ちゅうしょう代數だいすう中なか的てき一いち個こ概念がいねん，指ゆび含乘法ほう單位たんい元素げんそ的てき無な零れい因子いんし的てき交換こうかん環たまき。一般假設環中乘法單位元素1不等ふとう於加法ほう單位たんい元素げんそ0，以除去じょきょ平凡へいぼん的てき環たまき$\{0\}$。整せい環たまき是ただし整數せいすう環たまき的てき抽象ちゅうしょう化か，它很好地こうち繼承けいしょう了りょう整數せいすう環たまき的てき整除せいじょ性質せいしつ，使つかい得え我わが們能夠更好地こうち研究けんきゅう整除せいじょ理論りろん。

整せい環かん也可以定義ていぎ為ため理想りそう$\{0\}$是ぜ質しつ理想りそう的てき交換こうかん環たまき，或ある交換こうかん的てき無む零れい因子いんし環たまき。

形式けいしき定義ていぎ

設しつらえ$\left({\mathcal {R}},+,\times \right)$是ぜ一いち個こ交換こうかん環たまき，存在そんざい$e\in {\mathcal {R}}$，$e\neq 0$（0為ため加法かほう單位たんい元素げんそ），使つかい得とく

$\forall a\in {\mathcal {R}},a\times e=e\times a=a,$（存在そんざい乘法じょうほう單位たんい元素げんそ）

並なみ且對任意にんい的てき$a,b\in {\mathcal {R}}$，如果$a\times b=0$，那な麼或者しゃ$a=0$，或ある者もの$b=0$。用よう數學すうがく方式ほうしき表示ひょうじ為ため：

$\forall (a,b)\in {\mathcal {R}}^{2},\ a\times b=0\quad \Rightarrow \quad (a=0\;\;\lor \;\;b=0).$（沒ぼつ有ゆう零れい因子いんし）

就稱其為整せい環たまき。

定義ていぎ中ちゅう的てき無む零れい因子いんし性質せいしつ也可以用環たまき中ちゅう乘法じょうほう的てき消去しょうきょ律りつ替がえ代だい：如果$a\times c=b\times c$，並なみ且$c\neq 0$，那な麼$a=b$。用よう數學すうがく方法ほうほう表示ひょうじ就是：

$\forall (a,b,c)\in {\mathcal {R}}^{3},\ (a\times c=b\times c\;\;\land \;\;c\neq 0)\quad \Rightarrow \quad a=b.$

例れい子こ

• 整せい環たまき的てき代表だいひょう性せい例れい子こ是ぜ整數せいすう環たまき$\mathbb {Z}$。$(\mathbb {Z} ,+,\times )$是ぜ一いち個こ交換こうかん環たまき，並なみ且乘法ほう單位たんい元素げんそ1不等ふとう於加法ほう單位たんい0。最後さいご，兩個りゃんこ整數せいすう相乘そうじょう等とう於0，則のり必然ひつぜん有ゆう其中一いち個こ等とう於0。
• 多項式たこうしき環たまき是ただし整せい環たまき當とう且僅當とう其系數すう構成こうせい整せい環たまき。比ひ如整系けい數すう一いち元げん多項式たこうしき環たまき$\mathbb {Z} [X]$和實かずみ系けい數すう二に元げん多項式たこうしき環たまき$\mathbb {R} [X,Y]$。
• 每まい個こ域いき都みやこ是ただし整せい環たまき。相對そうたい的てき，每まい個こ阿おもね廷整環たまき都みやこ是ただし域いき。特別とくべつ地ち，每まい個こ有限ゆうげん的てき整せい環たまき都みやこ是ぜ有限ゆうげん體たい。整數せいすう環たまき$\mathbb {Z}$就是一個非阿廷整環不是域的例子，因いん為ため它有無窮むきゅう遞降的てき理想りそう列れつ：

$\mathbb {Z} \;\supset \;2\mathbb {Z} \;\supset \;\ldots \;\supset \;2^{n}\mathbb {Z} \;\supset \;2^{n+1}\mathbb {Z} \;\supset \;\cdots$

• 對たい每まい個こ整數せいすう$n>0$，$\mathbb {Z} +{\sqrt {n}}\mathbb {Z}$是ぜ實數じっすう體たい$\mathbb {R}$的てき子こ環たまき，因いん此是整せい環たまき。$\mathbb {Z} +i{\sqrt {n}}\mathbb {Z}$是ぜ複數ふくすう域いき$\mathbb {C}$的てき子こ環たまき，因いん此是整せい環たまき。當とう$n=1$時とき，後者こうしゃ被ひ稱しょう為ため高こう斯整數すう環たまき。
• 若わか${\mathcal {R}}$是ぜ一いち個こ交換こうかん環たまき，$P$是これ${\mathcal {R}}$的てき一いち個こ理想りそう，那な麼商環たまき$^{\mathcal {R}}/_{P}$是ぜ整せい環たまき當とう且僅當とうP是これ質しつ理想りそう。由よし此可推出${\mathcal {R}}$是ぜ整せい環たまき當とう且僅當とう$\{0\}=^{\mathcal {R}}/_{\mathcal {R}}$是これ質しつ理想りそう。

整除せいじょ、質しつ元素げんそ、不可ふか約やく元素げんそ

在ざい整せい環たまき上じょう可か以定義ていぎ類似るいじ於整數すう環たまき里さと的てき整除せいじょ性質せいしつ。

a與あずかb是これR中なか的てき兩個りゃんこ元素げんそ，定義ていぎa整除せいじょb或あるa是これb的てき因數いんすう或あるb是これa的てき倍數ばいすう，當とう且僅當とう存在そんざいR中なか的てき一いち個こ元素げんそx使つかい得とくax = b。

整除せいじょ關係かんけい滿足まんぞく遞移性せい，即そくa整除せいじょb，b整除せいじょc推出a整除せいじょc。a整除せいじょb，則のりa整除せいじょb的てき所有しょゆう倍數ばいすう。a的てき兩個りゃんこ倍數ばいすう的てき和わ與あずか差さ仍是a的てき倍數ばいすう。

1的てき因數いんすう稱たたえ為ためR的てき可逆かぎゃく元素げんそ。可逆かぎゃく元素げんそ整除せいじょ所有しょゆう元素げんそ。

若わかa整除せいじょb並なみ且b整除せいじょa，則のり稱しょうa與あずかb相伴しょうばん。a與あずかb相伴しょうばん當とう且僅當とう存在そんざい可逆かぎゃく元素げんそu使つかい得とくau = b。

非ひ可逆かぎゃく元素げんそq稱たたえ為ため不可ふか約やく元素げんそ，如果q不能ふのう寫うつし成なり兩個りゃんこ非ひ可逆かぎゃく元素げんそ的てき乘じょう積せき。

如果p不ふ是ぜ零れい元素げんそ或ある可逆かぎゃく元素げんそ，且對任意にんいa，b，如果p整除せいじょab可か推出p整除せいじょa或あるp整除せいじょb，則のり稱しょうp為ため質しつ元素げんそ。

這兩個りゃんこ定義ていぎ是ぜ整數せいすう環たまき中ちゅう質しつ數すう的てき推廣。如果p是ぜ質しつ元素げんそ，那な麼p生成せいせい的てき主しゅ理想りそう是ぜ質しつ理想りそう。每まい個こ質しつ元素げんそ都と是ぜ不可ふか約やく元素げんそ，但ただし反はん過か來らい則のり只ただ有ゆう當とうR是これ唯一ゆいいつ分解ぶんかい環たまき才ざい正確せいかく。