爱因斯坦场方程ほど

刻こく上じょう真空しんくう場じょう方程式ほうていしき的てき紀き念ねん硬かた幣ぬさ。

愛あい因いん斯坦場じょう方かた程ほど（英語えいご：Einstein field equations）是ぜ由ゆかり阿おもね爾しか伯はく特とく·愛あい因いん斯坦於1915年ねん在ざい廣義こうぎ相對そうたい論ろん中ちゅう提出ていしゅつ。場ば方かた程ほど定義ていぎ引力いんりょく為ため一いち種しゅ幾何きか效こう應おう，而時空じくう的てき曲きょく率りつ則そく是ぜ取と決けつ於物質ぶっしつ的てき能のう量りょう-動どう量りょう張はり量りょう。也就是ぜ說せつ，如同牛うし頓とみ的てき萬有引力ばんゆういんりょく定律ていりつ中なか質量しつりょう作為さくい引力いんりょく的てき來らい源げん，亦また即そく有ゆう質量しつりょう就可以產生せい吸引きゅういん力りょく，但ただし牛うし頓とみ的てき萬有引力ばんゆういんりょく定律ていりつ將はた引力いんりょく描述成なり瞬時しゅんじ傳播でんぱ的てき力りょく，而愛因いん斯坦認みとめ為ため並なみ不ふ存在そんざい所謂いわゆる的てき“引力いんりょく”，他た從したがえ諧和座標ざひょう的まと弱じゃく場じょう近似きんじ得とく出で弱じゃく力りょく場じょう的てき傳つて递速度ど為ため光速こうそく，而且場じょう方かた程ほど只ただ要よう通過つうか近似きんじ手段しゅだん，如弱場じょう、靜態せいたい、空間くうかん緩なる變へん，就能推出牛うし頓ひたぶる近似きんじ。

愛あい因いん斯坦重力じゅうりょく場じょう方かた程ほど是ぜ用よう來らい計算けいさん動どう量りょう與能よのう量りょう所しょ造成ぞうせい的てき時空じくう曲きょく率りつ，再さい搭配測地そくち線せん方かた程ほど，就可以求出で物體ぶったい在ざい重力じゅうりょく場中ばなか的てき運動うんどう軌跡きせき。這個想そう法ほう與あずか電磁でんじ學がく的てき想そう法ほう是ぜ類似るいじ的てき：當とう我わが們知道どう了りょう空間くうかん中ちゅう的てき電荷でんか與あずか電流でんりゅう(電磁場でんじば的てき來らい源げん)是ぜ如何いか分布ぶんぷ的てき，藉由馬うま克かつ士し威い方かた程ほど組ぐみ，我わが們可以計算出さんしゅつ電場でんじょう與あずか磁場じば，再さい藉由勞ろう倫りん茲力方かた程ほど，即そく可か求もとめ出で帶電たいでん粒子りゅうし在ざい電磁場でんじば中ちゅう的てき軌跡きせき。

僅在一些簡化的假設下，例れい如：假設かせつ時空じくう是ぜ球だま對稱たいしょう，此方こちら程ほど組ぐみ才ざい具有ぐゆう精確せいかく解かい。這些精確せいかく解かい常常つねづね被ひ用もちい來らい模擬もぎ許多きょた宇宙うちゅう中ちゅう的てき重力じゅうりょく現象げんしょう，像ぞう是ぜ黑くろ洞ほら、宇宙うちゅう加速かそく膨脹ぼうちょう、重力じゅうりょく波は。如著名めい的てき史ふみ瓦かわら西にし解かい。

數學すうがく形式けいしき

愛あい因いん斯坦重力じゅうりょく場じょう方程式ほうていしき

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

其中

• $G_{\mu \nu }\,$稱たたえ為ため愛あい因いん斯坦張はり量りょう，
• $R_{\mu \nu }\,$是ぜ從したがえ黎はじむ曼張量りょう縮ちぢみ併而成なり的てき里さと奇き張はり量りょう，代表だいひょう曲きょく率りつ項こう；
• $R\,$是ぜ從したがえ里さと奇き張はり量りょう縮ちぢみ併而成なり的てき純量じゅんりょう曲きょく率りつ(或ある曲きょく率りつ標しるべ量りょう)；
• $g_{\mu \nu }\,$是ぜ從したがえ(3+1)維時空じくう的てき度ど規ぶんまわし張はり量りょう；
• $T_{\mu \nu }\,$是これ能のう量りょう-動どう量りょう-應力おうりょく張はり量りょう，
• $G\,$是これ牛うし頓ひたぶる重力じゅうりょく常數じょうすう，
• $c\,$是ぜ真空しんくう中ちゅう光速こうそく。

愛あい因いん斯坦場じょう方かた程ほど是ぜ一いち組くみ含有がんゆう若干じゃっかん4階かい對稱たいしょう張ちょう量りょう的てき張はり量りょう方かた程ほど。每まい一個張量都有10個こ獨立どくりつ的てき分量ぶんりょう。由よし於4個こ畢安基もと恒等こうとう式しき，我わが們可以將10個こ愛あい因いん斯坦場じょう方程式ほうていしき減少げんしょう至いたり6個こ獨立どくりつ的てき方かた程ほど組ぐみ。這導致了度ど規ぶんまわし張はり量りょうg_{μみゅーνにゅー}有ゆう4個こ自由じゆう度ど，與座よざ標しるべ選せん取的とりてき4個こ自由じゆう度ど是ぜ對應たいおう的てき。

雖然愛あい因いん斯坦場じょう方かた程ほど一開始是一個應用在四維時空的理論，但ただし是ぜ一些理論學家嘗試將它應用在探索n維時空じくう上じょう。真空しんくう中ちゅう的場まとば方かた程ほど(當とう方程式ほうていしき右邊うへん的てきT張はり量りょう等とう於零)定義ていぎ了りょう愛あい因いん斯坦流ながれ形がた。

儘管愛あい因いん斯坦方かた程ほど的てき形式けいしき看み起おこり來らい很簡單かんたん，實際じっさい上じょう他た們是一組複雜的二阶非線性微分びぶん方かた程ほど。只ただ要よう給きゅう定じょう一いち個こ質量しつりょう與能よのう量りょう分布ぶんぷ，亦また即そく能のう量りょう-動どう量りょう張はり量りょう，愛あい因いん斯坦場じょう方かた程ほど就變成へんせい一個度規張量g_{μみゅーνにゅー}的てき微分びぶん方かた程ほど。

一般我們藉由定義愛あい因いん斯坦張はり量りょう( 一個對稱的與度規g_{μみゅーνにゅー}有ゆう關せき的てき二に階かい張ちょう量りょう) ： $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu },$ 來らい將しょう愛あい因いん斯坦場じょう方かた程ほど寫うつし成なり一いち個こ更さら加か簡單かんたん的てき形式けいしき：

$G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.$。

若わか使用しよう幾何きか化か單位たんい制せい或ある稱しょう自然しぜん單位たんい制せい，則のりG = c = 1，場じょう方かた程ほど因いん此簡化か為ため：

$G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,.$

如果是ぜ使用しよう相對そうたい論ろん中ちゅう的てき幾何きか化か單位たんい制せい（有理ゆうり化か的てき幾何きか化か單位たんい制せい），則のり場じょう方かた程ほど為ため：

$G_{\mu \nu }=2T_{\mu \nu }\,.$

等價とうか形式けいしき

經けい愛あい因いん斯坦方かた程ほど組ぐみ兩邊りょうへん同乘どうじょう以g_{μみゅーνにゅー}：

$R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T\,$ 其中D是ぜ時空じくう維度。

兩邊りょうへん再さい同どう除じょ以${\frac {D}{2}}-1$：

$-R+{\frac {D\Lambda }{({\tfrac {D}{2}}-1)}}={8\pi G \over c^{4}}{\frac {T}{{\tfrac {D}{2}}-1}}\,.$

兩邊りょうへん再さい同乘どうじょう−1/2g_{μみゅーνにゅー}：

$R_{\mu \nu }-{\frac {\Lambda g_{\mu \nu }}{{\tfrac {D}{2}}-1}}={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{1 \over {D-2}}T\,g_{\mu \nu }\right).\,$

一般いっぱん情況じょうきょう下か，D=4：

$R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).\,$

愛あい因いん斯坦場じょう方程式ほうていしき的てき性質せいしつ

能のう量りょう與あずか動どう量りょう守恆もりつね

場ば方程式ほうていしき的てき一個重要結果是遵守局域的（local）能のう量りょう與あずか動どう量りょう守恆もりつね，透過とうか應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう（代表だいひょう能のう量りょう密度みつど、動どう量りょう密度みつど以及應力おうりょく）可か寫うつし出で：

$\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0$

場ば方程式ほうていしき左邊さへん（彎曲わんきょく幾いく何なん部ぶ份）因いん為ため和わ場じょう方程式ほうていしき右邊うへん（物質ぶっしつ狀態じょうたい部ぶ份）僅成比例ひれい關係かんけい，物質ぶっしつ狀態じょうたい部ぶ份所遵守じゅんしゅ的てき守恆もりつね律りつ因いん而要求ようきゅう彎曲わんきょく幾いく何なん部ぶ份也有ゆう相似そうじ的てき數學すうがく結果けっか。透過とうか微分びぶん比ひ安やす基もと恒等こうとう式しき，以描述じゅつ時空じくう曲きょく率りつ的てき里さと奇き張はり量りょう$R^{\mu \nu }\,$（以及張ちょう量りょう縮ちぢみ併後こう的てき里さと奇き純量じゅんりょう$R\equiv R_{\mu }^{\mu }\,$）之の代數だいすう關係かんけい所しょ設計せっけい出來でき的てき愛あい因いん斯坦張はり量りょう$G^{\mu \nu }\equiv R^{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }R$可か以滿足まんぞく這項要求ようきゅう：

$\nabla _{\nu }G^{\mu \nu }=G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0$

場ば方程式ほうていしき為ため非ひ線せん性せい的てき

愛あい因いん斯坦場じょう方程式ほうていしき的てき非ひ線せん性せい特質とくしつ使し得とく廣義こうぎ相對そうたい論ろん與あずか其他物理ぶつり學理がくり論ろん迥異。舉例來らい說せつ，電磁でんじ學がく的てき麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど組ぐみ跟電場でんじょう、磁場じば以及電荷でんか、電流でんりゅう的まと分ぶん佈是呈てい線せん性せい關係かんけい（亦また即そく兩個りゃんこ解かい的てき線せん性せい疊たたみ加か仍然是ぜ一いち個こ解かい）。另個例れい子こ是ぜ量子力學りょうしりきがく中なか的てき薛定谔方程ほど，對たい於機き率りつ波なみ函數かんすう也是線せん性的せいてき。

對應たいおう原理げんり

透過とうか弱じゃく場じょう近似きんじ以及慢速近似きんじ，可か以從愛あい因いん斯坦場じょう方程式ほうていしき退化たいか為ため牛うし頓ひたぶる重力じゅうりょく定律ていりつ。事實じじつ上じょう，場ば方程式ほうていしき中ちゅう的てき比例ひれい常數じょうすう是ぜ經過けいか這兩個りゃんこ近似きんじ，以跟牛うし頓ひたぶる重力じゅうりょく理論りろん做連結れんけつ後ご所得しょとく出で。

添加てんか宇宙うちゅう常數じょうすう項こう

愛あい因いん斯坦為ため了りょう使し宇宙うちゅう能のう呈てい現げん為ため靜態せいたい宇宙うちゅう（不ふ動態どうたい變化へんか的てき宇宙うちゅう，既すんで不ふ膨脹ぼうちょう也不收縮しゅうしゅく），在ざい後來こうらい又また嘗試加入かにゅう了りょう一いち個こ常數じょうすう$\Lambda \,$相關そうかん的てき項こう$\Lambda g_{\mu \nu }\,$於場方程式ほうていしき中ちゅう，使つかい得とく場じょう方程式ほうていしき形式けいしき變へん為ため：

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$

可か以注意ちゅうい到いた$\Lambda g_{\mu \nu }\,$這一いち項こう正せい比ひ於度ど規ぶんまわし張はり量りょう，而維持いじ住じゅう守恆もりつね律りつ：

$\nabla _{\nu }(\Lambda g_{\mu \nu })=\Lambda \nabla _{\nu }(g_{\mu \nu })=0$

此一常數じょうすう$\Lambda$被ひ稱しょう為ため宇宙うちゅう常數じょうすう。

這個嘗試後來こうらい因いん為ため兩個りゃんこ原因げんいん而顯得どく不正ふせい確かく且多此一舉：

1. 此一理論所描述的靜態宇宙是不穩定的。
2. 十じゅう年ねん後ご，由ゆかり愛あい德とく溫ゆたか·哈伯對たい於遠處しょ星ほし系けい所作しょさ觀測かんそく的てき結果けっか證しょう實みの我わが們的宇宙うちゅう正ただし在ざい膨脹ぼうちょう，而非靜態せいたい。

因いん此，$\Lambda$項こう在ざい之これ後ご被ひ捨棄掉，且愛因いん斯坦稱しょう之の為ため「一生いっしょう中ちゅう最大さいだい的てき錯誤さくご」("biggest blunder [he] ever made")。之これ後ご許多きょた年ねん，學界がっかい普遍ふへん設しつらえ宇宙うちゅう常數じょうすう為ため0。

儘管最初さいしょ愛あい因いん斯坦引入宇宙うちゅう常數じょうすう項こう的てき動機どうき有ゆう誤あやま，將はた這樣的てき項こう放ひ入場にゅうじょう方程式ほうていしき中ちゅう並なみ不ふ會かい導しるべ致任何なん的てき不一致ふいっち性せい。事實じじつ上じょう，近きん年來ねんらい天文學てんもんがく研究けんきゅう技術ぎじゅつ上じょう的てき進步しんぽ發現はつげん，要よう是ぜ存在そんざい不為ふため零れい的てき$\Lambda$確實かくじつ可か以解釋かいしゃく一いち些觀測かんそく結果けっか。

愛あい因いん斯坦當初とうしょ將はた宇宙うちゅう常數じょうすう視し為ため一いち個こ獨立どくりつ參さん數すう，不ふ過か宇宙うちゅう常數じょうすう項こう可か以透過とうか代數だいすう運算うんざん移動いどう到いた場じょう方程式ほうていしき的てき另一いち邊へん，而將這一いち項こう寫うつし成なり應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう的てき一いち部分ぶぶん：

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {c^{4}\Lambda g_{\mu \nu }}{8\pi G}}\right)$

剛つよし才ざい提ひっさげ到いた的てき項こう即そく可か定義ていぎ為ため：

$T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }\equiv -{\frac {c^{4}\Lambda g_{\mu \nu }}{8\pi G}}$

而另外がい又また可か以定義ていぎ常數じょうすう

$\rho _{\mathrm {vac} }\equiv {\frac {c^{2}\Lambda }{8\pi G}}$

為ため「真空しんくう能のう量りょう」密度みつど。宇宙うちゅう常數じょうすう的てき存在そんざい等とう同どう於非零れい真空しんくう能のう量的りょうてき存在そんざい；這些名詞めいし前ぜん在ざい廣義こうぎ相對そうたい論ろん中ちゅう常つね交替こうたい使用しよう。也就是ぜ說せつ可か以將$T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }\equiv -{\frac {c^{4}\Lambda g_{\mu \nu }}{8\pi G}}$看み成和しげかず$T_{\mu \nu }\,$是ぜ一いち樣よう類型るいけい的てき量りょう，只ただ是これ$T_{\mu \nu }\,$的てき來らい源みなもと是ただし物質ぶっしつ與あずか輻射ふくしゃ，而$-{\frac {c^{4}\Lambda g_{\mu \nu }}{8\pi G}}$的てき來らい源みなもと則そく是ぜ真空しんくう能のう量りょう。物質ぶっしつ、輻射ふくしゃ與あずか真空しんくう能のう量りょう三さん者しゃ在ざい物理ぶつり宇宙うちゅう學がく中ちゅう扮ふん演えんじ要よう角かく。

真空しんくう場じょう方程式ほうていしき

宇宙うちゅう常數じょうすう為ため零れい

若わか能のう量りょう-動どう量りょう張はり量りょう$T_{\mu \nu }$在所ざいしょ關せき注ちゅう的てき區域くいき中ちゅう為ため零れい，則のり場じょう方程式ほうていしき被ひ稱しょう作さく真空しんくう場じょう方程式ほうていしき。在ざい完かん整せい的場まとば方程式ほうていしき中ちゅう設定せってい$T_{\mu \nu }=0$，則のり真空しんくう場じょう方程式ほうていしき可か寫うつし為ため：

$R_{\mu \nu }={1 \over 2}g_{\mu \nu }R\$

對たい此式做張ちょう量りょう縮ちぢみ併，亦また即そく使つかい指標しひょうμみゅー跟νにゅー相あい同どう：

$R\equiv R_{\mu }^{\mu }=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }{1 \over 2}g_{\mu \nu }R$

由よし於$g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=\delta _{\mu }^{\mu }$，整理せいり可か得とく：

$R=\delta _{\mu }^{\mu }{1 \over 2}R$

而克かつ羅ら內克爾なんじδでるた在ざい四よん維空間あいだ（時空じくう）下取したどり跡あと數すう為ため4，所以ゆえん式子しょくし可か寫うつし作さく：

$R=4\cdot {1 \over 2}R=2R$

是これ故ゆえ$R=0\,$。

因いん此可以得到いた此一更さら常見つねみ、等價とうか的てき跡あと數すう反轉はんてん（trace-reversed）式しき：

$R_{\mu \nu }=0\$

宇宙うちゅう常數じょうすう不為ふため零れい

若わか宇宙うちゅう常數じょうすう不為ふため零れい，則のり方程式ほうていしき為ため

$R_{\mu \nu }={1 \over 2}g_{\mu \nu }R-\Lambda g_{\mu \nu },\$

若わか同どう上面うわつら宇宙うちゅう常數じょうすう為ため零れい的てき例れい子こ，其跡數すう反轉はんてん（trace-reversed）形式けいしき為ため

$R_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }\$

真空しんくう場じょう方程式ほうていしき的てき解かい顧名思おもえ義ぎ稱しょう作さく真ま空解そらどけ。平たいら直ただし閔可夫おっと斯基時空じくう是ぜ最さい簡單かんたん的てき真空しんくう解かい範はん例れい。不ふ尋常じんじょう的てき真空しんくう解かい範はん例れい包括ほうかつ了りょう史ふみ瓦かわら西にし解かい與あずか克かつ爾なんじ解かい。

附帶ふたい一いち提ひさげ的てき是ぜ：微分びぶん幾何きか中なか，里さと奇き張はり量りょう為ため零れい（即そく：$R_{\mu \nu }=0$）的てき流ながれ形がた稱しょう作さく里さと奇き平坦へいたん流りゅう形がた，另外里さと奇き張はり量りょう與あずか度ど規ぶんまわし成なり比例ひれい關係かんけい的てき流りゅう形がた，稱たたえ為ため愛あい因いん斯坦流りゅう形がた（Einstein manifold）。

愛あい因いん斯坦-麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど

参まいり见：弯曲时空中ちゅう的てき麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组

如果方かた程ほど組ぐみ右邊うへん的てき能のう量りょう-動どう量りょう張はり量りょう等とう於電磁でんじ學がく中ちゅう的てき能のう量りょう-動どう量りょう張はり量りょう，也就是ぜ

$T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{1 \over 4}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)$

則のり此方こちら程ほど組ぐみ稱しょう為ため「 愛あい因いん斯坦-麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど」：

$R^{\alpha \beta }-{1 \over 2}Rg^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{1 \over 4}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).$

其中$F_{\alpha \beta }$稱たたえ為ため電磁でんじ張はり量りょう，定義ていぎ如下：

$F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }\!$

其中$A_{\alpha }$是ぜ4-向むこう量りょう勢ぜい，分ふん號ごう代表だいひょう協きょう變へん微分びぶん，逗號代表だいひょう偏へん微分びぶん。

參まいり見み

• 爱因斯坦-希まれ尔伯特とく作用さよう量りょう
• 廣義こうぎ相對そうたい論ろん

參考さんこう文獻ぶんけん

• Amir D. Aczel. God's Equation: Einstein, Relativity, and the Expanding Universe. Delta Science. 1999 （英えい语）. 
• Misner, Charles; Thorne, Thorne; Wheeler, John. Gravitation [[[:重力じゅうりょく论|重力じゅうりょく论]]]. W. H. Freeman. 1973.