玻尔兹曼方かた程ほど

本条ほんじょう目め中ちゅう，向むかい量りょう與あずか标量分別ふんべつ用よう粗そ體からだ與あずか斜體しゃたい顯示けんじ。例れい如，位置いち向こう量りょう通どおり常用じょうよう $\mathbf {r} \,\!$ 表示ひょうじ；而其大小だいしょう則そく用よう $r\,\!$ 來らい表示ひょうじ。

  此條目め介かい紹的是ぜ描述热力学がく系けい统输运行为的方かた程ほど。关于统计力学りきがく中ちゅう熵和微ほろ观状态数量的りょうてき关系，请见「波なみ茲曼熵公式しき」。关于热力学がく中黑なかぐろ体たい辐射度ど与あずか黑くろ体たい本身ほんみ的てき热力学がく温度おんどT的てき关系，请见「斯特藩はん－玻尔兹曼定律ていりつ」。关于统计力学りきがく中ちゅう描述一定温度下微观粒子运动速度的概率分布，请见「麦むぎ克かつ斯韦-玻尔兹曼分布ぶんぷ」。

波なみ尔兹曼动力学りきがく方かた程ほど在ざい众多近似きんじ模型もけい（从微观动力学りきがく到いた宏ひろし观连续介质动力学りきがく）中ちゅう所しょ处的位置いち。

玻尔兹曼方かた程ほど或ある玻尔兹曼输运方かた程ほど（Boltzmann transport equation，BTE）是ぜ由ゆかり玻尔兹曼于1872年ねん提出ていしゅつ的てき一いち个方程ほど，用よう于描述じゅつ非ひ平衡へいこう状じょう态热力学がく系けい统的てき统计行ぎょう为。具有ぐゆう溫度おんど梯はしご度ど的てき流体りゅうたい即そく为这类系统的一个经典的例子：构成流体りゅうたい的てき微粒びりゅう在ざい系けい统中通どおり过随机つくえ而具有ぐゆう偏向へんこう性せい的てき运动让热量从较热的区域くいき流りゅう向こう较冷的てき区域くいき，而这一过程可用玻尔兹曼方程来描述。在ざい现今的てき论文中ちゅう，“玻尔兹曼方かた程ほど”这个术语常つね被ひ用よう于更一般いっぱん的てき意い义上，它可以是任にん何なん涉わたる及描述じゅつ热力学がく系けい统中なか宏ひろし观量（如能量りょう，电荷或ある粒子りゅうし数すう）的てき变化的てき动力学がく方かた程ほど。

波なみ尔兹曼方程ほど并不去さ确定流体りゅうたい中ちゅう每まい个粒子りゅうし的てき位置いち和わ动量，而是求もとめ出で具有ぐゆう特定とくてい位置いち和わ动量的てき粒子りゅうし的てき概がい率りつ分布ぶんぷ。具体ぐたい而言，考こう虑某一瞬いっしゅん间，以位置いち矢や量りょう $\mathbf {r}$ 末端まったん为中心ちゅうしん的てき无穷小しょう区域くいき内ない，动量无限接近せっきん动量矢や量りょう $\mathbf {p}$（即そく这些粒子りゅうし在ざい动量空そら间中也ちゅうや处于无穷小しょう区域くいき $d^{3}\mathbf {p}$内うち）的てき粒子りゅうし的てき概がい率りつ分布ぶんぷ。

波なみ尔兹曼方程ほど可用かよう于确定じょう物理ぶつり量りょう是これ如何いか变化的てき，例れい如流体りゅうたい在ざい输运过程中ちゅう的てき热能和わ动量；还可由よし此推导出其他的てき流体りゅうたい特とく征せい性せい质，例れい如黏度，熱ねつ導しるべ率りつ，以及电阻率りつ（将はた材料ざいりょう中ちゅう的てき载流子こ视为气体），详见对流扩散方程式ほうていしき。

波なみ尔兹曼方程ほど是ぜ一いち个非ひ線せん性せい的てき积微分びぶん方かた程ほど。方ほう程ほど中なか的てき未知みち函数かんすう是ぜ一个包含了粒子空间位置和动量的六维概がい率りつ密度みつど函数かんすう。方ほう程ほど解かい的てき存在そんざい性せい和わ唯一ゆいいつ性せい问题仍然没ぼつ有ゆう完全かんぜん解かい决，但ただし就最近さいきん发表的てき一いち些工作こうさく而言，对于解かい决这一问题还是有一定希望的。

概がい述じゅつ

相あい空そら间与密度みつど函数かんすう

系けい统中所有しょゆう可能かのう的てき位置いち $\mathbf {r}$ 和かず动量 $\mathbf {p}$ 组成的てき集合しゅうごう被ひ称しょう作さく此系统的相あい空そら间，其中位置いち坐すわ标记为 $x,y,z$，动量坐すわ标记为 $p_{x},p_{y},p_{z}$。整せい个空间是六ろく维的てき：空そら间中某ぼう一点的坐标可表示为 $(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )=(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z})$，每まい个坐标均通どおり过时间 $t$ 参さん数すう化か。微ほろ元もと（或ある微分びぶん体たい积元）可か写うつし作さく：

$d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}\$

波なみ尔兹曼方程ほど的てき核心かくしん是ぜ“$f$”函数かんすう，它表示ひょうじ的てき是ぜ在ざい一段极短的时间内，每ごと一相空间单位体积中的$N$个分子ぶんし在ざい微ほろ元もと $d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p}$ 中なか，位置いち都と为 $\mathbf {r}$ 且动量りょう都と为 $\mathbf {p}$ 的てき概がい率りつ。通つう过定义，我わが们可使し概がい率りつ密度みつど函数かんすう $f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$ 满足以下いか条件じょうけん：

$dN=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p}$

$dN$ 被ひ定てい义为在ざい时间 $t$，位い于 $(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )$ 的てき空そら间元 $d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p}$ 中なか的てき粒子りゅうし总数。对坐标空间与动量空そら间的一いち个区域くいき积分即そく可か得とく该区域内いきない所有しょゆう具有ぐゆう对应位置いち和わ动量的てき粒子りゅうし的てき总数：

$N=\int \limits _{\mathrm {positions} }d^{3}\mathbf {r} \int \limits _{\mathrm {momenta} }d^{3}\mathbf {p} \,f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=\iiint \limits _{\mathrm {positions} }\quad \iiint \limits _{\mathrm {momenta} }f(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)\,dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}$

虽然$f$是ぜ和わ一いち群ぐん粒子りゅうし相しょう关的，但ただし此相空そら间是对于单一粒子りゅうし的てき（而不是ぜ像ぞう多た体系たいけい统中考こう虑全部ぶ粒子りゅうし）。这里不ふ使用しよう r₁, p₁ 表示ひょうじ粒子りゅうし1，r₂, p₂ 表示ひょうじ粒子りゅうし2，……，r_N, p_N 表示ひょうじ粒子りゅうしN。

系けい统中的てき粒子りゅうし被ひ假定かてい是ぜ相あい同どう的てき（因いん此他们均有ゆう相しょう同どう的てき质量$m$）。对于具有ぐゆう超ちょう过一种化学组分的混合物，每ごと一种成分都需要有一个分布函数，见下文ぶん。

一般いっぱん形式けいしき

方ほう程ほど的てき一般形式可以写作：

${\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {force} }+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {diff} }+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }$

这里“force”一词指的是外部对粒子施加的力（而不是ぜ粒子りゅうし间的作用さよう），“diff”表示ひょうじ粒子りゅうし的てき扩散，“coll”表示ひょうじ粒子りゅうし的てき碰撞，指ゆび的てき是ぜ碰撞中ちゅう粒子りゅうし间相互そうご的てき作用さよう力りょく。上述じょうじゅつ三项的具体形式将会在下文给出。

注意ちゅうい，一些作者会使用粒子的速度 $\mathbf {v}$，来らい代替だいたい上じょう文ぶん的てき $\mathbf {p}$；这两个物理ぶつり量りょう可か以通过定义$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$来らい联系。

“force”项和“diff”项

考こう虑一群ぐん以$f$分布ぶんぷ的てき粒子りゅうし。每まい个粒子こ均ひとし受到外力がいりょく$\mathbf {F}$的てき作用さよう（不ふ包括ほうかつ粒子りゅうし间作用よう力りょく。粒子りゅうし间的作用さよう见后面めん对“coll”项的处理)。

假かり设在时间 $t$，一定数量的粒子都有位置 $\mathbf {r}$（于微元もと $d^{3}\mathbf {r}$ 内うち），和かず动量 $\mathbf {p}$（于微元もと $d^{3}\mathbf {p}$ 内うち）。如果此时有ゆう一いち个力$\mathbf {F}$在ざい这一瞬作用在每个颗粒上，那な么在时间 $t+\Delta \,t$，它们的てき位置いち将しょう会かい是ぜ$\mathbf {r} +\Delta \,\mathbf {r} =\mathbf {r} +\mathbf {p} \Delta \,t/m$，动量将はた变成 $\mathbf {p} +\Delta \,\mathbf {p} =\mathbf {p} +\mathbf {F} \Delta \,t$。在ざい没ぼつ有ゆう碰撞的てき情じょう况下，$f$必须满足

$f\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\Delta t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \Delta t,t+\Delta t\right)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p}$

这里，注意ちゅうい到いた相あい空そら间元 $d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p}$ 是ぜ恒つね定じょう的てき这个事ごと实可以从哈密顿方程ほど（见刘维尔定理ていり）得知とくち。然しか而，由ゆかり于存在そんざい碰撞，相そう空そら间元 $d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p}$ 中なか的てき粒子りゅうし密度みつど是ぜ可か变的，所以ゆえん

${\begin{aligned}dN_{\mathrm {coll} }&=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }\Delta td^{3}\mathbf {r} d^{3}\mathbf {p} \\&=f\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\Delta t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \Delta t,t+\Delta t\right)d^{3}\mathbf {r} d^{3}\mathbf {p} -f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)d^{3}\mathbf {r} d^{3}\mathbf {p} \\&=\Delta fd^{3}\mathbf {r} d^{3}\mathbf {p} \end{aligned}}$

1

其中 $\Delta f$ 指ゆび的てき是ぜ$f$的てき总变化か量りょう。（1）式しき除じょ以 $d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} \,\Delta t$ 并取极限 $\Delta t\,\rightarrow 0$ 和わ $\Delta f\,\rightarrow 0$ 可か得とく

${\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }$

2

$f$的てき全ぜん微分びぶん：

${\begin{aligned}df&={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}dz\right)+\left({\frac {\partial f}{\partial p_{x}}}dp_{x}+{\frac {\partial f}{\partial p_{y}}}dp_{y}+{\frac {\partial f}{\partial p_{z}}}dp_{z}\right)\\&={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+\nabla f\cdot d\mathbf {r} +{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot d\mathbf {p} \\&={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+\nabla f\cdot {\frac {\mathbf {p} dt}{m}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} dt\end{aligned}}$

3

其中 ∇ 为梯はしご度ど算さん符ふ，· 为点てん积，

${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\mathbf {\hat {e}} _{x}{\frac {\partial f}{\partial p_{x}}}+\mathbf {\hat {e}} _{y}{\frac {\partial f}{\partial p_{y}}}+\mathbf {\hat {e}} _{z}{\frac {\partial f}{\partial p_{z}}}=\nabla _{\mathbf {p} }f$

是ぜ∇的てき动量类比的てき一いち个简写うつし，ê_x, ê_y, ê_z 为笛ふえ卡尔坐标系下した的てき单位矢や量りょう。

最さい终形式しき

对（3）两边同どう除じょ以dt 并代入だいにゅう（2）可か得とく：

${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }$

这里，$F(\mathbf {r} ,t)$ 为流体たい中ちゅう作用さよう在ざい粒子りゅうし上じょう的てき力ちから场，$m$为粒子りゅうし质量。 右みぎ边的一项用于描述粒子间相互碰撞产生的影响；如果此项为零，则说明あかり粒子りゅうし之の间没有ゆう碰撞。无碰撞情况下的てき玻尔兹曼方かた程ほど常つね被ひ称しょう为弗どる拉ひしげ索さく夫おっと方程式ほうていしき。

这个方かた程ほど比ひ上じょう一いち节“主要しゅよう论述”中ちゅう的てき一般いっぱん形式けいしき更さら加か有用ゆうよう。然しか而这个方程ほど依よ旧きゅう是ぜ不ふ完かん整せい的てき：除じょ非ひ已やめ知ち$f$中なか的てき碰撞项，否いや则$f$是ぜ解かい不出来ふでき的てき。这一项并不像其他项一样可以简单地或一般地得到——这一项是表示粒子的碰撞的统计项，需要じゅよう知道ともみち粒子りゅうし遵守じゅんしゅ怎样的てき统计规律，例れい如麦むぎ克かつ斯韦-玻尔兹曼分布ぶんぷ，费米-狄拉克かつ分布ぶんぷ或ある玻色–爱因斯坦分布ぶんぷ。

碰撞项（Stosszahlansatz）和かず分子ぶんし混沌こんとん

玻尔兹曼的てき一个关键见解就是对碰撞项的确定。他た假かり设的碰撞项完全ぜん是ぜ由よし假定かてい在ざい碰撞前ぜん不ふ相あい关的两个粒子りゅうし的てき相互そうご碰撞得え到いた的てき。这个假かり设被波は尔兹曼称为“Stosszahlansatz”，也叫做“分子ぶんし混沌こんとん假かり设”。根ね据すえ这一假かり设，碰撞项可以被写うつし作さく单粒子りゅうし分布ぶんぷ函数かんすう的てき乘じょう积在动量空そら间上的てき积分：

$\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }=\iint gI(g,\Omega )[f(\mathbf {p'} _{A},t)f(\mathbf {p'} _{B},t)-f(\mathbf {p} _{A},t)f(\mathbf {p} _{B},t)]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p} _{A}\,d^{3}\mathbf {p} _{B}.$

其中 $\mathbf {p} _{A}$ 和わ $\mathbf {p} _{B}$ 表示ひょうじ碰撞前ぜん任意にんい两个粒子りゅうし的てき动量（为了方便ほうべん而标记为$A$和わ$B$）， $\mathbf {p} '_{A}$ 和わ $\mathbf {p} '_{B}$ 表示ひょうじ碰撞后きさき的てき动量

$g=|\mathbf {p} _{B}-\mathbf {p} _{A}|=|\mathbf {p'} _{B}-\mathbf {p'} _{A}|$

指ゆび对应动量的てき大小だいしょう（此概念がいねん参考さんこう相あい对速度そくど），$I(g,\Omega )$ 是ぜ碰撞的てき微ほろ分散ぶんさん射い截面。

对碰撞项的てき简化

求もとめ解かい波は尔兹曼方程ほど时，许多挑战都と来らい自じ于其复杂的てき碰撞项；因いん此我们会做一些对碰撞项“建けん模も”和かず简化的てき尝试。现知最さい好このみ的てき模型もけい是ぜ由ゆかりBhatnagar，Gross和わKrook作出さくしゅつ的てき（BGK近似きんじ）。BGK近似きんじ中ちゅう假かり设分子ぶんし的てき碰撞会かい迫はさま使し一いち个物理ぶつり空そら间中的てき某ぼう一点的非平衡分布函数回到麦克斯韦平衡分布函数，且其发生率りつ正せい比ひ于分子ぶんし碰撞频率。于是，波は尔兹曼方程ほど可か被ひ写うつし作さく以下いか的てきBGK形式けいしき：(也叫做“驰豫时间近似きんじ”，relaxation time approximation)

${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\nu (f_{0}-f)$

其中 $\nu$ 是ぜ分子ぶんし碰撞频率，和わ驰豫时间 $\tau$ 具有ぐゆう倒たおせ数すう关系：$\nu =1/\tau$。$f_{0}$是ぜ此处局きょく域いき的てき麦むぎ克かつ斯韦分布ぶんぷ函数かんすう，由ゆかり空そら间中这一点的气体温度给定。

普ひろし适方程ほど（对于混合こんごう物ぶつ）

对于具有ぐゆう多た种化学がく组分的てき混合こんごう物ぶつ，我わが们以 i =1，2，3，……，n 标记各かく种成分ぶん。则对于组分ぶんi的てき方かた程ほど是ぜ：

${\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m_{i}}}\cdot \nabla f_{i}+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }$

其中 $f_{i}=f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p_{i}} ,t)$。碰撞项为

$\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }=\sum _{j=1}^{n}\iint g_{ij}I_{ij}(g_{ij},\Omega )[f'_{i}f'_{j}-f_{i}f_{j}]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p'} .$

其中 $f'=f'(\mathbf {p_{i}'} ,t)$，相あい对动量的りょうてき大小だいしょう是ぜ

$g_{ij}=|\mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{j}|=|\mathbf {p'} _{i}-\mathbf {p'} _{j}|$

I_ij 是ぜ粒子りゅうしi和わ粒子りゅうしj之の间的微ほろ分散ぶんさん射い截面。此积分ぶん的てき和わ描述的てき是ぜ某ぼう一いち相そう空そら间元中ちゅう，组分i粒子りゅうし的てき进出。

应用和わ推广

守恒もりつね方かた程ほど

玻尔兹曼方かた程ほど可用かよう于推导流体りゅうたい动力学がく中ちゅう的てき质量守恒もりつね，电量守恒もりつね，动量守恒もりつね，以及能のう量りょう守恒もりつね定律ていりつ。对于只ただ含有がんゆう一いち种粒子りゅうし的てき流体りゅうたい，粒子りゅうし数すう密度みつど $n$ 为：

$n=\int f\,d^{3}p$

算さん符ふ A 的てき期き望もち值由下か式しき给出：

$\langle A\rangle ={\frac {1}{n}}\int Af\,d^{3}p$

由よし于守恒つね方かた程ほど中ちゅう包含ほうがん张量，以下いか使用しよう爱因斯坦求もとめ和わ约定简化标记，即そく $\mathbf {x} \rightarrow x_{i}$ 且 $\mathbf {p} \rightarrow p_{i}=mw_{i}$，其中 $w_{i}$ 为粒子りゅうし速度そくど矢や量りょう。定てい义某函数かんすう $g(p_{i})$，使つかい得とく其唯一的自变量为动量 $p_{i}$（碰撞中ちゅう动量守恒もりつね）。假かり设力 $F_{i}$ 为位置いち的てき函数かんすう，且对于 $p_{i}\rightarrow \pm \infty$，$f$ 为0。对玻尔兹曼方程ほど两边同乘どうじょう $g$ ，并对动量积分可か得とく如下四よん项：

$\int g{\frac {\partial f}{\partial t}}\,d^{3}p={\frac {\partial }{\partial t}}(n\langle g\rangle )$

$\int {\frac {p_{j}g}{m}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\,d^{3}p={\frac {1}{m}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n\langle gp_{j}\rangle )$

$\int gF_{j}{\frac {\partial f}{\partial p_{j}}}\,d^{3}p=-nF_{j}\left\langle {\frac {\partial g}{\partial p_{j}}}\right\rangle$

$\int g\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }\,d^{3}p=0$

因いん为 $g$ 在ざい碰撞中ちゅう守恒もりつね，所以ゆえん最さい后きさき一いち项为零れい。

令れい $g=m$，即そく粒子りゅうし质量，积分后きさき的てき玻尔兹曼方かた程ほど化か为质量りょう守恒もりつね方かた程ほど：

${\frac {\partial }{\partial t}}\rho +{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{j})=0$

$\rho =mn$ 为质量りょう密度みつど，$V_{i}=\langle w_{i}\rangle$ 为平均へいきん流体りゅうたい速度そくど。

令れい $g=mw_{i}$，即そく粒子りゅうし动量，积分后きさき的てき玻尔兹曼方かた程ほど化か为动量りょう守恒もりつね方かた程ほど：

${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{i}V_{j}+P_{ij})-nF_{i}=0$

$P_{ij}=\rho \langle (w_{i}-V_{i})(w_{j}-V_{j})\rangle$ 为压强きょう张量（粘性ねんせい应力张量加か上流じょうりゅう体たい静しずか力学りきがく压强）。

令れい $g={\tfrac {1}{2}}mw_{i}w_{i}$，即そく粒子りゅうし动能，积分后きさき的てき玻尔兹曼方かた程ほど化か为能量りょう守恒もりつね方かた程ほど：

${\frac {\partial }{\partial t}}(u+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(uV_{j}+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i}V_{j}+J_{qj}+P_{ij}V_{i})-nF_{i}V_{i}=0$

$u={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (w_{i}-V_{i})(w_{i}-V_{i})\rangle$ 为动力りょく热能密度みつど（kinetic thermal energy density），$J_{qi}={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (w_{i}-V_{i})(w_{k}-V_{k})(w_{k}-V_{k})\rangle$ 热通量りょう矢や量りょう。

哈密顿力学がく

在ざい哈密顿力学がく中なか, 玻尔兹曼方かた程ほど通常つうじょう写うつし作さく

${\hat {\mathbf {L} }}[f]=\mathbf {C} [f],\,$

其中 L 是これ刘维尔算子こ(这里定てい义的刘维尔算子こ和わ链接文章ぶんしょう中ちゅう的てき定てい义不一致いっち)，它描述じゅつ了りょう相しょう空そら间体积的演えんじ化か；C 是ぜ碰撞算さん子こ。非ひ相あい对论下か的てきL 写うつし作さく

${\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.$

波なみ尔兹曼方程ほど的てき解かい

直ちょく到いた2010年ねん，波なみ尔兹曼方程ほど的てき准じゅん确解才ざい在ざい数学すうがく上じょう被ひ证明是ぜ良好りょうこう（well-behaved）的てき。这意味いみ着ぎ，如果对服从波尔兹曼方程ほど的てき系けい统施加か一いち个微扰，此系统最终将回かい到いた平衡へいこう状じょう态，而不是ぜ发散到いた无穷，或ある表おもて现出其他的てき行ぎょう为。然しか而，这种存在そんざい性せい证明是ぜ无助于我们在现实问题中ちゅう求もとめ解かい该等式しき的てき。 事こと实上，这个结论只ただ告つげ诉我们某种特定とくてい条件下じょうけんか的てき解かい是ぜ否ひ存在そんざい，而不是ぜ如何いか找到他た们。在ざい实践中ちゅう，数かず值计算さん方かた法被はっぴ用よう于寻找各种形式しき的てき波なみ尔兹曼方程ほど的てき近似きんじ解かい，应用范围从稀薄うす气流中ちゅう的てき高こう超ちょう音速おんそく空そら气动力学りきがく，到いた等とう离子体たい的まと流りゅう动中ちゅう都と可か以见到。

参まいり见

• 弗どる拉ひしげ索さく夫おっと方かた程ほど
• H定理ていり
• 福ぶく克かつ-普ひろし朗ろう克かつ方かた程ほど
• 纳维-斯托克かつ斯方程ほど
• 弗どる拉ひしげ索さく夫おっと–泊はく松方まつかた程ほど
• 格子こうし波は尔兹曼方法ほう

参考さんこう资料

• （英文えいぶん）Harris, Stewart (1971). An introduction to the theory of the Boltzmann equation （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）. Dover Books. p. 221. ISBN 978-0-486-43831-3. 此书的てき推导始はじめ于刘维尔定理ていり和わBBGKY，介かい绍了玻尔兹曼方かた程ほど在ざい现代物理ぶつり框かまち架か下か的てき地位ちい。其他大だい部分ぶぶん统计力学りきがく的てき教科きょうか书，例れい如黄克かつ孙的《Statistical Mechanics》，甚至原げん样照搬玻尔兹曼最初さいしょ的てき演算えんざん过程。为了简化论述，这些教科きょうか书运用よう启发式しき的てき解かい释，避而不ふ谈玻尔兹曼方程ほど的てき应用范围以及方かた程ほど中なか的てき某ぼう些假设，而这些假设正是ぜ玻尔兹曼方かた程ほど与あずか其他输运方かた程ほど例れい如福ぶく克かつ-普ひろし朗ろう克かつ方かた程ほど或ある朗ろう道方みちかた程ほど组的不同ふどう之の处。

• （英文えいぶん）Arkeryd, Leif (1972). "On the Boltzmann equation part I: Existence". Arch. Rational Mech. Anal. 45: 1–16. Bibcode:1972ArRMA..45....1A. doi:10.1007/BF00253392. 
• （英文えいぶん）Arkeryd, Leif (1972). "On the Boltzmann equation part II: The full initial value problem". Arch. Rational Mech. Anal. 45: 17–34. Bibcode:1972ArRMA..45...17A. doi:10.1007/BF00253393. 
• （英文えいぶん）Arkeryd, Leif (1972). "On the Boltzmann equation part I: Existence". Arch. Rational Mech. Anal. 45: 1–16. Bibcode:1972ArRMA..45....1A. doi:10.1007/BF00253392. 
• （英文えいぶん）DiPerna, R. J.; Lions, P.-L. (1989). "On the Cauchy problem for Boltzmann equations: global existence and weak stability". Ann. of Math. (2). 130: 321–366. doi:10.2307/1971423. 

外部がいぶ链接

• （英文えいぶん）The Boltzmann Transport Equation by Franz Vesely （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• （英文えいぶん）Boltzmann gaseous behaviors solved