代數だいすう閉域

在ざい數學すうがく上うえ，一いち個こ域いき$F$被ひ稱しょう作さく代數だいすう閉域，若わか且唯若わか任にん何なん係數けいすう属ぞく于$F$且次數すう大だい於零的てき單たん變數へんすう多項式たこうしき在ざい$F$裡うら至いたり少しょう有ゆう一いち個こ根ね。代数だいすう闭域一定いってい是ぜ无限域いき。

例れい子こ

舉例明あかり之の，實數じっすう域いき並なみ非ひ代數だいすう閉域，因いん為ため下か列れつ實じつ係數けいすう多項式たこうしき無む實根みね：

$x^{2}+1=0$

同どう理り可か證しょう有理數ゆうりすう域いき非ひ代數だいすう閉域。此外，有限ゆうげん域いき也不是ぜ代數だいすう閉域，因いん為ため若わか$a_{1},\ldots ,a_{n}$列れつ出で$F$的てき所有しょゆう元素げんそ，則のり下か列れつ多項式たこうしき在ざい$F$中ちゅう沒ぼつ有ゆう根ね：

$(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{n})+1\,$

反はん之これ，複數ふくすう域いき則そく是ぜ代數だいすう閉域；這是代數だいすう基本きほん定理ていり的てき內容。另一個代數閉域之例子是代數だいすう數すう域いき。

等價とうか的てき刻こく劃

給きゅう定じょう一いち個こ域いき$F$，其代數すう封ふう閉性與あずか下しも列れつ每ごと一いち個こ性質せいしつ等價とうか：

不可ふか约多项式若わか且唯若わか一いち次じ多た项式

域いきF是ぜ代数だいすう闭域，当とう且仅当とう环F[x]中ちゅう的てき不可ふか约多项式是ぜ而且只ただ能のう是ぜ一いち次じ多た项式。

“一次多项式是不可约的”的てき断言だんげん对于任にん何なん域いき都と是正ぜせい确的。如果F是ぜ代数だいすう闭域，p(x)是これF[x]的てき一个不可约多项式，那な么它有ゆう某ぼう个根a，因いん此p(x)是これx − a的てき一いち个倍数すう。由よし于p(x)是ぜ不可ふか约的，这意味いみ着ぎ对于某ぼう个k ∈ F \ {0}，有ゆうp(x) = k(x − a)。另一方面ほうめん，如果F不ふ是ぜ代数だいすう闭域，那な么存在そんざいF[x]内的ないてき某ぼう个非常ひじょう数多あまた项式p(x)在ざいF内うち没ぼつ有ゆう根ね。设q(x)为p(x)的てき某ぼう个不可ふか约因子こ。由よし于p(x)在ざいF内うち没ぼつ有ゆう根ね，因いん此q(x)在ざいF内うち也没有ゆう根ね。所以ゆえん，q(x)的てき次数じすう大だい于一，因いん为每一个一次多项式在F内うち都と有ゆう一いち个根。

每まい一个多项式都是一次多项式的乘积

域いきF是ぜ代数だいすう闭域，当とう且仅当とう每まい一いち个系けい数すう位くらい于次数すうF内的ないてきn ≥ 1的てき多た项式p(x)都と可か以分解ぶんかい成なり线性因子いんし。也就是ぜ说，存在そんざい域いきF的てき元素げんそk， x₁， x₂， ……， x_n，使つかい得とくp(x) = k(x − x₁)(x − x₂) ··· (x − x_n)。

如果F具有ぐゆう这个性せい质，那な么显然しかF[x]内的ないてき每ごと一个非常数多项式在F内うち都と有ゆう根ね；也就是ぜ说，F是ぜ代数だいすう闭域。另一方面ほうめん，如果F是ぜ代数だいすう闭域，那な么根据すえ前ぜん一いち个性质，以及对于任にん何なん域いきK，任にん何なにK[x]内的ないてき多た项式都と可か以写成なり不可ふか约多项式的てき乘じょう积，推出这个性せい质对F成立せいりつ。

Fⁿ的まと每ごと一个自同态都有特征向量

域いきF是ぜ代数だいすう闭域，当とう且仅当とう对于每ごと一いち个自然しぜん数すうn，任にん何なん从Fⁿ到いた它本身ほんみ的てき线性映うつ射い都みやこ有ゆう某ぼう个特とく征せい向こう量りょう。

Fⁿ的てき自じ同どう态具有ぐゆう特とく征せい向こう量りょう，当とう且仅当とう它的特とく征せい多た项式具有ぐゆう某ぼう个根。因よし此，如果F是ぜ代数だいすう闭域，每まい一いち个Fⁿ的てき自じ同どう态都有ゆう特とく征せい向こう量りょう。另一方面ほうめん，如果每ごと一いち个Fⁿ的てき自じ同どう态都有ゆう特とく征せい向こう量りょう，设p(x)为F[x]的てき一いち个元素げんそ。除じょ以它的てき首くび项系数すう，我わが们便得え到いた了りょう另外一いち个多项式q(x)，它有根ね当とう且仅当とうp(x)有ゆう根ね。但ただし如果q(x) = xⁿ + a_n − 1x^n − 1+ ··· + a₀，那な么q(x)是ぜ以下いか友とも矩のり阵的てき特とく征せい多た项式：

${\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.$

有理ゆうり表ひょう达式的てき分解ぶんかい

域いきF是ぜ代数だいすう闭域，当とう且仅当とう每まい一いち个系数すう位い于F内的ないてき一いち元げん有理ゆうり函数かんすう都と可か以写成なり一个多项式函数与若干个形为a/(x − b)ⁿ的てき有理ゆうり函数かんすう之の和わ，其中n是ぜ自然しぜん数すう，a和わb是これF的てき元素げんそ。

如果F是ぜ代数だいすう闭域，那な么由于F[x]内的ないてき不可ふか约多项式都と是ぜ一いち次じ的てき，根ね据すえ部分ぶぶん分ぶん式しき分解ぶんかい的てき定理ていり，以上いじょう的てき性せい质成立せいりつ。

而另一いち方面ほうめん，假かり设以上じょう的てき性せい质对于域F成立せいりつ。设p(x)为F[x]内的ないてき一个不可约元素。那な么有理ゆうり函数かんすう1/p可か以写成なり多た项式函数かんすうq与あずか若干じゃっかん个形为a/(x − b)ⁿ的てき有理ゆうり函数かんすう之の和わ。因よし此，有理ゆうり表ひょう达式

${\frac {1}{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}$

可か以写成なり两个多た项式的てき商しょう，其中分母ぶんぼ是ぜ一次多项式的乘积。由よし于p(x)是ぜ不可ふか约的，它一定能整除这个乘积，因いん此它也一定是一个一次多项式。

代數だいすう閉包へいほう

設しつらえ$E\supset F$為ため代數だいすう擴張かくちょう，且$E$是ぜ代數だいすう閉域，則のり稱しょう$E$是これ$F$的てき一いち個こ代數だいすう閉包へいほう。可か以視之の為ため包含ほうがん$F$的てき最小さいしょう的てき代數だいすう閉域。

若わか我わが們承認しょうにん佐さ恩おん引理（或ある其任一いち等價とうか陳述ちんじゅつ），則のり任にん何なん域いき都と有ゆう代數だいすう閉包へいほう。設しつらえ$E,E'$為ため任にん兩個りゃんこ$F$的てき代數だいすう閉包へいほう，則のり存在そんざい環たまき同どう構$\sigma :E{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}E'$使つかい得とく$\sigma |_{F}=\mathrm {id} _{F}$；代數だいすう閉包へいほう在ざい此意義いぎ上じょう是ぜ唯一ゆいいつ的てき，通常つうじょう記き作さく $F^{\mathrm {alg} }$ 或ある${\bar {F}}$。

文獻ぶんけん

• S. Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
• Bartel Leendert van der Waerden 和わ B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5