冪べき等とう

在ざい數學すうがく裡うら，冪べき等とう有ゆう兩りょう種たね主要しゅよう的てき定義ていぎ。

• 在ざい某ぼう二元にげん運算うんざん下した，冪べき等とう元素げんそ是ぜ指ゆび被ひ自己じこ重複じゅうふく運算うんざん（或ある對たい於函數かんすう是これ為ため複ふく合あい）的てき結果けっか等とう於它自己じこ的てき元素げんそ。例れい如，乘法じょうほう下か唯一ゆいいつ兩個りゃんこ冪べき等とう實數じっすう為ため0和わ1。
• 某ぼう一元いちげん運算うんざん為ため冪べき等とう的てき時じ，其作用よう在任ざいにん一元素兩次後會和其作用一次的結果相同。例れい如，高こう斯符號ごう便びん是ぜ冪べき等とう的てき。
• 一元いちげん運算うんざん的てき定義ていぎ是ぜ二元にげん運算うんざん定義ていぎ的てき特例とくれい（詳しょう情じょう請見下面かめん）。

定義ていぎ

二元にげん運算うんざん

設しつらえ$S$為ため一具有作用於其自身的二元にげん運算うんざん的てき集合しゅうごう，則のり$S$的てき元素げんそ$s$稱しょう為ため冪べき等とう的てき(相對そうたい於$*$)當とう

$s*s=s$

特別とくべつ的てき是ぜ，任にん一いち單位たんい元もと都みやこ是ただし冪べき等とう的てき。若わか$S$的てき所有しょゆう元素げんそ都と是ぜ冪べき等とう的てき話ばなし，則のり其二そのじ元もと運算うんざん*被ひ稱しょう做是冪べき等とう的てき。例れい如，聯れん集しゅう和わ交集的てき運算うんざん便びん都と是ぜ冪べき等とう的てき。

一元いちげん運算うんざん

設しつらえ$f$為ため一いち由よし$X$映うつ射い至いたり$X$的てき一元いちげん運算うんざん，則のり$f$為ため冪べき等とう的てき，當とう對たい於所有しょゆう在ざい$X$內的$x$，

$f(f(x))=f(x)$

特別とくべつ的てき是ぜ，恆等こうとう函數かんすう一定いってい是ぜ冪べき等とう的てき，且任一いち常數じょうすう函數かんすう也都是ぜ冪べき等とう的てき。

注意ちゅうい當とう考慮こうりょ一いち由よし$X$至いたり$X$的てき所有しょゆう函數かんすう所しょ組成そせい的てき集合しゅうごう$S$時とき，$f$在ざい一元運算下為冪等的若且唯若在二元運算下，$f$相對そうたい於其複ふく合あい運算うんざん(標記ひょうき為ため$o$)會かい是ぜ冪べき等とう的てき。這可以寫成なり$f\operatorname {o} f=f$。

一般いっぱん例れい子こ

函數かんすう

如上じょじょう述じゅつ所說しょせつ，恆等こうとう函數かんすう和わ常數じょうすう函數かんすう總會そうかい是ぜ冪べき等とう的てき。較不當然とうぜん的てき例れい子こ有ゆう實數じっすう或ある複數ふくすう引數ひきすう的てき絕對ぜったい值函數かんすう，以及實數じっすう引數ひきすう的てき高こう斯符號ごう。

將一しょういち拓ひらけ撲なぐ空間くうかんX內各子こ集しゅうU映うつ射い至いたりU閉包へいほう的てき函數かんすう在ざいX的てき冪べき集しゅう上じょう是ぜ冪べき等とう的てき。這是閉包へいほう運算うんざん元もと的てき一いち個こ例れい子こ；所有しょゆう個こ閉包へいほう運算うんざん元もと都會とかい是ぜ冪べき等とう函數かんすう。

環たまき的てき冪べき等とう元素げんそ

定義ていぎ上じょう，環たまき的てき冪べき等とう元素げんそ為ため一相對於環乘法為冪等的元素。可か以定義ていぎ一於環冪等上的偏へん序じょ：若わかe和わf為ため冪べき等とう的てき，當とうef = fe = e時とき，標記ひょうき為ためe ≤ f。依よ其順序じょ，0會かい是ぜ最小さいしょう冪べき等とう元素げんそ，而1為ため最大さいだい冪べき等とう元素げんそ。

若わかe在ざい環たまきR內為冪べき等とう的てき，則のりeRe一樣會是個乘法單位元為e的てき環たまき。

兩個りゃんこ冪べき等とう元素げんそe和わf被ひ稱しょう為ため正せい交的當とうef=fe=0。在ざい此一情じょう形がた下か，e+f也是冪べき等とう的てき，且有e ≤ e + f和わf ≤ e + f。

若わかe在ざい環たまきR內為冪べき等とう的てき，則のりf = 1 − e也會是ぜ冪べき等とう的てき，且e和わf正せい交。

一いち在ざいR內的冪べき等とう元素げんそe稱たたえ為ため核心かくしん的てき，若わか對たい所有しょゆう在ざいR內的x，ex=xe。在ざい此情形がた之の下した，Re會かい是ぜ個こ乘法じょうほう單位たんい元もと為ためe的てき環たまき。R的てき核心かくしん冪べき等とう元素げんそ和わR的てき分解ぶんかい為ため環たまき的てき直和なおかず有ゆう很直接的ちょくせつてき關せき接せっ。若わかR為ため環たまきR₁、...、R_n的てき直和なおかず，則のり環たまきR_i的てき單位たんい元もと在ざいR內為核心かくしん冪べき等とう的てき，相互そうご正せい交，且其總和そうわ為ため1。相反あいはん地ち，給きゅう出でR內給相互そうご正せい交且總和そうわ為ため1的てき核心かくしん冪べき等とう元素げんそe₁、...、e_n，則のりR會かい是ぜ環たまきRe₁、...、Re_n的てき直和なおかず。所有しょゆう較有趣おもむき的てき是ぜ，每まい一いち於R內的核心かくしん冪べき等とうe都會とかい給きゅう出で一いちR的てき分解ぶんかい－Re和わR(1 − e)的てき直和なおかず。

任にん一いち不等ふとう於0和わ1的てき冪べき等とう元素げんそ都と是ぜ零れい因子いんし(因よし為ためe(1 − e) = 0)。這表示ひょうじ了りょう整せい環たまき及除じょ環たまき都と不ふ會かい存在そんざい此種冪べき等とう元素げんそ。局部きょくぶ環たまき也沒有ゆう此種冪べき等とう元素げんそ，但ただし理由りゆう有ゆう點てん不同ふどう。唯ただ一いち包含ほうがん於一環いっかん的てき雅まさ各かく布ぬの森もり根ね內的冪べき等とう元素げんそ只ただ有ゆう0。共きょう四よん元げん數すう環かん內會有ゆう一いち冪べき等とう元素げんそ組成そせい的てき懸かか鏈曲面めん。

所有しょゆう元素げんそ都と冪べき等とう的てき環たまき稱しょう做布ぬの爾なんじ環たまき。可か證明しょうめい在ざい每まい一此類環內，乘法じょうほう都と是ぜ可か交換こうかん的てき，且每一元素都有其各自的加法かほう逆ぎゃく元もと。

其他例れい子こ

冪べき等とう運算うんざん也可以在布ぬの林りん代數だいすう內找到。邏輯和わ與あずか邏輯或ある便びん都と是ぜ冪べき等とう運算うんざん。

在ざい線せん性せい代數だいすう裡うら，投影とうえい是ぜ冪べき等とう的てき。亦また即そく，每まい一將向量投射至一子空間V（不ふ需正交）上じょう的てき線せん性せい算さん子こ，都みやこ是ただし冪べき等とう的てき。

一冪等半環為其加法かほう（非ひ乘法じょうほう）為ため冪べき等とう的てき半はん環たまき。

参まいり见

• 不ふ动点