本条 ほんじょう 目 め 中 ちゅう ,向 むかい 量 りょう 与 あずか 标量 分 ぶん 别用粗 そ 体 からだ 与 あずか 斜体 しゃたい 显示。例 れい 如,位置 いち 向 こう 量 りょう 通 どおり 常用 じょうよう
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
表示 ひょうじ ;而其大小 だいしょう 则用
r
{\displaystyle r\,\!}
来 らい 表示 ひょうじ 。
不同 ふどう 电荷量 りょう
q
{\displaystyle q}
的 てき 带电粒子 りゅうし ,由 ゆかり 于磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
(磁场方向 ほうこう 从屏幕内 まくうち 指 ゆび 出来 でき )的 てき 影 かげ 响,感受 かんじゅ 到 いた 劳仑兹力的 てき 作用 さよう ,所 しょ 呈 てい 现的可能 かのう 运动轨道。
由 よし 于磁场的影 かげ 响,电子射 しゃ 束 たば 的 まと 移 うつり 动路径 みち 呈 てい 圆形。电子经过的 てき 路 ろ 径 みち 会 かい 有 ゆう 紫色 むらさきいろ 光 こう 发射出来 でき 。这是因 いん 为电子 こ 与 あずか 玻璃 はり 球 だま 内的 ないてき 气体分子 ぶんし 碰撞而产生 せい 的 てき 现象。
在 ざい 电动力学 りきがく 里 さと ,劳仑兹力 (Lorentz force)是 ぜ 运动于电磁场 的 てき 带电粒子 りゅうし 所感 しょかん 受到的 てき 作用 さよう 力 りょく 。劳仑兹力是 ぜ 因 いん 荷 に 兰物理学 りがく 者 しゃ 亨 とおる 德 とく 里 さと 克 かつ ·劳仑兹 而命名 めいめい 。根 ね 据 すえ 劳仑兹力定律 ていりつ ,劳仑兹力可 か 以用方程式 ほうていしき ,称 しょう 为劳仑兹力方程式 ほうていしき ,表 おもて 达为
F
=
q
(
E
+
v
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
;
其中,
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
是 ぜ 劳仑兹力,
q
{\displaystyle q}
是 ぜ 带电粒子 りゅうし 的 てき 电荷量 りょう ,
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
是 これ 电场 强度 きょうど ,
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
是 ぜ 带电粒子 りゅうし 的 てき 速度 そくど ,
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
是 これ 磁感应强度 きょうど 。
劳仑兹力定律 ていりつ 是 ぜ 一 いち 个基本 きほん 公理 こうり ,不 ふ 是 ぜ 从别的 てき 理 り 论推导出来 でき 的 てき 定律 ていりつ ,而是由 ゆかり 多 た 次 つぎ 重 じゅう 复完成 かんせい 的 てき 实验所得 しょとく 到 いた 的 てき 同 どう 样的结果。
感受 かんじゅ 到 いた 电场的 てき 作用 さよう ,正 せい 电荷会 かい 朝 あさ 著 ちょ 电场的 てき 方向 ほうこう 加速 かそく ;但 ただし 是 ぜ 感 かん 受到磁场的 てき 作用 さよう ,按照右手 みぎて 定 てい 则 ,正 せい 电荷会 かい 朝 あさ 著 ちょ 垂直 すいちょく 于速度 そくど
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
和 かず 磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
的 てき 方向 ほうこう 弯曲(详细地 ち 说,假 かり 设右手 しゅ 的 てき 大 だい 拇指 ぼし 与 あずか
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
同 どう 向 むかい ,食指 しょくし 与 あずか
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
同 どう 向 むかい ,则掌心 こころ 推出的 てき 方向 ほうこう 为
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
的 てき 方向 ほうこう )。
劳仑兹力方程式 ほうていしき 的 てき
q
E
{\displaystyle q\mathbf {E} }
项目是 ぜ 电场力 りょく 项目,
q
v
×
B
{\displaystyle q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
项目是 ぜ 磁场力 りょく 项目[1] 。处于磁场内 ない 的 てき 载电导线感 かん 受到的 てき 磁场力 りょく 就是这劳仑兹力 りょく 的 てき 磁场力 りょく 分量 ぶんりょう 。
劳仑兹力方程式 ほうていしき 的 てき 积分形式 けいしき 为
F
=
∫
V
(
ρ ろー
E
+
J
×
B
)
d
τ たう
{\displaystyle \mathbf {F} =\int _{\mathbb {V} }(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\ \mathrm {d} \tau }
。
其中,
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
是 ぜ 积分的 てき 体 からだ 积,
ρ ろー
{\displaystyle \rho }
是 これ 电荷密度 みつど ,
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
是 これ 电流密度 みつど ,
d
τ たう
{\displaystyle \mathrm {d} \tau }
是 ぜ 微小 びしょう 体 たい 元素 げんそ 。
劳仑兹力密度 みつど
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
是 ぜ 单位体 たい 积的劳仑兹力,表 おもて 达为:
f
=
ρ ろー
E
+
ρ ろー
v
×
B
=
ρ ろー
E
+
J
×
B
{\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\rho \mathbf {v} \times \mathbf {B} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }
。
亨 とおる 德 とく 里 さと 克 かつ ·劳仑兹
1892年 ねん ,荷 に 兰物理 ぶつり 学 がく 家 か 亨 とおる 德 とく 里 さと 克 かつ ·劳仑兹提出 ていしゅつ 劳仑兹力的 てき 概念 がいねん [2] 。但 ただし 是 ぜ ,在 ざい 劳仑兹之前 まえ ,就已经有发掘出 で 劳仑兹力方程式 ほうていしき 的 てき 形式 けいしき ,特 とく 别是在 ざい 詹姆斯·马克士 し 威 たけし 的 てき 1861年 ねん 论文《论物理 ぶつり 力 りょく 线 》里 さと 的 てき 公式 こうしき (77):
P
=
μ みゅー
γ がんま
d
y
d
t
−
μ みゅー
β べーた
d
z
d
t
+
d
F
d
t
−
d
Ψ ぷさい
d
x
{\displaystyle P=\mu \gamma {\frac {dy}{dt}}-\mu \beta {\frac {dz}{dt}}+{\frac {dF}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dx}}}
、
Q
=
μ みゅー
α あるふぁ
d
z
d
t
−
μ みゅー
γ がんま
d
x
d
t
+
d
G
d
t
−
d
Ψ ぷさい
d
y
{\displaystyle Q=\mu \alpha {\frac {dz}{dt}}-\mu \gamma {\frac {dx}{dt}}+{\frac {dG}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dy}}}
、
R
=
μ みゅー
β べーた
d
x
d
t
−
μ みゅー
α あるふぁ
d
y
d
t
+
d
H
d
t
−
d
Ψ ぷさい
d
z
{\displaystyle R=\mu \beta {\frac {dx}{dt}}-\mu \alpha {\frac {dy}{dt}}+{\frac {dH}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dz}}}
;
其中,
P
{\displaystyle P}
、
Q
{\displaystyle Q}
、
R
{\displaystyle R}
分 ぶん 别为电场的 てき 三 さん 个分量 りょう ,
μ みゅー
{\displaystyle \mu }
是 これ 磁导率 りつ ,
d
x
d
t
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}
、
d
y
d
t
{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}
、
d
z
d
t
{\displaystyle {\frac {dz}{dt}}}
分 ぶん 别为导电体 たい 的 まと 移 うつり 动速度 そくど 的 てき 三 さん 个分量 りょう ,
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha }
、
β べーた
{\displaystyle \beta }
、
γ がんま
{\displaystyle \gamma }
分 ぶん 别为磁场强度 きょうど 的 てき 三 さん 个分量 りょう ,
F
{\displaystyle F}
、
G
{\displaystyle G}
、
H
{\displaystyle H}
分 ぶん 别为磁矢势 的 てき 三 さん 个分量 りょう ,
Ψ ぷさい
{\displaystyle \Psi }
是 これ 电势 。
后 きさき 来 らい ,在 ざい 他 た 的 てき 1864年 ねん 论文《电磁场的动力学理 がくり 论 》里 さと ,马克士 し 威 い 将 はた 这公式 しき 列 れつ 为马克士 し 威 い 方 かた 程 ほど 组 的 てき 八个原本方程式中的方程式(D):
E
=
v
×
(
μ みゅー
H
)
−
∂
A
∂
t
−
∇
ϕ
{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {v} \times (\mu \mathbf {H} )-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi }
;
其中,
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
是 ぜ 速度 そくど ,
H
{\displaystyle \mathbf {H} }
是 ぜ 磁场强度 きょうど ,
μ みゅー
{\displaystyle \mu }
是 ぜ 磁导率 りつ ,
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
是 ぜ 磁矢势,
ϕ
{\displaystyle \phi }
是 ぜ 电势。
很明显地,马克士 し 威 い 版 ばん 是 ぜ 现代版 ばん 的 てき 前 ぜん 导。两个版本 はんぽん 的 てき 差 さ 别为:
马克士 し 威 い 版 ばん 并没有 ゆう 特 とく 意地 いじ 提 ひっさげ 到 いた 电荷。马克士 し 威 い 称 しょう 物理 ぶつり 量 りょう
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
为电动力 りょく (electromotive force )。这英文 えいぶん 原文 げんぶん 与 あずか 电动势 的 てき 英文 えいぶん 原文 げんぶん 相 しょう 同 どう 。很多物理 ぶつり 学 がく 家 か 都 と 对英文 えいぶん 原文 げんぶん 表示 ひょうじ 意 い 见,认为会 かい 造成 ぞうせい 困惑 こんわく ,是 ぜ 个相当 とう 不精 ぶしょう 确的术语。从方程式 ほうていしき 形式 けいしき 和 わ 单位分析 ぶんせき 方面 ほうめん 来 らい 看 み ,这物理 ぶつり 量 りょう 对应于现代 だい 的 てき 物理 ぶつり 量 りょう 单位电荷的 てき 劳仑兹力。
马克士 し 威 い 版 ばん 包 つつみ 含有 がんゆう 现在称 しょう 为电场的项目,以电势
ϕ
{\displaystyle \phi }
和 わ 磁向量 りょう 势
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
来 らい 表 ひょう 达:
E
=
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
。
取 と 旋度 于这表 ひょう 达式,就可以得到 いた 法 ほう 拉 ひしげ 第 だい -马克士 し 威 い 方程式 ほうていしき [1] :
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
。
因 いん 此,这表达式等 とう 价于法 ほう 拉 ひしげ 第 だい -马克士 し 威 い 方程式 ほうていしき 。尽 つき 管 かん 劳仑兹力方程式 ほうていしき 来 き 自 じ 于原本 げんぽん 的 てき 一条马克士威方程式,现在,经过奥 おく 利 とし 弗 どる ·黑 くろ 维塞重 じゅう 新 しん 表 ひょう 述 じゅつ 后 きさき 的 てき 劳仑兹力方程式 ほうていしき ,不 ふ 再 さい 被 ひ 视为马克士 し 威 い 方 かた 程 ほど 组中的 てき 一 いち 员,而成为伴随 ずい 马克士 し 威 い 方 かた 程 ほど 组的一条独立基要的定律。
劳仑兹力定律 ていりつ 的 てき 重要 じゅうよう 意 い 义 [ 编辑 ]
当 とう 马克士 し 威 い 方 かた 程 ほど 组描绘带电粒子 りゅうし 怎样产生电磁场的同 どう 时,劳仑兹力方程式 ほうていしき 描绘了 りょう 移 うつり 动于电磁场的带电粒子 りゅうし 所感 しょかん 受到的 てき 电磁力 りょく 。这使得 とく 整 せい 个电磁动力 りょく 的 てき 图画得 とく 以完整 せい 。在 ざい 一个复杂的物理系统里,带电粒子 りゅうし 可能 かのう 还会感 かん 受到别种作用 さよう 力 りょく ,像 ぞう 万有引力 ばんゆういんりょく 或 ある 核 かく 力 りょく 。马克士 し 威 い 方 かた 程 ほど 组并非 ひ 与 あずか 这些作用 さよう 力 りょく 完全 かんぜん 无关;而是通 どおり 过带电粒子 こ 或 ある 电流密度 みつど 与 あずか 这些作用 さよう 力 りょく 耦合。
对于实际的 てき 物 ぶつ 质,在原 ありわら 则上和 わ 计算的 てき 复杂程度 ていど 上 じょう ,劳仑兹力方程式 ほうていしき 都 と 不足 ふそく 以描述 じゅつ 一群粒子的物理行为。在 ざい 物 もの 质介质里的 てき 带电粒子 りゅうし ,必须同 どう 时地响应和 わ 生成 せいせい 电磁场。除 じょ 此以外 がい ,还必须考虑到描述这一群粒子的运动的传输方程式,例 れい 如,波 なみ 兹曼传输方程式 ほうていしき (Boltzmann equation )、福 ぶく 克 かつ -普 ひろし 朗 ろう 克 かつ 方程式 ほうていしき [3] (Fokker–Planck equation )、纳维-斯托克 かつ 斯方程式 ほうていしき 、等 ひとし 等 とう 。请参阅磁流体力 たいりょく 学 がく 、超 ちょう 导现象 ぞう 、恒星 こうせい 演 えんじ 化 か 、等 ひとし 等 とう 。在 ざい 这些学 がく 术领域 いき 研究 けんきゅう 的 てき 科学 かがく 家 か 必须解析 かいせき 复杂的 てき 传输方程式 ほうていしき ,求 もとめ 得 とく 带电粒子 りゅうし 在 ざい 时间和 わ 空 そら 间方面 ほうめん 的 てき 响应。
或 ある 许有些读者 しゃ 会 かい 认为这些理 り 论只是 ぜ 靠 もたれ 著 ちょ 近似 きんじ 来 らい 处理一 いち 个大系 けい 综的 てき 带电粒子 りゅうし 。从更深 ふか 的 てき 层面来 らい 看 み ,带电粒子 りゅうし 也会对非电磁力 りょく ,像 ぞう 万有引力 ばんゆういんりょく ,核 かく 力 りょく 或 ある 边界条件 じょうけん 等 ひとし 等 ひとし ,产生响应。
粒子 りゅうし 的 てき 运动轨道[ 编辑 ]
给予作用 さよう 于粒子 りゅうし 的 てき 劳仑兹力的 てき 公式 こうしき ,将 はた 这公式 しき 代入 だいにゅう 牛 うし 顿第二 に 运动定律 ていりつ ,可 か 以得到 いた 粒子 りゅうし 的 てき 运动方程式 ほうていしき 。解析 かいせき 这运动方程式 ほうていしき ,就可以找到粒子 りゅうし 的 てき 运动轨道。
范例:回旋 かいせん 加速器 かそくき [ 编辑 ]
移 うつり 动于均 ひとし 匀磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
(从显示 しめせ 萤幕外 がい ,指 ゆび 入 にゅう 显示萤幕),正 せい 电荷的 てき 圆周运动轨道。
在 ざい 一 いち 个简单的回旋 かいせん 加速器 かそくき 内 うち ,均 ひとし 匀磁场是
B
=
B
0
z
^
{\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}}
,电场是 ぜ 零 れい 。那 な 么,运动于xy-平面 へいめん 的 てき 带电粒子 りゅうし
q
{\displaystyle q}
所感 しょかん 受到的 てき 劳仑兹力
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
为
F
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
。
将 はた 这公式 しき 代入 だいにゅう 牛 うし 顿第二 に 运动定律 ていりつ ,
m
a
=
q
v
×
B
{\displaystyle m\mathbf {a} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
;
其中,
m
{\displaystyle m}
是 ぜ 带电粒子 りゅうし 的 てき 质量,
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
是 ぜ 带电粒子 りゅうし 的 てき 加速度 かそくど 。
由 よし 于带电粒子 りゅうし 的 てき 加速度 かそくど 与 あずか 速度 そくど 互相垂直 すいちょく ,带电粒子 りゅうし 呈 てい 圆周运动。假 かり 设粒子 りゅうし 带有正 せい 电荷,则这公式 こうしき 的 てき 一般 いっぱん 解答 かいとう 为
r
=
r
c
(
cos
ω おめが
t
,
−
sin
ω おめが
t
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {r} =r_{c}(\cos \omega t,\,-\sin \omega t,\,0)}
;
其中,
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
是 ぜ 带电粒子 りゅうし 的 てき 圆周运动轨道,
r
c
{\displaystyle r_{c}}
是 ぜ 圆周半径 はんけい ,
ω おめが
=
q
B
/
m
{\displaystyle \omega =qB/m}
是 ぜ 旋转角速度 かくそくど ,
t
{\displaystyle t}
是 ぜ 时间。
移 うつり 动于朝 あさ 著 ちょ 正 せい 上方 かみがた 的 てき 均 ひとし 匀磁场,负电荷 に 的 てき 等 とう 速 そく 螺旋 らせん 运动轨道。
朝 あさ 著 ちょ 均 ひとし 匀磁场方向 ほうこう 看 み ,带电粒子 りゅうし 会 かい 以反 はん 时针方向 ほうこう ,呈 てい 等 とう 速 そく 圆周运动。给予初 はつ 始 はじめ 速 そく 率 りつ
v
0
{\displaystyle v_{0}}
。那 な 么,圆周半径 はんけい 为
r
c
=
v
0
/
ω おめが
=
m
v
0
/
q
B
{\displaystyle r_{c}=v_{0}/\omega =mv_{0}/qB}
。
这圆周 しゅう 半径 はんけい 称 しょう 为回旋 かいせん 半径 はんけい (cyclotron radius )或 ある 拉 ひしげ 莫半径 はんけい (Larmor radius )。
ω おめが
=
q
B
/
m
{\displaystyle \omega =qB/m}
称 しょう 为回旋 かいせん 频率 (cyclotron frequency )。
带电粒子 りゅうし 的 てき 动量
p
0
{\displaystyle p_{0}}
为
p
0
=
m
v
0
=
q
B
r
c
{\displaystyle p_{0}=mv_{0}=qBr_{c}}
。
假 かり 设粒子 りゅうし 带有负电荷 に ,则运动方向 ほうこう 会 かい 逆 ぎゃく 反 はん ,改 あらため 为顺时针方向 ほうこう 。
假 かり 设初始 はじめ 速度 そくど 有 ゆう 一 いち 个z-分量 ぶんりょう
v
z
0
{\displaystyle v_{z0}}
,则带电粒子 りゅうし 会 かい 呈 てい 等 とう 速 そく 螺旋 らせん 运动 。
导向中心 ちゅうしん 漂移运动 [ 编辑 ]
在 ざい 均 ひとし 匀磁场内,带电粒子 りゅうし 的 てき 漂移运动。(A)没 ぼつ 有 ゆう 任 にん 何 なん 外力 がいりょく (B)加入 かにゅう 外 がい 电场
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
(C)加入 かにゅう 独立 どくりつ 外力 がいりょく
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
(例 れい 如,地 ち 心 こころ 引力 いんりょく ,(D))磁场改 あらため 为不均 ひとし 匀,
∇
B
{\displaystyle \nabla \mathbf {B} }
对于很多有 ゆう 意思 いし 的 てき 、比 ひ 较复杂的实际案 あん 例 れい ,在 ざい 磁场内 ない 运动的 てき 带电粒子 りゅうし (例 れい 如,电浆 的 てき 电子 或 ある 离子 ),可 か 以分为两部分 ぶぶん 处理。这两部分 ぶぶん 的 てき 叠加 ,足 あし 以描述 じゅつ 这带电粒子 りゅうし 的 てき 物理 ぶつり 行 ぎょう 为。第 だい 一部分是速度比较快的,环绕著 ちょ 某 ぼう 一 いち 点 てん 的 てき 圆周运动。环绕之 の 点 てん 称 しょう 为导向 こう 中心 ちゅうしん (guiding center )。另一部分是导向中心的漂移运动。其速度 そくど 比 ひ 较慢,会 かい 因 いん 不同 ふどう 种类的 てき 粒子 りゅうし 而不同 ふどう ,又 また 跟其电荷量 りょう 、质量或 ある 温度 おんど 有 ゆう 关。不同 ふどう 的 てき 漂移速度 そくど 可能 かのう 会 かい 造成 ぞうせい 电流或 ある 化学 かがく 分 ぶん 离。
电场和 わ 磁场的 てき 定 てい 义 [ 编辑 ]
许多经典电磁学 がく 教科 きょうか 书会用 よう 劳仑兹力定律 ていりつ 来 き 定 てい 义电场和磁场。
假 かり 设检验电荷 に 静止 せいし 不 ふ 动,
v
=
0
{\displaystyle \mathbf {v} =0}
,则劳仑兹力 りょく 方程式 ほうていしき 变为
F
=
q
E
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} }
。
采 さい 用 よう 国 くに 际单位 い 制 せい ,假 かり 设检验电荷 に 的 てき 电量为1库仑 ,作用 さよう 于检验电荷 に 的 てき 劳伦兹力为1牛 うし 顿 ,则检验电荷 に 感 かん 受到的 てき 电场为1牛 うし 顿/库仑。
假 かり 设电场为零 れい ,则作用 よう 于电荷 に
q
{\displaystyle q}
的 てき 劳仑兹力是 ぜ
F
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
。
对于一条线电荷密度为
λ らむだ
{\displaystyle \lambda }
的 てき 载流导线,总作用 よう 力 りょく 为
F
=
∫
C
v
×
B
d
q
=
∫
C
v
×
B
λ らむだ
d
ℓ
=
∫
C
I
×
B
d
ℓ
{\displaystyle \mathbf {F} =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \mathrm {d} q=\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \lambda \mathrm {d} \ell =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {I} \times \mathbf {B} \mathrm {d} \ell }
;
其中,
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
是 ぜ 积分路 ろ 径 みち ,
I
=
λ らむだ
v
{\displaystyle \mathbf {I} =\lambda \mathbf {v} }
是 ぜ 电流向 むこう 量 りょう 。
假 かり 设电流 りゅう 是 ぜ 稳定电流,则可以将电流从积分 ぶん 内 ない 提出 ていしゅつ ,用向 ようむき 量 りょう
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
来 らい 表示 ひょうじ 电流
I
{\displaystyle \mathbf {I} }
的 てき 方向 ほうこう :
F
=
I
∫
C
d
ℓ
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =I\int _{\mathbb {C} }\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} }
。
这公式 しき 给出了 りょう ,在 ざい 磁场内 ない ,载流导线感 かん 受到的 てき 磁场力 りょく 。
使用 しよう 这公式 しき 和 わ 必欧-沙 すな 伐 き 定律 ていりつ ,就可以推导出安 やす 培 つちかえ 力 りょく 定律 ていりつ (详尽细节,请参阅安 やす 培 つちかえ 力 りょく 定律 ていりつ )。
假 かり 设,磁场是 ぜ 均 ひとし 匀磁场,积分路 ろ 径 みち 是 ぜ 垂直 すいちょく 于磁场的直 ちょく 线,则
F
=
I
L
B
{\displaystyle F=ILB}
;
其中,
L
{\displaystyle L}
是 ぜ 积分路 ろ 径 みち
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
的 てき 长度,
采 さい 用 よう 国 こく 际单位 い 制 せい ,假 かり 设检验电流 りゅう 为1安 やす 培 つちかえ ,作用 さよう 于载流 りゅう 导线的 てき 单位长度的 てき 劳仑兹力为1牛 うし 顿 /公 おおやけ 尺 じゃく ,则检验电流感 りゅうかん 受到的 てき 磁场为1特 とく 斯拉 。
动生电动势 [ 编辑 ]
一条 いちじょう 长度为
L
{\displaystyle L}
的 てき 细直导线以速度 そくど
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
移 うつり 动于磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
。
许多发电机 つくえ 的 てき 基本 きほん 运作原理 げんり 涉 わたる 及动生电动势 概念 がいねん 。将 はた 导线移 うつり 动于磁场,则会产生电动势 ,称 しょう 为动生电动势 。如图右 みぎ [4] ,假 かり 设一 いち 条 じょう 长度为
L
{\displaystyle L}
的 てき 细直导线,以速度 そくど
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
移 うつり 动于磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
。磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
以箭尾 お 或 ある 叉 また 叉 また 表示 ひょうじ ,方向 ほうこう 由 よし 银幕外部 がいぶ 指 ゆび 入 にゅう 银幕。思考 しこう 在 ざい 这导线内的 てき 电荷
q
{\displaystyle q}
,根 ね 据 すえ 劳仑兹定律 ていりつ ,会 かい 感 かん 受到劳仑兹力
F
l
o
r
e
n
t
z
{\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}}
:
F
l
o
r
e
n
t
z
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
。
在 ざい 这里,劳仑兹力也是磁场力 りょく 。因 よし 为这磁场力 りょく 的 てき 作用 さよう ,正 せい 电荷会 かい 往导线的上端 じょうたん 移 うつり 动,负电荷 に 会 かい 往导线的下端 かたん 移 うつり 动。在 ざい 稳定平衡 へいこう 状 じょう 态,这会感 かん 应出一 いち 个电场
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
:
E
=
−
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
。
电动势定义为造成 ぞうせい 开路电路的 てき 两个终端的 てき 电势差 さ ,对于每 ごと 单位电荷所 しょ 需做的 てき 功 こう 。所以 ゆえん ,动生电动势
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
为
E
=
∫
L
F
l
o
r
e
n
t
z
q
⋅
d
ℓ
=
v
B
L
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{L}{\frac {\mathbf {F_{lorentz}} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=vBL}
。
在 ざい 这个例 れい 子 こ 里 さと ,稳定平衡 へいこう 状 じょう 态时的 てき 电流等 とう 于零。假 かり 设载流 りゅう 导线与其他原 げん 件 けん 连结成 なり 一 いち 个电路 ろ ,则会因 いん 为动生 せい 电动势而产生电流。例 れい 如,将 はた 一 いち 个电阻
R
{\displaystyle R}
与 あずか 导线的 てき 两端相 しょう 连结,则流过电阻的电流
I
{\displaystyle I}
为
I
=
E
/
R
=
v
B
L
/
R
{\displaystyle I={\mathcal {E}}/R=vBL/R}
。
法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 电磁感 かん 应定律 ていりつ [ 编辑 ]
在 ざい 时间
t
{\displaystyle t}
,以闭回路 かいろ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
为边缘的曲面 きょくめん
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
,和 かず 在 ざい 此曲面 めん
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
某 ぼう 些位置 いち 的 てき 磁场
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
。
一 いち 个以常 つね 速度 そくど
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
移 うつり 动于磁场
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
的 てき 闭回路 ろ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
。
法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 电磁感 かん 应定律 ていりつ 阐明,穿 ほじ 过任意 にんい 闭回路 ろ 的 てき 磁通量 りょう 的 てき 变化率 りつ ,与 あずか 这回路 ろ 的 てき 电动势成正 せい 比 ひ :
E
=
−
d
Φ ふぁい
B
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
;
其中,
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
是 ぜ 电动势,
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
是 ぜ 磁通量 りょう ,
t
{\displaystyle t}
是 ぜ 时间。
在 ざい 时间
t
{\displaystyle t}
通 つう 过任意 にんい 曲面 きょくめん
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
的 てき 磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
(
t
)
{\displaystyle \Phi _{B}(t)}
定 てい 义为
Φ ふぁい
B
(
t
)
=
d
e
f
∫
Σ しぐま
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle \Phi _{B}(t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} }
;
其中,
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
是 ぜ 位置 いち ,
d
a
{\displaystyle d\mathbf {a} }
是 ぜ 微小 びしょう 面 めん 元素 げんそ 。
给予一 いち 个以常 つね 速度 そくど
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
移 うつり 动于磁场的 てき 闭回路 ろ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
。那 な 么,磁通量 りょう 对于时间的 てき 全 ぜん 微分 びぶん 是 これ [5]
d
Φ ふぁい
B
(
t
)
=
∫
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
+
d
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ しぐま
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
+
∫
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
−
∫
Σ しぐま
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
+
∫
Σ しぐま
t
o
t
a
l
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ しぐま
r
i
b
b
o
n
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle {\begin{aligned}d\Phi _{B}(t)&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t+dt)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\\end{aligned}}}
;
其中,
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
是 ぜ 边缘为
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的 てき 曲面 きょくめん ,
Σ しぐま
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
是 ぜ 包括 ほうかつ
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \Sigma (t+dt)}
、
−
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle -\Sigma (t)}
和 わ
Σ しぐま
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
的 てき 闭曲面 めん ,
Σ しぐま
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
是 ぜ 边缘
∂
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t+dt)}
和 わ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
形成 けいせい 的 てき 边缘曲面 きょくめん 。
根 ね 据 すえ 散 ち 度 たび 定理 ていり 和 わ 高 こう 斯磁定律 ていりつ ,
∫
Σ しぐま
t
o
t
a
l
B
⋅
d
a
=
∫
V
t
o
t
a
l
∇
⋅
B
d
τ たう
=
0
{\displaystyle \int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\mathbb {V} _{total}}\nabla \cdot \mathbf {B} d\tau =0}
;
其中,
V
t
o
t
a
l
{\displaystyle \mathbb {V} _{total}}
是 ぜ 闭曲面 めん
Σ しぐま
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
包含 ほうがん 的 てき 空 そら 间,
d
τ たう
{\displaystyle d\tau }
是 ぜ 微小 びしょう 体 たい 元素 げんそ 。
通 つう 过边缘曲面 めん
Σ しぐま
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
的 てき 磁通量 りょう 可 か 以改变成一 いち 个线积分:
∫
Σ しぐま
r
i
b
b
o
n
B
⋅
d
a
=
∫
∂
Σ しぐま
(
t
)
B
⋅
[
d
ℓ
×
(
v
d
t
)
]
=
∫
∂
Σ しぐま
(
t
)
[
(
v
d
t
)
×
B
]
⋅
d
ℓ
{\displaystyle \int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [d{\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} dt)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} dt)\times \mathbf {B} ]\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
。
所以 ゆえん ,磁通量 りょう 对于时间的 てき 全 ぜん 导数,或 ある 磁通量的 りょうてき 变化率 りつ 为
d
Φ ふぁい
B
(
t
)
d
t
=
∫
Σ しぐま
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
⋅
d
a
−
∫
∂
Σ しぐま
(
t
)
v
×
B
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} -\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
。
运动于移动的闭回路 ろ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的 てき 一 いち 个电荷 に
q
{\displaystyle q}
的 てき 速度 そくど
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
为
w
=
u
+
v
{\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }
;
其中,
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
是 ぜ 相 しょう 对于闭回路 ろ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的 てき 电荷运动速度 そくど ,
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
是 ぜ 闭回路 ろ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的 まと 移 うつり 动速度 ど 。
这电荷 に 会 かい 感 かん 受到劳仑兹力
F
=
q
(
E
+
w
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )}
;
电动势
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
定 てい 义为
E
=
d
e
f
∫
∂
Σ しぐま
F
q
⋅
d
ℓ
=
∫
∂
Σ しぐま
(
E
+
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\partial \Sigma }{\frac {\mathbf {F} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
。
根 ね 据 すえ 法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 电磁感 かん 应定律 ていりつ ,
E
=
−
d
Φ ふぁい
B
d
t
=
∫
∂
Σ しぐま
(
E
+
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
。
在 ざい 计算积分时,闭回路 ろ
∂
Σ しぐま
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的 てき 微小 びしょう 线元素 げんそ
d
ℓ
{\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}
与 あずか 正 せい 在 ざい 那 な 位置 いち 的 てき 电荷的 てき
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
平行 へいこう 。所以 ゆえん ,
d
Φ ふぁい
B
(
t
)
d
t
=
−
∫
∂
Σ しぐま
(
E
+
v
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=-\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
。
令 れい 两个磁通量 りょう 变化率 りつ 的 てき 方程式 ほうていしき 相等 そうとう ,除去 じょきょ 同 どう 有 ゆう 的 てき 移 うつり 动的闭回路 ろ 项目,则可得 え 到 いた
∫
∂
Σ しぐま
E
⋅
d
ℓ
=
−
∫
Σ しぐま
∂
B
∂
t
⋅
d
a
{\displaystyle \int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-\int _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} }
。
应用斯托克 かつ 斯定理 ていり ,
∫
∂
Σ しぐま
E
⋅
d
ℓ
=
∫
Σ しぐま
∇
×
E
⋅
d
a
{\displaystyle \int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }
,可 か 以得到 いた
∫
Σ しぐま
(
∇
×
E
+
∂
B
∂
t
)
⋅
d
a
=
0
{\displaystyle \int _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {a} =0}
。
由 よし 于
Σ しぐま
{\displaystyle \Sigma }
是 ぜ 任意 にんい 取 と 面 めん ,可 か 以将被 ひ 积式从积分 ぶん 中 ちゅう 取出 とりで :
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
。
这是马克士 し 威 たけし -法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 方程式 ほうていしき 。由 よし 于这方程式 ほうていしき 的 てき 右手 みぎて 边是个对于时间的偏 へん 导数项目,只 ただ 涉 わたる 及固定 こてい 的 てき 闭回路 ろ ,不能 ふのう 用 よう 来 らい 计算移 うつり 动中的 てき 闭回路 ろ 。
用 よう 马克士 し 威 たけし -法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 方程式 ほうていしき ,通常 つうじょう 对于时间的 てき 偏 へん 导数的 てき 诠释只 ただ 限 げん 制 せい 为固定 こてい 边界。而在另一方面 ほうめん ,不 ふ 论导线的闭回路 ろ 是 ぜ 刚硬固定 こてい 的 てき 、是 ぜ 在 ざい 运动中 ちゅう 、是 ぜ 在 ざい 形 かたち 变 过程中 ちゅう ,不 ふ 论磁场是不 ふ 含时的 てき 或 ある 含时的 てき ,法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 电磁感 かん 应定律 ていりつ 都 と 成立 せいりつ 。但 ただし 是 ぜ ,对于某 ぼう 些案例 れい ,法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 电磁感 かん 应定律 ていりつ 并不适用或 ある 使用 しよう 起 おこり 来 らい 很困难。这时候 こう ,必须使用 しよう 劳仑兹力定律 ていりつ 。详尽细节,请参阅法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 电磁感 かん 应定律 ていりつ 不 ふ 适用案 あん 例 れい 。
假 かり 设闭回路 かいろ 移 うつり 动于不 ふ 含时间的磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
,通 つう 过闭回路 かいろ 的 てき 磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
会 かい 因 いん 为几种因素 もと 而改变:例 れい 如,假 かり 若 わか 磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
随 ずい 著 ちょ 位置 いち 改 あらため 变,闭回路 ろ 移 うつり 动至不同 ふどう 磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
的 てき 位置 いち ,则磁通 どおり 量 りょう
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
会 かい 改 あらため 变。或 ある 者 もの ,假 かり 若 わか 相 しょう 对于磁场,闭回路 ろ 的 てき 定 てい 向 むかい 改 あらため 变,由 ゆかり 于微小 びしょう 元素 げんそ
B
⋅
d
A
{\displaystyle \mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }
的 てき 改 あらため 变,磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
也会改 あらため 变。再 さい 举一个例子 こ ,假 かり 若 わか 闭回路 ろ 扫掠过一个均匀的不含时磁场,由 よし 于闭回路 かいろ 的形 まとがた 变,磁通量 りょう
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
会 かい 改 あらため 变。对于这三 さん 个案例 れい ,法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 电磁感 かん 应定律 ていりつ 正 せい 确地计算出 さんしゅつ 磁通量 りょう 变化率 りつ
d
Φ ふぁい
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}}
所 ところ 产生的 てき 电动势。
对比前面 ぜんめん 所 しょ 述 じゅつ 状 じょう 况,假 かり 设固定 こてい 的 てき 闭回路 ろ 处于含时磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
,马克士 し 威 たけし -法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 方程式 ほうていしき 会 かい 显示出 で 一个非保守性的电场
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
产生于闭回路 かいろ ,靠 もたれ 著 ちょ 劳仑兹力的 てき
q
E
{\displaystyle q\mathbf {E} }
项目,驱使载电粒子 りゅうし 移 うつり 动于导线。这状况也会 かい 改 あらため 变磁通 どおり 量 りょう
Φ ふぁい
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
,法 ほう 拉 ひしげ 第 だい 电磁感 かん 应定律 ていりつ 也会正 せい 确地计算出 さんしゅつ 磁通量 りょう 变化率 りつ
d
Φ ふぁい
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}}
所 ところ 产生的 てき 电动势。
用 よう 位 い 势来表 ひょう 达劳仑兹力 りょく 方程式 ほうていしき [ 编辑 ]
根 ね 据 すえ 亥 い 姆霍兹分解 ぶんかい (Helmholtz decomposition ),电场和 わ 磁场可 か 以用电势
ϕ
{\displaystyle \phi }
和 わ 磁向量 りょう 势
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
来 らい 表 ひょう 达:
E
=
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
其中∇为梯度 ど ,∇⋅ 为散度 ど ,∇× 为旋度 。
将 はた 这两个公式 しき 代入 だいにゅう 劳仑兹力方程式 ほうていしき ,则可得 え 到 いた
F
=
q
[
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
+
v
×
(
∇
×
A
)
]
{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right]}
可 か 以化简为
F
=
q
[
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
+
∇
(
v
⋅
A
)
−
(
v
⋅
∇
)
A
]
{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla (\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} \right]}
劳仑兹力方程式 ほうていしき 的 てき 协变形式 けいしき [ 编辑 ]
定 てい 义粒子 りゅうし 的 てき 四 よん 维速度 そくど
u
β べーた
{\displaystyle u_{\beta }}
为
u
β べーた
=
d
e
f
(
u
0
,
u
1
,
u
2
,
u
3
)
=
γ がんま
(
c
,
−
v
x
,
−
v
y
,
−
v
z
)
{\displaystyle u_{\beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ (u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3})=\gamma (c,\,-v_{x},\,-v_{y},\,-v_{z})}
;
其中,
γ がんま
{\displaystyle \gamma }
是 これ 劳仑兹因子 いんし ,
c
{\displaystyle c}
是 ぜ 光速 こうそく ,
v
=
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},\,v_{y},\,v_{z})}
是 ぜ 粒子 りゅうし 的 てき 速度 そくど 向 むこう 量 りょう 。
定 てい 义电磁场张量 りょう
F
α あるふぁ
β べーた
{\displaystyle F^{\alpha \beta }}
为
F
α あるふぁ
β べーた
=
d
e
f
[
0
−
E
x
/
c
−
E
y
/
c
−
E
z
/
c
E
x
/
c
0
−
B
z
B
y
E
y
/
c
B
z
0
−
B
x
E
z
/
c
−
B
y
B
x
0
]
{\displaystyle F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}
;
其中,
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
是 ぜ 电场向 むこう 量 りょう ,
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
是 ぜ 磁场向 むこう 量 りょう 。
结合牛 うし 顿运动定律 ていりつ 与 あずか 劳仑兹力定律 ていりつ 在 ざい 一起 かずき ,以电磁场张量 りょう 写 うつし 为反 はん 变形式 しき (contravariant form ):
d
p
α あるふぁ
d
τ たう
=
q
u
β べーた
F
α あるふぁ
β べーた
{\displaystyle {\frac {dp^{\alpha }}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{\alpha \beta }}
;
其中,
p
α あるふぁ
{\displaystyle p^{\alpha }}
是 これ 四 よん 维动量 りょう ,
τ たう
{\displaystyle \tau }
是 ぜ 粒子 りゅうし 的 てき 固有 こゆう 时 。
应用劳仑兹变换 ,电磁场张量 りょう 可 か 以从一 いち 个参考 さんこう 系 けい
S
{\displaystyle S}
转换到另一个参考 さんこう 系 けい
S
¯
{\displaystyle {\bar {S}}}
:
F
¯
μ みゅー
ν にゅー
=
Λ らむだ
μ みゅー
α あるふぁ
Λ らむだ
ν にゅー
β べーた
F
α あるふぁ
β べーた
{\displaystyle {\bar {F}}^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }}
;
其中,
Λ らむだ
μ みゅー
α あるふぁ
{\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }}
和 わ
Λ らむだ
ν にゅー
β べーた
{\displaystyle {\Lambda ^{\nu }}_{\beta }}
是 ぜ 劳仑兹变换矩阵。
换另一 いち 种方法 ほう ,定 てい 义四 よん 维势
A
α あるふぁ
{\displaystyle A^{\alpha }}
为
A
α あるふぁ
=
d
e
f
(
ϕ
/
c
,
A
x
,
A
y
,
A
z
)
{\displaystyle A^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z})}
;
其中,
ϕ
{\displaystyle \phi }
是 これ 电势 ,
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
是 これ 磁向量 りょう 势 。
定 てい 义四 よん 维坐标
x
α あるふぁ
{\displaystyle x_{\alpha }}
为
x
α あるふぁ
=
d
e
f
(
c
t
,
−
x
,
−
y
,
−
z
)
{\displaystyle x_{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (ct,\,-x,\,-y,\,-z)}
。
那 な 么,电磁场张量 りょう 为[1]
F
α あるふぁ
β べーた
=
∂
A
β べーた
∂
x
α あるふぁ
−
∂
A
α あるふぁ
∂
x
β べーた
{\displaystyle F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}}
。
从劳仑兹力 りょく 方程式 ほうていしき 的 てき 张量形式 けいしき 计算向 むこう 量 りょう 形式 けいしき [ 编辑 ]
先 さき 计算四 よん 维力 (four-force )的 てき
μ みゅー
=
1
{\displaystyle \mu =1}
分量 ぶんりょう (x-分量 ぶんりょう ):
γ がんま
d
p
1
d
t
=
d
p
1
d
τ たう
=
q
u
β べーた
F
1
β べーた
=
q
(
u
0
F
10
+
u
1
F
11
+
u
2
F
12
+
u
3
F
13
)
{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}={\frac {dp^{1}}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{1\beta }=q\left(u_{0}F^{10}+u_{1}F^{11}+u_{2}F^{12}+u_{3}F^{13}\right)}
。
将 はた 电磁场张量的 りょうてき 分量 ぶんりょう 代入 だいにゅう ,可 か 以得到 いた
γ がんま
d
p
1
d
t
=
q
(
u
0
(
E
x
c
)
+
u
2
(
−
B
z
)
+
u
3
(
B
y
)
)
{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\left(u_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+u_{2}(-B_{z})+u_{3}(B_{y})\right)}
。
再 さい 将 しょう 四维速度的分量代入,则会得 えとく 到 いた
γ がんま
d
p
1
d
t
=
q
γ がんま
(
c
(
E
x
c
)
+
v
y
B
z
−
v
z
B
y
)
=
q
γ がんま
[
E
x
+
(
v
×
B
)
x
]
{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\gamma \left(c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma [E_{x}+(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )_{x}]}
。
类似地 ち ,可 か 以计算出 さんしゅつ 四 よん 维力的 てき
μ みゅー
=
2
{\displaystyle \mu =2}
和 わ
μ みゅー
=
3
{\displaystyle \mu =3}
分量 ぶんりょう 。所以 ゆえん ,
d
p
d
t
=
q
(
E
+
v
×
B
)
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
。
参 まいり 阅[ 编辑 ]
参考 さんこう 文献 ぶんけん [ 编辑 ]
^ 1.0 1.1 1.2 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 204, 326, 417, 541. ISBN 0-13-805326-X .
^ Darrigol, Olivier, Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford, [England]: Oxford University Press: 327, 2000, ISBN 0-198-50593-0
^ 福 ぶく 克 かつ -普 ひろし 朗 ろう 克 かつ 方 かた 程 ほど . 维基百科 ひゃっか ,自由 じゆう 的 てき 百科 ひゃっか 全 ぜん 书. 2015-12-13 (中 ちゅう 文 ぶん ) .
^ Tai L. Chow. Electromagnetic theory. Sudbury MA: Jones and Bartlett. 2006: pp. 172-175. ISBN 0-7637-3827-1 .
^ Flanders, Harley. Differentiation under the integral sign. American Mathematical Monthly. Jun–Jul 1973, 80 (6): 615–627. doi:10.2307/2319163 .
外部 がいぶ 链接[ 编辑 ]
National High Magnetic Field Laboratory的 てき Java互动教学 きょうがく 网页:劳仑兹力 。