本條 ほんじょう 目 め 中 ちゅう ,向 むかい 量 りょう 與 あずか 標 しるべ 量 りょう 分別 ふんべつ 用 よう 粗 そ 體 からだ 與 あずか 斜體 しゃたい 顯示 けんじ 。例 れい 如,位置 いち 向 こう 量 りょう 通 どおり 常用 じょうよう
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
表示 ひょうじ ;而其大小 だいしょう 則 そく 用 よう
r
{\displaystyle r\,\!}
來 らい 表示 ひょうじ 。
不同 ふどう 電荷 でんか 量 りょう
q
{\displaystyle q}
的 てき 帶電 たいでん 粒子 りゅうし ,由 ゆかり 於磁場 じょう
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
(磁場 じば 方向 ほうこう 從 したがえ 屏 へい 幕 まく 內指出來 でき )的 てき 影響 えいきょう ,感受 かんじゅ 到 いた 勞 ろう 侖茲力 りょく 的 てき 作用 さよう ,所 しょ 呈 てい 現 げん 的 てき 可能 かのう 運動 うんどう 軌道 きどう 。
由 よし 於磁場 じょう 的 てき 影響 えいきょう ,電子 でんし 射 しゃ 束 たば 的 てき 移動 いどう 路 ろ 徑 みち 呈 てい 圓形 えんけい 。電子 でんし 經過 けいか 的 てき 路 ろ 徑 みち 會 かい 有 ゆう 紫色 むらさきいろ 光 こう 發射 はっしゃ 出來 でき 。這是因 いん 為 ため 電子 でんし 與 あずか 玻璃 はり 球 だま 內的氣體 きたい 分子 ぶんし 碰撞而產生 せい 的 てき 現象 げんしょう 。
在 ざい 電動 でんどう 力學 りきがく 裡 うら ,勞 ろう 侖茲力 りょく (Lorentz force)是 ぜ 運動 うんどう 於電磁場 でんじば 的 てき 帶電 たいでん 粒子 りゅうし 所感 しょかん 受到的 てき 作用 さよう 力 りょく 。勞 ろう 侖茲力 りょく 是 ぜ 因 いん 荷 に 蘭 らん 物理 ぶつり 學者 がくしゃ 亨 とおる 德 とく 里 さと 克 かつ ·勞 ろう 侖茲 而命名 めいめい 。根據 こんきょ 勞 ろう 侖茲力 りょく 定律 ていりつ ,勞 ろう 侖茲力 りょく 可 か 以用方程式 ほうていしき ,稱 たたえ 為 ため 勞 ろう 侖茲力 りょく 方程式 ほうていしき ,表 ひょう 達 たち 為 ため
F
=
q
(
E
+
v
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
;
其中,
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
是 ぜ 勞 ろう 侖茲力 りょく ,
q
{\displaystyle q}
是 ぜ 帶電 たいでん 粒子 りゅうし 的 てき 電荷 でんか 量 りょう ,
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
是 これ 電場 でんじょう 強度 きょうど ,
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
是 ぜ 帶電 たいでん 粒子 りゅうし 的 てき 速度 そくど ,
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
是 これ 磁感應 おう 強度 きょうど 。
勞 ろう 侖茲力 りょく 定律 ていりつ 是 ぜ 一 いち 個 こ 基本 きほん 公理 こうり ,不 ふ 是 ぜ 從 したがえ 別 べつ 的 てき 理論 りろん 推導出來 でき 的 てき 定律 ていりつ ,而是由 ゆかり 多 た 次 つぎ 重複 じゅうふく 完成 かんせい 的 てき 實驗 じっけん 所得 しょとく 到 いた 的 てき 同樣 どうよう 的 てき 結果 けっか 。
感受 かんじゅ 到 いた 電場 でんじょう 的 てき 作用 さよう ,正 せい 電荷 でんか 會 かい 朝 あさ 著 ちょ 電場 でんじょう 的 てき 方向 ほうこう 加速 かそく ;但 ただし 是 ぜ 感 かん 受到磁場 じば 的 てき 作用 さよう ,按照右手 みぎて 定則 ていそく ,正 せい 電荷 でんか 會 かい 朝 あさ 著 ちょ 垂直 すいちょく 於速度 そくど
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
和 かず 磁場 じば
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
的 てき 方向 ほうこう 彎曲 わんきょく (詳細 しょうさい 地 ち 說 せつ ,假設 かせつ 右手 みぎて 的 てき 大 だい 拇指 ぼし 與 あずか
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
同 どう 向 むかい ,食指 しょくし 與 あずか
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
同 どう 向 むかい ,則 のり 掌 てのひら 心 こころ 推出的 てき 方向 ほうこう 為 ため
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
的 てき 方向 ほうこう )。
勞 ろう 侖茲力 りょく 方程式 ほうていしき 的 てき
q
E
{\displaystyle q\mathbf {E} }
項目 こうもく 是 ぜ 電場 でんじょう 力 りょく 項目 こうもく ,
q
v
×
B
{\displaystyle q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
項目 こうもく 是 ぜ 磁場 じば 力 りょく 項目 こうもく [1] 。處 ところ 於磁場 じょう 內的載 の 電導 でんどう 線 せん 感 かん 受到的 てき 磁場 じば 力 りょく 就是這勞侖茲力 りょく 的 てき 磁場 じば 力 りょく 分量 ぶんりょう 。
勞 ろう 侖茲力 りょく 方程式 ほうていしき 的 てき 積分 せきぶん 形式 けいしき 為 ため
F
=
∫
V
(
ρ ろー
E
+
J
×
B
)
d
τ たう
{\displaystyle \mathbf {F} =\int _{\mathbb {V} }(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\ \mathrm {d} \tau }
。
其中,
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
是 ぜ 積分 せきぶん 的 てき 體積 たいせき ,
ρ ろー
{\displaystyle \rho }
是 これ 電荷 でんか 密度 みつど ,
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
是 これ 電流 でんりゅう 密度 みつど ,
d
τ たう
{\displaystyle \mathrm {d} \tau }
是 ぜ 微小 びしょう 體 たい 元素 げんそ 。
勞 ろう 侖茲力 りょく 密度 みつど
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
是 ぜ 單位 たんい 體積 たいせき 的 てき 勞 ろう 侖茲力 りょく ,表 ひょう 達 たち 為 ため :
f
=
ρ ろー
E
+
ρ ろー
v
×
B
=
ρ ろー
E
+
J
×
B
{\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\rho \mathbf {v} \times \mathbf {B} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }
。
亨 とおる 德 とく 里 さと 克 かつ ·勞 ろう 侖茲
1892年 ねん ,荷 に 蘭 らん 物理 ぶつり 學 がく 家 か 亨 とおる 德 とく 里 さと 克 かつ ·勞 ろう 侖茲提出 ていしゅつ 勞 ろう 侖茲力 りょく 的 てき 概念 がいねん [2] 。但 ただし 是 ぜ ,在 ざい 勞 ろう 侖茲之 の 前 まえ ,就已經 けい 有 ゆう 發掘 はっくつ 出 で 勞 ろう 侖茲力 りょく 方程式 ほうていしき 的 てき 形式 けいしき ,特別 とくべつ 是 ぜ 在 ざい 詹姆斯·馬 うま 克 かつ 士 し 威 たけし 的 てき 1861年 ねん 論文 ろんぶん 《論 ろん 物理 ぶつり 力 りょく 線 せん 》裏 うら 的 てき 公式 こうしき (77):
P
=
μ みゅー
γ がんま
d
y
d
t
−
μ みゅー
β べーた
d
z
d
t
+
d
F
d
t
−
d
Ψ ぷさい
d
x
{\displaystyle P=\mu \gamma {\frac {dy}{dt}}-\mu \beta {\frac {dz}{dt}}+{\frac {dF}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dx}}}
、
Q
=
μ みゅー
α あるふぁ
d
z
d
t
−
μ みゅー
γ がんま
d
x
d
t
+
d
G
d
t
−
d
Ψ ぷさい
d
y
{\displaystyle Q=\mu \alpha {\frac {dz}{dt}}-\mu \gamma {\frac {dx}{dt}}+{\frac {dG}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dy}}}
、
R
=
μ みゅー
β べーた
d
x
d
t
−
μ みゅー
α あるふぁ
d
y
d
t
+
d
H
d
t
−
d
Ψ ぷさい
d
z
{\displaystyle R=\mu \beta {\frac {dx}{dt}}-\mu \alpha {\frac {dy}{dt}}+{\frac {dH}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dz}}}
;
其中,
P
{\displaystyle P}
、
Q
{\displaystyle Q}
、
R
{\displaystyle R}
分別 ふんべつ 為 ため 電場 でんじょう 的 てき 三 さん 個 こ 分量 ぶんりょう ,
μ みゅー
{\displaystyle \mu }
是 これ 磁導率 りつ ,
d
x
d
t
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}
、
d
y
d
t
{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}
、
d
z
d
t
{\displaystyle {\frac {dz}{dt}}}
分別 ふんべつ 為 ため 導 しるべ 電 でん 體 からだ 的 てき 移動 いどう 速度 そくど 的 てき 三 さん 個 こ 分量 ぶんりょう ,
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha }
、
β べーた
{\displaystyle \beta }
、
γ がんま
{\displaystyle \gamma }
分別 ふんべつ 為 ため 磁場 じば 強度 きょうど 的 てき 三 さん 個 こ 分量 ぶんりょう ,
F
{\displaystyle F}
、
G
{\displaystyle G}
、
H
{\displaystyle H}
分別 ふんべつ 為 ため 磁矢勢 ぜい 的 てき 三 さん 個 こ 分量 ぶんりょう ,
Ψ ぷさい
{\displaystyle \Psi }
是 これ 電 でん 勢 ぜい 。
後來 こうらい ,在 ざい 他 た 的 てき 1864年 ねん 論文 ろんぶん 《電磁場 でんじば 的 てき 動力 どうりょく 學理 がくり 論 ろん 》裏 うら ,馬 うま 克 かつ 士 し 威 い 將 はた 這公式 しき 列 れつ 為 ため 馬 うま 克 かつ 士 し 威 い 方 かた 程 ほど 組 ぐみ 的 てき 八 はち 個 こ 原本 げんぽん 方程式 ほうていしき 中 ちゅう 的 てき 方程式 ほうていしき (D):
E
=
v
×
(
μ みゅー
H
)
−
∂
A
∂
t
−
∇
ϕ
{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {v} \times (\mu \mathbf {H} )-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi }
;
其中,
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
是 ぜ 速度 そくど ,
H
{\displaystyle \mathbf {H} }
是 ぜ 磁場 じば 強度 きょうど ,
μ みゅー
{\displaystyle \mu }
是 ぜ 磁導率 りつ ,
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
是 ぜ 磁矢勢 ぜい ,
ϕ
{\displaystyle \phi }
是 ぜ 電 でん 勢 ぜい 。
很明顯 あらわ 地 ち ,馬 うま 克 かつ 士 し 威 い 版 ばん 是 ぜ 現代 げんだい 版 ばん 的 てき 前 ぜん 導 しるべ 。兩個 りゃんこ 版本 はんぽん 的 てき 差別 さべつ 為 ため :
馬 うま 克 かつ 士 し 威 い 版 ばん 並 なみ 沒 ぼつ 有 ゆう 特 とく 意地 いじ 提 ひっさげ 到 いた 電荷 でんか 。馬 うま 克 かつ 士 し 威 い 稱 しょう 物理 ぶつり 量 りょう
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
為 ため 電動 でんどう 力 りょく (electromotive force )。這英文 えいぶん 原文 げんぶん 與 あずか 電動 でんどう 勢 ぜい 的 てき 英文 えいぶん 原文 げんぶん 相 しょう 同 どう 。很多物理 ぶつり 學 がく 家 か 都 と 對 たい 英文 えいぶん 原文 げんぶん 表示 ひょうじ 意見 いけん ,認 みとめ 為 ため 會 かい 造成 ぞうせい 困惑 こんわく ,是 これ 個 こ 相當 そうとう 不精 ぶしょう 確 かく 的 てき 術語 じゅつご 。從 したがえ 方程式 ほうていしき 形式 けいしき 和 わ 單位 たんい 分析 ぶんせき 方面 ほうめん 來 らい 看 み ,這物理 ぶつり 量 りょう 對應 たいおう 於現代 だい 的 てき 物理 ぶつり 量 りょう 單位 たんい 電荷 でんか 的 てき 勞 ろう 侖茲力 りょく 。
馬 うま 克 かつ 士 し 威 い 版 ばん 包 つつみ 含有 がんゆう 現在 げんざい 稱 しょう 為 ため 電場 でんじょう 的 てき 項目 こうもく ,以電 でん 勢 ぜい
ϕ
{\displaystyle \phi }
和 わ 磁向量 りょう 勢 ぜい
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
來 らい 表 ひょう 達 たち :
E
=
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
。
取 と 旋度 於這表 ひょう 達 たち 式 しき ,就可以得到 いた 法 ほう 拉 ひしげ 第 だい -馬 うま 克 かつ 士 し 威 い 方程式 ほうていしき [1] :
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
。
因 いん 此,這表達 たち 式 しき 等價 とうか 於法拉 ひしげ 第 だい -馬 うま 克 かつ 士 し 威 い 方程式 ほうていしき 。儘管勞 ろう 侖茲力 りょく 方程式 ほうていしき 來 き 自 じ 於原本 げんぽん 的 てき 一條馬克士威方程式,現在 げんざい ,經過 けいか 奧 おく 利 とし 弗 どる ·黑 くろ 維塞重 じゅう 新 しん 表 ひょう 述 じゅつ 後 ご 的 てき 勞 ろう 侖茲力 りょく 方程式 ほうていしき ,不 ふ 再 さい 被 ひ 視 し 為 ため 馬 うま 克 かつ 士 し 威 い 方 かた 程 ほど 組 ぐみ 中 ちゅう 的 てき 一員 いちいん ,而成為 ため 伴 とも 隨 ずい 馬 うま 克 かつ 士 し 威 い 方 かた 程 ほど 組 ぐみ 的 てき 一條獨立基要的定律。
勞 ろう 侖茲力 りょく 定律 ていりつ 的 てき 重要 じゅうよう 意義 いぎ [ 編輯 へんしゅう ]
當 とう 馬 うま 克 かつ 士 し 威 い 方 かた 程 ほど 組 ぐみ 描繪帶電 たいでん 粒子 りゅうし 怎樣產 さん 生 せい 電磁場 でんじば 的 てき 同時 どうじ ,勞 ろう 侖茲力 りょく 方程式 ほうていしき 描繪了 りょう 移動 いどう 於電磁場 でんじば 的 てき 帶電 たいでん 粒子 りゅうし 所感 しょかん 受到的 てき 電磁 でんじ 力 りょく 。這使得 とく 整 せい 個 こ 電磁 でんじ 動力 どうりょく 的 てき 圖畫 ずが 得 とく 以完整 せい 。在 ざい 一 いち 個 こ 複雜 ふくざつ 的 てき 物理 ぶつり 系統 けいとう 裏 うら ,帶電 たいでん 粒子 りゅうし 可能 かのう 還 かえ 會 かい 感 かん 受到別種 べっしゅ 作用 さよう 力 りょく ,像 ぞう 萬有引力 ばんゆういんりょく 或 ある 核 かく 力 りょく 。馬 うま 克 かつ 士 し 威 い 方 かた 程 ほど 組 ぐみ 並 なみ 非 ひ 與 あずか 這些作用 さよう 力 りょく 完全 かんぜん 無關 むせき ;而是通過 つうか 帶電 たいでん 粒子 りゅうし 或 ある 電流 でんりゅう 密度 みつど 與 あずか 這些作用 さよう 力 りょく 耦合。
對 たい 於實際 ぎわ 的 てき 物質 ぶっしつ ,在 ざい 原則 げんそく 上 じょう 和 わ 計算 けいさん 的 てき 複雜 ふくざつ 程度 ていど 上 じょう ,勞 ろう 侖茲力 りょく 方程式 ほうていしき 都 と 不足 ふそく 以描述 じゅつ 一 いち 群 ぐん 粒子 りゅうし 的 てき 物理 ぶつり 行為 こうい 。在 ざい 物質 ぶっしつ 介 かい 質 しつ 裏 うら 的 てき 帶電 たいでん 粒子 りゅうし ,必須 ひっす 同時 どうじ 地 ち 響 ひびき 應 おう 和 わ 生成 せいせい 電磁場 でんじば 。除 じょ 此以外 がい ,還 かえ 必須 ひっす 考慮 こうりょ 到 いた 描述這一群粒子的運動的傳輸方程式,例 れい 如,波 なみ 茲曼傳 でん 輸方程式 ほうていしき (Boltzmann equation )、福 ぶく 克 かつ -普 ひろし 朗 ろう 克 かつ 方程式 ほうていしき [3] (Fokker–Planck equation )、納 おさめ 維-斯托克 かつ 斯方程式 ほうていしき 、等 ひとし 等 とう 。請參閱磁流體力 たいりょく 學 がく 、超 ちょう 導 しるべ 現象 げんしょう 、恆星 こうせい 演 えんじ 化 か 、等 ひとし 等 とう 。在 ざい 這些學術 がくじゅつ 領域 りょういき 研究 けんきゅう 的 てき 科學 かがく 家 か 必須 ひっす 解析 かいせき 複雜 ふくざつ 的 てき 傳 つて 輸方程式 ほうていしき ,求 もとめ 得 とく 帶電 たいでん 粒子 りゅうし 在 ざい 時間 じかん 和 わ 空間 くうかん 方面 ほうめん 的 てき 響 ひびき 應 おう 。
或 ある 許 もと 有 ゆう 些讀者 しゃ 會 かい 認 みとめ 為 ため 這些理論 りろん 只 ただ 是 ぜ 靠 もたれ 著 ちょ 近似 きんじ 來 らい 處理 しょり 一 いち 個 こ 大 だい 系 けい 綜的 てき 帶電 たいでん 粒子 りゅうし 。從 したがえ 更 さら 深 ふか 的 てき 層 そう 面 めん 來 らい 看 み ,帶電 たいでん 粒子 りゅうし 也會對 たい 非 ひ 電磁 でんじ 力 りょく ,像 ぞう 萬有引力 ばんゆういんりょく ,核 かく 力 りょく 或 ある 邊 あたり 界 かい 條件 じょうけん 等 ひとし 等 とう ,產 さん 生 せい 響 ひびき 應 おう 。
給 きゅう 予 よ 作用 さよう 於粒子 りゅうし 的 てき 勞 ろう 侖茲力 りょく 的 てき 公式 こうしき ,將 はた 這公式 しき 代入 だいにゅう 牛 うし 頓 ひたぶる 第 だい 二 に 運動 うんどう 定律 ていりつ ,可 か 以得到 いた 粒子 りゅうし 的 てき 運動 うんどう 方程式 ほうていしき 。解析 かいせき 這運動 うんどう 方程式 ほうていしき ,就可以找到粒子 りゅうし 的 てき 運動 うんどう 軌道 きどう 。
移動 いどう 於均勻磁場 じょう
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
(從 したがえ 顯示 けんじ 螢 ぼたる 幕 まく 外 がい ,指 ゆび 入 にゅう 顯示 けんじ 螢 ぼたる 幕 まく ),正 せい 電荷 でんか 的 てき 圓周 えんしゅう 運動 うんどう 軌道 きどう 。
在 ざい 一 いち 個 こ 簡單 かんたん 的 てき 迴旋加速器 かそくき 內,均 ひとし 勻磁場 じょう 是 ぜ
B
=
B
0
z
^
{\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}}
,電場 でんじょう 是 ぜ 零 れい 。那 な 麼,運動 うんどう 於xy-平面 へいめん 的 てき 帶電 たいでん 粒子 りゅうし
q
{\displaystyle q}
所感 しょかん 受到的 てき 勞 ろう 侖茲力 りょく
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
為 ため
F
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
。
將 はた 這公式 しき 代入 だいにゅう 牛 うし 頓 ひたぶる 第 だい 二 に 運動 うんどう 定律 ていりつ ,
m
a
=
q
v
×
B
{\displaystyle m\mathbf {a} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
;
其中,
m
{\displaystyle m}
是 ぜ 帶電 たいでん 粒子 りゅうし 的 てき 質量 しつりょう ,
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
是 ぜ 帶電 たいでん 粒子 りゅうし 的 てき 加速度 かそくど 。
由 よし 於帶電 たいでん 粒子 りゅうし 的 てき 加速度 かそくど 與 あずか 速度 そくど 互相垂直 すいちょく ,帶電 たいでん 粒子 りゅうし 呈 てい 圓周 えんしゅう 運動 うんどう 。假設 かせつ 粒子 りゅうし 帶 たい 有正 ありまさ 電荷 でんか ,則 のり 這公式 しき 的 てき 一般 いっぱん 解答 かいとう 為 ため
r
=
r
c
(
cos
ω おめが
t
,
−
sin
ω おめが
t
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {r} =r_{c}(\cos \omega t,\,-\sin \omega t,\,0)}
;
其中,
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
是 ぜ 帶電 たいでん 粒子 りゅうし 的 てき 圓周 えんしゅう 運動 うんどう 軌道 きどう ,
r
c
{\displaystyle r_{c}}
是 ぜ 圓周 えんしゅう 半徑 はんけい ,
ω おめが
=
q
B
/
m
{\displaystyle \omega =qB/m}
是 ぜ 旋轉 せんてん 角速度 かくそくど ,
t
{\displaystyle t}
是 ぜ 時間 じかん 。
移動 いどう 於朝著 ちょ 正 せい 上方 かみがた 的 てき 均 ひとし 勻磁場 じょう ,負 ふ 電荷 でんか 的 てき 等 とう 速 そく 螺旋 らせん 運動 うんどう 軌道 きどう 。
朝 あさ 著 ちょ 均 ひとし 勻磁場 じょう 方向 ほうこう 看 み ,帶電 たいでん 粒子 りゅうし 會 かい 以反 はん 時針 じしん 方向 ほうこう ,呈 てい 等 とう 速 そく 圓周 えんしゅう 運動 うんどう 。給 きゅう 予 よ 初 はつ 始 はじめ 速 そく 率 りつ
v
0
{\displaystyle v_{0}}
。那 な 麼,圓周 えんしゅう 半徑 はんけい 為 ため
r
c
=
v
0
/
ω おめが
=
m
v
0
/
q
B
{\displaystyle r_{c}=v_{0}/\omega =mv_{0}/qB}
。
這圓周 えんしゅう 半徑 はんけい 稱 たたえ 為 ため 迴旋半徑 はんけい (cyclotron radius )或 ある 拉 ひしげ 莫半徑 はんけい (Larmor radius )。
ω おめが
=
q
B
/
m
{\displaystyle \omega =qB/m}
稱 たたえ 為 ため 迴旋頻率 りつ (cyclotron frequency )。
帶電 たいでん 粒子 りゅうし 的 てき 動 どう 量 りょう
p
0
{\displaystyle p_{0}}
為 ため
p
0
=
m
v
0
=
q
B
r
c
{\displaystyle p_{0}=mv_{0}=qBr_{c}}
。
假設 かせつ 粒子 りゅうし 帶 たい 有 ゆう 負 ふ 電荷 でんか ,則 のり 運動 うんどう 方向 ほうこう 會 かい 逆 ぎゃく 反 はん ,改 あらため 為 ため 順 じゅん 時針 じしん 方向 ほうこう 。
假設 かせつ 初 はつ 始 はじめ 速度 そくど 有 ゆう 一 いち 個 こ z-分量 ぶんりょう
v
z
0
{\displaystyle v_{z0}}
,則 のり 帶電 たいでん 粒子 りゅうし 會 かい 呈 てい 等 とう 速 そく 螺旋 らせん 運動 うんどう 。
在 ざい 均 ひとし 勻磁場 じょう 內,帶電 たいでん 粒子 りゅうし 的 てき 漂移運動 うんどう 。(A)沒 ぼつ 有 ゆう 任 にん 何 なん 外力 がいりょく (B)加入 かにゅう 外 がい 電場 でんじょう
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
(C)加入 かにゅう 獨立 どくりつ 外力 がいりょく
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
(例 れい 如,地 ち 心 こころ 引力 いんりょく ,(D))磁場 じば 改 あらため 為 ため 不 ふ 均 ひとし 勻,
∇
B
{\displaystyle \nabla \mathbf {B} }
對 たい 於很多 た 有 ゆう 意思 いし 的 てき 、比較 ひかく 複雜 ふくざつ 的 てき 實際 じっさい 案 あん 例 れい ,在 ざい 磁場 じば 內運動的 どうてき 帶電 たいでん 粒子 りゅうし (例 れい 如,電 でん 漿的 てき 電子 でんし 或 ある 離 はなれ 子 こ ),可 か 以分為 ため 兩 りょう 部分 ぶぶん 處理 しょり 。這兩部分 ぶぶん 的 てき 疊 たたみ 加 か ,足 あし 以描述 じゅつ 這帶電 たいでん 粒子 りゅうし 的 てき 物理 ぶつり 行為 こうい 。第 だい 一部分是速度比較快的,環 たまき 繞 にょう 著 ちょ 某 ぼう 一 いち 點 てん 的 てき 圓周 えんしゅう 運動 うんどう 。環 かん 繞 にょう 之 これ 點 てん 稱 たたえ 為 ため 導 みちびけ 向 こう 中心 ちゅうしん (guiding center )。另一部分是導向中心的漂移運動。其速度 そくど 比 ひ 較慢,會 かい 因 いん 不同 ふどう 種類 しゅるい 的 てき 粒子 りゅうし 而不同 ふどう ,又 また 跟其電荷 でんか 量 りょう 、質量 しつりょう 或 ある 溫度 おんど 有 ゆう 關 せき 。不同 ふどう 的 てき 漂移速度 そくど 可能 かのう 會 かい 造成 ぞうせい 電流 でんりゅう 或 ある 化學 かがく 分離 ぶんり 。
許多 きょた 經典 きょうてん 電磁 でんじ 學 がく 教科書 きょうかしょ 會 かい 用 よう 勞 ろう 侖茲力 りょく 定律 ていりつ 來 らい 定義 ていぎ 電場 でんじょう 和 わ 磁場 じば 。
假設 かせつ 檢 けん 驗 けん 電荷 でんか 靜止 せいし 不動 ふどう ,
v
=
0
{\displaystyle \mathbf {v} =0}
,則 のり 勞 ろう 侖茲力 りょく 方程式 ほうていしき 變 へん 為 ため
F
=
q
E
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} }
。
採用 さいよう 國際 こくさい 單位 たんい 制 せい ,假設 かせつ 檢 けん 驗 けん 電荷 でんか 的 てき 電 でん 量 りょう 為 ため 1庫 くら 侖 ,作用 さよう 於檢驗 けん 電荷 でんか 的 てき 勞 ろう 倫 りん 茲力為 ため 1牛 うし 頓 とみ ,則 のり 檢 けん 驗 けん 電荷 でんか 感 かん 受到的 てき 電場 でんじょう 為 ため 1牛 うし 頓 とみ /庫 くら 侖。
假設 かせつ 電場 でんじょう 為 ため 零 れい ,則 のり 作用 さよう 於電荷 でんか
q
{\displaystyle q}
的 てき 勞 ろう 侖茲力 りょく 是 ぜ
F
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
。
對 たい 於一 いち 條 じょう 線 せん 電荷 でんか 密度 みつど 為 ため
λ らむだ
{\displaystyle \lambda }
的 てき 載 の 流 りゅう 導線 どうせん ,總 そう 作用 さよう 力 りょく 為 ため
F
=
∫
C
v
×
B
d
q
=
∫
C
v
×
B
λ らむだ
d
ℓ
=
∫
C
I
×
B
d
ℓ
{\displaystyle \mathbf {F} =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \mathrm {d} q=\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \lambda \mathrm {d} \ell =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {I} \times \mathbf {B} \mathrm {d} \ell }
;
其中,
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
是 ぜ 積分 せきぶん 路 ろ 徑 みち ,
I
=
λ らむだ
v
{\displaystyle \mathbf {I} =\lambda \mathbf {v} }
是 ぜ 電流 でんりゅう 向 むこう 量 りょう 。
假設 かせつ 電流 でんりゅう 是 ぜ 穩定電流 でんりゅう ,則 のり 可 か 以將電流 でんりゅう 從 したがえ 積分 せきぶん 內提出 ていしゅつ ,用向 ようむき 量 りょう
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
來 らい 表示 ひょうじ 電流 でんりゅう
I
{\displaystyle \mathbf {I} }
的 てき 方向 ほうこう :
F
=
I
∫
C
d
ℓ
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =I\int _{\mathbb {C} }\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} }
。
這公式 こうしき 給 きゅう 出 で 了 りょう ,在 ざい 磁場 じば 內,載 の 流 りゅう 導線 どうせん 感 かん 受到的 てき 磁場 じば 力 りょく 。
使用 しよう 這公式 しき 和 わ 必歐-沙 すな 伐 き 定律 ていりつ ,就可以推導出 どうしゅつ 安 やす 培 つちかえ 力 りょく 定律 ていりつ (詳 しょう 盡 つき 細 ぼそ 節 ふし ,請參閱安 やす 培 つちかえ 力 りょく 定律 ていりつ )。
假設 かせつ ,磁場 じば 是 ぜ 均 ひとし 勻磁場 じょう ,積分 せきぶん 路 ろ 徑 みち 是 ぜ 垂直 すいちょく 於磁場 じょう 的 てき 直線 ちょくせん ,則 のり
F
=
I
L
B
{\displaystyle F=ILB}
;
其中,
L
{\displaystyle L}
是 ぜ 積分 せきぶん 路 ろ 徑 みち
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
的 まと 長 ちょう 度 ど ,
採用 さいよう 國際 こくさい 單位 たんい 制 せい ,假設 かせつ 檢 けん 驗 けん 電流 でんりゅう 為 ため 1安 やす 培 つちかえ ,作用 さよう 於載流 りゅう 導線 どうせん 的 てき 單位 たんい 長 ちょう 度 ど 的 てき 勞 ろう 侖茲力 りょく 為 ため 1牛 うし 頓 とみ /公 おおやけ 尺 じゃく ,則 のり 檢 けん 驗 けん 電流 でんりゅう 感 かん 受到的 てき 磁場 じば 為 ため 1特 とく 斯拉 。
一條 いちじょう 長 ちょう 度 ど 為 ため
L
{\displaystyle L}
的 てき 細 ほそ 直 ちょく 導線 どうせん 以速度 そくど
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
移動 いどう 於磁場 じょう
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
。
許多 きょた 發電 はつでん 機 き 的 てき 基本 きほん 運 うん 作 さく 原理 げんり 涉 わたる 及動 どう 生 せい 電動 でんどう 勢 ぜい 概念 がいねん 。將 はた 導線 どうせん 移動 いどう 於磁場 じょう ,則 のり 會 かい 產 さん 生 せい 電動 でんどう 勢 ぜい ,稱 たたえ 為 ため 動 どう 生 せい 電動 でんどう 勢 ぜい 。如圖右 みぎ [4] ,假設 かせつ 一 いち 條 じょう 長 ちょう 度 ど 為 ため
L
{\displaystyle L}
的 てき 細 ほそ 直 ちょく 導線 どうせん ,以速度 そくど
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
移動 いどう 於磁場 じょう
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
。磁場 じば
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
以箭尾 お 或 ある 叉 また 叉 また 表示 ひょうじ ,方向 ほうこう 由 よし 銀幕 ぎんまく 外部 がいぶ 指 ゆび 入 にゅう 銀幕 ぎんまく 。思考 しこう 在 ざい 這導線 せん 內的電荷 でんか
q
{\displaystyle q}
,根據 こんきょ 勞 ろう 侖茲定律 ていりつ ,會 かい 感 かん 受到勞 ろう 侖茲力 りょく
F
l
o
r
e
n
t
z
{\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}}
:
F
l
o
r
e
n
t
z
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
。
在 ざい 這裡,勞 ろう 侖茲力也 りきや 是 これ 磁場 じば 力 りょく 。因 よし 為 ため 這磁場 じょう 力 りょく 的 てき 作用 さよう ,正 せい 電荷 でんか 會 かい 往導線 せん 的 てき 上端 じょうたん 移動 いどう ,負 ふ 電荷 でんか 會 かい 往導線 せん 的 てき 下端 かたん 移動 いどう 。在 ざい 穩定平衡 へいこう 狀態 じょうたい ,這會感應 かんおう 出 で 一 いち 個 こ 電場 でんじょう
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
:
E
=
−
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
。
電動 でんどう 勢 ぜい 定義 ていぎ 為 ため 造成 ぞうせい 開 ひらけ 路 ろ 電路 でんろ 的 てき 兩個 りゃんこ 終端 しゅうたん 的 てき 電 でん 勢 ぜい 差 さ ,對 たい 於每單位 たんい 電荷 でんか 所 しょ 需做的 てき 功 こう 。所以 ゆえん ,動 どう 生 せい 電動 でんどう 勢 ぜい
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
為 ため
E
=
∫
L
F
l
o
r
e
n
t
z
q
⋅
d
ℓ
=
v
B
L
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{L}{\frac {\mathbf {F_{lorentz}} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=vBL}
。
在 ざい 這個例 れい 子 こ 裏 うら ,穩定平衡 へいこう 狀態 じょうたい 時 じ 的 てき 電流 でんりゅう 等 とう 於零。假設 かせつ 載 の 流 りゅう 導線 どうせん 與 あずか 其他原 げん 件 けん 連結 れんけつ 成 なり 一 いち 個 こ 電路 でんろ ,則 のり 會 かい 因 いん 為 ため 動 どう 生 せい 電動 でんどう 勢 ぜい 而產生 せい 電流 でんりゅう 。例 れい 如,將 はた 一 いち 個 こ 電 でん 阻
R
{\displaystyle R}
與 あずか 導線 どうせん 的 てき 兩端 りょうたん 相 しょう 連結 れんけつ ,則 のり 流 りゅう 過 か 電 でん 阻的電流 でんりゅう
I
{\displaystyle I}
為 ため
I
=
E
/
R
=
v
B
L
/
R
{\displaystyle I={\mathcal {E}}/R=vBL/R}
。
法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 電磁 でんじ 感應 かんおう 定律 ていりつ [ 編輯 へんしゅう ]
在 ざい 時間 じかん
t
{\displaystyle t}
,以閉迴路
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
為 ため 邊 べ 緣 えん 的 てき 曲面 きょくめん
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
,和 かず 在 ざい 此曲面 めん
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
某 ぼう 些位置 いち 的 てき 磁場 じば
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
。
一 いち 個 こ 以常速度 そくど
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
移動 いどう 於磁場 じょう
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
的 てき 閉迴路 ろ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
。
法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 電磁 でんじ 感應 かんおう 定律 ていりつ 闡明 せんめい ,穿 ほじ 過 か 任意 にんい 閉迴路 ろ 的 てき 磁通量 りょう 的 てき 變化 へんか 率 りつ ,與 あずか 這迴路 ろ 的 てき 電動 でんどう 勢 ぜい 成 なり 正 せい 比 ひ :
E
=
−
d
Φ ふぁい
B
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
;
其中,
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
是 ぜ 電動 でんどう 勢 ぜい ,
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
是 ぜ 磁通量 りょう ,
t
{\displaystyle t}
是 ぜ 時間 じかん 。
在 ざい 時間 じかん
t
{\displaystyle t}
通過 つうか 任意 にんい 曲面 きょくめん
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
的 てき 磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
(
t
)
{\displaystyle \Phi _{B}(t)}
定義 ていぎ 為 ため
Φ ふぁい
B
(
t
)
=
d
e
f
∫
Σ しぐま
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle \Phi _{B}(t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} }
;
其中,
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
是 ぜ 位置 いち ,
d
a
{\displaystyle d\mathbf {a} }
是 ぜ 微小 びしょう 面 めん 元素 げんそ 。
給 きゅう 予 よ 一 いち 個 こ 以常速度 そくど
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
移動 いどう 於磁場 じょう 的 てき 閉迴路 ろ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
。那 な 麼,磁通量 りょう 對 たい 於時間 あいだ 的 てき 全 ぜん 微分 びぶん 是 これ [5]
d
Φ ふぁい
B
(
t
)
=
∫
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
+
d
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ しぐま
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
+
∫
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
−
∫
Σ しぐま
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
+
∫
Σ しぐま
t
o
t
a
l
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ しぐま
r
i
b
b
o
n
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle {\begin{aligned}d\Phi _{B}(t)&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t+dt)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\\end{aligned}}}
;
其中,
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
是 ぜ 邊 べ 緣 えん 為 ため
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的 てき 曲面 きょくめん ,
Σ しぐま
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
是 ぜ 包括 ほうかつ
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \Sigma (t+dt)}
、
−
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle -\Sigma (t)}
和 わ
Σ しぐま
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
的 てき 閉曲面 めん ,
Σ しぐま
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
是 ぜ 邊 べ 緣 えん
∂
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t+dt)}
和 わ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
形成 けいせい 的 てき 邊 あたり 緣 えん 曲面 きょくめん 。
根據 こんきょ 散 ち 度 たび 定理 ていり 和 わ 高 こう 斯磁定律 ていりつ ,
∫
Σ しぐま
t
o
t
a
l
B
⋅
d
a
=
∫
V
t
o
t
a
l
∇
⋅
B
d
τ たう
=
0
{\displaystyle \int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\mathbb {V} _{total}}\nabla \cdot \mathbf {B} d\tau =0}
;
其中,
V
t
o
t
a
l
{\displaystyle \mathbb {V} _{total}}
是 ぜ 閉曲面 めん
Σ しぐま
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
包含 ほうがん 的 てき 空間 くうかん ,
d
τ たう
{\displaystyle d\tau }
是 ぜ 微小 びしょう 體 たい 元素 げんそ 。
通過 つうか 邊 べ 緣 えん 曲面 きょくめん
Σ しぐま
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
的 てき 磁通量 りょう 可 か 以改變成 へんせい 一 いち 個 こ 線 せん 積分 せきぶん :
∫
Σ しぐま
r
i
b
b
o
n
B
⋅
d
a
=
∫
∂
Σ しぐま
(
t
)
B
⋅
[
d
ℓ
×
(
v
d
t
)
]
=
∫
∂
Σ しぐま
(
t
)
[
(
v
d
t
)
×
B
]
⋅
d
ℓ
{\displaystyle \int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [d{\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} dt)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} dt)\times \mathbf {B} ]\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
。
所以 ゆえん ,磁通量 りょう 對 たい 於時間 あいだ 的 てき 全 ぜん 導 しるべ 數 すう ,或 ある 磁通量的 りょうてき 變化 へんか 率 りつ 為 ため
d
Φ ふぁい
B
(
t
)
d
t
=
∫
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
⋅
d
a
−
∫
∂
Σ しぐま
(
t
)
v
×
B
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} -\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
。
運動 うんどう 於移動 いどう 的 てき 閉迴路 ろ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的 てき 一 いち 個 こ 電荷 でんか
q
{\displaystyle q}
的 てき 速度 そくど
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
為 ため
w
=
u
+
v
{\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }
;
其中,
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
是 ぜ 相對 そうたい 於閉迴路
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的 てき 電荷 でんか 運動 うんどう 速度 そくど ,
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
是 ぜ 閉迴路 ろ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的 てき 移動 いどう 速度 そくど 。
這電荷 でんか 會 かい 感 かん 受到勞 ろう 侖茲力 りょく
F
=
q
(
E
+
w
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )}
;
電動 でんどう 勢 ぜい
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
定義 ていぎ 為 ため
E
=
d
e
f
∫
∂
Σ しぐま
F
q
⋅
d
ℓ
=
∫
∂
Σ しぐま
(
E
+
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\partial \Sigma }{\frac {\mathbf {F} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
。
根據 こんきょ 法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 電磁 でんじ 感應 かんおう 定律 ていりつ ,
E
=
−
d
Φ ふぁい
B
d
t
=
∫
∂
Σ しぐま
(
E
+
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
。
在 ざい 計算 けいさん 積分 せきぶん 時 じ ,閉迴路 ろ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的 てき 微小 びしょう 線 せん 元素 げんそ
d
ℓ
{\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}
與 あずか 正 せい 在 ざい 那 な 位置 いち 的 てき 電荷 でんか 的 てき
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
平行 へいこう 。所以 ゆえん ,
d
Φ ふぁい
B
(
t
)
d
t
=
−
∫
∂
Σ しぐま
(
E
+
v
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=-\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
。
令 れい 兩個 りゃんこ 磁通量 りょう 變化 へんか 率 りつ 的 てき 方程式 ほうていしき 相等 そうとう ,除去 じょきょ 同 どう 有 ゆう 的 てき 移動 いどう 的 てき 閉迴路 ろ 項目 こうもく ,則 のり 可 か 得 え 到 いた
∫
∂
Σ しぐま
E
⋅
d
ℓ
=
−
∫
Σ しぐま
∂
B
∂
t
⋅
d
a
{\displaystyle \int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-\int _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} }
。
應用 おうよう 斯托克 かつ 斯定理 ていり ,
∫
∂
Σ しぐま
E
⋅
d
ℓ
=
∫
Σ しぐま
∇
×
E
⋅
d
a
{\displaystyle \int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }
,可 か 以得到 いた
∫
Σ しぐま
(
∇
×
E
+
∂
B
∂
t
)
⋅
d
a
=
0
{\displaystyle \int _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {a} =0}
。
由 よし 於
Σ しぐま
{\displaystyle \Sigma }
是 ぜ 任意 にんい 取 と 面 めん ,可 か 以將被 ひ 積 せき 式 しき 從 したがえ 積分 せきぶん 中 ちゅう 取出 とりで :
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
。
這是馬 うま 克 かつ 士 し 威 たけし -法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 方程式 ほうていしき 。由 よし 於這方程式 ほうていしき 的 てき 右手 みぎて 邊 べ 是 これ 個 こ 對 たい 於時間 あいだ 的 てき 偏 へん 導 しるべ 數 すう 項目 こうもく ,只 ただ 涉 わたる 及固定 こてい 的 てき 閉迴路 ろ ,不能 ふのう 用 よう 來 らい 計算 けいさん 移動 いどう 中 ちゅう 的 てき 閉迴路 ろ 。
用 もちい 馬 うま 克 かつ 士 し 威 たけし -法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 方程式 ほうていしき ,通常 つうじょう 對 たい 於時間 あいだ 的 てき 偏 へん 導 しるべ 數 すう 的 てき 詮 かい 釋 しゃく 只 ただ 限 げん 制 せい 為 ため 固定 こてい 邊 べ 界 かい 。而在另一方面 ほうめん ,不 ふ 論 ろん 導線 どうせん 的 てき 閉迴路 ろ 是 ぜ 剛 ごう 硬 かた 固定 こてい 的 てき 、是 ぜ 在 ざい 運動 うんどう 中 ちゅう 、是 ぜ 在 ざい 形 かたち 變 へん 過程 かてい 中 ちゅう ,不 ふ 論 ろん 磁場 じば 是 ぜ 不 ふ 含時的 てき 或 ある 含時的 てき ,法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 電磁 でんじ 感應 かんおう 定律 ていりつ 都 と 成立 せいりつ 。但 ただし 是 ぜ ,對 たい 於某些案例 れい ,法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 電磁 でんじ 感應 かんおう 定律 ていりつ 並 なみ 不 ふ 適用 てきよう 或 ある 使用 しよう 起 おこり 來 らい 很困難 なん 。這時候 じこう ,必須 ひっす 使用 しよう 勞 ろう 侖茲力 りょく 定律 ていりつ 。詳 しょう 盡 つき 細 ぼそ 節 ふし ,請參閱法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 電磁 でんじ 感應 かんおう 定律 ていりつ 不 ふ 適用 てきよう 案 あん 例 れい 。
假設 かせつ 閉迴路 ろ 移動 いどう 於不含時間 あいだ 的 てき 磁場 じば
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
,通過 つうか 閉迴路 ろ 的 てき 磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
會 かい 因 いん 為 ため 幾 いく 種 しゅ 因 いん 素 もと 而改變 かいへん :例 れい 如,假 かり 若 わか 磁場 じば
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
隨 ずい 著 ちょ 位置 いち 改變 かいへん ,閉迴路 ろ 移動 いどう 至 いたり 不同 ふどう 磁場 じば
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
的 てき 位置 いち ,則 のり 磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
會 かい 改變 かいへん 。或 ある 者 もの ,假 かり 若 わか 相對 そうたい 於磁場 じょう ,閉迴路 ろ 的 てき 定 てい 向 むかい 改變 かいへん ,由 ゆかり 於微小 びしょう 元素 げんそ
B
⋅
d
A
{\displaystyle \mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }
的 てき 改變 かいへん ,磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
也會改變 かいへん 。再 さい 舉一 いち 個 こ 例 れい 子 こ ,假 かり 若 わか 閉迴路 ろ 掃掠過 か 一個均勻的不含時磁場,由 よし 於閉迴路的 てき 形 がた 變 へん ,磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
會 かい 改變 かいへん 。對 たい 於這三 さん 個 こ 案 あん 例 れい ,法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 電磁 でんじ 感應 かんおう 定律 ていりつ 正確 せいかく 地 ち 計 けい 算出 さんしゅつ 磁通量 りょう 變化 へんか 率 りつ
d
Φ ふぁい
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}}
所產 しょさん 生 せい 的 てき 電動 でんどう 勢 ぜい 。
對比 たいひ 前面 ぜんめん 所 しょ 述 じゅつ 狀況 じょうきょう ,假設 かせつ 固定 こてい 的 てき 閉迴路 ろ 處 しょ 於含時 じ 磁場 じば
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
,馬 うま 克 かつ 士 し 威 たけし -法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 方程式 ほうていしき 會 かい 顯示 けんじ 出 で 一 いち 個 こ 非 ひ 保守 ほしゅ 性 せい 的 てき 電場 でんじょう
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
產 さん 生 せい 於閉迴路,靠 もたれ 著 ちょ 勞 ろう 侖茲力 りょく 的 てき
q
E
{\displaystyle q\mathbf {E} }
項目 こうもく ,驅使 くし 載 の 電 でん 粒子 りゅうし 移動 いどう 於導線 せん 。這狀況 きょう 也會改變 かいへん 磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
,法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 電磁 でんじ 感應 かんおう 定律 ていりつ 也會正確 せいかく 地 ち 計 けい 算出 さんしゅつ 磁通量 りょう 變化 へんか 率 りつ
d
Φ ふぁい
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}}
所產 しょさん 生 せい 的 てき 電動 でんどう 勢 ぜい 。
用 よう 位 い 勢 ぜい 來 らい 表 ひょう 達 たち 勞 ろう 侖茲力 りょく 方程式 ほうていしき [ 編輯 へんしゅう ]
根據 こんきょ 亥 い 姆霍茲分解 ぶんかい (Helmholtz decomposition ),電場 でんじょう 和 わ 磁場 じば 可 か 以用電 でん 勢 ぜい
ϕ
{\displaystyle \phi }
和 わ 磁向量 りょう 勢 ぜい
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
來 らい 表 ひょう 達 たち :
E
=
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
其中∇為 ため 梯 はしご 度 ど ,∇⋅ 為 ため 散 ち 度 たび ,∇× 為 ため 旋度 。
將 はた 這兩個 りゃんこ 公式 こうしき 代入 だいにゅう 勞 ろう 侖茲力 りょく 方程式 ほうていしき ,則 のり 可 か 得 え 到 いた
F
=
q
[
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
+
v
×
(
∇
×
A
)
]
{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right]}
可 か 以化簡為
F
=
q
[
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
+
∇
(
v
⋅
A
)
−
(
v
⋅
∇
)
A
]
{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla (\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} \right]}
勞 ろう 侖茲力 りょく 方程式 ほうていしき 的 てき 協 きょう 變形 へんけい 式 しき [ 編輯 へんしゅう ]
定義 ていぎ 粒子 りゅうし 的 てき 四 よん 維速度 そくど
u
β べーた
{\displaystyle u_{\beta }}
為 ため
u
β べーた
=
d
e
f
(
u
0
,
u
1
,
u
2
,
u
3
)
=
γ がんま
(
c
,
−
v
x
,
−
v
y
,
−
v
z
)
{\displaystyle u_{\beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ (u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3})=\gamma (c,\,-v_{x},\,-v_{y},\,-v_{z})}
;
其中,
γ がんま
{\displaystyle \gamma }
是 これ 勞 ろう 侖茲因子 いんし ,
c
{\displaystyle c}
是 ぜ 光速 こうそく ,
v
=
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},\,v_{y},\,v_{z})}
是 ぜ 粒子 りゅうし 的 てき 速度 そくど 向 むこう 量 りょう 。
定義 ていぎ 電磁場 でんじば 張 はり 量 りょう
F
α あるふぁ
β べーた
{\displaystyle F^{\alpha \beta }}
為 ため
F
α あるふぁ
β べーた
=
d
e
f
[
0
−
E
x
/
c
−
E
y
/
c
−
E
z
/
c
E
x
/
c
0
−
B
z
B
y
E
y
/
c
B
z
0
−
B
x
E
z
/
c
−
B
y
B
x
0
]
{\displaystyle F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}
;
其中,
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
是 ぜ 電場 でんじょう 向 むこう 量 りょう ,
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
是 ぜ 磁場 じば 向 むこう 量 りょう 。
結合 けつごう 牛 うし 頓 ひたぶる 運動 うんどう 定律 ていりつ 與 あずか 勞 ろう 侖茲力 りょく 定律 ていりつ 在 ざい 一起 かずき ,以電磁場 でんじば 張 はり 量 りょう 寫 うつし 為 ため 反 はん 變形 へんけい 式 しき (contravariant form ):
d
p
α あるふぁ
d
τ たう
=
q
u
β べーた
F
α あるふぁ
β べーた
{\displaystyle {\frac {dp^{\alpha }}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{\alpha \beta }}
;
其中,
p
α あるふぁ
{\displaystyle p^{\alpha }}
是 これ 四 よん 維動量 りょう ,
τ たう
{\displaystyle \tau }
是 ぜ 粒子 りゅうし 的 てき 固有 こゆう 時 じ 。
應用 おうよう 勞 ろう 侖茲變換 へんかん ,電磁場 でんじば 張 はり 量 りょう 可 か 以從一 いち 個 こ 參考 さんこう 系 けい
S
{\displaystyle S}
轉換 てんかん 到 いた 另一 いち 個 こ 參考 さんこう 系 けい
S
¯
{\displaystyle {\bar {S}}}
:
F
¯
μ みゅー
ν にゅー
=
Λ らむだ
μ みゅー
α あるふぁ
Λ らむだ
ν にゅー
β べーた
F
α あるふぁ
β べーた
{\displaystyle {\bar {F}}^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }}
;
其中,
Λ らむだ
μ みゅー
α あるふぁ
{\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }}
和 わ
Λ らむだ
ν にゅー
β べーた
{\displaystyle {\Lambda ^{\nu }}_{\beta }}
是 ぜ 勞 ろう 侖茲變換 へんかん 矩 のり 陣 じん 。
換 かわ 另一 いち 種 しゅ 方法 ほうほう ,定義 ていぎ 四 よん 維勢
A
α あるふぁ
{\displaystyle A^{\alpha }}
為 ため
A
α あるふぁ
=
d
e
f
(
ϕ
/
c
,
A
x
,
A
y
,
A
z
)
{\displaystyle A^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z})}
;
其中,
ϕ
{\displaystyle \phi }
是 これ 電 でん 勢 ぜい ,
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
是 これ 磁向量 りょう 勢 ぜい 。
定義 ていぎ 四 よん 維坐標 しるべ
x
α あるふぁ
{\displaystyle x_{\alpha }}
為 ため
x
α あるふぁ
=
d
e
f
(
c
t
,
−
x
,
−
y
,
−
z
)
{\displaystyle x_{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (ct,\,-x,\,-y,\,-z)}
。
那 な 麼,電磁場 でんじば 張 はり 量 りょう 為 ため [1]
F
α あるふぁ
β べーた
=
∂
A
β べーた
∂
x
α あるふぁ
−
∂
A
α あるふぁ
∂
x
β べーた
{\displaystyle F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}}
。
從 したがえ 勞 ろう 侖茲力 りょく 方程式 ほうていしき 的 てき 張 はり 量 りょう 形式 けいしき 計算 けいさん 向 こう 量 りょう 形式 けいしき [ 編輯 へんしゅう ]
先 さき 計算 けいさん 四 よん 維力 (four-force )的 てき
μ みゅー
=
1
{\displaystyle \mu =1}
分量 ぶんりょう (x-分量 ぶんりょう ):
γ がんま
d
p
1
d
t
=
d
p
1
d
τ たう
=
q
u
β べーた
F
1
β べーた
=
q
(
u
0
F
10
+
u
1
F
11
+
u
2
F
12
+
u
3
F
13
)
{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}={\frac {dp^{1}}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{1\beta }=q\left(u_{0}F^{10}+u_{1}F^{11}+u_{2}F^{12}+u_{3}F^{13}\right)}
。
將 はた 電磁場 でんじば 張 ちょう 量的 りょうてき 分量 ぶんりょう 代入 だいにゅう ,可 か 以得到 いた
γ がんま
d
p
1
d
t
=
q
(
u
0
(
E
x
c
)
+
u
2
(
−
B
z
)
+
u
3
(
B
y
)
)
{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\left(u_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+u_{2}(-B_{z})+u_{3}(B_{y})\right)}
。
再 さい 將 しょう 四維速度的分量代入,則 のり 會得 えとく 到 いた
γ がんま
d
p
1
d
t
=
q
γ がんま
(
c
(
E
x
c
)
+
v
y
B
z
−
v
z
B
y
)
=
q
γ がんま
[
E
x
+
(
v
×
B
)
x
]
{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\gamma \left(c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma [E_{x}+(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )_{x}]}
。
類似 るいじ 地 ち ,可 か 以計算出 さんしゅつ 四 よん 維力的 てき
μ みゅー
=
2
{\displaystyle \mu =2}
和 わ
μ みゅー
=
3
{\displaystyle \mu =3}
分量 ぶんりょう 。所以 ゆえん ,
d
p
d
t
=
q
(
E
+
v
×
B
)
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
。
^ 1.0 1.1 1.2 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 204, 326, 417, 541. ISBN 0-13-805326-X .
^ Darrigol, Olivier, Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford, [England]: Oxford University Press: 327, 2000, ISBN 0-198-50593-0
^ 福 ぶく 克 かつ -普 ひろし 朗 ろう 克 かつ 方 かた 程 ほど . 維基百科 ひゃっか ,自由 じゆう 的 てき 百科全書 ひゃっかぜんしょ . 2015-12-13 (中 ちゅう 文 ぶん ) .
^ Tai L. Chow. Electromagnetic theory. Sudbury MA: Jones and Bartlett. 2006: pp. 172-175. ISBN 0-7637-3827-1 .
^ Flanders, Harley. Differentiation under the integral sign. American Mathematical Monthly. Jun–Jul 1973, 80 (6): 615–627. doi:10.2307/2319163 .
National High Magnetic Field Laboratory的 てき Java互動教學 きょうがく 網 もう 頁 ぺーじ :勞 ろう 侖茲力 りょく 。