Μετασχηματισμοί Λόρεντς

Οおみくろんιいおた Μετασχηματισμοί Λόρεντς, οおみくろんιいおた οποίοι ονομάστηκαν προς τιμήν τたうοおみくろんυうぷしろん Ολλανδού φυσικού κかっぱαあるふぁιいおた μαθηματικού Χέντρικ Λόρεντς (Hendrik Antoon Lorentz) (1853-1928) κかっぱαあるふぁιいおた αποτελούν τたうηいーた βάση της Ειδικής θεωρίας της Σχετικότητας, ηいーた οποία εισήχθη σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ προσπάθεια νにゅーαあるふぁ αρθούν οおみくろんιいおた αντιφάσεις ανάμεσα στις θεωρίες τたうοおみくろんυうぷしろん ηλεκτρομαγνητισμού κかっぱαあるふぁιいおた της Κλασικής Μηχανικής.

Γενικά

Κάτω από τους μετασχηματισμούς αυτούς, ηいーた ταχύτητα τたうοおみくろんυうぷしろん φωτός είναι ηいーた ίδια σしぐまεいぷしろん όλα τたうαあるふぁ συστήματα αναφοράς, όπως αξιώνει ηいーた ειδική σχετικότητα. Μολονότι οおみくろんιいおた εξισώσεις συνδέονται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ειδική σχετικότητα, διατυπώθηκαν πぱいρろーιいおたνにゅー τたうηいーたνにゅー ειδική σχετικότητα κかっぱαあるふぁιいおた προτάθηκαν από τたうοおみくろんνにゅー Λόρεντς τたうοおみくろん 1904 ως εξήγηση τたうοおみくろんυうぷしろん πειράματος Μάικελσον-Μόρλεϋ (Michelson-Morley), μέσω της συστολής τたうοおみくろんυうぷしろん μήκους. Οおみくろんιいおた μετασχηματισμοί έρχονται σしぐまεいぷしろん αντίθεση μみゅーεいぷしろん τους περισσότερο διαισθητικούς μετασχηματισμούς τたうοおみくろんυうぷしろん Γαλιλαίου, πぱいοおみくろんυうぷしろん δίνουν καλά αποτελέσματα σしぐまεいぷしろん μみゅーηいーた-σχετικιστικές (χαμηλές) ταχύτητες.

Μπορούν γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθούν γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ υπολογίσουμε πώς φαίνεται ηいーた τροχιά ενός σωματιδίου από ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς πぱいοおみくろんυうぷしろん κινείται μみゅーεいぷしろん σταθερή ταχύτητα (σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん αρχικό "ακίνητο" σύστημα αναφοράς). Αντικαθιστούν τους προγενέστερους μετασχηματισμούς τたうοおみくろんυうぷしろん Γαλιλαίου. Ηいーた ταχύτητα τたうοおみくろんυうぷしろん φωτός c υπεισέρχεται ως παράμετρος στους μετασχηματισμούς Λόρεντς. Αあるふぁνにゅー ηいーた ταχύτητα υうぷしろん είναι επαρκώς μικρή σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー c, τότε $v/c\to 0$ κかっぱαあるふぁιいおた ανακτούμε οριακά τους μετασχηματισμούς τたうοおみくろんυうぷしろん Γαλιλαίου.

Εξισώσεις

Οおみくろんιいおた μετασχηματισμοί Λόρεντς αποτελούν μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα μετασχηματισμών, πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιείται γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ μετασχηματίσει τις χωροχρονικές συντεταγμένες (ή γενικότερα οποιοδήποτε τετραδιάνυσμα) από ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, $S$, σしぐまεいぷしろん ένα άλλο, $S'$, όπου τたうοおみくろん $S'$ κινείται μみゅーεいぷしろん σχετική ταχύτητα ${\upsilon }$ ως προς τたうοおみくろん $S$ κατά μήκος τたうοおみくろんυうぷしろん χかい-άξονα. Αあるふぁνにゅー ένα γεγονός έχει χかいωおめがρろーοおみくろん-χρονικές συντεταγμένες $(t,x,y,z)$ σしぐまτたうοおみくろん $S$ κかっぱαあるふぁιいおた $(t',x',y',z')$ σしぐまτたうοおみくろん $S'$, τότε αυτές συσχετίζονται μみゅーεいぷしろん βάση τους μετασχηματισμούς Λόρεντς μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー ακόλουθο τρόπο:

$t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)$, (διαστολή τたうοおみくろんυうぷしろん χρόνου)

$x'=\gamma \left(x-vt\right)$, (συστολή τたうοおみくろんυうぷしろん μήκους)

$y'=y\,$

$z'=z\,$

όπου τたうοおみくろん

$\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

καλείται παράγοντας Λόρεντς κかっぱαあるふぁιいおた $c$ είναι ηいーた ταχύτητα τたうοおみくろんυうぷしろん φωτός σしぐまτたうοおみくろん κενό.

Οおみくろんιいおた Μετασχηματισμοί σしぐまεいぷしろん μορφή πινάκων

Οおみくろんιいおた παραπάνω τέσσερις εξισώσεις μπορούν νにゅーαあるふぁ γραφούν συμπαγώς σしぐまεいぷしろん μορφή πίνακα ως εξής

${\begin{bmatrix}t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {v}{c^{2}}}\gamma &0&0\\-v\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$

ή εναλλακτικά ως

${\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {v}{c}}\gamma &0&0\\-{\frac {v}{c}}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}.$

Ηいーた πρώτη μορφή έχει τたうοおみくろん πλεονέκτημα ότι φαίνεται εύκολα ότι ανάγεται στους μετασχηματισμούς τたうοおみくろんυうぷしろん Γαλιλαίου σしぐまτたうοおみくろん όριο $\upsilon /c\to 0$. Ηいーた δεύτερη μορφή έχει τたうοおみくろん πλεονέκτημα ότι δείχνει σαφώς τたうηいーた διατήρηση τたうοおみくろんυうぷしろん χωροχρονικού μήκους $ds^{2}=(cdt)^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$, πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι μみゅーιいおたαあるふぁ θεμελιώδης αναλλοίωτη ποσότητα της ειδικής σχετικότητας.

Οおみくろんιいおた εξισώσεις αυτές ισχύουν μόνο σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση πぱいοおみくろんυうぷしろん ηいーた ταχύτητα ${\upsilon }$ βρίσκεται κατά μήκος τたうοおみくろんυうぷしろん χかい-άξονα. τたうοおみくろんυうぷしろん συστήματος $S$. Σしぐまεいぷしろん περιπτώσεις όπου ηいーた ${\upsilon }$ δでるたεいぷしろん δείχνει κατά μήκος τたうοおみくろんυうぷしろん χかい-άξονα τたうοおみくろんυうぷしろん $S$, είναι συνήθως ευκολότερο νにゅーαあるふぁ κάνουμε μみゅーιいおたαあるふぁ περιστροφή τたうοおみくろんυうぷしろん συστήματος, ώστε νにゅーαあるふぁ φέρουμε τたうηいーたνにゅー ${\upsilon }$ κατά μήκος τたうοおみくろんυうぷしろん χかい-άξονα τたうοおみくろんυうぷしろん $S$, παρά νにゅーαあるふぁ μπλέξουμε μみゅーεいぷしろん τたうηいーた γενική μορφή τたうοおみくろんυうぷしろん μετασχηματισμού Λόρεντς.

Γがんまιいおたαあるふぁ μみゅーιいおたαあるふぁ προώθηση (boost) σしぐまεいぷしろん τυχαία κατεύθυνση είναι βολικό νにゅーαあるふぁ αναλύσουμε τたうοおみくろん χωρικό διάνυσμα $\mathbf {x}$ σしぐまεいぷしろん συνιστώσες κάθετες κかっぱαあるふぁιいおた παράλληλες προς τたうηいーたνにゅー ταχύτητα $\mathbf {\upsilon }$: $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{\perp }+\mathbf {x} _{\|}$. Μόνο ηいーた συνιστώσα $\mathbf {x} _{\|}$ σしぐまτたうηいーたνにゅー κατεύθυνση της $\mathbf {\upsilon }$ μεταβάλλεται κατά τたうοおみくろんνにゅー παράγοντα $\gamma$:

$t'=\gamma \left(t-{\frac {\upsilon x_{\|}}{c^{2}}}\right)$

$\mathbf {x} '=\mathbf {x} _{\perp }+\gamma \left(\mathbf {x} _{\|}-\mathbf {\upsilon } t\right)$

Οおみくろんιいおた παραπάνω εξισώσεις μπορούν νにゅーαあるふぁ εκφραστούν σしぐまεいぷしろん μορφή πίνακα ως

${\begin{bmatrix}ct'\\\\\mathbf {x} '\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {\mathbf {\upsilon ^{T}} }{c}}\gamma \\\\-{\frac {\mathbf {\upsilon } }{c}}\gamma &\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {\upsilon } \cdot \mathbf {\upsilon ^{T}} }{\upsilon ^{2}}}(\gamma -1)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\\\\mathbf {x} \end{bmatrix}}$.

Ένας ακόμη περιοριστικός παράγοντας τたうοおみくろんυうぷしろん παραπάνω μετασχηματισμού είναι ότι ηいーた "αρχή" τたうωおめがνにゅー αξόνων τたうωおめがνにゅー δύο συστημάτων πρέπει νにゅーαあるふぁ συμπίπτει γがんまιいおたαあるふぁ $t=t'=0$. Αυτό σημαίνει ότι τたうοおみくろん "γεγονός" μみゅーεいぷしろん συντεταγμένες $(0,0,0,0)$ σしぐまτたうοおみくろん σύστημα $S$ πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι τたうοおみくろん ίδιο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん "γεγονός" μみゅーεいぷしろん συντεταγμένες $(0,0,0,0)$ σしぐまτたうοおみくろん $S'$. Μみゅーιいおたαあるふぁ γενίκευση τたうωおめがνにゅー μετασχηματισμών Λόρεντς πぱいοおみくろんυうぷしろん χαλαρώνει αυτή τたうηいーたνにゅー απαίτηση είναι οおみくろんιいおた μετασχηματισμοί Πουανκαρέ.

Γενικότερα, αあるふぁνにゅー Λらむだ είναι οποιοσδήποτε 4x4 πίνακας τたう.ωおめが. Λらむだ^TgΛらむだ=g, όπου T είναι οおみくろん ανάστροφος τたうοおみくろんυうぷしろん πίνακα κかっぱαあるふぁιいおた

$g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

κかっぱαあるふぁιいおた X είναι τたうοおみくろん 4-άνυσμα πぱいοおみくろんυうぷしろん περιγράφει τις χωροχρονικές μετατοπίσεις, τότε οおみくろん $X\rightarrow \Lambda X$ είναι οおみくろん πぱいιいおたοおみくろん γενικός μετασχηματισμός Λόρεντς. Οおみくろんιいおた ορισμένοι μみゅーεいぷしろん αυτό τたうοおみくろんνにゅー τρόπο πίνακες Λらむだ αποτελούν μみゅーιいおたαあるふぁ αναπαράσταση της ομάδας SO(3,1), γνωστή επίσης κかっぱαあるふぁιいおた ως ομάδα Λόρεντς.

Ιστορία

Οおみくろん Λόρεντς ανακάλυψε τたうοおみくろん 1900 ότι οおみくろんιいおた μετασχηματισμοί διατηρούν αναλλοίωτες τις εξισώσεις τたうοおみくろんυうぷしろん Μάξουελ (Maxwell). Ωστόσο οおみくろん Λόρεντς δεχόταν τたうηいーたνにゅー υπόθεση τたうοおみくろんυうぷしろん αιθέρα. Ήταν οおみくろん Άλμπερτ Αϊνστάιν πぱいοおみくろんυうぷしろん πρώτος ανέπτυξε τたうηいーた Θεωρία της Σχετικότητας κかっぱαあるふぁιいおた θεμελίωσε τους μετασχηματισμούς σしぐまεいぷしろん στέρεο φυσικό υπόβαθρο. Παρά τたうοおみくろん γεγονός αυτό, θεωρούσε ουσιαστικά τたうοおみくろん Λόρεντς "πατέρα" της Σχετικότητας.

Οおみくろんιいおた μετασχηματισμοί Λόρεντς δημοσιεύτηκαν γがんまιいおたαあるふぁ πρώτη φορά τたうοおみくろん 1904, αλλά οおみくろん φορμαλισμός τους ήταν προς τたうοおみくろん παρόν ατελής. Οおみくろん Ανρί Πουανκαρέ (Henri Poincaré), Γάλλος μαθηματικός, αναθεώρησε τたうοおみくろん φορμαλισμό τたうοおみくろんυうぷしろん Λόρεντς γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ κάνει τις τέσσερις εξισώσεις ένα συνεκτικό αυτοσυνεπές σύνολο, όπως τις ξέρουμε σήμερα.

Σύνδεσμοι

• https://web.archive.org/web/20100126101153/http://www.newtonphysics.on.ca/lorentz/index.html