域いき (数学すうがく)

“域いき”的てき各地かくち常用じょうよう名称めいしょう
中国ちゅうごく大だい陆	域いき
台湾たいわん	体からだ

在ざい抽象ちゅうしょう代数だいすう中なか，体からだ（德とく语：Körper，英えい语：Field）是ぜ一种具有加法跟乘法的集合（代数だいすう结构），且其加法かほう跟乘法ほう运算就如同どう普通ふつう的てき有理数ゆうりすう还有实数。事こと实上，体からだ正せい是ぜ数かず域いき以及四よん则运算さん的てき推广，所以ゆえん被ひ广泛运用在ざい代数だいすう、数かず论等数学すうがく领域中ちゅう。

体からだ是ぜ环的てき一いち种。但ただし区く别在于域要求ようきゅう它的非ひ零れい元素げんそ可か以做除法じょほう，且体的てき乘法じょうほう有ゆう交换律りつ。

最さい有名ゆうめい的てき体からだ结构的てき例れい子こ就是有理数ゆうりすう体たい、实数体たい还有复数体たい。还有其他形式けいしき的てき体からだ，例れい如有理ゆうり函数かんすう体たい、代数だいすう函数かんすう体たい、代数だいすう数すう体たい、p进数体からだ等とう，都と很常在ざい数学すうがく的てき领域中ちゅう被ひ使用しよう或ある是ぜ研究けんきゅう，特とく别是数すう论或是ぜ代数だいすう几何。此外还有一些密码学上的安全协定都是依靠著有限体。

在ざい两个体たい中ちゅう的てき关系被ひ表示ひょうじ成体せいたい扩张的てき观念。Galois理り论，由ゆかりÉvaristeGalois在ざい1830年代ねんだい提出ていしゅつ，致力于理解体かいたい扩展的てき对称性せい。其中Galois理り论还有ゆう其他结果，解かい决了不能ふのう用よう尺じゃく规作图做出で三等份角以及化方为圆的问题。此外，还解决了五次方程不能有公式解的问题。

正式せいしき定てい义

给定集合しゅうごう $K$ ，它具有ぐゆう了りょう以下いか两种二元にげん运算：

• $+:K\times K\to K$ （其中 $+(a,\,b)$ 惯例上じょう简记为 $a+b$ ）
• $\times :K\times K\to K$ （其中 $\times (a,\,b)$ 惯例上じょう简记为 $a\times b$ 或ある $a\cdot b$ 甚至是ぜ $ab$ ）

满足：

1. $\left(K,\,+\right)$ 为交换群ぐん，且其单位元もと为 $0_{K}$ 。
2. $\left(K-\{0_{K}\},\,\times \right)$ 为交换群ぐん。
3. 分配ぶんぱい律りつ：对所有しょゆう $a,\,b,\,c\in K$，$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$ 且 $(b+c)\times a=b\times a+c\times a$。

那な称しょう“ $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 为体”，当とう二元运算的符号不重要时，亦また可か将しょう $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 简记为 $K$ 。

惯用符号ふごう与あずか称呼しょうこ

(1)体からだ的てき代だい号ごう：

有ゆう时会基もと于德とく语 Körper ，以字母はは $K$ 代だい称しょう体たい，但ただし也会基もと于英えい语 Field 以 $F$ 代だい称しょう。

(2)加法かほう与あずか乘法じょうほう：

习惯上じょう，$\times$ 被ひ称しょう为乘法じょうほう， $\left(K-\{0_{K}\},\,\times \right)$ 的てき单位元もと会かい记为 $1_{K}$ ，并称为 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 的てき乘法じょうほう单位元もと。

类似地ち， $+$ 被ひ称しょう为加法かほう， $0_{K}$ 被ひ称しょう为体的てき加法かほう单位元もと。所以ゆえん在ざい省略しょうりゃく括弧かっこ后きさき，仍依照あきら先さき乘じょう后きさき加か的てき方式ほうしき阅读。

(3)减法与あずか除法じょほう：

对于任意にんい $a,\,b\in K$ ，会かい依よ据すえ群ぐん的てき习惯，将はた $a$ 的てき加法かほう逆ぎゃく元素げんそ记做 $-a$ ，并将 $b+(-a)$ 简记为 $b-a$ ，并可昵称为减法。

类似地ち，若わか $a\neq 0_{K}$ ， $a$ 的てき乘法じょうほう逆ぎゃく元素げんそ记做 ${\frac {1}{a}}$ ，并将 $b\times {\frac {1}{a}}$ 简记为 ${\frac {b}{a}}$ ，并可昵称为除法じょほう。

基本きほん性せい质

定理ていり （1） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 为体，那な对任意にんい $a\in K$ 有ゆう

$0_{k}\times a=a\times 0_{K}=0_{K}$

证明

根ね据すえ分配ぶんぱい律りつ和わ加法かほう单位元もと的てき性せい质会有ゆう

$a\times 0_{k}=a\times (0_{K}+0_{k})=a\times 0_{K}+a\times 0_{K}$

$0_{k}\times a=(0_{K}+0_{k})\times a=0_{k}\times a+0_{k}\times a$

这样的てき话，根ね据すえ加法かほう结合律りつ还有加法かほう单位元もと的てき性せい质有

${\begin{aligned}0_{K}&=-(a\times 0_{K})+a\times 0_{K}\\&=-(a\times 0_{K})+(a\times 0_{K}+a\times 0_{K})\\&=[-(a\times 0_{K})+a\times 0_{K}]+a\times 0_{K}\\&=0_{K}+a\times 0_{K}\\&=a\times 0_{K}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}0_{K}&=-(0_{k}\times a)+0_{k}\times a\\&=-(0_{k}\times a)+(0_{k}\times a+0_{k}\times a)\\&=[-(0_{k}\times a)+0_{k}\times a]+0_{k}\times a\\&=0_{K}+0_{k}\times a\\&=0_{k}\times a\end{aligned}}$

故こ得とく证。$\Box$

以上いじょう的てき定理ていり也证明あきら了りょう，只ただ要よう$\left(K,\,+\right)$ 为交换群ぐん且有分配ぶんぱい律りつ，就足以决定じょう $0_{K}$ 相あい关乘法的ほうてき值。所以ゆえん正式せいしき定てい义中把わ $0_{K}$ 排除はいじょ在ざい乘法じょうほう的てき交换群ぐん之の外そと是ぜ不ふ会かい有ゆう问题的てき。也就是ぜ说

系けい理り （乘法じょうほう交换律りつ） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 为体，那な对任意にんい $a,\,b\in K$ 有ゆう

$a\times b=b\times a$

系けい理り （乘法じょうほう结合律りつ） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 为体，那な对任意にんい $a,\,b,\,c\in K$ 有ゆう

$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$

定理ていり （2） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 为体，那な对任意にんい $a,\,b\in K$ 有ゆう

$-(a\times b)=(-a)\times b=a\times (-b)$

证明

根ね据すえ乘法じょうほう交换律りつ跟分配ぶんぱい律りつ有ゆう

${\begin{aligned}(a\times b)+[(-a)\times b]&=(b\times a)+[b\times (-a)]\\&=b\times (a-a)\\&=b\times 0_{K}\end{aligned}}$

这样根ね据すえ定理ていり(1)和かず加法かほう交换律りつ就有

$(a\times b)+[(-a)\times b]=[(-a)\times b]+(a\times b)=0_{K}$

所以ゆえん

$-(a\times b)=[(-a)\times b]$

再考さいこう虑到乘法じょうほう的てき交换律りつ有ゆう

$-(a\times b)=-(b\times a)=(-b)\times a=a\times (-b)$

故こ得とく证。$\Box$

定理ていり （3） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 为体，若わか $a,\,b\in K$ 且 $a\neq 0_{K}$ 和わ $b\neq 0_{K}$ ，则

${\frac {1}{a\times b}}={\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}}$

证明

根ね据すえ乘法じょうほう的てき结合律りつ和わ交换律りつ，还有乘法じょうほう单位元もと的てき性せい质会有ゆう

${\begin{aligned}\left({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}}\right)\times (a\times b)&=\left({\frac {1}{b}}\times {\frac {1}{a}}\right)\times (a\times b)\\&={\frac {1}{b}}\times \left[{\frac {1}{a}}\times (a\times b)\right]\\&={\frac {1}{b}}\times \left[\left({\frac {1}{a}}\times a\right)\times b\right]\\&={\frac {1}{b}}\times (1_{K}\times b)\\&={\frac {1}{b}}\times b\\&=1_{K}\\&=(a\times b)\times ({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}})\end{aligned}}$

故こ得とく证。$\Box$

定理ていり （4） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 为体，那な对任意にんい $a,\,b\in K$ ，若わか $a\times b=0_{K}$ ， 则 $a=0_{K}$ 或ある $b=0_{K}$。

证明

如果 $K-\{0_{K}\}=\varnothing$ ，那な对任意にんい $a\in K$ 都みやこ有ゆう $a=0_{K}$ ，所以ゆえん以下いか只ただ考こう虑 $K-\{0_{K}\}\neq \varnothing$ 状じょう况。

假かり设存在そんざい $a,\,b\in K$ 满足 $a\neq 0_{K}$ 和わ $b\neq 0_{K}$ ，但ただし同どう时 $a\times b=0_{K}$ ，这样根ね据すえ定理ていり(1)和かず(3)有ゆう

${\begin{aligned}1_{K}&=({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}})\times (a\times b)\\&=({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}})\times 0_{K}\\&=0_{K}\end{aligned}}$

这显然しか是ぜ矛盾むじゅん的てき，所以ゆえん根ね据すえ反はん证法和わ德とく摩ま根ね定理ていり，对所有しょゆう的てき $a,\,b\in K$ ，只ただ能のう“ $a,\,b$ 其中一いち者しゃ为 $0_{K}$ ”或ある“ $a\times b\neq 0_{K}$ ”，也就等とう价于：

“对所有しょゆう $a,\,b\in K$ ，若わか $a\times b=0_{K}$ 则 $a,\,b$ 其中一いち者しゃ为 $0_{K}$ 。”

故こ得とく证。$\Box$

• 域いきF中なか的てき所有しょゆう非ひ零れい元素げんそ的てき集合しゅうごう（一般いっぱん记作F^×）是ぜ一个关于乘法的阿おもね贝尔群ぐん。F^×的まと每ごと个有限げん子こ群ぐん都みやこ是ただし循环群ぐん。
• 若わか存在そんざい正せい整数せいすうn使つかい得とく0 = 1 + 1 + ... + 1（n个1），那な么这样的n中ちゅう最小さいしょう的てき一个称为这个域的特とく征せい，特とく征せい要よう么是一いち个素数すうp，要よう么是0（表示ひょうじ这样的てきn不ふ存在そんざい）。此时$F$中ちゅう最小さいしょう的てき子こ域いき分ぶん别是$\mathbb {Q}$或ある有限ゆうげん域いき$\mathbb {F} _{p}$，称しょう之の为$F$的てき素す域いき。
• 一个交换环是域当且仅当它的理想りそう只ただ有ゆう自身じしん和わ零れい理想りそう。
• 在ざい选择公理こうり成立せいりつ的てき假かり设下，对每个域F都と存在そんざい着ぎ唯一ゆいいつ的てき一いち个域G（在ざい同どう构意义上），G包含ほうがんF，G是これF的てき代数だいすう扩张，并且G代数だいすう封ふう闭。G称しょう作さく由ゆかりF确定的てき代数だいすう闭包。在ざい很多情たじょう况下上述じょうじゅつ的てき同どう构并不ふ是ぜ唯一ゆいいつ的てき，因いん此又说G是これF的てき一いち个代数すう闭包。

例れい子こ

• 许多常つね见的数すう域いき都と是ぜ域いき。比ひ如说，全体ぜんたい复数的てき集合しゅうごう$\mathbb {C}$与あずか其加法ほう和わ乘法じょうほう构成一いち个域。全体ぜんたい有理数ゆうりすう的てき集合しゅうごう$\mathbb {Q}$ 与あずか其加法ほう和わ乘法じょうほう也是一いち个域，它是$\mathbb {C}$的てき子こ域いき，并且不ふ包含ほうがん更さら小しょう的てき子こ域いき了りょう。
• 代数だいすう数すう域いき：代数だいすう数すう域いき是ぜ有理数ゆうりすう域いき$\mathbb {Q}$的てき有限ゆうげん扩域，也就是ぜ说代数すう数すう域いき是ぜ$\mathbb {Q}$上うえ的てき有限ゆうげん维向むかい量りょう空そら间。代数だいすう数すう域いき都と同どう构于$\mathbb {C}$的てき子こ域いき，并且这个同どう构保持ほじ$\mathbb {Q}$不ふ变，即そく这个同どう构把每ごと个有理数りすう都と映うつ射い到いた它自身じしん。代数だいすう数すう域いき是ぜ代数だいすう数すう论研究けんきゅう的てき对象。
• 代数だいすう数すう构成的てき域いき：所有しょゆう的てき代数だいすう数すう的てき集合しゅうごう对于加法かほう和わ乘法じょうほう构成一いち个域，记作${\overline {\mathbb {Q} }}$。${\overline {\mathbb {Q} }}$是ぜ有理数ゆうりすう域いき$\mathbb {Q}$的てき代数だいすう闭包（见下）。${\overline {\mathbb {Q} }}$是ぜ特とく征せい为零的てき代数だいすう封ふう闭的てき域いき的てき一いち个例子こ。
• 全体ぜんたい实数的てき集合しゅうごう$\mathbb {R}$对于加法かほう和わ乘法じょうほう构成一いち个域。实数域いき是ぜ复数域いき$\mathbb {C}$的てき子こ域いき，也是一いち个有ゆう序じょ域いき。后きさき者しゃ使し得とく实数域いき上じょう能のう够建立こんりゅう起おこり微ほろ积分理り论。
• 所有しょゆう的てき实代数だいすう数すう的てき集合しゅうごう也构成なり一いち个域，它是$\mathbb {R}$的てき一いち个子域いき
• 任意にんい一いち个有限ゆうげん域いき的てき元素げんそ个数是ぜ一いち个素数すうq的てき乘じょう方かた，一般いっぱん记作F_q，就是所しょ谓的伽とぎ罗瓦域いき。任意にんい一个元素个数是素数q的てき域いき都と同どう构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令れいp = 2,就得到いた最小さいしょう的てき域いき：F₂。F₂只ただ含有がんゆう两个元素げんそ0和わ1，运算法ほう则如下か：

$\oplus$ 0 1 0 0 1 1 1 0

$\land$ 0 1 0 0 0 1 0 1

• 设E和わF是ぜ两个域いき，E是これF的てき子こ域いき，则F是これE的てき 扩域。设x是これF中なか的てき一いち个元素げんそ，则存在そんざい着ぎ一个最小的同时包含E和わx的てきF的てき子こ域いき，记作E (x)，E (x)称しょう作さくE在ざいF中ちゅう关于 x的てき单扩张。比ひ如说，复数域いき$\mathbb {C}$就是实数域いき$\mathbb {R}$在ざい$\mathbb {C}$中ちゅう关于虚数きょすう单位i的てき单扩张
• 每まい一个有乘法么元的环R都と对应着ぎ一个包含它的域，称しょう为它的てき分ぶん式しき域いき，记作K(R)。分ぶん式しき域いき的てき具体ぐたい构造方法ほうほう是ぜ定てい义类似に于最简分数すう的てき等とう价类，再さい将しょう环“嵌入かんにゅう”其中（详见分ぶん式しき域いき）。可か以证明あきら，K(R)是ぜ包含ほうがんR的てき“最小さいしょう”的てき域いき。
• 设F是ぜ一いち个域，定てい义F (X)是ぜ所有しょゆう以F中元ちゅうげん素もと为系数すう的てき分ぶん式しき的てき集合しゅうごう，则F (X)是これF的てき一いち个扩域いき。F (X)是これF上うえ的てき一いち个无穷维的てき向むかい量りょう空そら间，这是域いき的てき超越ちょうえつ扩张的てき一いち个例子こ。
• 设F是ぜ一いち个域，p(X)是これ多た项式环F[X]上じょう的てき一いち个不可ふか约多项式，则商しょう环F[X]/<p(X)>是ぜ一いち个域。其中的てき<p(X)>表示ひょうじ由よしp(X)生成せいせい的てき理想りそう。举例来らい说，R[X]/<X² + 1>是ぜ一いち个域（同どう构于复数域いき$\mathbb {C}$）。可か以证明あきら，F的てき所有しょゆう单扩张都同どう构于此类形式けいしき的てき域いき。
• 若わかV是ぜ域いきF上うえ的てき一いち个代数すう簇むらが，则所有しょゆうV → F 的てき有理ゆうり函数かんすう构成一いち个域，称しょう为V的てき函数かんすう域いき。
• 若わかS是ぜ一いち个黎はじむ曼曲面めん，则全体ぜんたいS → C 的てき亚纯函数かんすう构成一いち个域。
• 由よし于序じょ数すう的てき类不ふ是ぜ集合しゅうごう，因いん此在其上定てい义的尼あま姆数不能ふのう构成真正しんせい的てき域いき。但ただし它满足あし域いき的てき所有しょゆう条件じょうけん，且其任意にんい封ふう闭子集しゅう（如小于$2^{2^{n}}$的てき所有しょゆう自然しぜん数すう构成的てき子こ集しゅう）都みやこ是ただし域いき。

有限ゆうげん体たい

有限ゆうげん体たい是ぜ一个体有著有限多个元素，其元素げんそ个数也跟体たい的てき阶数相しょう同どう，按照体たい的てき定てい义，可か以知道どう$\mathbb {F} _{2}$为最小さいしょう的てき有限ゆうげん体たい，因いん为根据すえ定てい义，一个体至少包含两个元素$1\neq 0$。

通常つうじょう来らい说，最さい简单的てき质数阶体，就是$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,...p-1\}$，此处$p$为质数すう，在ざい这个体たい上じょう的てき加法かほう与あずか乘法じょうほう等とう同どう于在整数せいすう$\mathbb {\mathbb {Z} }$上うえ的てき运算，然しか后きさき除じょ以$p$，取と它的馀数。这个运算精せい确的建けん构了一いち个体，通常つうじょう我わが们将这个体たい记作$\mathbb {F} _{p}$。要注意ようちゅうい的てき是ぜ$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0,1,...n-1\}$，当とうn为合成ごうせい数すう时并不ふ是ぜ一いち个有限げん体からだ，例れい如在 $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ 中なか $2\times 2=0$ ，因いん此 $(\{1,2,3\},\times )$ 不能ふのう形成けいせい群ぐん。

如果我わが们将向むこう量りょう空そら间${\mathit {V}}=\mathbb {F} _{p}/m^{n}$，则我们将V称しょう作さく有限ゆうげん体たい向むこう量りょう空そら间，其中$n=\dim {\mathit {V}}$，可知かち这个向むこう量りょう空そら间中，有ゆう$p^{n}$个元素げんそ。

如果我わが们将有限ゆうげん体たい放ひ入にゅう矩のり阵，也就是ぜ$GL_{n}(\mathbb {F} _{p})$，则此矩のり阵的元素げんそ有ゆう$(p^{n}-1)(p^{n}-p)...(p^{n}-p^{n-1})$

历史

历史上じょう，三个代数中的学科导引到了体的概念:第だい一个是解多项式方程的问题，第だい二个是代数数论，第だい三个则是代数几何的问题。体からだ的てき概念がいねん始はじめ于1770年ねん，由ゆかり拉ひしげ格かく朗ろう日び所ところ提出ていしゅつ。拉ひしげ格かく朗ろう日び他た观察到关于三さん次じ方かた程ほど的てき根ねx₁, x₂, x₃的てき置おけ换，在ざい以下いか的てき表ひょう达

(x₁ + ωおめがx₂ + ωおめが²x₃)³

(其中ωおめが是ぜ三次方程的单位根)只ただ产生两个值。在ざい这方向上こうじょう，拉ひしげ格かく朗ろう日び概念がいねん上じょう的てき解かい释了由ゆかり 希まれ皮がわ奥内おくない·德とく尔·费罗 和わ 弗どる朗ろう索さく瓦かわら·韦达 的てき经典解法かいほう，其解法ほう借か由よし简化三次方程关于未知 x 到いた一いち个 x³的てき二に次じ方かた程ほど。四次方程上也和三次方程一样有相似的观察，拉ひしげ格かく朗ろう日び因いん此连结的关于体たい的てき概念がいねん还有群ぐん的てき概念がいねん。数学すうがく家か范德蒙こうむ也同样在1770年ねん有ゆう著ちょ更さら全面ぜんめん的てき延伸えんしん。

伽とぎ罗瓦理り论

请参见伽とぎ罗瓦理り论

参まいり见

• 特とく征せい (代数だいすう)
• 环论
• 域いき论
• 有ゆう序じょ域いき