Ομάδα

Οおみくろんιいおた μετασχηματισμοί τたうοおみくろんυうぷしろん κύβου τたうοおみくろんυうぷしろん Ρούμπικ σχηματίζουν τたうηいーたνにゅー ομάδα τたうοおみくろんυうぷしろん κύβου τたうοおみくろんυうぷしろん Ρούμπικ.

Σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά, ομάδα είναι ένα σύνολο στοιχείων εφοδιασμένο μみゅーεいぷしろん μία πράξη, ηいーた οποία συνδυάζει δύο στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ σχηματίσουν ένα τρίτο στοιχείο πぱいοおみくろんυうぷしろん ανήκει επίσης σしぐまτたうοおみくろん σύνολο, ικανοποιώντας ταυτόχρονα τέσσερις συνθήκες πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζονται αξιώματα της ομάδας κかっぱαあるふぁιいおた αναφορικά είναι ηいーた κλειστότητα, ηいーた προσεταιριστική ιδιότητα, ηいーた ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた ύπαρξη αντιστρόφων. Ένα από τたうαあるふぁ πぱいιいおたοおみくろん γνώριμα παραδείγματα ομάδας είναι τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー ακεραίων μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πράξη της πρόσθεσης. Ηいーた πρόσθεση δύο οποιονδήποτε ακεραίων έχει ως αποτέλεσμα ακέραιο. Ηいーた αφηρημένη διατύπωση τたうωおめがνにゅー αξιωμάτων της ομάδας, τις καθιστά ένα κυρίαρχο εργαλείο της έρευνας στους περισσότερους κλάδους της αφηρημένης άλγεβρας αλλά κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん άλλους τομείς.

Οおみくろんιいおた ομάδες συνδέονται στενά μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー έννοια της συμμετρίας. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα μみゅーιいおたαあるふぁ συμμετρική ομάδα κωδικοποιεί τたうαあるふぁ συμμετρικά χαρακτηριστικά ενός γεωμετρικού αντικειμένου: ηいーた ομάδα απαρτίζεται από τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー μετασχηματισμών πぱいοおみくろんυうぷしろん αφήνουν αναλλοίωτο τたうοおみくろん αντικείμενο κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー πράξη πぱいοおみくろんυうぷしろん συνδυάζει δύο τέτοιους μετασχηματισμούς εκτελώντας τたうοおみくろんνにゅー ένα μετά τたうοおみくろんνにゅー άλλο. Οおみくろんιいおた ομάδες Lie είναι συμμετρικές ομάδες πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιούνται σしぐまεいぷしろん μοντέλα σωματιδιακής φυσικής, οおみくろんιいおた σημειακές ομάδες χρησιμεύουν σしぐまτたうηいーたνにゅー κατανόηση συμμετρικών φαινομένων της μοριακής χημείας, οおみくろんιいおた ομάδες τたうοおみくろんυうぷしろん Poincaré μπορούν νにゅーαあるふぁ εκφράσουν τたうηいーた φυσική συμμετρία πぱいοおみくろんυうぷしろん υποβόσκει σしぐまτたうηいーたνにゅー ειδική σχετικότητα. Ηいーた ιδέα της ομάδας ξεκίνησε από τις πολυωνυμικές εξισώσεις, μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー Εβαρίστ Γκαλουά (Évariste Galois) σしぐまτたうοおみくろん 1830. Μみゅーεいぷしろん τたうηいーた συνδρομή κかっぱαあるふぁιいおた άλλων κλάδων όπως ηいーた θεωρία αριθμών κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた γεωμετρία, ηいーた έννοια της ομάδας γενικεύθηκε κかっぱαあるふぁιいおた θεμελιώθηκε γύρω σしぐまτたうοおみくろん 1870. Ηいーた σύγχρονη θεωρία ομάδων —μみゅーεいぷしろん αυστηρή μαθηματική πειθαρχεία—μελετά τις ομάδες αυτές καθαυτές. Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ ερευνήσουν τις ομάδες οおみくろんιいおた μαθηματικοί επινόησαν διάφορες έννοιες γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ σπάσουν τις ομάδες σしぐまεいぷしろん μικρότερα καλύτερα κατανοητά κομμάτια. Τέτοιες έννοιες είναι οおみくろんιいおた υποομάδες, οおみくろんιいおた ομάδες πηλίκο κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた απλές ομάδες. Επιπλέον τたうωおめがνにゅー αφηρημένων ιδιοτήτων τους, οおみくろんιいおた ειδικοί της θεωρίας ομάδων μελετούν επίσης τους διάφορους τρόπους μみゅーεいぷしろん τους οποίους μπορεί νにゅーαあるふぁ οριστεί συγκεκριμένα μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα (τις παραστάσεις μιας ομάδας), τόσο από θεωρητική όσο κかっぱαあるふぁιいおた από υπολογιστική πλευρά. Μみゅーιいおたαあるふぁ ιδιαίτερα πλούσια θεωρία έχει αναπτυχθεί γがんまιいおたαあるふぁ τις πεπερασμένες ομάδες, ηいーた οποία κορυφώθηκε μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー μνημειώδη ταξινόμηση τたうωおめがνにゅー πεπερασμένων απλών ομάδων πぱいοおみくろんυうぷしろん ανακοινώθηκε τたうοおみくろん 1983 κかっぱαあるふぁιいおた ολοκληρώθηκε τたうοおみくろん 2004. Από τたうαあるふぁ μέσα τたうοおみくろんυうぷしろん 1980, ηいーた γεωμετρική θεωρία ομάδων, ηいーた οποία μελετά τたうηいーた δράση ομάδων (συνήθως άπειρων) επί γραφημάτων έχει εξελιχθεί σしぐまεいぷしろん έναν ιδιαίτερα ενεργό κλάδο της θεωρίας ομάδων, λόγω κかっぱαあるふぁιいおた της σχέσης της μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー αλγεβρική τοπολογία.

Πρώτο παράδειγμα: Οおみくろんιいおた ακέραιοι

Μία από τις πぱいιいおたοおみくろん γνωστές ομάδες είναι τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー ακεραίων $\mathbb {Z}$ τたうοおみくろん οποίο αποτελείται από τたうαあるふぁ στοιχεία

$\dots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\dots ,$μαζί μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πρόσθεση.

Οおみくろんιいおた ακόλουθες ιδιότητες της πρόσθεσης ακεραίων χρησιμεύουν ως ένα υπόδειγμα γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ θεωρητικά αξιώματα πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζονται παρακάτω.

1. Γがんまιいおたαあるふぁ οποιουσδήποτε δύο ακεραίους $a$ κかっぱαあるふぁιいおた $b$, τたうοおみくろん άθροισμα $a+b$ είναι επίσης ακέραιος. Έτσι, ηいーた πρόσθεση δύο ακεραίων ποτέ δでるたεいぷしろんνにゅー δίνει κάποιο άλλο είδος αριθμού. Αυτή ηいーた ιδιότητα είναι γνωστή ως κλειστότητα ως προς τたうηいーたνにゅー πρόσθεση.
2. Γがんまιいおたαあるふぁ οποιουσδήποτε ακεραίους $a$, $b$ κかっぱαあるふぁιいおた $c$, $(a+b)+c=a+(b+c)$. Μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, ηいーた σειρά μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー οποία προσθέτουμε τρεις ή περισσότερους αριθμούς δでるたεいぷしろんνにゅー έχει σημασία, αφού τたうοおみくろん αποτέλεσμα είναι ίδιο. Ηいーた ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσεταιριστική ιδιότητα.
3. Εάν $a$ είναι ένας οποιοσδήποτε ακέραιος, τότε $0+a=a+0=a$. Τたうοおみくろん μηδέν ονομάζεται τたうοおみくろん ουδέτερο (ή ταυτοτικό) στοιχείο της πρόσθεσης γιατί προσθέτοντας τたうοおみくろん μみゅーεいぷしろん οποιονδήποτε ακέραιο τたうοおみくろん αποτέλεσμά τたうοおみくろんυうぷしろん δίνει τたうοおみくろんνにゅー ίδιο ακέραιο.
4. Γがんまιいおたαあるふぁ κάθε ακέραιο $a$, υπάρχει ένας ακέραιος $b$ τέτοιος ώστε $a+b=b+a=0$. Οおみくろん ακέραιος $b$ ονομάζεται αντίστροφος τたうοおみくろんυうぷしろん ακεραίου $a$ κかっぱαあるふぁιいおた συμβολίζεται $-a$.

Οおみくろんιいおた ακέραιοι, μαζί μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πράξη +, συγκροτούν ένα μαθηματικό αντικείμενο πぱいοおみくろんυうぷしろん ανήκει σしぐまεいぷしろん μία πぱいιいおたοおみくろん μεγάλη κατηγορία αντικειμένων πぱいοおみくろんυうぷしろん μοιράζονται παρόμοιες δομικές αρχές. Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ κατανοηθούν κατάλληλα ως ένα σύνολο, δίνεται οおみくろん ακόλουθος θεωρητικός ορισμός:

Ορισμός

Ομάδα είναι ένα σύνολο, $G$, μαζί μみゅーεいぷしろん μία πράξη $\bullet$ (δηλαδή, μία συνάρτηση $\bullet :G\times G\to G$) ηいーた οποία συνδυάζει οποιαδήποτε δύο στοιχεία a κかっぱαあるふぁιいおた b γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ σχηματίσει ένα άλλο στοιχείο πぱいοおみくろんυうぷしろん συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん $a\bullet b$ ή απλά $ab$. Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ είναι ομάδα, τたうοおみくろん σύνολο κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた πράξη, $(G,\bullet )$, πρέπει νにゅーαあるふぁ ικανοποιούν τέσσερις ιδιότητες γνωστές ως αξιώματα τたうωおめがνにゅー ομάδων:

• Κλειστότητα: Γがんまιいおたαあるふぁ όλα τたうαあるふぁ $a$, $b$ πぱいοおみくろんυうぷしろん ανήκουν σしぐまτたうοおみくろん $G$, τたうοおみくろん αποτέλεσμα της πράξης, $a\bullet b$, ανήκει επίσης σしぐまτたうοおみくろん $G$
• Προσεταιριστική ιδιότητα: Γがんまιいおたαあるふぁ όλα τたうαあるふぁ $a$, $b$ κかっぱαあるふぁιいおた $c$ πぱいοおみくろんυうぷしろん ανήκουν σしぐまτたうοおみくろん $G$, ισχύει $(a\bullet b)\bullet c=a\bullet (b\bullet c)$
• Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει ένα στοιχείο e σしぐまτたうοおみくろん $G$, τέτοιο ώστε γがんまιいおたαあるふぁ κάθε στοιχείο $a$ σしぐまτたうοおみくろん $G$, ηいーた εξίσωση $e\bullet a=a\bullet e=a$ νにゅーαあるふぁ επαληθεύεται. Αυτό τたうοおみくろん στοιχείο είναι μοναδικό, κかっぱαあるふぁιいおた ως εいぷしろんκかっぱ τούτου όταν αναφερόμαστε σしぐまεいぷしろん αυτό θしーたαあるふぁ λέμε τたうοおみくろん ουδέτερο στοιχείο
• Αντίστροφο στοιχείο: Γがんまιいおたαあるふぁ κάθε $a$ σしぐまτたうηいーた $G$, υπάρχει ένα στοιχείο $b$ σしぐまτたうηいーた $G$ τέτοιο ώστε $a\bullet b=b\bullet a=e$.

Τたうοおみくろん αποτέλεσμα της πράξης αυτής μπορεί νにゅーαあるふぁ εξαρτάται από τους τελεστές. Μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, τたうοおみくろん αποτέλεσμα τたうοおみくろんυうぷしろん συνδυασμού τたうοおみくろんυうぷしろん στοιχείου $a$ μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん στοιχείο $b$ δでるたεいぷしろんνにゅー είναι απαραίτητο νにゅーαあるふぁ δώσει τたうοおみくろん ίδιο αποτέλεσμα όπως συνδυάζοντας τたうοおみくろん στοιχείο $b$ μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん στοιχείο $a$ ηいーた εξίσωση $a\bullet b=b\bullet a$ μπορεί νにゅーαあるふぁ μみゅーηいーたνにゅー είναι πάντοτε αληθής. Αυτή ηいーた εξίσωση ισχύει πάντοτε σしぐまτたうηいーたνにゅー προσθετική ομάδα τたうωおめがνにゅー ακεραίων, γιατί $a+b=b+a$ γがんまιいおたαあるふぁ οποιουσδήποτε δύο ακεραίους αντιμεταθεση ως προς τたうηいーたνにゅー πρόσθεση). Ομάδες στις οποίες ηいーた αντιμεταθετική εξίσωση $a\bullet b=b\bullet a$ ισχύει πάντοτε ονομάζονται αβελιανές ομάδες (προς τιμήν τたうοおみくろんυうぷしろん Νιλς Χένρικ Άμπελ). Ηいーた συμμετρική ομάδα πぱいοおみくろんυうぷしろん περιγράφεται σしぐまτたうηいーたνにゅー παρακάτω παράγραφο είναι ένα παράδειγμα ομάδας ηいーた οποία δでるたεいぷしろんνにゅー είναι αβελιανή.

Τたうοおみくろん ουδέτερο στοιχείο μιας ομάδας $G$ συχνά γράφεται $1$ ή $1_{G}$, μみゅーιいおたαあるふぁ σημειογραφία πぱいοおみくろんυうぷしろん κληρονομήθηκε από τたうηいーたνにゅー πολλαπλασιαστική γραφή. Τたうοおみくろん ουδέτερο στοιχείο μπορεί επίσης νにゅーαあるふぁ γραφεί ως $0$, ειδικότερα εάν ηいーた πράξη της ομάδας συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん +, σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση αυτή ηいーた ομάδα ονομάζεται προσθετική ομάδα. Τたうοおみくろん ουδέτερο στοιχείο μπορεί επίσης νにゅーαあるふぁ γραφεί ως id.

Τたうοおみくろん σύνολο $G$ καλείται τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー στοιχείων $(G,\bullet )$. Συχνά γράφουμε απλώς $G$ αντί γがんまιいおたαあるふぁ $(G,\bullet )$, εφόσον ηいーた πράξη είναι προφανής. Παρομοίως, σύντομες εκφράσεις όπως "ένα υποσύνολο της ομάδας $G$" ηいーた "ένα στοιχείο της ομάδας $G$" χρησιμοποιούνται όταν θέλουμε νにゅーαあるふぁ αναφερθούμε σしぐまεいぷしろん "ένα υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τたうωおめがνにゅー στοιχείων $G$ της ομάδας $(G,\bullet )$" ή "ένα στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τたうωおめがνにゅー στοιχείων $G$ της ομάδας $(G,\bullet )$". Συνήθως είναι ξεκάθαρο από τたうοおみくろん περιεχόμενο αあるふぁνにゅー οおみくろん συμβολισμός $G$ αναφέρεται σしぐまτたうηいーたνにゅー ομάδα ή σしぐまτたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー στοιχείων της.

Δεύτερο παράδειγμα: Μみゅーιいおたαあるふぁ συμμετρική ομάδα

Δύο σχήματα σしぐまτたうοおみくろん επίπεδο είναι ισοδύναμα αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん ένα μπορεί νにゅーαあるふぁ μετασχηματιστεί σしぐまτたうοおみくろん άλλο μみゅーεいぷしろん έναν συνδυασμό περιστροφών, αντικατοπτρισμών, κかっぱαあるふぁιいおた μεταφορών. Οποιοδήποτε σχήμα είναι ισοδύναμο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー εαυτό τたうοおみくろんυうぷしろん. Κάποια σχήματα όμως είναι ισοδύναμα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー εαυτό τους μみゅーεいぷしろん παραπάνω από έναν τρόπους κかっぱαあるふぁιいおた αυτές οおみくろんιいおた επιπλέον ισοδυναμίες ονομάζονται συμμετρίες. Ένα τετράγωνο έχει οχτώ συμμετρίες. Αυτές είναι:

id (καμία αλλαγή)	r1 (στροφή 90° δεξιά)	r2 (στροφή 180° δεξιά)	r3 (στροφή 270° δεξιά)
fv (οριζόντια ανάκλαση)	fh (κάθετη ανάκλαση)	fd (διαγώνια ανάκλαση)	fc (αντιδιαγώνια ανάκλαση)
Τたうαあるふぁ στοιχεία της ομάδας τたうωおめがνにゅー συμμετριών τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου (D4). Οおみくろんιいおた κορυφές κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた ακμές έχουν αριθμηθεί γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ ξεχωρίζουν.

Αυτές οおみくろんιいおた συμμετρίες αναπαριστώνται από συναρτήσεις. Καθεμιά από αυτές τις συναρτήσεις στέλνει ένα σημείο τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου σしぐまτたうοおみくろん συμμετρικό τたうοおみくろんυうぷしろん. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた r₁ περιστρέφει ένα σημείο κατά 90° δεξιά γύρω από τたうοおみくろん κέντρο τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου, κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた f_h αντικατοπτρίζει ένα σημείο κατά τたうηいーたνにゅー ευθεία πぱいοおみくろんυうぷしろん διέρχεται από τたうαあるふぁ μέσα τたうωおめがνにゅー πλευρών τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου. Συνθέτοντας δύο τέτοιες συναρτήσεις συμμετρίας παίρνουμε μみゅーιいおたαあるふぁ τρίτη συνάρτηση συμμετρίας. Αυτές οおみくろんιいおた συμμετρίες ορίζουν μία ομάδα πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται διεδρική ομάδα τάξης τέσσερα κかっぱαあるふぁιいおた συμβολίζεται D₄. Τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー στοιχείων της ομάδας είναι τたうοおみくろん παραπάνω σύνολο συναρτήσεων συμμετρίας, κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた πράξη της ομάδας είναι ηいーた σύνθεση συναρτήσεων. Δύο συμμετρίες συνδυάζονται όταν τις συνθέτουμε σしぐまαあるふぁνにゅー συναρτήσεις. Εφαρμόζουμε τたうηいーたνにゅー πρώτη σしぐまεいぷしろん ένα τετράγωνο κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうοおみくろん αποτέλεσμα αυτής εφαρμόζουμε τたうηいーた δεύτερη. Τたうοおみくろん αποτέλεσμα της εκτέλεσης πρώτα τたうοおみくろんυうぷしろん $a$ κかっぱαあるふぁιいおた μετά τたうοおみくろんυうぷしろん $b$ γράφεται συμβολικά από δεξιά προς τたうαあるふぁ αριστερά ως $b\bullet a$ ("εφάρμοσε τたうηいーた συμμετρία $b$ αφού εκτελέσεις τたうηいーた συμμετρία $a$").

Οおみくろん από δεξιά προς τたうαあるふぁ αριστερά συμβολισμός είναι οおみくろん ίδιος πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιείται σしぐまτたうηいーた σύνθεση συναρτήσεων.

Οおみくろん πίνακας της ομάδας σしぐまτたうαあるふぁ δεξιά παρουσιάζει όλους αυτούς τたうοおみくろんυうぷしろん δυνατούς συνδυασμούς. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, περιστροφή κατά 270° δεξιά (r₃) κかっぱαあるふぁιいおた μετά οριζόντια αναστροφή (f_h) είναι τたうοおみくろん ίδιο σしぐまαあるふぁνにゅー νにゅーαあるふぁ εφαρμόζαμε αντικατοπτρισμό κατά μήκος της διαγωνίου (f_d). Χρησιμοποιούμε τたうαあるふぁ παραπάνω σύμβολα γραμμένα μみゅーεいぷしろん μみゅーπぱいλらむだεいぷしろん σしぐまτたうοおみくろんνにゅー πίνακα της ομάδας:

f_h • r₃ = f_d.

Πίνακας στοιχείων τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου D4

•	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
id	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
r1	r1	r2	r3	id	fc	fd	fv	fh
r2	r2	r3	id	r1	fh	fv	fc	fd
r3	r3	id	r1	r2	fd	fc	fh	fv
fv	fv	fd	fh	fc	id	r2	r1	r3
fh	fh	fc	fv	fd	r2	id	r3	r1
fd	fd	fh	fc	fv	r3	r1	id	r2
fc	fc	fv	fd	fh	r1	r3	r2	id
Τたうαあるふぁ στοιχεία id, r1, r2, κかっぱαあるふぁιいおた r3 αποτελούν μみゅーιいおたαあるふぁ υποομάδα, σημειωμένη μみゅーεいぷしろん κόκκινο (άνω αριστερή περιοχή). Ένα αριστερό κかっぱαあるふぁιいおた ένα δεξί σύμπλοκο αυτής της υποομάδας σημειώνεται μみゅーεいぷしろん πράσινο (σしぐまτたうηいーたνにゅー τελευταία γραμμή) κかっぱαあるふぁιいおた κίτρινο (τελευταία στήλη), αντίστοιχα.

Δοθέντος τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τたうωおめがνにゅー συμμετριών κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー ανωτέρω πράξης, τたうαあるふぁ αξιώματα της ομάδας γράφονται ως εξής:

1. Τたうοおみくろん αξίωμα της κλειστότητας απαιτεί ηいーた σύνθεση $b\bullet a$ οποιωνδήποτε δύο συμμετριών $a$ κかっぱαあるふぁιいおた $b$ νにゅーαあるふぁ είναι επίσης συμμετρία. Ένα άλλο παράδειγμα γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー πράξη της ομάδας είναι r₃ • f_h = f_c, δηλαδή περιστροφή κατά 270° δεξιά έπειτα από οριζόντια αναστροφή ισοδυναμεί μみゅーεいぷしろん αναστροφή κατά μήκος της διαγωνίου (f_c). Πράγματι οποιαδήποτε άλλη σύνθεση δύο συμμετριών δίνει συμμετρία όπως μπορεί νにゅーαあるふぁ ελεγχθεί κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうοおみくろんνにゅー πίνακα της ομάδας.
2. Ηいーた προσεταιριστικότητα δでるたεいぷしろんνにゅー περιορίζεται μόνο σしぐまεいぷしろん δύο συμμετρίες: Ξεκινούμε μみゅーεいぷしろん τρία στοιχεία a, b κかっぱαあるふぁιいおた c τたうοおみくろんυうぷしろん D₄, υπάρχουν δύο δυνατοί τρόποι νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιήσουμε αυτές τις τρεις συμμετρίες μみゅーεいぷしろん αυτή τたうηいーた σειρά γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ ορίσουμε μみゅーιいおたαあるふぁ συμμετρία τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου. Ένας από αυτούς τους τρόπους είναι νにゅーαあるふぁ συνθέσουμε πρώτα τたうοおみくろん a κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん b σしぐまεいぷしろん μία συμμετρία, κかっぱαあるふぁιいおた μετά νにゅーαあるふぁ τたうηいーたνにゅー συνθέσουμε μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん c. Οおみくろん άλλος τρόπος είναι νにゅーαあるふぁ συνθέσουμε πρώτα τたうαあるふぁ b κかっぱαあるふぁιいおた c, κかっぱαあるふぁιいおた μετά τたうοおみくろん αποτέλεσμα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん a. Ηいーた επιμεριστική ιδιότητα $(a\bullet b)\bullet c=a\bullet (b\bullet c)$ μας δείχνει ότι αυτοί οおみくろんιいおた δύο τρόποι είναι ίδιοι, δηλαδή, ένα γινόμενο πολλών στοιχείων μιας ομάδας μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφεί μみゅーεいぷしろん διάφορους τρόπους. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, (f_d • f_v) • r₂ = f_d • (f_v • r₂) μπορεί νにゅーαあるふぁ ελεγχθεί από τたうοおみくろんνにゅー διπλανό πίνακα:

   (fd • fv) • r2	=	r3 • r2	=	r1, τたうοおみくろん οποίο ισούται μみゅーεいぷしろん
   fd • (fv • r2)	=	fd • fh	=	r1.

   Παρότι ηいーた προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει γがんまιいおたαあるふぁ τις συμμετρίες τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー πρόσθεση τたうωおめがνにゅー αριθμών , δでるたεいぷしろんνにゅー ισχύει γがんまιいおたαあるふぁ κάθε πράξη. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた αφαίρεση αριθμών δでるたεいぷしろんνにゅー είναι προσεταιριστική: (7 − 3) − 2 = 2 δでるたεいぷしろんνにゅー είναι τたうοおみくろん ίδιο μみゅーεいぷしろん 7 − (3 − 2) = 6.

   
   

3. Τたうοおみくろん ουδέτερο στοιχείο id αφήνει τたうαあるふぁ πάντα αναλλοίωτα: αあるふぁνにゅー γがんまιいおたαあるふぁ κάθε συμμετρία $a$, εφαρμόζουμε τたうοおみくろん id μετά τたうοおみくろん $a$ (ηいーた τたうοおみくろん $a$ μετά τたうοおみくろん $\mathrm {id}$) τότε τたうοおみくろん αποτέλεσμα ισούται μみゅーεいぷしろん $a$, συμβολικά, $\mathrm {id} \bullet a=a$, $a\bullet \mathrm {id} =a$.
4. Ένα αντίστροφο στοιχείο ανατρέπει τたうοおみくろんνにゅー μετασχηματισμό κάποιου άλλου στοιχείου. Κάθε συμμετρία μπορεί νにゅーαあるふぁ ανατραπεί: καθένας από τους παρακάτω μετασχηματισμούς—ταυτότητα id, οおみくろんιいおた αναστροφές f_h, f_v, f_d, f_c κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた περιστροφή κατά 180° r₂—είναι τたうαあるふぁ αντίστροφα τたうοおみくろんυうぷしろん εαυτού τους, διότι εφαρμόζοντάς τたうαあるふぁ δύο φορές τたうοおみくろん τετράγωνο επανέρχεται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー αρχικό τたうοおみくろんυうぷしろん προσανατολισμό. Οおみくろんιいおた περιστροφές r₃ κかっぱαあるふぁιいおた r₁ είναι ηいーた μία αντίστροφη της άλλης, διότι περιστροφή κατά 90° κかっぱαあるふぁιいおた μετά περιστροφή κατά 270° (ή αντίστροφα) παράγει περιστροφή κατά 360° ηいーた οποία αφήνει τたうοおみくろん τετράγωνο αναλλοίωτο. Συμβολικά: f_h • f_h = id, r₃ • r₁ = r₁ • r₃ = id.

Σしぐまεいぷしろん αντίθεση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ομάδα τたうωおめがνにゅー ακεραίων παραπάνω, όπου ηいーた σειρά εκτέλεσης τたうωおめがνにゅー πράξεων δでるたεいぷしろんνにゅー μετράει, σしぐまτたうηいーたνにゅー D₄ έχει σημασία: f_h • r₁ = f_c αλλάr₁ • f_h = f_d. Μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, ηいーた D₄ δでるたεいぷしろんνにゅー είναι αβελιανή, γεγονός πぱいοおみくろんυうぷしろん κάνει τたうηいーた δομή αυτής της ομάδας πぱいιいおたοおみくろん πολύπλοκη από τたうηいーたνにゅー προαναφερθείσα παραπάνω ομάδα τたうωおめがνにゅー ακεραίων.

Ιστορία

Ένα παράδειγμα ομάδας αποτελούν οおみくろんιいおた συμμετρίες ενός γεωμετρικού σχήματος. Ενώ όμως εκτενή μελέτη τたうωおめがνにゅー συμμετριών έχουν πραγματοποιήσει τόσο οおみくろんιいおた αρχαίοι Αιγύπτιοι όσο κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん Ευκλείδης, οおみくろんιいおた ομάδες αρχίζουν νにゅーαあるふぁ αναγνωρίζονται ως μαθηματικά συστήματα μετά τたうοおみくろんνにゅー 18οおみくろん αιώνα.

Ηいーた σύγχρονη έννοια της αφηρημένης ομάδας αναπτύχθηκε από διάφορους τομείς τたうωおめがνにゅー μαθηματικών. Τたうοおみくろん αρχικό κίνητρο γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた θεωρία ομάδων ήταν ηいーた αναζήτηση λύσεων πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου τたうοおみくろんυうぷしろん 4. Τたうοおみくろん 19οおみくろん αιώνα οおみくろん μαθηματικός Εβαρίστ Γκαλουά, επεκτείνοντας προηγούμενη δουλειά τたうωおめがνにゅー Πάολο Ρουφίνι κかっぱαあるふぁιいおた Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ, έδωσε ένα κριτήριο γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー επιλυσιμότητα μιας συγκεκριμένης πολυωνυμικής εξίσωσης μみゅーεいぷしろん χρήση της ομάδας συμμετριών τたうωおめがνにゅー ριζών της. Τたうαあるふぁ στοιχεία μιας τέτοιας ομάδας Galois αντιστοιχούν σしぐまεいぷしろん συγκεκριμένες μεταθέσεις τたうωおめがνにゅー ριζών. Αρχικά, οおみくろんιいおた ιδέες τたうοおみくろんυうぷしろん Γκαλουά απορρίφθηκαν από τους συγχρόνους τたうοおみくろんυうぷしろん κかっぱαあるふぁιいおた δでるたεいぷしろんνにゅー δημοσιεύθηκαν παρά μόνο μετά θάνατον. Οおみくろんιいおた ομάδες μεταθέσεων ερευνήθηκαν σしぐまτたうηいーた γενική τους μορφή από τたうοおみくろんνにゅー Ογκιστέν-Λουί Κοσί. Σしぐまτたうοおみくろん έργο τたうοおみくろんυうぷしろん Άρθουρ Κέιλεϊ On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θしーたn = 1 (1854) δίνεται ένας πρώτος αφηρημένος ορισμός της πεπερασμένης ομάδας.

Ηいーた γεωμετρία ήταν τたうοおみくろん δεύτερο πεδίο σしぐまτたうοおみくろん οποίο οおみくろんιいおた ομάδες χρησιμοποιήθηκαν συστηματικά, ειδικά οおみくろんιいおた ομάδες συμμετρίας ως μέρος τたうοおみくろんυうぷしろん προγράμματος Erlangen τたうοおみくろんυうぷしろん Φέλιξ Κλάιν τたうοおみくろん 1872. Μετά τたうηいーたνにゅー εμφάνιση νέων γεωμετριών, όπως της υπερβολικής κかっぱαあるふぁιいおた της προβολικής, οおみくろん Κλάιν χρησιμοποίησε τたうηいーた θεωρία ομάδων γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ τις οργανώσει πぱいιいおたοおみくろん συνεκτικά. Επεικτείνοτας περεταίρω τις ιδέες αυτές, οおみくろん Σόφους Λらむだιいおた καθιέρωσε τたうηいーた μελέτη τたうωおめがνにゅー ομάδων Lie τたうοおみくろん 1884.

Τたうοおみくろん τρίτο πεδίο πぱいοおみくろんυうぷしろん συνέβαλε σしぐまτたうηいーた θεωρία ομάδων ήταν ηいーた θεωρία αριθμών. Ορισμένες δομές αβελιανών ομάδων χρησιμοποιήθηκαν σιωπηρά σしぐまτたうοおみくろん αριθμοθεωρητικό έργο τたうοおみくろんυうぷしろん Κかっぱαあるふぁρろーλらむだ Φρίντριχ Γκάους, Disquisitiones Arithmeticae (1798), κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまαあるふぁφふぁいἐστερα από τたうοおみくろんνにゅー Λέοπολντ Κρόνεκερ. Τたうοおみくろん 1847, οおみくろん Εいぷしろんρろーνにゅーσしぐまτたう Κάμερ έκανε κάποιες πρώτες προσπάθειες νにゅーαあるふぁ αποδείξει τたうοおみくろん τελευταίο θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Φερμά αναπτύσσοντας ομάδες πぱいοおみくろんυうぷしろん περιγράφουν τたうηいーたνにゅー παραγοντοποίηση σしぐまεいぷしろん πρώτους αριθμούς.

Ηいーた συνένωση αυτών τたうωおめがνにゅー ποικίλων αποτελεσμάτων σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ ενιαία θεωρία άρχισε μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) τたうοおみくろんυうぷしろん Καμίλ Ζορντάν. Οおみくろん Βάλτερ φふぁいοおみくろんνにゅー Νにゅーτたうιいおたκかっぱ (1882) έδωσε μみゅーιいおたαあるふぁ πρώτη μορφή τたうοおみくろんυうぷしろん σύγχρονου ορισμού μιας αφηρημένης ομάδας. Μέχρι τたうοおみくろんνにゅー 20ό αιώνα, οおみくろんιいおた ομάδες είχαν τύχει ευρείας αναγνώρισης μέσω τたうοおみくろんυうぷしろん επαναστατικού έργου τたうωおめがνにゅー Φέρντιναντ Γκέοργκ Φρομπένιους κかっぱαあるふぁιいおた Ουίλιαμ Μπέρνσαϊντ, οおみくろんιいおた οποίοι εργάστηκαν πάνω σしぐまτたうηいーた θεωρία αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων, τたうηいーたνにゅー modular θεωρία αναπαραστάσεων τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίτσαρντ Μπράουερ κかっぱαあるふぁιいおた τις εργασίες τたうοおみくろんυうぷしろん Ισάι Σしぐまοおみくろんυうぷしろんρろー. Ηいーた θεωρία τたうωおめがνにゅー ομάδων Lie, κかっぱαあるふぁιいおた γενικότερα τたうωおめがνにゅー τοπικά συμπαγών ομάδων προωθήθηκε από τους Χέρμαν Βάιλ, Εいぷしろんλらむだ Κάρταν κかっぱαあるふぁιいおた πολλούς άλλους. Τたうοおみくろん αλγεβρικό αντίστοιχό της, ηいーた θεωρία αλγεβρικών ομάδων, σχηματίστηκε αρχικά από τたうοおみくろんνにゅー Κかっぱλらむだοおみくろんνにゅーτたう Σεβαλέι (σしぐまτたうαあるふぁ τέλη τたうοおみくろんυうぷしろん 1930) κかっぱαあるふぁιいおた αργότερα από τたうοおみくろん καίριο έργο τたうωおめがνにゅー Armand Borel κかっぱαあるふぁιいおた Ζぜーたαあるふぁκかっぱ Τιτς.

Τたうοおみくろん Έτος Θεωρίας Ομάδων 1960-61 τたうοおみくろんυうぷしろん Πανεπιστημίου τたうοおみくろんυうぷしろん Σικάγου μάζεψε ειδικούς της θεωρίας ομάδων, όπως οおみくろんιいおた Ντάνιελ Γκορστάιν, Τたうζぜーたοおみくろんνにゅー Τόμσον κかっぱαあるふぁιいおた Γουόλτερ Φάιτ, θέτοντας τたうαあるふぁ θεμέλια μιας συνεργασίας ηいーた οποία, μみゅーεいぷしろん τたうηいーた συμβολή πολλών άλλων μαθηματικών, ταξινόμησε όλες τις πεπερασμένες ομάδες τたうοおみくろん 1982. Αυτό τたうοおみくろん πρόγραμμα υπερέβη όλες τις προηγούμενες προσπάθειες λόγω τたうοおみくろんυうぷしろん μεγέθους της, τόσο ως προς τたうοおみくろん μήκος τたうωおめがνにゅー αποδείξεων, όσο κかっぱαあるふぁιいおた ως προς τたうοおみくろんνにゅー αριθμό τたうωおめがνにゅー ερευνητών. Ηいーた έρευνα συνεχίζεται μみゅーεいぷしろん σκοπό τたうηいーたνにゅー απλοποίηση της απόδειξης της ταξινόμησης αυτής. Στις μέρες μας, ηいーた θεωρία ομάδων είναι ακόμη ένας ιδιαίτερα ενεργός κλάδος τたうωおめがνにゅー μαθηματικών μみゅーεいぷしろん αποφασιστική επιρροή σしぐまεいぷしろん πολλά άλλα πεδία.^a[›]

Χαρακτηρισμοί ομάδων

Έστω $A$ ένα σύνολο διάφορο τたうοおみくろんυうぷしろん κενού κかっぱαあるふぁιいおた εφοδιασμένο μみゅーεいぷしろん μία εσωτερική πράξη $\bullet$, δηλαδή $\bullet :A\times A\to A$

Tότε ηいーた δομή $(A,\bullet )$ καλείται:

• ημιομάδα, αあるふぁνにゅー ηいーた πράξη είναι προσεταιριστική, δηλαδή αあるふぁνにゅー ισχύει: $a\bullet (b\bullet c)=(a\bullet b)\bullet c,\qquad \forall a,b,c\in A$

• μονοειδές, αあるふぁνにゅー είναι ημιομάδα κかっぱαあるふぁιいおた επιπλέον ηいーた πράξη έχει ουδέτερο στοιχείο, δηλαδή αあるふぁνにゅー ισχύουν οおみくろんιいおた εξής δύο συνθήκες:
  • $a\bullet (b\bullet c)=(a\bullet b)\bullet c,\qquad \forall a,b,c\in A$
  • υπάρχει στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん $A$, τたうοおみくろん οποίο συμβολίζουμε μみゅーεいぷしろん $e$ κかっぱαあるふぁιいおた καλούμε ουδέτερο στοιχείο, τέτοιο ώστε: $a\bullet e=e\bullet a=a,\qquad \forall a\in A$

• ομάδα, αあるふぁνにゅー είναι μονοειδές κかっぱαあるふぁιいおた κάθε στοιχείο $a\in A$ έχει αντίστροφο, δηλαδή αあるふぁνにゅー ισχύουν οおみくろんιいおた ακόλουθες συνθήκες:
  • $a\bullet (b\bullet c)=(a\bullet b)\bullet c,\qquad \forall a,b,c\in A$
  • υπάρχει στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん $A$, τたうοおみくろん οποίο συμβολίζουμε μみゅーεいぷしろん $e$ κかっぱαあるふぁιいおた καλούμε ουδέτερο στοιχείο, τέτοιο ώστε: $a\bullet e=e\bullet a=a,\qquad \forall a\in A$
  • γがんまιいおたαあるふぁ κάθε $a\in A$ υπάρχει στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん $A$, τたうοおみくろん οποίο συμβολίζουμε μみゅーεいぷしろん $a^{-1}$ κかっぱαあるふぁιいおた καλούμε αντίστροφο τたうοおみくろんυうぷしろん $a$, τέτοιο ώστε: $a^{-1}\bullet a=a\bullet a^{-1}=e,\qquad \forall a\in A$

Επιπλέον μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα καλείται αβελιανή ή αντιμεταθετική, αあるふぁνにゅー επιπλέον ισχύει ηいーた εξής ιδιότητα:

• $a\bullet b=b\bullet a,\qquad \forall a,b\in A$

Στοιχειώδη πορίσματα από τις ιδιότητες τたうωおめがνにゅー ομάδων

Τたうαあるふぁ βασικά στοιχεία γがんまιいおたαあるふぁ όλες τις ομάδες πぱいοおみくろんυうぷしろん προκύπτουν απευθείας από τις τρεις ιδιότητες τたうωおめがνにゅー ομάδων υπόκεινται συνήθως σしぐまτたうηいーた στοιχειώδη θεωρία ομάδων. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた επαναλαμβανόμενη εφαρμογή της προσεταιριστικής ιδιότητας δείχνει ότι ηいーた παρακάτω ιδιότητα

a • b • c = (a • b) • c = a • (b • c)

γενικεύεται σしぐまεいぷしろん περισσότερους από τρεις παράγοντες. Κかっぱαあるふぁιいおた επειδή αあるふぁπぱい’ αυτό φαίνεται ότι οおみくろんιいおた παρενθέσεις μπορούν νにゅーαあるふぁ εισαχθούν οπουδήποτε μέσα σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ τέτοια σειρά από όρους, συνήθως παραλείπονται.

Πολλές φορές οおみくろんιいおた ιδιότητες μπορούν νにゅーαあるふぁ περιοριστούν σしぐまτたうηいーたνにゅー ύπαρξη μόνο τたうοおみくろんυうぷしろん αριστερού μοναδιαίου κかっぱαあるふぁιいおた αντίστροφου στοιχείου. Ωστόσο, κかっぱαあるふぁιいおた στις δύο περιπτώσεις μπορεί νにゅーαあるふぁ αποδειχθεί ότι οおみくろんιいおた ιδιότητες ισχύουν κかっぱαあるふぁιいおた από τις δύο πλευρές, οπότε είναι ισοδύναμες μみゅーεいぷしろん τις παραπάνω.

Μοναδικότητα τたうοおみくろんυうぷしろん μοναδιαίου κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん αντίστροφου στοιχείου

Δύο πολύ σημαντικές συνέπειες τたうωおめがνにゅー ιδιοτήτων τたうωおめがνにゅー ομάδων είναι ηいーた μοναδικότητα τたうοおみくろんυうぷしろん αντίστροφου κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん μοναδιαίο στοιχείου. Μπορεί νにゅーαあるふぁ υπάρχει μόνο ένα μοναδιαίο στοιχείο σしぐまεいぷしろん μία ομάδα κかっぱαあるふぁιいおた κάθε στοιχείο της ομάδας έχει ακριβώς ένα αντίστροφο στοιχείο. Γがんまιいおた’ αυτό αναφερόμαστε σしぐま’ αυτά μιλώντας γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん μοναδιαίο στοιχείο κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん αντίστροφο στοιχείο.

Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αποδείξουμε τたうηいーた μοναδικότητα τたうοおみくろんυうぷしろん αντίστροφου στοιχείου ενός a, υποθέτουμε ότι τたうοおみくろん a έχει δύο αντίστροφους, έστω b κかっぱαあるふぁιいおた c, σしぐまεいぷしろん μία ομάδα (G, •). Τότε:

b	=	b • e		αφού τたうοおみくろん e είναι τたうοおみくろん μοναδιαίο στοιχείο
	=	b • (a • c)		επειδή τたうοおみくろん c είναι τたうοおみくろん αντίστροφο τたうοおみくろんυうぷしろん a, ισχύει ότι e = a • c
	=	(b • a) • c		από τたうηいーたνにゅー προσεταιριστική ιδιότητα
	=	e • c		αφού τたうοおみくろん b είναι αντίστροφο τたうοおみくろんυうぷしろん a, δでるたηいーたλらむだ. b • a = e
	=	c		επειδή τたうοおみくろん e είναι τたうοおみくろん μοναδιαίο στοιχείο

Προκύπτει ότι τたうοおみくろん b είναι ίσο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん c. Μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, υπάρχει μόνο ένα αντίστροφο στοιχείο γがんまιいおたαあるふぁ κάθε a. Όμοια, γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αποδείξουμε ότι τたうοおみくろん μοναδιαίο στοιχείο μιας ομάδας είναι μοναδικό, υποθέτουμε ότι ηいーた ομάδα G έχει δύο μοναδιαία στοιχεία, τたうαあるふぁ e κかっぱαあるふぁιいおた f. Τότε e = e • f = f, αφού e κかっぱαあるふぁιいおた f είναι ίσα.

Διαίρεση

Στις ομάδες μπορούμε νにゅーαあるふぁ κάνουμε διαίρεση: δοθέντων στοιχείων a κかっぱαあるふぁιいおた b μιας ομάδας G, υπάρχει ακριβώς μία λύση x σしぐまτたうηいーたνにゅー G πぱいοおみくろんυうぷしろん ικανοποιεί τたうηいーたνにゅー εξίσωση x • a = b. Γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー ακρίβεια, πολλαπλασιάζοντας από τたうαあるふぁ δεξιά μみゅーεいぷしろん a⁻¹ προκύπτει ότι x = x • a • a⁻¹ = b • a⁻¹. Όμοια, υπάρχει ακριβώς μία λύση y σしぐまτたうηいーたνにゅー G πぱいοおみくろんυうぷしろん ικανοποιεί τたうηいーたνにゅー εξίσωση a • y = b, κかっぱαあるふぁιいおた προκύπτει ότιy = a⁻¹ • b. Γενικά, τたうαあるふぁ x κかっぱαあるふぁιいおた y δでるたεいぷしろんνにゅー είναι απαραίτητο νにゅーαあるふぁ είναι ίσα.

Άμεση συνέπεια αυτού είναι ότι οおみくろん πολλαπλασιασμός μιας ομάδας μみゅーεいぷしろん ένα στοιχείο g είναι ισομορφισμός. Πぱいιいおたοおみくろん συγκεκριμένα, αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん g είναι στοιχείο της ομάδας G, τότε υπάρχει ένας ισομορφισμός από τたうηいーたνにゅー G σしぐまτたうοおみくろんνにゅー εαυτό της πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται αριστερή κλάση κατά g κかっぱαあるふぁιいおた στέλνει τたうοおみくろん h ∈ G σしぐまτたうοおみくろん g • h. Όμοια, ηいーた δεξιά κλάση κατά g είναι ισομορφισμός της G σしぐまτたうοおみくろんνにゅー εαυτό της πぱいοおみくろんυうぷしろん στέλνει τたうοおみくろん h σしぐまτたうοおみくろん h • g. Αあるふぁνにゅー ηいーた G είναι αβελιανή ομάδα, ηいーた αριστερή κかっぱαあるふぁιいおた δεξιά κλάση ενός στοιχείου ταυτίζονται.

Βασικές έννοιες

Οおみくろんιいおた ενότητες πぱいοおみくろんυうぷしろん ακολουθούν χρησιμοποιούν μαθηματικά σύμβολα, όπως τたうοおみくろん X = {x, y, z} τたうοおみくろん οποίο υποδηλώνει ένα σύνολο X πぱいοおみくろんυうぷしろん περιέχει στοιχεία x, y, κかっぱαあるふぁιいおた z, ή εναλλακτικά, τたうοおみくろん x ∈ X τたうοおみくろん οποίο υποδηλώνει ότι τたうοおみくろん x είναι ένα στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん X. Οおみくろん συμβολισμός f : X → Y σημαίνει ηいーた f είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん στέλνει κάθε στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん X σしぐまεいぷしろん ένα στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん Υうぷしろん.

Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ κατανοήσουμε τις ομάδες, πέρα από τたうαあるふぁ σύμβολα όπως τたうαあるふぁ παραπάνω, πρέπει νにゅーαあるふぁ εισάγουμε έννοιες πぱいοおみくろんυうぷしろん αφορούν τたうηいーた δομή τους.^c[›] Υπάρχει μみゅーιいおたαあるふぁ εννοιολογική αρχή πぱいοおみくろんυうぷしろん διέπει όλες τις ακόλουθες έννοιες: γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ επωφεληθούμε από τたうηいーた δομή τたうωおめがνにゅー ομάδων, οおみくろんιいおた κατασκευές πぱいοおみくろんυうぷしろん σχετίζονται μみゅーεいぷしろん τις ομάδες πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι συμβατές μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πράξη της ομάδας. Ηいーた συμβατότητα αυτή εκδηλώνεται στις ακόλουθες έννοιες μみゅーεいぷしろん διάφορους τρόπους. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, οおみくろんιいおた ομάδες μπορούν νにゅーαあるふぁ συνδέονται μεταξύ τους μέσω συναρτήσεων πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζονται ομομορφισμοί ομάδων. Σύμφωνα μみゅーεいぷしろん όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, οおみくろんιいおた ομομορφισμοί οφείλουν νにゅーαあるふぁ τηρούν τις δομές της ομάδας. Επίσης, μπορούμε νにゅーαあるふぁ μελετήσουμε τたうηいーた δομή τたうωおめがνにゅー ομάδων χωρίζοντάς τες σしぐまεいぷしろん υποομάδες κかっぱαあるふぁιいおた ομάδες πηλίκου. Ηいーた αρχή της «διατήρηση της δομής» - ένα σύνηθες πρόβλημα σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά - είναι ένα παράδειγμα τたうοおみくろんυうぷしろん νにゅーαあるふぁ εργάζεσαι σしぐまεいぷしろん μία κατηγορία, σしぐまτたうηいーたνにゅー προκειμένη περίπτωση, σしぐまτたうηいーたνにゅー κατηγορία τたうωおめがνにゅー ομάδων.

Ομομορφισμοί ομάδων

Οおみくろんιいおた ομομορφισμοί ομάδων^g[›] είναι συναρτήσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん διατηρούν τたうηいーた δομή τたうωおめがνにゅー ομάδων. Μία συνάρτηση a: G → H ανάμεσα σしぐまεいぷしろん δύο ομάδες (G,•) κかっぱαあるふぁιいおた (H,*) ονομάζεται ομομορφισμός, αあるふぁνにゅー ηいーた εξίσωση

a(g • k) = a(g) * a(k)

ισχύει γがんまιいおたαあるふぁ όλα τたうαあるふぁ στοιχεία g, k της G. Μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, τたうοおみくろん αποτέλεσμα είναι τたうοおみくろん ίδιο αあるふぁνにゅー εφαρμόσουμε τたうηいーたνにゅー πράξη της ομάδας, είτε πぱいρろーιいおたνにゅー είτε μετά τたうηいーた συνάρτηση a. Έτσι εξασφαλίζεται ότι a(1_G) = 1_H, κかっぱαあるふぁιいおた επιπλέον a(g)⁻¹ = a(g⁻¹) γがんまιいおたαあるふぁ κάθε g της G. Έτσι, ένας ομομορφισμός ομάδων τηρεί τたうηいーた δομή της G πぱいοおみくろんυうぷしろん προκύπτει από τις ιδιότητες τたうωおめがνにゅー ομάδων.

Δύο ομάδες G κかっぱαあるふぁιいおた H λέγονται ισόμορφες, αあるふぁνにゅー υπάρχουν ομομορφισμοί a: G → H κかっぱαあるふぁιいおた b: H → G, έτσι ώστε εφαρμόζοντας τις δύο αυτές απεικονίσεις τたうηいーた μία μετά τたうηいーたνにゅー άλλη μみゅーεいぷしろん οποιαδήποτε σειρά, νにゅーαあるふぁ προκύπτουν οおみくろんιいおた ταυτοτικές απεικονίσεις της G κかっぱαあるふぁιいおた της H. Δηλαδή, a(b(h)) = h κかっぱαあるふぁιいおた b(a(g)) = g γがんまιいおたαあるふぁ κάθε g της G κかっぱαあるふぁιいおた h της H. Κατά μία έννοια, οおみくろんιいおた ισόμορφες ομάδες μεταφέρουν τたうηいーたνにゅー ίδια πληροφορία. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, τたうοおみくろん νにゅーαあるふぁ αποδείξουμε ότι g • g = 1_G γがんまιいおたαあるふぁ κάποιο στοιχείο g της G είναι τたうοおみくろん ίδιο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん νにゅーαあるふぁ αποδείξουμε ότι a(g) * a(g) = 1_H, γιατί εφαρμόζοντας τたうηいーたνにゅー a σしぐまτたうηいーたνにゅー πρώτη εξίσωση, προκύπτει ηいーた δεύτερη κかっぱαあるふぁιいおた αντίστοιχα εφαρμόζοντας τたうηいーたνにゅー b σしぐまτたうηいーた δεύτερη εξίσωση, προκύπτει ηいーた πρώτη.

Υποομάδες

Ανεπίσημα, μία υποομάδα είναι μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα H πぱいοおみくろんυうぷしろん εμπεριέχεται σしぐまεいぷしろん μία μεγαλύτερη ομάδα G. Συγκεκριμένα, τたうοおみくろん μοναδιαίο στοιχείο της G ανήκει κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーたνにゅー H κかっぱαあるふぁιいおた γがんまιいおたαあるふぁ οποιαδήποτε h₁ κかっぱαあるふぁιいおた h₂ στοιχεία της H, υπάρχουν επίσης τたうαあるふぁ h₁ • h₂ κかっぱαあるふぁιいおた h₁⁻¹, έτσι ώστε ηいーた H, εφοδιασμένη μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πράξη της G, νにゅーαあるふぁ αποτελεί ομάδα.

Σしぐまτたうοおみくろん παραπάνω παράδειγμα, τたうοおみくろん ταυτοτικό στοιχείο κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた στροφές αποτελούν τたうηいーたνにゅー υποομάδα R = {id, r₁, r₂, r₃}, πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι σκιασμένη μみゅーεいぷしろん κόκκινο χρώμα σしぐまτたうοおみくろんνにゅー παραπάνω πίνακα: οποιεσδήποτε δύο στροφές αποτελούν στροφή κかっぱαあるふぁιいおた επιπλέον, μία στροφή μπορεί νにゅーαあるふぁ αναιρεθεί (δでるたηいーたλらむだ. νにゅーαあるふぁ αντιστραφεί) μみゅーεいぷしろん τις συμπληρωματικές στροφές 270° γがんまιいおたαあるふぁ τις 90°, 180° γがんまιいおたαあるふぁ τις 180°, κかっぱαあるふぁιいおた 90° γがんまιいおたαあるふぁ τις 270° (εδώ νにゅーαあるふぁ σημειώσουμε ότι ηいーた περιστροφή προς τたうηいーたνにゅー αντίθετη κατεύθυνση δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί νにゅーαあるふぁ οριστεί). Ηいーた παρακάτω συνθήκη είναι ικανή κかっぱαあるふぁιいおた αναγκαία γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ ελέγχουμε αあるふぁνにゅー ένα υποσύνολο H της G είναι υποομάδα της G: αρκεί νにゅーαあるふぁ ελέγξουμε αあるふぁνにゅー g⁻¹h ∈ H γがんまιいおたαあるふぁ κάθε στοιχείο g, h ∈ H. Είναι πολύ σημαντικό νにゅーαあるふぁ κατανοήσουμε τις υποομάδες γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ καταλάβουμε τις ομάδες ως δομές.^d[›]

Γがんまιいおたαあるふぁ οποιοδήποτε υποσύνολο S της ομάδας G, ηいーた υποομάδα πぱいοおみくろんυうぷしろん παράγεται από τたうοおみくろん S αποτελείται από τたうαあるふぁ στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん S κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ αντίστροφά τους. Αυτή είναι ηいーた μικρότερη δυνατή υποομάδα της G πぱいοおみくろんυうぷしろん νにゅーαあるふぁ περιέχει τたうοおみくろん S. Σしぐまτたうοおみくろん εισαγωγικό παράδειγμα παραπάνω, ηいーた υποομάδα πぱいοおみくろんυうぷしろん παράγεται από τたうαあるふぁ r₂ κかっぱαあるふぁιいおた f_v αποτελείται από αυτά τたうαあるふぁ δύο στοιχεία, τたうοおみくろん ταυτοτικό στοιχείο id κかっぱαあるふぁιいおた από τたうαあるふぁ f_h = f_v • r₂. Όπως ήδη είπαμε, αυτό είναι υποομάδα, επειδή οおみくろん συνδυασμός οποιωνδήποτε δύο εいぷしろんκかっぱ τたうωおめがνにゅー τεσσάρων αυτών στοιχείων, ή τたうωおめがνにゅー αντίστροφών τους (πぱいοおみくろんυうぷしろん σしぐまτたうηいーたνにゅー προκειμένη περίπτωση τυγχάνει νにゅーαあるふぁ ταυτίζονται) παράγει ένα στοιχείο της υποομάδας.

Σύμπλοκα

Σしぐまεいぷしろん ορισμένες περιπτώσεις, θεωρούμε ότι δύο στοιχεία μιας ομάδας είναι τたうοおみくろん ίδιο, αあるふぁνにゅー διαφέρουν κατά κάποιο στοιχείο μιας δοθείσας υποομάδας. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, σしぐまτたうηいーたνにゅー D₄ παραπάνω, μόλις πραγματοποιήσουμε μετατόπιση, τたうοおみくろん τετράγωνο δでるたεいぷしろんνにゅー επιστρέφει σしぐまτたうηいーた θέση r₂ μみゅーεいぷしろん απλή εφαρμογή στροφής, δηλαδή ηいーた πράξη της στροφής δでるたεいぷしろんνにゅー σχετίζεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー αあるふぁνにゅー έχει πραγματοποιηθεί μετατόπιση. Τたうαあるふぁ σύμπλοκα χρησιμοποιούνται γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ λυθεί αυτό τたうοおみくろん πρόβλημα: μみゅーιいおたαあるふぁ υποομάδα H ορίζει τたうοおみくろん δεξιό κかっぱαあるふぁιいおた αριστερό σύμπλοκο, τたうαあるふぁ οποία μπορούν νにゅーαあるふぁ θεωρηθούν ως μετατοπίσεις της H από κάποιο τυχαίο στοιχείο g. Τたうοおみくろん αριστερό κかっぱαあるふぁιいおた δεξιό σύμπλοκο της H πぱいοおみくろんυうぷしろん περιέχουν τたうοおみくろん g συμβολίζονται ως

gH = {g • h:h ∈ H} κかっぱαあるふぁιいおたHg = {h • g:h ∈ H}, αντίστοιχα.

Τたうαあるふぁ σύμπλοκα οποιασδήποτε υποομάδας H σχηματίζουν μία διαμέριση της G. Δηλαδή, ηいーた ένωση όλων τたうωおめがνにゅー αριστερών συμπλόκων σχηματίζει τたうηいーたνにゅー G κかっぱαあるふぁιいおた δύο αριστερά σύμπλοκα είτε ταυτίζονται είτε ηいーた τομή τους είναι τたうοおみくろん κενό. Σしぐまτたうηいーたνにゅー πρώτη περίπτωση, τたうοおみくろん g₁H = g₂H ισχύει όταν κかっぱαあるふぁιいおた μόνο όταν g₁⁻¹ • g₂ ∈ H, δηλαδή όταν δύο στοιχεία διαφέρουν κατά ένα στοιχείο της H. Όμοια κかっぱαあるふぁιいおた γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん δεξιό σύμπλοκο. Τたうαあるふぁ αριστερά κかっぱαあるふぁιいおた δεξιά σύμπλοκα της H δでるたεいぷしろんνにゅー είναι κかっぱαあるふぁτたう’ ανάγκη ίσα. Αあるふぁνにゅー είναι ίσα, δηλαδή αあるふぁνにゅー γがんまιいおたαあるふぁ κάθε g της G, ισχύει gH = Hg, τότε ηいーた H ονομάζεται κανονική υποομάδα της G.

Σしぐまτたうηいーたνにゅー D₄, τたうηいーたνにゅー εισαγωγική ομάδα συμμετρίας, τたうαあるふぁ αριστερά σύμπλοκα gR της υποομάδας R πぱいοおみくろんυうぷしろん αποτελείται από τις περιστροφές, είναι είτε ίσα μみゅーεいぷしろん R, αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん g ανήκει σしぐまτたうοおみくろん ίδιο τたうοおみくろん R είτε ίσα μみゅーεいぷしろん U = f_cR = {f_c, f_v, f_d, f_h} (πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι σκιασμένο μみゅーεいぷしろん πράσινο). Ηいーた υποομάδα R είναι κかっぱιいおた αυτή κανονική, επειδή f_cR = U = Rf_c κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん ίδιο ισχύει γがんまιいおたαあるふぁ κάθε άλλο στοιχείο πέρα αあるふぁπぱい’ τたうοおみくろん f_c.

Σύνολο πηλίκο

Κάποιες φορές, τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー υποσυνόλων μιας υποομάδας διέπεται από τις ιδιότητες της ομάδας, κかっぱαあるふぁιいおた προκύπτει έτσι τたうοおみくろん σύνολο πηλίκο. Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ γίνει αυτό, μみゅーιいおたαあるふぁ υποομάδα πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι κανονική. Γがんまιいおたαあるふぁ οποιαδήποτε υποομάδα N, τたうοおみくろん σύνολο πηλίκο ορίζεται ως

G / N = {gN, g ∈ G}, "G modulo N".

Αυτό τたうοおみくろん σύνολο υιοθετεί τたうηいーたνにゅー πράξη (πぱいοおみくろんυうぷしろん πολλές φορές τたうηいーたνにゅー ονομάζουμε πολλαπλασιασμό ή πρόσθεση) της ομάδας G: (gN) • (hN) = (gh)N γがんまιいおたαあるふぁ κάθε g κかっぱαあるふぁιいおた h της G. Αυτός οおみくろん ορισμός προκύπτει ξέροντας ότι ηいーた απεικόνιση G → G / N πぱいοおみくろんυうぷしろん στέλνει κάθε στοιχείο g σしぐまτたうοおみくろん σύμπλοκο gN, είναι ομομορφισμός ομάδων. Τたうοおみくろん υποσύνολο eN=N είναι τたうοおみくろん ουδέτερο στοιχείο της ομάδας κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん αντίστροφο τたうοおみくろんυうぷしろん gN σしぐまτたうοおみくろん σύνολο πηλίκο είναι τたうοおみくろん στοιχείο (gN)⁻¹ = (g⁻¹)N.^e[›]

•	R	U
R	R	U
U	U	R
Πίνακας τたうοおみくろんυうぷしろん σύνολου πηλίκου D4 / R

Τたうαあるふぁ στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん σύνολου πηλίκου D₄ / R είναι τたうοおみくろん ίδιο τたうοおみくろん R, πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι τたうοおみくろん μοναδιαίο στοιχείο, καθώς κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん U = f_vR. Ηいーた πράξη τたうοおみくろんυうぷしろん σύνολου πηλίκου αναπαριστάται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー διπλανό πίνακα. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, U • U = f_vR • f_vR = (f_v • f_v)R = R. Ηいーた υποομάδα R = {id, r₁, r₂, r₃}, καθώς κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん αντίστοιχο σύνολο πηλίκο, είναι αβελιανές ομάδες, ενώ τたうοおみくろん D₄ δでるたεいぷしろんνにゅー είναι αβελιανή ομάδα. Οおみくろん σχηματισμός μεγαλύτερων ομάδων από τたうηいーたνにゅー ένωση μικρότερων, όπως γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα ηいーた ομάδα D₄ πぱいοおみくろんυうぷしろん σχηματίζεται από τたうηいーたνにゅー υποομάδα R κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん σύνολο πηλίκο D₄ / R προκύπτει από ως ημιευθύ γινόμενο.

Τたうαあるふぁ σύνολα πηλίκα κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた υποομάδες μπορούν νにゅーαあるふぁ περιγράψουν μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα ως εξής: κάθε ομάδα είναι τたうοおみくろん πηλίκο της ελεύθερης ομάδας προς τους γεννήτορες της ομάδας, διαιρούμενοι από τたうηいーたνにゅー υποομάδα τたうωおめがνにゅー σχέσεων. Ηいーた διεδρική ομάδα D₄, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, παράγεται από δύο στοιχεία r κかっぱαあるふぁιいおた f (πぱい.χかい., r = r₁, ηいーた δεξιά στροφή κかっぱαあるふぁιいおた f = f_v ηいーた κάθετη (ή οποιαδήποτε άλλη) μετατόπιση), πぱいοおみくろんυうぷしろん σημαίνει ότι κάθε συμμετρία τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου είναι πεπερασμένη σύνθεση αυτών τたうωおめがνにゅー δύο συμμετριών ή τたうωおめがνにゅー αντιστρόφων τους. Μαζί μみゅーεいぷしろん τις σχέσεις

r ⁴ = f ² = (r • f)² = 1, ηいーた ομάδα περιγράφεται πλήρως. Κάτι τέτοιο μπορεί επίσης νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθεί γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー κατασκευή τたうοおみくろんυうぷしろん γραφήματος Cayley, πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι ένας μηχανισμός γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた γραφική απεικόνιση διακριτών ομάδων.

Οおみくろんιいおた υποομάδες κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ σύνολα πηλίκα σχετίζονται ως εξής: ένα υποσύνολο Ηいーた της G μπορεί νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί ως συνάρτηση ένα προς ένα H → G, δηλαδή κάθε όρισμα αντιστοιχίζεται σしぐまεいぷしろん αποκλειστικά δική τたうοおみくろんυうぷしろん τιμή. Αντίστοιχα μみゅーεいぷしろん τις ένα προς ένα, υπάρχουν κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた επί συναρτήσεις (κάθε στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん G είναι εικόνα κάποιου στοιχείου σしぐまτたうοおみくろん H), όπως γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα ηいーた κανονική συνάρτηση G → G / N.^y[›] Ηいーた ερμηνεία τたうωおめがνにゅー υποομάδων κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー συνόλων πηλίκων υπό τたうοおみくろん πρίσμα τたうωおめがνにゅー ομομορφισμών, δίνει έμφαση στις δομές αυτών τたうωおめがνにゅー ορισμών πぱいοおみくろんυうぷしろん αναφέρθηκαν σしぐまτたうηいーたνにゅー εισαγωγή. Γενικά, οおみくろんιいおた ομομορφισμοί δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ούτε ένα προς ένα συναρτήσεις, ούτε επί. Οおみくろん πυρήνας κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた εικόνα μιας ομάδας ομομορφισμών, καθώς κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん πρώτο θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん ισομορφισμού τたうοおみくろん αποδεικνύουν.

Παραδείγματα κかっぱαあるふぁιいおた εφαρμογές

Ταπετσαρία μみゅーεいぷしろん περιοδικό μοτίβο πぱいοおみくろんυうぷしろん δημιουργεί μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα από ταπετσαρίες.

Ηいーた θεμελιώδης ομάδα ενός επιπέδου, εξαιρουμένου ενός σημείου (αυτό πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι έντονο) πぱいοおみくろんυうぷしろん περιλαμβάνει βρόχους γύρω από τたうοおみくろん σημείο αυτό. Αυτή ηいーた ομάδα είναι ισόμορφη μみゅーεいぷしろん τους ακεραίους.

Υπάρχουν αμέτρητα παραδείγματα κかっぱαあるふぁιいおた εφαρμογές γがんまιいおたαあるふぁ τις ομάδες. Πρώτα αあるふぁπぱい’ όλα, τたうοおみくろん σύνολο Z τたうωおめがνにゅー ακέραιων εφοδιασμένο μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πράξη της πρόσθεσης, πぱいοおみくろんυうぷしろん περιγράφεται παραπάνω. Αあるふぁνにゅー αντί γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー πρόσθεση χρησιμοποιήσουμε τたうοおみくろんνにゅー πολλαπλασιασμό, προκύπτουν πολλαπλασιαστικές ομάδες. Αυτές οおみくろんιいおた ομάδες είναι προκάτοχοι σημαντικών κατασκευών της αφηρημένης άλγεβρας. Οおみくろんιいおた ομάδες χρησιμοποιούνται επίσης κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん άλλους τομείς τたうωおめがνにゅー μαθηματικών.

Διάφορα μαθηματικά αντικείμενα εξετάζονται συνήθως ταξινομώντας τたうαあるふぁ σしぐまεいぷしろん ομάδες κかっぱαあるふぁιいおた μελετώντας τις ιδιότητές τους. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, οおみくろん Ανρί Πουανκαρέ δημιούργησε αυτό πぱいοおみくろんυうぷしろん λέμε σήμερα αλγεβρική τοπολογία, ορίζοντας τたうηいーた θεμελιώδη ομάδα. Μέσω αυτής της σύνδεσης, τοπολογικές ιδιότητες όπως ηいーた ανοιχτή περιοχή κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた συνέχεια προκύπτουν ως ιδιότητες τたうωおめがνにゅー ομάδων. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, στοιχεία της θεμελιώδους ομάδας αναπαριστώνται από βρόχους. Ηいーた δεύτερη εικόνα σしぐまτたうαあるふぁ δεξιά δείχνει βρόχους σしぐまτたうοおみくろんνにゅー χώρο, γύρω από ένα σημείο πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたεいぷしろんνにゅー ανήκει σしぐまτたうοおみくろんνにゅー βρόχο. Οおみくろん μみゅーπぱいλらむだεいぷしろん βρόχος θεωρείται μみゅーηいーた ομοτοπικός (γがんまιいおた’ αυτό κかっぱαあるふぁιいおた άσχετος), επειδή μπορεί νにゅーαあるふぁ μικραίνει συνεχώς, μέχρι ένα σημείο. Ηいーた ύπαρξη της τρύπας εμποδίζει τたうοおみくろんνにゅー πορτοκαλί βρόχο νにゅーαあるふぁ μικραίνει μέχρι ένα σημείο. Ηいーた θεμελιώδης ομάδα τたうοおみくろんυうぷしろん επιπέδου πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたεいぷしろんνにゅー περιλαμβάνει ένα σημείο, προκύπτει ως ένας άπειρος κύκλος, πぱいοおみくろんυうぷしろん παράγεται από τたうοおみくろんνにゅー πορτοκαλί βρόχο (ή οποιονδήποτε άλλον βρόχο πぱいοおみくろんυうぷしろん περιστρέφεται γύρω από τたうηいーたνにゅー τρύπα). Μみゅーεいぷしろん αυτόν τたうοおみくろんνにゅー τρόπο, ηいーた θεμελιώδης ομάδα ανιχνεύει τたうηいーたνにゅー τρύπα.

Σしぐまεいぷしろん πぱいιいおたοおみくろん πρόσφατες εφαρμογές, ηいーた επίδραση έχει επίσης αντιστραφεί γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ παρακινήσει γεωμετρικές κατασκευές σしぐまτたうηいーた θεωρία ομάδων. Μみゅーεいぷしろん παρόμοιο τρόπο, ηいーた γεωμετρική θεωρία ομάδων ασχολείται μみゅーεいぷしろん γεωμετρικές έννοιες, όπως γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, τたうηいーた μελέτη τたうωおめがνにゅー υπερβολικών ομάδων. Άλλοι τομείς στους οποίους χρησιμοποιείται ηいーた θεωρία ομάδων είναι ηいーた αλγεβρική γεωμετρία κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた θεωρία αριθμών. Εκτός από τις παραπάνω θεωρητικές εφαρμογές, υπάρχουν πολλές πρακτικές εφαρμογές τたうωおめがνにゅー ομάδων. Ηいーた κρυπτογραφία βασίζεται σしぐまτたうοおみくろん συνδυασμό της αφηρημένης προσέγγισης της θεωρίας ομάδων κかっぱαあるふぁιいおた στις γνώσεις πάνω στους αλγορίθμους πぱいοおみくろんυうぷしろん αποκτήθηκαν σしぐまτたうηいーたνにゅー υπολογιστική θεωρία ομάδων, ιδίως όταν εφαρμόζεται γがんまιいおたαあるふぁ πεπερασμένες ομάδες. Οおみくろんιいおた εφαρμογές της θεωρίας ομάδων δでるたεいぷしろんνにゅー περιορίζονται σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά. Επιστήμες όπως ηいーた φυσική, ηいーた χημεία κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた επιστήμη υπολογιστών ωφελούνται σしぐまεいぷしろん μεγάλο βαθμό από τたうηいーたνにゅー θεωρία ομάδων.

Αριθμοί

Πολλά αριθμητικά συστήματα, όπως οおみくろんιいおた ακέραιοι κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた ρητοί, ανήκουν εいぷしろんκかっぱ φυσικού σしぐまεいぷしろん σύνολα πぱいοおみくろんυうぷしろん συμπεριφέρονται ως ομάδες. Σしぐまεいぷしろん μερικές περιπτώσεις, όπως συμβαίνει μみゅーεいぷしろん τους ρητούς, κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた πρόσθεση κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん πολλαπλασιασμός δημιουργούν ομάδες. Τέτοια αριθμητικά συστήματα είναι προκάτοχοι κάποιων άλλων γενικών αλγεβρικών εννοιών, γνωστοί ως δακτύλιοι κかっぱαあるふぁιいおた σώματα. Άλλες έννοιες της αφηρημένης άλγεβρας, όπως τたうαあるふぁ πρότυπα, οおみくろんιいおた διανυσματικοί χώροι κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた άλγεβρες, σχηματίζουν επίσης ομάδες.

Ακέραιοι

Τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー ακεραίων Z εφοδιασμένο μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πρόσθεση, συμβολίζεται ως (Z, +), κかっぱαあるふぁιいおた αναφέρθηκε παραπάνω. Οおみくろんιいおた ακέραιοι, μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πράξη τたうοおみくろんυうぷしろん πολλαπλασιασμού αντί γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー πρόσθεση, δηλαδή τたうοおみくろん (Z, ·) δでるたεいぷしろんνにゅー αποτελούν ομάδα. Ενώ πληρούνται όλες οおみくろんιいおた ιδιότητες της ομάδας, δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει τたうοおみくろん αντίστροφο στοιχείο: γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, τたうοおみくろん a = 2 είναι ένας ακέραιος, αλλά ηいーた μόνη λύση της εξίσωσης a · b = 1 είναι τたうοおみくろん b = 1/2, πぱいοおみくろんυうぷしろん ανήκει στους ρητούς κかっぱαあるふぁιいおた όχι στους ακέραιους. Οπότε, δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει τたうοおみくろん (πολλαπλασιαστικό) αντίστροφο στοιχείο γがんまιいおたαあるふぁ κάθε στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん Z.^k[›]

Ρητοί

Ηいーた ανάγκη ύπαρξης αντιστρόφων σしぐまτたうοおみくろんνにゅー πολλαπλασιασμό μας οδηγεί σしぐまτたうηいーた χρήση κλασμάτων

${\frac {a}{b}}.$

Τたうαあるふぁ κλάσματα ακεραίων (μみゅーεいぷしろん bδιάφορο τたうοおみくろんυうぷしろん μηδενός) ονομάζονται ρητοί αριθμοί. Τたうοおみくろん σύνολο όλων αυτών τたうωおめがνにゅー κλασμάτων συμβολίζεται ως Q. Υπάρχει ακόμα ένα μικρό εμπόδιο γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αποτελέσει ομάδα τたうοおみくろん (Q, ·), τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー ρητών μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー πολλαπλασιασμών. Οおみくろん ρητός αριθμός 0 δでるたεいぷしろんνにゅー έχει αντίστροφο (δηλαδή δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει x τέτοιο ώστε x · 0 = 1), οπότε τたうοおみくろん (Q, ·) δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ομάδα.

Ωστόσο, τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー μみゅーηいーた μηδενικών ρητών αριθμών Q \ {0} = {q ∈ Q, q ≠ 0} είναι αβελιανή ομάδα μみゅーεいぷしろん πράξη τたうοおみくろんνにゅー πολλαπλασιασμό κかっぱαあるふぁιいおた συμβολίζεται ως (Q \ {0}, ·).^m[›] Ηいーた προσεταιριστικότητα κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん μοναδιαίο στοιχείο είναι επακόλουθα τたうωおめがνにゅー ιδιοτήτων τたうωおめがνにゅー ακεραίων. Ηいーた κλειστότητα όμως δでるたεいぷしろんνにゅー ισχύει, εφόσον τたうοおみくろん γινόμενο δύο μみゅーηいーた μηδενικών ρητών δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ποτέ μηδέν. Τέλος, οおみくろん αντίστροφος τたうοおみくろんυうぷしろん a/b είναι οおみくろん b/a, οπότε ικανοποιείται ηいーた ιδιότητα τたうοおみくろんυうぷしろん αντίστροφου στοιχείου.

Οおみくろんιいおた ρητοί αριθμοί (συμπεριλαμβανομένου κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん μηδενός) σχηματίζουν ομάδα μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πράξη της πρόσθεσης. Συνδέοντας τたうηいーたνにゅー πρόσθεση κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんνにゅー πολλαπλασιασμού, προκύπτουν πぱいιいおたοおみくろん περίπλοκες δομές πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζονται δακτύλιοι κかっぱαあるふぁιいおた - αあるふぁνにゅー μπορούμε νにゅーαあるふぁ κάνουμε διαίρεση, όπως σしぐまτたうοおみくろん Q— προκύπτουν τたうαあるふぁ σώματα, πぱいοおみくろんυうぷしろん καταλαμβάνουν κεντρική θέση σしぐまτたうηいーたνにゅー αφηρημένη άλγεβρα. Οπότε πολλά επιχειρήματα της θεωρίας ομάδων αποτελούν τたうηいーた βάση γがんまιいおたαあるふぁ δομές σしぐまαあるふぁνにゅー αυτές.^n[›]

Αριθμητική μέτρου

Οおみくろんιいおた ώρες σしぐまτたうοおみくろん ρολόι σχηματίζουν μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιεί πρόσθεση modulo 12. Εδώ, 9+4=1

Σしぐまτたうηいーたνにゅー αριθμητική μέτρου, δύο ακέραιοι προστίθενται, κかっぱαあるふぁιいおた μετά τたうοおみくろん άθροισμά τους διαιρείται από τたうοおみくろんνにゅー θετικό ακέραιο πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται modulus. Τたうοおみくろん αποτέλεσμα της αριθμητικής μέτρου είναι τたうοおみくろん υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης. Γがんまιいおたαあるふぁ κάθε modulus, τたうοおみくろん n, τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー ακεραίων από 0 μέχρι n−1 σχηματίζει ομάδα υπό τたうηいーたνにゅー αριθμητική μέτρου: τたうοおみくろん αντίστροφο ενός στοιχείου a είναι τたうοおみくろん n−a, κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん 0 είναι τたうοおみくろん μοναδιαίο στοιχείο. Αυτό θυμίζει τις ώρες τたうωおめがνにゅー ρολογιών: αあるふぁνにゅー οおみくろん δείκτης τたうοおみくろんυうぷしろん ρολογιού είναι σしぐまτたうοおみくろん 9 κかっぱαあるふぁιいおた προχωρήσει κατά 4 ώρες, θしーたαあるふぁ καταλήξει σしぐまτたうοおみくろん 1, όπως φαίνεται σしぐまτたうαあるふぁ δεξιά. Μπορούμε δηλαδή νにゅーαあるふぁ πούμε ότι 9 + 4 ίσον 1 "modulo 12" ή συμβολίζοντάς τたうοおみくろん έτσι:

9 + 4 ≡ 1 modulo 12.

Ηいーた ομάδα τたうωおめがνにゅー ακεραίων modulo n γράφεται Z_n or Z/nZ.

Γがんまιいおたαあるふぁ κάθε πρώτο αριθμό p, υπάρχει επίσης ηいーた πολλαπλασιαστική ομάδα ακεραίων modulo p. Τたうαあるふぁ στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん είναι οおみくろんιいおた ακέραιοι 1 έως p−1. Ηいーた πράξη της ομάδας είναι οおみくろん πολλαπλασιασμός modulo p. Δηλαδή, τたうοおみくろん σύνηθες γινόμενο διαιρείται μみゅーεいぷしろん p κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん υπόλοιπο της διαίρεσης είναι τたうοおみくろん αποτέλεσμα τたうοおみくろんυうぷしろん πολλαπλασιασμού κατά modulo. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, αあるふぁνにゅー p = 5, υπάρχουν τέσσερα στοιχεία της ομάδας 1, 2, 3, 4. Σしぐまεいぷしろん αυτήν τたうηいーたνにゅー ομάδα, 4 · 4 = 1, επειδή τたうοおみくろん σύνηθες γινόμενο 16 είναι ισοδύναμο μみゅーεいぷしろん 1, αφού όταν διαιρεθεί μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん 5 δίνει υπόλοιπο 1. Αυτό συμβολίζεται ως:

16 ≡ 1 (mod 5).

Τたうοおみくろん ότι οおみくろん p είναι πρώτος διασφαλίζει ότι τたうοおみくろん γινόμενο τたうωおめがνにゅー δύο ακεραίων, αあるふぁπぱい’ τους οποίους κανείς δでるたεいぷしろんνにゅー διαιρείται από τたうοおみくろん p δでるたεいぷしろんνにゅー θしーたαあるふぁ είναι επίσης πολλαπλάσιο τたうοおみくろんυうぷしろん p, οπότε τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー κλάσεων θしーたαあるふぁ είναι κλειστό ως προς τたうοおみくろんνにゅー πολλαπλασιασμό. Τたうοおみくろん μοναδιαίο στοιχείο είναι τたうοおみくろん 1, όπως συνηθίζεται στις πολλαπλασιαστικές ομάδες, κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた προσεταιριστικότητα προκύπτει από τたうηいーたνにゅー αντίστοιχη ιδιότητα τたうωおめがνにゅー ακεραίων. Τέλος, τたうοおみくろん αντίστροφο στοιχείο προϋποθέτει ότι αあるふぁνにゅー δίνεται ένας ακέραιος a πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたεいぷしろんνにゅー διαιρείται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん p, υπάρχει ένας ακέραιος b τέτοιος ώστε

a · b ≡ 1 (mod p), δηλαδή οおみくろん p διαιρεί τたうηいーた διαφορά a · b − 1.

Οおみくろん αντίστροφος b μπορεί νにゅーαあるふぁ βρεθεί μみゅーεいぷしろん τたうηいーた χρήση της ταυτότητας τたうοおみくろんυうぷしろん Μπεζού κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん γεγονός ότι οおみくろん μέγιστος κοινός διαιρέτης μみゅー.κかっぱ.δでるたgcd(a, p) ισούται μみゅーεいぷしろん 1. Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση παραπάνω όπου p = 5, τたうοおみくろん αντίστροφο τたうοおみくろんυうぷしろん 4 είναι 4, κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん αντίστροφο τたうοおみくろんυうぷしろん 3 είναι 2, αφού 3 · 2 = 6 ≡ 1 (mod 5). Ως εいぷしろんκかっぱ τούτου, πληρούνται όλες οおみくろんιいおた ιδιότητες της ομάδας. Σしぐまτたうηいーたνにゅー πραγματικότητα, αυτό τたうοおみくろん παράδειγμα είναι παρόμοιο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん (Q\{0}, ·) πぱいοおみくろんυうぷしろん αναφέρθηκε παραπάνω: αποτελείται από τたうαあるふぁ στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん Z/pZ πぱいοおみくろんυうぷしろん έχουν μみゅーιいおたαあるふぁ αντίστροφο μみゅーεいぷしろん πράξη τたうοおみくろんνにゅー πολλαπλασιασμό. Οおみくろんιいおた ομάδες αυτές συμβολίζονται ως F_p^×. Είναι ζωτικής σημασίας γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー κρυπτογράφηση κωδίκων.^p[›]

Κυκλικές ομάδες

Ηいーた έκτες μιγαδικές ρίζες της μονάδας σχηματίζουν μみゅーιいおたαあるふぁ κυκλική ομάδα. Τたうοおみくろん z είναι τたうοおみくろん πρωτεύον στοιχείο, αλλά τたうοおみくろんz² δでるたεいぷしろんνにゅー είναι, επειδή οおみくろんιいおた άρτιες δυνάμεις τたうοおみくろんυうぷしろん z δでるたεいぷしろんνにゅー είναι δύναμη τたうοおみくろんυうぷしろん z².

Μみゅーιいおたαあるふぁ κυκλική ομάδα είναι ηいーた ομάδα της οποίας όλα τたうαあるふぁ στοιχεία προκύπτουν από δυνάμεις ενός συγκεκριμένου στοιχείου a. Μみゅーεいぷしろん πολλαπλασιαστικό συμβολισμό, τたうαあるふぁ στοιχεία της ομάδας θしーたαあるふぁ είναι:

..., a⁻³, a⁻², a⁻¹, a⁰ = e, a, a², a³, ...,

όπου a² σημαίνει a • a, κかっぱαあるふぁιいおた a⁻³ σημαίνει a⁻¹ • a⁻¹ • a⁻¹=(a • a • a)⁻¹ κかっぱτたうλらむだ.^h[›] Ένα τέτοιο στοιχείο a ονομάζεται γεννήτορας ή αρχικό στοιχείο της ομάδας. Σしぐまτたうηいーたνにゅー πρόσθεση, ένα στοιχείο είναι γεννήτορας όταν όλα τたうαあるふぁ υπόλοιπα στοιχεία μπορούν νにゅーαあるふぁ γραφτούν ως

..., −a−a, −a, 0, a, a+a, ...

Στις ομάδες Z/nZ πぱいοおみくろんυうぷしろん αναφέρθηκαν παραπάνω, τたうοおみくろん στοιχείο 1 είναι γεννήτορας, οπότε αυτές οおみくろんιいおた ομάδες είναι κυκλικές. Πράγματι, κάθε στοιχείο εκφράζεται ως ένα άθροισμα τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου όλοι οおみくろんιいおた όροι ισούνται μみゅーεいぷしろん 1. Κάθε κυκλική ομάδα μみゅーεいぷしろん n στοιχεία είναι ισόμορφη αυτής της ομάδας. Ένα δεύτερο παράδειγμα γがんまιいおたαあるふぁ τις κυκλικές ομάδες είναι ηいーた ομάδα τたうωおめがνにゅー n-οστών μιγαδικών ριζών της μονάδας, πぱいοおみくろんυうぷしろん προκύπτουν από τους μιγαδικούς αριθμούς z πぱいοおみくろんυうぷしろん ικανοποιούν τたうηいーたνにゅー εξίσωση zⁿ = 1. Αυτοί οおみくろんιいおた αριθμοί μπορούν νにゅーαあるふぁ παρασταθούν ως οおみくろんιいおた κορυφές ενός κανονικού n-γώνου, όπως φαίνεται σしぐまτたうαあるふぁ δεξιά μみゅーεいぷしろん μみゅーπぱいλらむだεいぷしろん χρώμα γがんまιいおたαあるふぁ n = 6. Ηいーた πράξη της ομάδας είναι οおみくろん πολλαπλασιασμός τたうωおめがνにゅー μιγαδικών αριθμών. Σしぐまτたうηいーたνにゅー εικόνα, πολλαπλασιάζοντας μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん z αντιστοιχεί σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ αριστερόστροφη περιστροφή κατά 60°. Χρησιμοποιώντας τたうηいーた θεωρία σωμάτων, μπορούμε νにゅーαあるふぁ αποδείξουμε ότι ηいーた ομάδα F_p^× είναι κυκλική: γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, αあるふぁνにゅー p = 5, τたうοおみくろん 3 είναι γεννήτορας, δεδομένου ότι 3¹ = 3, 3² = 9 ≡ 4, 3³ ≡ 2, and 3⁴ ≡ 1.

Ορισμένες κυκλικές ομάδες έχουν άπειρο αριθμό στοιχείων. Σしぐまεいぷしろん αυτές τις ομάδες, γがんまιいおたαあるふぁ κάθε μみゅーηいーた μηδενικό στοιχείο a, όλες οおみくろんιいおた δυνάμεις τたうοおみくろんυうぷしろん a είναι διαφορετικές. Παρά τたうηいーたνにゅー ονομασία "κυκλική ομάδα", οおみくろんιいおた δυνάμεις τたうωおめがνにゅー στοιχείων δでるたεいぷしろんνにゅー δημιουργούν κύκλο. Μみゅーιいおたαあるふぁ άπειρη κυκλική ομάδα είναι ισόμορφη μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー (Z, +), τたうηいーたνにゅー ομάδα τたうωおめがνにゅー ακέραιων υπό τたうηいーたνにゅー πράξη της πρόσθεσης πぱいοおみくろんυうぷしろん αναφέρθηκε παραπάνω. Όπως κかっぱαあるふぁιいおた αυτές οおみくろんιいおた δύο είναι αβελιανές, έτσι κかっぱαあるふぁιいおた όλες οおみくろんιいおた κυκλικές ομάδες είναι αβελιανές.

Ηいーた μελέτη τたうωおめがνにゅー πεπερασμένων αβελιανών ομάδων έχει προχωρήσει αρκετά, συμπεριλαμβανομένου κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん θεμελιώδους θεωρήματος τたうωおめがνにゅー πεπερασμένων παραγόμενων αβελιανών ομάδων. Έτσι, πολλές θεωρίες πぱいοおみくろんυうぷしろん σχετίζονται μみゅーεいぷしろん τις ομάδες, όπως τたうοおみくろん κέντρο κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん αντιμεταθέτης, περιγράφουν πότε μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα δでるたεいぷしろんνにゅー είναι αβελιανή.

Ομάδες συμμετρίας

Οおみくろんιいおた ομάδες συμμετρίας είναι ομάδες πぱいοおみくろんυうぷしろん αποτελούνται από συμμετρίες δοθέντων μαθηματικών αντικειμένων – είτε γεωμετρικής φύσης, όπως ηいーた εισαγωγική συμμετρική ομάδα τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου, ή αλγεβρικής φύσης, όπως οおみくろんιいおた πολυωνυμικές εξισώσεις κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた λύσεις τους. Από εννοιολογικής άποψης, ηいーた θεωρία ομάδων μπορεί νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί ως ηいーた μελέτη της συμμετρίας.^t[›] Οおみくろんιいおた συμμετρίες σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά απλοποιούν σημαντικά τたうηいーた μελέτη τたうωおめがνにゅー γεωμετρικών ή αναλυτικών αντικείμενων. Μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα λέγεται ότι δでるたρろーαあるふぁ σしぐまεいぷしろん ένα άλλο μαθηματικό αντικείμενο X εάν κάθε στοιχείο της ομάδας εκτελεί κάποια λειτουργία σしぐまτたうοおみくろん X κかっぱαあるふぁιいおた είναι συμβατή μみゅーεいぷしろん τους κανόνες της ομάδας. Σしぐまτたうοおみくろん παρακάτω παράδειγμα δεξιά, ένα στοιχείο τάξης 7 της (2,3,7) τριγωνικής ομάδας δでるたρろーαあるふぁ μみゅーεいぷしろん μετάθεση τたうωおめがνにゅー επισκιασμένων πλαγίων τρίγωνων. Από μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα δράσης, τたうοおみくろん μοτίβο της ομάδας είναι συνδεδεμένο μみゅーεいぷしろん τたうηいーた δομή τたうοおみくろんυうぷしろん αντικειμένου πぱいοおみくろんυうぷしろん ενήργησε.

Περιστροφές κかっぱαあるふぁιいおた μετατοπίσεις αποτελούν τたうηいーたνにゅー ομάδα συμμετρίας ενός μεγάλου εικοσάεδρου.

Σしぐまεいぷしろん τομείς χημικών προϊόντων, όπως ηいーた κρυσταλλογραφία, ομάδες χώρων κかっぱαあるふぁιいおた ομάδες σημείων περιγράφουν τたうηいーた μοριακή συμμετρία κかっぱαあるふぁιいおた τις κρυσταλλικές συμμετρίες. Αυτές οおみくろんιいおた συμμετρίες διέπουν τたうηいーた χημική κかっぱαあるふぁιいおた φυσική συμπεριφορά τたうωおめがνにゅー συστημάτων αυτών κかっぱαあるふぁιいおた της θεωρίας ομάδων επιτρέπει τたうηいーたνにゅー απλούστευση της κβαντικής μηχανικής ανάλυσης τたうωおめがνにゅー ιδιοτήτων αυτών. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた θεωρία ομάδων χρησιμοποιείται γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ δείξει κανείς ότι οおみくろんιいおた οπτικές μεταβάσεις μεταξύ ορισμένων κβαντικών επιπέδων δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί νにゅーαあるふぁ γίνει εξαιτίας της εμπλεκόμενης συμμετρίας τたうωおめがνにゅー κανόνων.

Δでるたεいぷしろんνにゅー είναι μόνο οおみくろんιいおた ομάδες χρήσιμες γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー εκτίμηση τたうωおめがνにゅー επιπτώσεων τたうωおめがνにゅー συμμετριών σしぐまτたうαあるふぁ μόρια, αλλά εκπληκτικά αυτά προβλέπουν επίσης ότι τたうαあるふぁ μόρια μερικές φορές μπορεί νにゅーαあるふぁ αλλάξουν συμμετρία. Ηいーた επίδραση Τζιάν-Τέλερ (Jahn-Teller effect) είναι μみゅーιいおたαあるふぁ στρέβλωση τたうοおみくろんυうぷしろん ενός μορίου της υψηλής συμμετρίας, όταν υιοθετεί μみゅーιいおたαあるふぁ συγκεκριμένη κατάσταση τたうοおみくろんυうぷしろん εδάφους της συμμετρίας κάτω από ένα σύνολο τたうωおめがνにゅー πιθανών καταστάσεων τたうοおみくろんυうぷしろん εδάφους πぱいοおみくろんυうぷしろん σχετίζονται μみゅーεいぷしろん κάθε άλλη από τις πράξεις συμμετρίας τたうοおみくろんυうぷしろん μορίου.

Ομοίως, ηいーた θεωρία ομάδων βοηθά σしぐまτたうηいーたνにゅー πρόβλεψη τたうωおめがνにゅー αλλαγών στις φυσικές ιδιότητες πぱいοおみくろんυうぷしろん συμβαίνουν όταν ένα υλικό υποβάλλεται σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ μεταβατική φάση, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ένα κυβικό σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ τετραεδρική κρυσταλλική μορφή. Ένα παράδειγμα είναι σιδηροηλεκτρικά υλικά, όπου ηいーた αλλαγή από παραηλεκτρική σしぐまεいぷしろん ένα σιδεροηλεκτρική κατάσταση λαμβάνει χώρα σしぐまτたうηいーた Θερμοκρασία Κιρί κかっぱαあるふぁιいおた σχετίζεται μみゅーεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ αλλαγή από τたうηいーたνにゅー κατάσταση υψηλής συμμετρίας παραηλεκτρικής κατάστασης χαμηλότερης σιδηροηλεκτρικής συμμετρίας, πぱいοおみくろんυうぷしろん συνοδεύεται από μみゅーιいおたαあるふぁ λεγόμενη μαλακή λειτουργία, μみゅーιいおたαあるふぁ παλμική λειτουργία πλέγματος πぱいοおみくろんυうぷしろん πηγαίνει σしぐまτたうοおみくろん μηδέν συχνότητα κατά τたうηいーた μετάβαση.

Τέτοιο αυθόρμητο σπάσιμο της συμμετρίας βρίσκει εφαρμογή σしぐまτたうηいーたνにゅー φυσική τたうωおめがνにゅー στοιχειωδών σωματιδίων, όπου ηいーた εμφάνισή της σχετίζεται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー εμφάνιση τたうωおめがνにゅー μποζονίων Γκολντστόουν.

Τたうοおみくろん Buckminsterfullerene δείχνει τたうηいーたνにゅー ισοεδρική συμμετρία.	Αμμωνία, NH3. Ηいーた ομάδα συμμετρίας της είναι τάξης 6 κかっぱαあるふぁιいおた δημιουργείται από στροφή 120° κかっぱαあるふぁιいおた αντικατοπτρισμό.	Τたうαあるふぁ κυβάνια C8H8 έχουν οκταεδρική συμμετρία.	Hexaaquacopper(II) περίπλοκο ιόν, [Cu(OH2)6]2+. Σしぐまεいぷしろん σύγκριση μみゅーεいぷしろん ένα τέλεια συμμετρικό σχήμα, τたうοおみくろん μόριο είναι κάθετα διεσταλμένο κατά 22% (επίδραση Τζιάν-Τέλερ).	Ηいーた τριγωνική ομάδα (2,3,7), μみゅーιいおたαあるふぁ υπερβολική ομάδα.

Οおみくろんιいおた πεπερασμένες ομάδες συμμετρίας, όπως οおみくろんιいおた ομάδες Μάθιου (Mathieu), χρησιμοποιούνται σしぐまτたうηいーた θεωρία κωδικοποίησης, ηいーた οποία μみゅーεいぷしろん τたうηいーた σειρά της εφαρμόζεται σしぐまτたうηいーたνにゅー διόρθωση σφαλμάτων τたうωおめがνにゅー μεταδιδόμενων δεδομένων κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん συσκευές αναπαραγωγής CD. Μみゅーιいおたαあるふぁ άλλη εφαρμογή είναι ηいーた διαφορική θεωρία Γκαλουά, ηいーた οποία χαρακτηρίζει τις συναρτήσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん έχουν αντιπαράγωγου της προκαθορισμένης μορφής , δίνοντας κριτήρια θεωρίας ομάδων γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん πότε οおみくろんιいおた λύσεις ορισμένων διαφορικών εξισώσεων είναι καλά ορισμένες. Οおみくろんιいおた γεωμετρικές ιδιότητες πぱいοおみくろんυうぷしろん παραμένουν σταθερές σしぐまτたうοおみくろん πλαίσιο τたうωおめがνにゅー δράσεων της ομάδας μελετώνται σしぐまτたうηいーた θεωρία (γεωμετρικής) μεταβλητότητας.

Γενική γραμμική ομάδα κかっぱαあるふぁιいおた θεωρία εκπροσώπησης

Δύο διανύσματα (ηいーた αριστερή εικόνα) πολλαπλασιαζόμενα μみゅーεいぷしろん πίνακες (τたうαあるふぁ μεσαία κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた δεξιά εικόνα). Ηいーた μεσαία εικόνα αντιπροσωπεύει μみゅーιいおたαあるふぁ δεξιόστροφη περιστροφή κατά 90°, ενώ οおみくろんιいおた πぱいιいおたοおみくろん δεξιά ένα τεντώνει τたうοおみくろん x-συντεταγμένη κατά ένα παράγοντα 2.

Οおみくろんιいおた ομάδες πινάκων αποτελούνται από πίνακες μみゅーεいぷしろん πράξη τたうοおみくろんνにゅー πολλαπλασιασμό πινάκων. Ηいーた γενική γραμμική ομάδα $GL_{n}(\mathbb {R} )$ αποτελείται από όλους τους αντιστρέψιμους $n\times n$ πίνακες μみゅーεいぷしろん πραγματικά στοιχεία. Οおみくろんιいおた υποομάδες της αναφέρονται ως ομάδες πινάκων ή γραμμικές ομάδες. Τたうοおみくろん παράδειγμα της διεδρικής ομάδας πぱいοおみくろんυうぷしろん αναφέρθηκε παραπάνω μπορεί νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί ως μみゅーιいおたαあるふぁ (πολύ μικρή) ομάδα πινάκων. Μみゅーιいおたαあるふぁ άλλη σημαντική ομάδα πινάκων είναι ηいーた ειδική ορθογώνια ομάδα $SO_{n}$. Περιγράφει όλες τις πιθανές περιστροφές σしぐまεいぷしろん $n$ διαστάσεις. Μέσω γωνιών Όιλερ, οおみくろんιいおた πίνακες περιστροφής χρησιμοποιούνται σしぐまεいぷしろん γραφικά υπολογιστών.

Ηいーた θεωρία εκπροσώπησης είναι εφαρμογή της έννοιας της ομάδας κかっぱαあるふぁιいおた σημαντική γがんまιいおたαあるふぁ μみゅーιいおたαあるふぁ βαθύτερη κατανόηση τたうωおめがνにゅー ομάδων. Μελετά τたうηいーたνにゅー ομάδα από τις ενέργειες τたうοおみくろんυうぷしろん διανυσματικού χώρου σしぐまεいぷしろん άλλους χώρους. Μみゅーιいおたαあるふぁ ευρεία κατηγορία τたうωおめがνにゅー αναπαραστάσεων της ομάδας είναι γραμμικές αναπαραστάσεις, δηλαδή ηいーた ομάδα πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたρろーαあるふぁ σしぐまεいぷしろん ένα χώρο φορέα, όπως οおみくろん τρισδιάστατος ευκλείδειος χώρος $\mathbb {R} ^{3}$. Μみゅーιいおたαあるふぁ αναπαράσταση τたうοおみくろんυうぷしろん $G$ σしぐまεいぷしろん ένα $n$-διάστατο διάνυσμα πραγματικού χώρου είναι απλά μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα ομομορφισμού

$\rho :G\to GL_{n}(\mathbb {R} )$

από τたうηいーたνにゅー ομάδα σしぐまτたうηいーた γενική γραμμική ομάδα. Μみゅーεいぷしろん αυτόν τたうοおみくろんνにゅー τρόπο, ηいーた λειτουργία της ομάδας, ηいーた οποία μπορεί νにゅーαあるふぁ δοθεί αφηρημένα, μεταφράζεται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー πολλαπλασιασμό τたうωおめがνにゅー πινάκων καθιστώντας προσιτό στους ρητούς υπολογισμούς. Λαμβάνοντας υπόψη μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα δράσης, αυτό δίνει περαιτέρω μέσα γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ μελετήσουν τたうοおみくろん αντικείμενο πぱいοおみくろんυうぷしろん μελετάται. Από τたうηいーたνにゅー άλλη πλευρά, δίνει επίσης πληροφορίες σχετικά μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ομάδα. Αναπαραστάσεις ομάδας είναι μみゅーιいおたαあるふぁ οργανωτική αρχή σしぐまτたうηいーた θεωρία τたうωおめがνにゅー πεπερασμένων ομάδων, ομάδες Λらむだιいおた, αλγεβρικές ομάδες κかっぱαあるふぁιいおた τοπολογικές ομάδες, ειδικά (τοπικά) συμπαγείς ομάδες.

Ομάδες Γκαλουά (Galois)

Οおみくろんιいおた ομάδες Γκαλουά αναπτύχθηκαν γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ βοηθήσουν σしぐまτたうηいーたνにゅー επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων, αναπαριστώντας αποδοτικά τたうαあるふぁ χαρακτηριστικά συμμετρίας τους. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, οおみくろんιいおた λύσεις της εξίσωσης $ax^{2}+bx+c=0$ δίνονται από

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Ανταλλάσσοντας τたうαあるふぁ "+" κかっぱαあるふぁιいおた "-" σしぐまτたうηいーたνにゅー έκφραση (δηλαδή μετατίθοντας τις δύο λύσεις της εξίσωσης) μπορεί νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί ως μみゅーιいおたαあるふぁ (πολύ απλή) πράξη ομάδας. Παρόμοιοι τύποι είναι γνωστοί γがんまιいおたαあるふぁ εξισώσεις 3οおみくろんυうぷしろん κかっぱ 4οおみくろんυうぷしろん βαθμού, αλλά δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχουν σしぐまεいぷしろん γενικές γραμμές γがんまιいおたαあるふぁ 5οおみくろんυうぷしろん βαθμού κかっぱαあるふぁιいおた άνω. Αφηρημένες ιδιότητες τたうωおめがνにゅー ομάδων Γκαλουά πぱいοおみくろんυうぷしろん συνδέονται μみゅーεいぷしろん πολυώνυμα (ιδίως σしぐまτたうηいーたνにゅー επιλυσιμότητά τους) μπορούν νにゅーαあるふぁ δώσουν ένα κριτήριο γがんまιいおたαあるふぁ πολυώνυμα πぱいοおみくろんυうぷしろん έχουν όλες τις λύσεις τους, κかっぱαあるふぁιいおた νにゅーαあるふぁ εκφραστεί μόνο από πρόσθεση, πολλαπλασιασμό κかっぱαあるふぁιいおた ρίζες ομοίως μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー κανόνα πぱいοおみくろんυうぷしろん είδαμε παραπάνω.

Τたうοおみくろん πρόβλημα μπορεί νにゅーαあるふぁ αντιμετωπιστεί μみゅーεいぷしろん τたうηいーた μετατόπιση της θεωρίας σωμάτων κかっぱαあるふぁιいおた λαμβάνοντας υπόψη τたうηいーた διάσπαση σώματος ενός πολυωνύμου. Ηいーた σύγχρονη θεωρία Γκαλουά γενικεύει τたうοおみくろんνにゅー παραπάνω τύπο ομάδων Γκαλουά γがんまιいおたαあるふぁ τις επεκτάσεις τομέα κかっぱαあるふぁιいおた καθορίζει, μέσω τたうοおみくろんυうぷしろん θεμελιώδους θεωρήματος της θεωρίας Γκαλουά, μみゅーιいおたαあるふぁ ακριβής σχέση ανάμεσα σしぐまτたうαあるふぁ πεδία κかっぱαあるふぁιいおた τις ομάδες, υπογραμμίζοντας γがんまιいおたαあるふぁ άλλη μみゅーιいおたαあるふぁ φορά τたうηいーたνにゅー πανταχού παρουσία τたうωおめがνにゅー ομάδων σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά.

Πεπερασμένες ομάδες

Μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα ονομάζεται πεπερασμένη αあるふぁνにゅー έχει έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων. Οおみくろん αριθμός τたうωおめがνにゅー στοιχείων ονομάζεται τάξη της ομάδας. Μみゅーιいおたαあるふぁ σημαντική κατηγορία είναι ηいーた συμμετρικές ομάδες $S_{N}$, δηλαδή οおみくろんιいおた ομάδες τたうωおめがνにゅー μεταθέσεων $N$ γραμμάτων. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた συμμετρική ομάδα γがんまιいおたαあるふぁ 3 γράμματα $S_{3}$ είναι ηいーた ομάδα πぱいοおみくろんυうぷしろん αποτελείται από όλες τις πιθανές διατάξεις από τたうαあるふぁ τρία γράμματα ABC, δηλαδή περιλαμβάνει τたうαあるふぁ στοιχεία ABC, ACB, ..., μέχρι CBA, σしぐまτたうοおみくろん σύνολο 6 (ή 3 παραγοντικό) στοιχεία. Αυτή ηいーた κατηγορία είναι θεμελιώδης σしぐまτたうοおみくろん βαθμό πぱいοおみくろんυうぷしろん οποιαδήποτε ομάδα πεπερασμένη μπορεί νにゅーαあるふぁ εκφραστεί ως μみゅーιいおたαあるふぁ υποομάδα μιας συμμετρικής ομάδας $S_{N}$ γがんまιいおたαあるふぁ έναν κατάλληλο ακέραιο $N$ (θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Κέιλεϊ). Όπως μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ομάδα τたうωおめがνにゅー συμμετριών τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου παραπάνω, ηいーた $S_{3}$ μπορεί επίσης νにゅーαあるふぁ ερμηνευθεί ως ηいーた ομάδα τたうωおめがνにゅー συμμετριών ενός ισοσκελούς τριγώνου.

Ηいーた τάξη ενός στοιχείου $a$ σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα $G$ είναι οおみくろん μικρότερος θετικός ακέραιος $n$tέτοιος ώστε $a^{n}=e$, όπου

$a^{n}=\underbrace {a\cdots a} _{n{\text{ όροι}}},$

δηλαδή ηいーた εφαρμογή της πράξης $\bullet$ σしぐまεいぷしろん $n$ αντίγραφα τたうοおみくろんυうぷしろん στοιχείου $a$. (Αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん $\bullet$ αντιπροσωπεύει πολλαπλασιασμό, τότε αντιστοιχεί σしぐまτたうηいーたνにゅー $n$-ιοστή δύναμη τたうοおみくろんυうぷしろん $a$.) Στις άπειρες ομάδες, μπορεί νにゅーαあるふぁ μみゅーηいーたνにゅー υπάρχει τέτοιο $n$, οπότε λέμε ότι ηいーた τάξη τたうοおみくろんυうぷしろん $a$ είναι άπειρη. Ηいーた τάξη ενός στοιχείου ισούται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー τάξη της κυκλικής υποομάδας πぱいοおみくろんυうぷしろん παράγεται από αυτό τたうοおみくろん στοιχείο.

Πぱいιいおたοおみくろん εξελιγμένες τεχνικές μέτρησης, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, μετρώντας πλευρικές τάξεις ομάδας αποδίδει πぱいιいおたοおみくろん ακριβείς προτάσεις σχετικά μみゅーεいぷしろん πεπερασμένες ομάδες: τたうοおみくろん θεώρημα Λαγκράνζ (Lagrange) δηλώνει ότι γがんまιいおたαあるふぁ μみゅーιいおたαあるふぁ πεπερασμένη ομάδα G ηいーた τάξη της κάθε πεπερασμένη υποομάδας H χωρίζει τたうηいーたνにゅー τάξη τたうοおみくろんυうぷしろん G. Τたうαあるふぁ θεωρήματα Sylow δίνουν αντίστροφο.

Ηいーた διεδρική ομάδα (πぱいοおみくろんυうぷしろん συζητείται ανωτέρω) είναι μみゅーιいおたαあるふぁ πεπερασμένη ομάδα τάξης 8. Ηいーた τάξη τたうοおみくろんυうぷしろん r₁ είναι 4, όπως είναι ηいーた σειρά της υποομάδας R πぱいοおみくろんυうぷしろん παράγει (βλέπε παραπάνω). Ηいーた σειρά τたうοおみくろんυうぷしろん προβληματισμού f_v στοιχείων κかっぱλらむだπぱい. είναι 2. Κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた δύο εντολές διαιρούν τたうοおみくろん 8, όπως προβλέπεται από τたうοおみくろん Θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Λαγκράνζ. Οおみくろんιいおた ομάδες F_p^× παραπάνω έχουν τάξη p − 1.

Ηいーた κατάταξη τたうωおめがνにゅー πεπερασμένων απλών ομάδων

Οおみくろんιいおた μαθηματικοί συχνά προσπαθούν γがんまιいおたαあるふぁ μみゅーιいおたαあるふぁ πλήρη ταξινόμηση μιας μαθηματικής έννοιας. Σしぐまτたうοおみくろん πλαίσιο τたうωおめがνにゅー πεπερασμένων ομάδων, οおみくろん στόχος αυτός οδηγεί γρήγορα σしぐまεいぷしろん δύσκολα κかっぱαあるふぁιいおた βαθιά μαθηματικά. Σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Λαγκράνζ, πεπερασμένες ομάδες τάξης $p$, είναι κかっぱαあるふぁτたう' ανάγκην κυκλικές (αβελιανές) Z_p ομάδες. Ομάδες p² τάξης μπορεί επίσης νにゅーαあるふぁ αποδειχθεί ότι είναι αβελιανή, μみゅーιいおたαあるふぁ πρόταση ηいーた οποία δでるたεいぷしろんνにゅー γενικεύεται γがんまιいおたαあるふぁ τάξη p³, ως μみゅーηいーた αβελιανή ομάδα D₄ τάξης 8 = 2³ όπως φαίνεται παραπάνω. Τたうοおみくろん σύστημα άλγεβρας υπολογιστών μπορεί νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθεί σしぐまτたうηいーた λίστα μικρών ομάδων, αλλά δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει κατάταξη όλων τたうωおめがνにゅー πεπερασμένων ομάδων. Ένα ενδιάμεσο βήμα είναι ηいーた κατάταξη τたうωおめがνにゅー πεπερασμένων απλών ομάδων.^r[›] Μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα ονομάζεται απλή, αあるふぁνにゅー οおみくろんιいおた μόνες κανονικές της υποομάδες είναι ηいーた τετριμμένη ομάδα κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた ίδια ηいーた ομάδα.^s[›] Τたうοおみくろん θεώρημα Jordan-Hölder παρουσιάζει πεπερασμένες απλές ομάδες, όπως τたうαあるふぁ δομικά στοιχεία γがんまιいおたαあるふぁ όλες τις πεπερασμένες ομάδες. περί τたうοおみくろんυうぷしろん καταλόγου όλων τたうωおめがνにゅー πεπερασμένων απλών ομάδων ήταν ένα σημαντικό επίτευγμα σしぐまτたうηいーた σύγχρονη θεωρία ομάδων. Οおみくろん νικητής τたうοおみくろんυうぷしろん μεταλλίου Fields τたうοおみくろんυうぷしろん 1998 Borcherds Richard κατάφερε νにゅーαあるふぁ αποδείξει τたうηいーたνにゅー τερατώδη εικασία, μみゅーιいおたαあるふぁ εκπληκτική κかっぱαあるふぁιいおた βαθιά σχέση της μεγαλύτερης πεπερασμένης απλής σποραδικής ομάδας -ηいーた «ομάδα τέρας»- μみゅーεいぷしろん ορισμένες σπονδυλωτές λειτουργίες, ένα κομμάτι της μιγαδικής ανάλυσης κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた θεωρία μέτρου, μみゅーιいおたαあるふぁ θεωρία υποτίθεται ότι θしーたαあるふぁ ενοποιήσει τたうηいーたνにゅー περιγραφή πολλών φυσικών φαινομένων.

Προσθετικές ομάδες

Πολλές ομάδες είναι ταυτόχρονα ομάδες κかっぱαあるふぁιいおた παραδείγματα άλλων μαθηματικών δομών. Σしぐまτたうηいーた γλώσσα της θεωρίας κατηγοριών, είναι τたうαあるふぁ αντικείμενα της ομάδας σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ κατηγορία, πぱいοおみくろんυうぷしろん σημαίνει ότι είναι αντικείμενα (δηλαδή, παραδείγματα άλλη μαθηματική δομή) τたうαあるふぁ οποία έρχονται μみゅーεいぷしろん μετασχηματισμούς (πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζονται πολυμορφισμοί) πぱいοおみくろんυうぷしろん μιμούνται τたうαあるふぁ αξιώματα της ομάδας. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, κάθε ομάδα (όπως ορίζεται παραπάνω) είναι, επίσης, ένα σύνολο, έτσι ώστε μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα είναι ένα αντικείμενο της ομάδας σしぐまτたうηいーたνにゅー κατηγορία τたうωおめがνにゅー συνόλων.

Τοπολογικές ομάδες

Οおみくろん μοναδιαίος κύκλος σしぐまτたうοおみくろん μιγαδικό επίπεδο υπό μιγαδικό πολλαπλασιασμό είναι μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα Lie κかっぱαあるふぁιいおた, ως εいぷしろんκかっぱ τούτου, μみゅーιいおたαあるふぁ τοπολογική ομάδα. Είναι τοπολογικές από τたうοおみくろん σύνθετο πολλαπλασιασμό κかっぱαあるふぁιいおた διαίρεση είναι συνεχείς. Είναι μみゅーιいおたαあるふぁ πολλαπλή κかっぱαあるふぁιいおた έτσι μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα Lie, επειδή κάθε μικρό κομμάτι, όπως είναι τたうοおみくろん κόκκινο τόξου σしぐまτたうηいーたνにゅー εικόνα, μοιάζει μみゅーεいぷしろん ένα μέρος της πραγματική γραμμή (πぱいοおみくろんυうぷしろん φαίνεται σしぐまτたうοおみくろん κάτω μέρος).

Μερικοί τοπολογικοί χώροι μπορούν νにゅーαあるふぁ τροφοδοτούνται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー νόμο της ομάδας. Σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー νόμο της ομάδας κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー τοπολογία γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ διαπλέξει καλά, οおみくろんιいおた πράξεις της ομάδας πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι συνεχείς συναρτήσεις, δηλαδή, g • h, κかっぱαあるふぁιいおた g⁻¹ δでるたεいぷしろんνにゅー πρέπει νにゅーαあるふぁ διαφέρουν εξωφρενικά, αあるふぁνにゅー g κかっぱαあるふぁιいおた h διαφέρουν μόνο λίγο. Τέτοιες ομάδες πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζονται τοπολογικές ομάδες, κかっぱαあるふぁιいおた είναι τたうαあるふぁ αντικείμενα της ομάδας σしぐまτたうηいーたνにゅー κατηγορία τたうωおめがνにゅー τοπολογικών χώρων. Τたうαあるふぁ πぱいιいおたοおみくろん βασικά παραδείγματα είναι οおみくろん R τたうωおめがνにゅー πραγματικών μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πρόσθεση (R \ {0}, ·), κかっぱαあるふぁιいおた παρόμοιο μみゅーεいぷしろん οποιαδήποτε άλλο τοπολογικό τομέα, όπως τους μιγαδικούς αριθμούς ή p-αδικους αριθμούς. Όλες αυτές οおみくろんιいおた ομάδες είναι τοπικά συμπαγής, έτσι ώστε νにゅーαあるふぁ έχουν Haar μέτρα κかっぱαあるふぁιいおた μπορεί νにゅーαあるふぁ μελετηθεί μέσω της αρμονικής ανάλυσης. Οおみくろん πρώην προσφέρει έναν αφηρημένο φορμαλισμό αμετάβλητων ολοκληρωμάτων. Αναλλοίωτο σημαίνει, σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα:

$\int f(x)\,dx=\int f(x+c)\,dx$

γがんまιいおたαあるふぁ κάθε σταθερά c. Ομάδες πινάκων πάνω από αυτούς τους τομείς εμπίπτουν σしぐまεいぷしろん αυτό τたうοおみくろん καθεστώς, όπως κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた αβελιανοί δακτύλιοι κかっぱαあるふぁιいおた αβελιανές αλγεβρικές ομάδες, οおみくろんιいおた οποίες είναι βασικές γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた θεωρία αριθμών, ομάδες Γκαλουά τたうοおみくろんυうぷしろん άπειρου επέκταση τたうοおみくろんυうぷしろん πεδίου, όπως ηいーた απόλυτη ομάδα Γκαλουά μπορεί επίσης νにゅーαあるふぁ εξοπλιστεί μみゅーεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ τοπολογία, ηいーた λεγόμενη τοπολογία Κかっぱρろーοおみくろんυうぷしろんλらむだ (Krull), ηいーた οποία μみゅーεいぷしろん τたうηいーた σειρά της είναι κεντρικής σημασίας γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた γενίκευση της παραπάνω σκιαγραφούμενης σύνδεσης τたうωおめがνにゅー πεδίων κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー ομάδων σしぐまεいぷしろん άπειρες επεκτάσεις τομέων. Μみゅーιいおたαあるふぁ προηγμένη γενίκευση αυτής της ιδέας, προσαρμοσμένη στις ανάγκες της αλγεβρικής γεωμετρίας, είναι ηいーた βασική ομάδα Etale.

Ομάδες Λらむだιいおた (Lie)

Οおみくろんιいおた ομάδες Λらむだιいおた (προς τιμήν τたうοおみくろんυうぷしろん Σόφους Λらむだιいおた) είναι ομάδες οおみくろんιいおた οποίες έχουν επίσης μみゅーιいおたαあるふぁ πολλαπλή δομή, δηλαδή οおみくろんιいおた χώροι πぱいοおみくろんυうぷしろん τοπικά μοιάζουν μみゅーεいぷしろん έναν ευκλείδειο χώρο κατάλληλης διάστασης. Κかっぱαあるふぁιいおた πάλι, οおみくろん ορισμός χρειάζεται επιπλέον δομή, εδώ ηいーた πολλαπλή δομή, πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι συμβατή, δηλαδή οおみくろんιいおた συναρτήσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん αντιστοιχούν σしぐまεいぷしろん πολλαπλασιασμό κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた αντίστροφη συνάρτηση πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι λεία. Ένα πρότυπο παράδειγμα είναι ηいーた γενική γραμμική ομάδα πぱいοおみくろんυうぷしろん εισάγεται παραπάνω: είναι ένα ανοικτό υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん χώρου όλων τたうωおめがνにゅー Νにゅー-μみゅーεいぷしろん-Νにゅー μήτρες, επειδή αυτή δίνεται από τたうηいーたνにゅー ανισότητα

det (A) ≠ 0,

όπου τたうοおみくろん A συμβολίζει έναν πίνακα nxn.

Οおみくろんιいおた ομάδες Λらむだιいおた είναι θεμελιώδους σημασίας σしぐまτたうηいーた σύγχρονη φυσική: συνδέσεις τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος Noether είναι συνεχείς συμμετρίες σしぐまεいぷしろん διατηρούμενες ποσότητες, περιστροφή, καθώς κかっぱαあるふぁιいおた μεταφράσεις σしぐまτたうοおみくろん χώρο κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん χρόνο είναι βασικές συμμετρίες τたうωおめがνにゅー νόμων της μηχανικής. Μπορούν, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθούν γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー κατασκευή απλών μοντέλων-επιβολή, ας πούμε, αξονική συμμετρία σしぐまεいぷしろん μία κατάσταση τυπικά θしーたαあるふぁ οδηγήσει σしぐまεいぷしろん σημαντική απλούστευση στις εξισώσεις πρέπει κανείς νにゅーαあるふぁ λύσει γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ παρέχει μみゅーιいおたαあるふぁ φυσική περιγραφή. Ένα άλλο παράδειγμα είναι οおみくろんιいおた μετασχηματισμοί Λόρεντς, οおみくろんιいおた οποίοι αφορούν τις μετρήσεις τたうοおみくろんυうぷしろん χρόνου κかっぱαあるふぁιいおた της ταχύτητας τたうωおめがνにゅー δύο παρατηρητών σしぐまεいぷしろん κίνηση σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー άλλο. Μπορούν νにゅーαあるふぁ προκύψουν μみゅーεいぷしろん έναν αμιγώς φτωχό θεωρητικό τρόπο ομάδας, εκφράζοντας τους μετασχηματισμούς ως περιστροφική συμμετρία τたうοおみくろんυうぷしろん χώρου Minkowski. Οおみくろん τελευταίος εξυπηρετεί-στην απουσία σημαντικής βαρύτητας-ως μοντέλο τたうοおみくろんυうぷしろん χωροχρόνου σしぐまτたうηいーたνにゅー ειδική θεωρία της σχετικότητας. Ηいーた πλήρης ομάδα συμμετρίας χώρου Minkowski, δηλαδή συμπεριλαμβανομένων τたうωおめがνにゅー μεταφράσεων, πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι γνωστό ως ομάδα Πουανκαρέ. Από τたうαあるふぁ παραπάνω, διαδραματίζει σημαντικότατο ρόλο σしぐまτたうηいーたνにゅー ειδική θεωρία της σχετικότητας κかっぱαあるふぁιいおた, κατά συνέπεια, γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー κβαντική θεωρία πεδίου. συμμετρίες πぱいοおみくろんυうぷしろん ποικίλουν ανάλογα μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー τοποθεσία είναι κεντρικής σημασίας γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた σύγχρονη περιγραφή τたうωおめがνにゅー φυσικών αλληλεπιδράσεων μみゅーεいぷしろん τたうηいーた βοήθεια της θεωρίας βαθμίδας.

Γενικεύσεις

Σしぐまτたうηいーたνにゅー αφηρημένη άλγεβρα, πぱいιいおたοおみくろん γενικές δομές ορίζονται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー απλούστευση ορισμένων από τたうαあるふぁ αξιώματα τたうωおめがνにゅー ομάδων. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた αλγεβρική δομή τたうωおめがνにゅー μονοειδών δでるたεいぷしろんνにゅー απαιτεί ότι κάθε στοιχείο έχει έναν αντίστροφο. Οおみくろんιいおた φυσικοί αριθμοί $\mathbb {N}$ (συμπεριλαμβανομένου τたうοおみくろんυうぷしろん 0) μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πράξη της πρόσθεσης σχηματίζουν ένα μονοειδές, όπως κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた μみゅーηいーた μηδενικοί ακέραιοι μみゅーεいぷしろん πολλαπλασιασμό $\mathbb {Z} \setminus \{0\}$. Υπάρχει μみゅーιいおたαあるふぁ γενική μέθοδος ώστε νにゅーαあるふぁ προστεθούν αντίστροφοι σしぐまτたうαあるふぁ στοιχεία κάθε αβελιανού μονοειδούς, μみゅーεいぷしろん παρόμοιο τρόπο όπως τたうοおみくろん $(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot )$ προέρχεται από $(\mathbb {Z} \setminus \{0\},\cdot )$, λαμβάνοντας μία ομάδα γνωστή ως ομάδα Grothendieck. Τたうαあるふぁ ομαδοειδή είναι παρόμοια μみゅーεいぷしろん τις ομάδες εκτός από τたうοおみくろん ότι ηいーた σύνθεση $a\bullet b$ δでるたεいぷしろんνにゅー χρειάζεται νにゅーαあるふぁ οριστεί γがんまιいおたαあるふぁ όλες τたうαあるふぁ στοιχεία $a$ κかっぱαあるふぁιいおた $b$. Τέτοιες δομές μπορούν νにゅーαあるふぁ προκύψουν από μελέτη περίπλοκων μορφών συμμετρίας, συχνά σしぐまεいぷしろん τοπολογικές κかっぱαあるふぁιいおた αναλυτικές δομές, όπως τたうοおみくろん θεμελιώδες ομαδοειδές ή στοίβες. Τέλος, είναι δυνατό νにゅーαあるふぁ γενικεύσουμε οποιαδήποτε από αυτές τις έννοιες, αντικαθιστώντας τたうηいーたνにゅー δυαδική λειτουργία μみゅーεいぷしろん αυθαίρετη $n$-οστή (δηλαδή μみゅーιいおたαあるふぁ πράξη λαμβάνοντας $n$ παραμέτρους). Μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー κατάλληλη γενίκευση τたうωおめがνにゅー αξιωμάτων της ομάδας μπορεί νにゅーαあるふぁ δημιουργήσει μみゅーιいおたαあるふぁ $n$-αδική ομάδα.

Βιβλιογραφία

Γενική βιβλιογραφία

• Artin, Michael (2018), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-468960-9 , Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
• Cook, Mariana R. (2009), Mathematicians: An Outer View of the Inner World, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-13951-7, https://books.google.com/books?id=06h8NT77OgMC&q=Richard+Ewen+Borcherds&pg=PA24 
• Hall, G. G. (1967), Applied Group Theory, American Elsevier Publishing Co., Inc., New York , an elementary introduction.
• Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract Algebra (3rd έκδοση), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7 .
• Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in Algebra (2nd έκδοση), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing .
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3rd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3 .
• Ledermann, Walter (1953), Introduction to the Theory of Finite Groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London .
• Ledermann, Walter (1973), Introduction to Group Theory, New York: Barnes and Noble, OCLC 795613 .
• Robinson, Derek John Scott (1996), A Course in the Theory of Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6 .

Ειδική βιβλιογραφία

• Artin, Emil (1998), Galois Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-62342-9 .
• Aschbacher, Michael (2004), «The status of the classification of the finite simple groups», Notices of the American Mathematical Society 51 (7): 736–740, https://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf .
• Awodey, Steve (2010), Category Theory, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-958736-0 
• Behler, Florian; Wickleder, Mathias S.; Christoffers, Jens (2014), «Biphenyl and bimesityl tetrasulfonic acid – new linker molecules for coordination polymers», Arkivoc 2015 (2): 64–75, doi:10.3998/ark.5550190.p008.911 
• Bersuker, Isaac (2006), The Jahn–Teller Effect, Cambridge University Press, ISBN 0-521-82212-2, https://archive.org/details/jahntellereffect0000bers/page/2 .
• Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, E. A. (2001), «The groups of order at most 2000», Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society 7: 1–4, doi:10.1090/S1079-6762-01-00087-7, https://www.ams.org/era/2001-07-01/S1079-6762-01-00087-7/home.html .
• Bishop, David H. L. (1993), Group Theory and Chemistry, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67355-4 .
• Borel, Armand (1991), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, 126 (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8 .
• Carter, Roger W. (1989), Simple Groups of Lie Type, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50683-6 .
• Chancey, C. C.; O'Brien, M. C. M. (2021), The Jahn–Teller Effect in C60 and Other Icosahedral Complexes, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-22534-0 
• Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P. (2001), «On three-dimensional space groups», Beiträge zur Algebra und Geometrie 42 (2): 475–507 .
• Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes [Geometry and Group Theory], Lecture Notes in Mathematics, 1441, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52977-4 .
• Denecke, Klaus; Wismath, Shelly L. (2002), Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science, London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-254-1 .
• Dove, Martin T (2003), Structure and Dynamics: An Atomic View of Materials, Oxford University Press, σしぐまεいぷしろんλらむだ. 265, ISBN 0-19-850678-3 .
• Dudek, Wiesław A. (2001), «On some old and new problems in n-ary groups», Quasigroups and Related Systems 8: 15–36, https://ibn.idsi.md/sites/default/files/imag_file/15-36_On%20some%20old%20and%20new%20problems%20in%20n-ary%20groups.pdf .
• Eliel, Ernest; Wilen, Samuel; Mander, Lewis (1994), Stereochemistry of Organic Compounds, Wiley, ISBN 978-0-471-01670-0 
• Ellis, Graham (2019), «6.4 Triangle groups», An Invitation to Computational Homotopy, Oxford University Press, σしぐまεいぷしろんλらむだ. 441–444, doi:10.1093/oso/9780198832973.001.0001, ISBN 978-0-19-883298-0 .
• Frucht, R. (1939), «Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Construction of graphs with prescribed group»], Compositio Mathematica 6: 239–50, http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0, ανακτήθηκε στις 2023-06-04 .
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation Theory: A First Course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8 
• Goldstein, Herbert (1980), Classical Mechanics (2nd έκδοση), Reading, MA: Addison-Wesley Publishing, σしぐまεいぷしろんλらむだ. 588–596, ISBN 0-201-02918-9 .
• Gollmann, Dieter (2011), Computer Security (2nd έκδοση), West Sussex, England: John Wiley & Sons, Ltd., ISBN 978-0-470-74115-3 
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1, http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html .
• Husain, Taqdir (1966), Introduction to Topological Groups, Philadelphia: W.B. Saunders Company, ISBN 978-0-89874-193-3 
• Jahn, H.; Teller, E. (1937), «Stability of polyatomic molecules in degenerate electronic states. I. Orbital degeneracy», Proceedings of the Royal Society A 161 (905): 220–235, doi:10.1098/rspa.1937.0142 .
• Kuipers, Jack B. (1999), Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05872-6 .
• Kuga, Michio (1993), Galois' Dream: Group Theory and Differential Equations, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3688-3, https://archive.org/details/galoisdreamgroup0000kuga .
• Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), The Theory of Finite Groups, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40510-0 .
• Lay, David (2003), Linear Algebra and Its Applications, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-70970-4 .
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2 .
• Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (2004), Combinatorial Group Theory: Presentations of Groups in Terms of Generators and Relations, Courier, ISBN 978-0-486-43830-6, https://books.google.com/books?id=1LW4s1RDRHQC&pg=PR2 
• MathSciNet (2021), List of papers reviewed on MathSciNet on "Group theory and its generalizations" (MSC code 20), published in 2020, https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=20&co6=AND&pg7=ALLF&s7=&co7=AND&dr=pubyear&yrop=eq&arg3=2020&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&review_format=html&Submit=Suche, ανακτήθηκε στις 14 May 2021 
• Michler, Gerhard (2006), Theory of Finite Simple Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86625-5 .
• Milne, James S. (1980), Étale Cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7, https://archive.org/details/etalecohomology00miln 
• Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Geometric Invariant Theory, 34 (3rd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3 .
• Naber, Gregory L. (2003), The Geometry of Minkowski Spacetime, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43235-9 .
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, Zbl 0956.11021 
• Romanowska, A. B.; Smith, J. D. H. (2002), Modes, World Scientific, ISBN 978-981-02-4942-7 .
• Ronan, Mark (2007), Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-280723-6 .
• Rosen, Kenneth H. (2000), Elementary Number Theory and its Applications (4th έκδοση), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87073-2 .
• Rudin, Walter (1990), Fourier Analysis on Groups, Wiley Classics, Wiley-Blackwell, ISBN 0-471-52364-X .
• Seress, Ákos (1997), «An Introduction to Computational Group Theory», Notices of the American Mathematical Society 44 (6): 671–679, https://www.ams.org/notices/199706/seress.pdf .
• Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9, https://archive.org/details/linearrepresenta1977serr .
• Schwartzman, Steven (1994), The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-511-9 .
• Shatz, Stephen S. (1972), Profinite Groups, Arithmetic, and Geometry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8 
• Simons, Jack (2003), An Introduction to Theoretical Chemistry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53047-7 
• Solomon, Ronald (2018), «The classification of finite simple groups: A progress report», Notices of the AMS 65 (6): 1, doi:10.1090/noti1689 
• Stewart, Ian (2015), Galois Theory (4th έκδοση), CRC Press, ISBN 978-1-4822-4582-0 
• Suzuki, Michio (1951), «On the lattice of subgroups of finite groups», Transactions of the American Mathematical Society 70 (2): 345–371, doi:10.2307/1990375 .
• Warner, Frank (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6 .
• Πρότυπο:Weibel IHA
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-92567-5, https://archive.org/details/gravitationcosmo00stev_0 .
• Welsh, Dominic (1989), Codes and Cryptography, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853287-3 .
• Weyl, Hermann (1952), Symmetry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02374-8 .
• Zee, A. (2010), Quantum Field Theory in a Nutshell (second έκδοση), Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-14034-6, OCLC 768477138 

Ιστορική βιβλιογραφία

• Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5 
• Cayley, Arthur (1889), The Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley, II (1851–1860), Cambridge University Press, http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 .
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «The development of group theory», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Development_group_theory.html .
• Curtis, Charles W. (2003), Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer, History of Mathematics, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2677-5 .
• von Dyck, Walther (1882), «Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical studies)», Mathematische Annalen 20 (1): 1–44, doi:10.1007/BF01443322, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0007&L=1, ανακτήθηκε στις 2023-06-04 .
• Galois, Évariste (1908), Tannery, Jules, επιμ., Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts], Paris: Gauthier-Villars, http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAN9280  (Galois work was first published by Joseph Liouville in 1843).
• Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations], Paris: Gauthier-Villars, https://archive.org/details/traitdessubstit00jordgoog .
• Kleiner, Israel (1986), «The evolution of group theory: A brief survey», Mathematics Magazine 59 (4): 195–215, doi:10.2307/2690312 .
• Lie, Sophus (1973), Gesammelte Abhandlungen. Band 1 [Collected papers. Volume 1], New York: Johnson Reprint Corp. .
• Mackey, George Whitelaw (1976), The Theory of Unitary Group Representations, University of Chicago Press 
• Smith, David Eugene (1906), History of Modern Mathematics, Mathematical Monographs, No. 1, https://www.gutenberg.org/ebooks/8746 .
• Weyl, Hermann (1950), The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover, ISBN 978-0-486-60269-1 .
• Wussing, Hans (2007), The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-45868-7 .