虛數きょすう單位たんい

$\ldots$（重複じゅうふく藍色あいいろ區域くいき樣式ようしき）

$i^{-3}=i\,\!$

$i^{-2}=-1\,\!$

$i^{-1}=-i\,\!$

$i^{0}=1\,\!$

$i^{1}=i\,\!$

$i^{2}=-1\,\!$

$i^{3}=-i\,\!$

$i^{4}=1\,\!$

$i^{5}=i\,\!$

$i^{6}=-1\,\!$

$\ldots$（重複じゅうふく藍色あいいろ區域くいき樣式ようしき）

喺數學すうがく、物理ぶつり同どう埋うめ工程こうてい學がく當とう中なか虛數きょすう單位たんい標記ひょうき為ため$i\,\!$。虛數きょすう單位たんい嘅發明はつめい傳でん到いた實數じっすう系統けいとう$\mathbb {R} \,\!$能のう夠延伸えんしん至いたり到いた複數ふくすう系統けいとう $\mathbb {C} \,\!$。延伸えんしん嘅主要よう動機どうき係がかり因いん為ため有ゆう好こう多た實み係數けいすう多項式たこうしき方程式ほうていしき無む實數じっすう解かい。例れい如方程式ほうていしき$x^{2}+1=0\,\!$就無實數じっすう解かい。但ただし係かかり假かり如我哋允許いんきょ解答かいとう為ため虛數きょすう，噉樣呢個方程式ほうていしき以及所有しょゆう嘅多項式たこうしき方程式ほうていしき（參まいり閱代數だいすう基本きほん定理ていり）就都會かい有ゆう解かい。

定義ていぎ

虛數きょすう單位たんい $i\,\!$ 定義ていぎ為ため二に次じ方程式ほうていしき $x^{2}+1=0\,\!$ 嘅兩個りゃんこ解答かいとう中ちゅう其中一いち個こ解答かいとう。呢個方程式ほうていしき又また可か等價とうか表ひょう達たち為ため

$x^{2}=-1\,\!$ 。

由よし於實數すう嘅平方かた絕對ぜったい唔可能かのう係がかり負數ふすう，所以ゆえん我わが們假設かせつ有ゆう咁樣嘅一個數こすう目め解答かいとう，幫佢設定せってい一いち個こ符號ふごう $i\,\!$ 。有ゆう一いち點てん好こう重要じゅうよう嘅就係がかり，$i\,\!$ 係かかり一いち個こ定義ていぎ明確めいかく (well-defined) 嘅數學がく構造こうぞう。

實數じっすう運算うんざん可か以延伸えんしん至いたり虛數きょすう同どう複數ふくすう。當とう計算けいさん一個表達式嘅時候，只ただ需要じゅよう假設かせつ $i\,\!$ 係かかり一いち個こ未知數みちすう，然しか後こう跟住 $i\,\!$ 嘅定義ていぎ，替がえ代任だいにん何なに $i^{2}\,\!$ 嘅出現しゅつげん為ため $-1\,\!$ 。 $i\,\!$ 的てき更さら高だか整數せいすう冪べき數也かずや可か以替代だい為ため $-i\,\!$ ，$1\,\!$ ，或ある $i\,\!$，根據こんきょ下面かめん嘅方程式ほうていしき：

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\,\!$ ，

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,\!$ ，

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\,\!$ 。

一般嚟講有以下嘅公式：

$i^{4n}=1\,$

$i^{4n+1}=i\,$

$i^{4n+2}=-1\,$

$i^{4n+3}=-i\,$

（$n$係かかり整數せいすう）

i 嘅計算けいさん

好こう多た實數じっすう嘅運算うんざん都と可か以推廣こう到いた$i$，例れい如指數しすう、對數たいすう同どう埋うめ三角さんかく函數かんすう。注意ちゅうい，爾しか尐都係がかり複ふく變へん函數かんすう入いれ面めん嘅多值函數すう，使用しよう嘅時候じこう一定いってい要注意ようちゅうい揀嘅係がかり黎はじむ曼面嘅邊一いち支ささえ，下面かめん衹係列れつ出で咗其中ちゅう一いち支ささえ嘅結果けっか。

一いち個こ數すう嘅$ni$次つぎ方かた係がかり：

$\!\ x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}.$

一いち個こ數すう嘅$ni$次つぎ方かた根ね係がかり：

$\!\ {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}.$

以i 為ため底そこ嘅對數すう係がかり：

$\log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }.$

$i$ 嘅餘弦よげん係がかり一いち個こ實數じっすう：

$\cos i=\cosh 1={{e+1/e} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx 1.54308064.$

$i$ 嘅正弦せいげん係がかり一いち個こ純じゅん虛數きょすう：

$\sin i=\,i\sinh 1={{e-1/e} \over 2}\,i={{e^{2}-1} \over 2e}\,i\approx 1.19520119i.$

睇埋

• 複數ふくすう
• 虛數きょすう