零れい因子いんし

在ざい抽象ちゅうしょう代数だいすう中ちゅう，一いち个环的てき一いち个非零れい元素げんそ a 是ぜ一いち个左ひだり零れい因子いんし，当とう且仅当とう存在そんざい一いち个非零れい元素げんそ b，使つかい得とく ab=0。类似的てき，一いち个非零れい元素げんそ a 是ぜ一いち个右みぎ零れい因子いんし，当とう且仅当とう存在そんざい一いち个非零れい元素げんそ b，使つかい得とく ba=0。左ひだり零れい因子いんし和わ右みぎ零れい因子いんし通稱つうしょう為ため零れい因子いんし（zero divisor）。。在ざい交换环中なか，左ひだり零れい因子いんし与あずか右みぎ零れい因子いんし是ぜ等とう价的。一个既不是左零因子也不是右零因子的非零元素称为正せい则的てき。

例れい子こ

• 整数せいすう环 $\mathbb {Z}$ 没ぼつ有ゆう零れい因子いんし，但ただし是ぜ在ざい环 $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ 中なか，有ゆう $(0,n)\times (m,0)=(0,0)$ ，于是 $(0,n)$ 和わ $(m,0)$ 都と是ぜ零れい因子いんし。

• 在ざい商しょう环 $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ 中なか，同どう余よ类 $4$ （即そく $4+6\mathbb {Z}$），是ぜ一いち个零因子いんし，因いん为 $3\times 4$ 是ぜ同どう余よ类 $0$。

• 在方ざいかた矩のり阵组成的てき环中，不可ふか逆ぎゃく矩のり阵都と是ぜ零れい因子いんし。例れい如：

${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}$

因いん为

${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

• 　更さら一般いっぱん地ち说，在ざい某ぼう些域上じょう的てき ｎ×ｎ 的てき矩のり阵组成的てき环中，左ひだり零れい因子いんし也就是ぜ右みぎ零れい因子いんし（实际上じょう就是所有しょゆう的てき非ひ零れい的てき奇き异矩阵）。在ざい某ぼう些整せい环上うえ的てき ｎ×ｎ 的てき矩のり阵组成的てき环中，零れい因子いんし就是所有しょゆう行列ぎょうれつ式しき为0的てき非ひ零れい矩のり阵。

• 下面かめん给出一个环中的左零因子和右零因子的例子，它们都と不ふ是ぜ零れい因子いんし。
  • 令れい S 为所有しょゆう整数せいすう数列すうれつ的てき集合しゅうごう，则 S 到いた S 的てき映うつ射い，对于数列すうれつ的てき加法かほう和わ映うつ射的しゃてき复合，成なり为一个环 End(S),。
  • 考こう虑以下か三さん个映射しゃ：右みぎ移うつり映うつ射い：R(a₁, a₂,a₃,...) = (0, a₁, a₂,...)， 左ひだり移うつり映うつ射い：L(a₁, a₂,a₃,... ) = (a₂, a₃,...)，以及只ただ保留ほりゅう首くび项的映うつ射い： T(a₁, a₂,a₃,... ) = (a₁, 0, 0, ... )
  • LT ＝ TR ＝ 0，所以ゆえん L 是ぜ一いち个左零れい因子いんし，R 是ぜ一いち个右零れい因子いんし。但ただし是これ L 不ふ是ぜ右みぎ零れい因子いんし，R 也不是ぜ左ひだり零れい因子いんし。因よし为 LR 便びん是ぜ恒等こうとう映うつ射しゃ。也就是ぜ说，如果有ゆう一いち个映射しゃ f 使つかい得とく fL= 0，那な么 0＝(fL)R = f(LR)= f1 = f，f 必然ひつぜん是ぜ 0，于是 L 不可能ふかのう是ぜ右みぎ零れい因子いんし。同どう理り，R 也不可能ふかのう是ぜ左ひだり零れい因子いんし。
  • 实际上じょう，我わが们可以将 S 到いた S 的てき映うつ射い看み作づく可か数すう阶数的てき矩のり阵，于是左ひだり移うつり映うつ射い L 就可以表示ひょうじ为：

$A={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&\\0&0&1&0&0&\cdots \\0&0&0&1&0&\\0&0&0&0&1&\\&&\vdots &&&\ddots \end{pmatrix}}$

• 同どう理り R 则是 L 的てき转置矩のり阵（同どう时也是ぜ L 的てき逆ぎゃく矩のり阵）。可か以看出で这个例れい子こ在ざい有限ゆうげん阶矩阵中是ぜ无法构造的てき。

性せい质

• 左ひだり零れい因子いんし或ある右みぎ零れい因子いんし不可能ふかのう是ぜ可逆かぎゃく元もと。

• 任意にんい的てき非ひ零れい的てき等とう幂元 a ≠ 1 都と是ぜ零れい因子いんし，因いん为由 a² = a 可か推出 a(a − 1) = (a − 1)a = 0。此外，幂零れい元げん是ぜ当然とうぜん的てき零れい因子いんし。

• 一いち个非退化たいか的てき交换环（0 ≠ 1）若わか没ぼつ有ゆう零れい因子いんし，则是一いち个整せい环。

• 商しょう环 Z/nZ 包含ほうがん零れい因子いんし，当とう且仅当とう n 是これ合ごう数すう。如果 n 是これ素数そすう，Z/nZ 是ぜ一いち个域，因いん而没有ゆう零れい因子いんし，因いん为每个非零れい元素げんそ都と是ぜ可逆かぎゃく的てき。

• 在ざい凯莱-迪すすむ克かつ森もり结构下した的てき十じゅう六ろく元げん数すう中なか，也包含ほうがん了りょう零れい因子いんし。

参まいり见

• 环
• 整せい环