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在 ざい 物理 ぶつり 学 がく 和 わ 数学 すうがく 中 なか 的 てき 向 こう 量 りょう 分析 ぶんせき 中 なか ,亥 い 姆霍兹定理 ていり ,[ 1] [ 2] 或 ある 称 しょう 向 こう 量 りょう 分析 ぶんせき 基本 きほん 定理 ていり ,[ 3] [ 4] [ 5] [ 6] [ 7] [ 8] [ 9] 指出 さしで 对于任意 にんい 足 あし 够光 ひかり 滑 すべり 、快速 かいそく 衰 おとろえ 减的三 さん 维向 むかい 量 りょう 场可 か 分解 ぶんかい 为一个无旋向 むこう 量 りょう 场 和 わ 一 いち 个螺 にし 线向量 りょう 场的 てき 和 わ ,这个过程被 ひ 称 しょう 作 さく 亥 い 姆霍兹分解 ぶんかい 。此定理 ていり 以物理學 りがく 家 か 赫爾曼·馮·亥 い 姆霍茲 為 ため 名 めい 。[ 10]
这意味 いみ 着任 ちゃくにん 何 なん 矢 や 量 りょう 场 F ,都 と 可 か 以视为两个势场(純量 じゅんりょう 勢 ぜい φ ふぁい 和 わ 向 こう 量 りょう 勢 ぜい A )之 の 和 わ 。
假定 かてい F 為 ため 定義 ていぎ 在 ざい 有界 ゆうかい 區域 くいき V ⊆ R 3 裡 うら 的 てき 二次連續可微向量場,且 S 為 ため V 的 てき 包圍 ほうい 面 めん ,則 のり F 可 か 被 ひ 分解 ぶんかい 成 なり 無 な 旋度 及無散 ち 度 たび 兩部 りょうぶ 份:[ 11]
F
=
−
∇
Φ ふぁい
+
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}\Phi +{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} }
,
其中
Φ ふぁい
(
r
)
=
1
4
π ぱい
∫
V
∇
′
⋅
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
−
1
4
π ぱい
∮
S
n
^
′
⋅
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
S
′
{\displaystyle \Phi \left(\mathbf {r} \right)={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {\nabla }}'\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}
A
(
r
)
=
1
4
π ぱい
∫
V
∇
′
×
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
−
1
4
π ぱい
∮
S
n
^
′
×
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
S
′
{\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {\nabla }}'\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}
如果 V = R 3 ,且 F 在 ざい 無窮 むきゅう 遠 とお 處 しょ 消失 しょうしつ 的 てき 比 ひ
1
/
r
{\displaystyle 1/r}
快 かい ,則 のり 純量 じゅんりょう 勢 ぜい 及向量 りょう 勢 ぜい 的 てき 第 だい 二 に 項 こう 為 ため 零 れい ,也就是 ぜ 說 せつ
[ 12]
Φ ふぁい
(
r
)
=
1
4
π ぱい
∫
all space
∇
′
⋅
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
{\displaystyle \Phi \left(\mathbf {r} \right)={\frac {1}{4\pi }}\int _{\text{all space}}{\frac {{\boldsymbol {\nabla }}'\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}
A
(
r
)
=
1
4
π ぱい
∫
all space
∇
′
×
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
{\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)={\frac {1}{4\pi }}\int _{\text{all space}}{\frac {{\boldsymbol {\nabla }}'\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}
假定 かてい 我 わが 們有一 いち 個 こ 向 むこう 量 りょう 函數 かんすう
F
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} \right)}
,且其旋度
∇
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} }
及散度 ど
∇
⋅
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} }
已 やめ 知 ち 。利用 りよう 狄拉克 かつ δ でるた 函数 かんすう 可 か 將 しょう 函數 かんすう 改 あらため 寫 うつし 成 なり
δ でるた
(
r
−
r
′
)
=
−
1
4
π ぱい
∇
2
1
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle \delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}
,
F
(
r
)
=
∫
V
F
(
r
′
)
δ でるた
(
r
−
r
′
)
d
V
′
=
∫
V
F
(
r
′
)
(
−
1
4
π ぱい
∇
2
1
|
r
−
r
′
|
)
d
V
′
=
−
1
4
π ぱい
∇
2
∫
V
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
{\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} \right)=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)\mathrm {d} V'=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\left(-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\right)\mathrm {d} V'=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}
。
利用 りよう 以下 いか 等式 とうしき
∇
2
a
=
∇
(
∇
⋅
a
)
−
∇
×
(
∇
×
a
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {a} ={\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {a} \right)-{\boldsymbol {\nabla }}\times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {a} \right)}
,
可 か 得 とく
F
(
r
)
=
−
1
4
π ぱい
[
∇
(
∇
⋅
∫
V
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
)
−
∇
×
(
∇
×
∫
V
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
)
]
{\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} \right)=-{\frac {1}{4\pi }}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-{\boldsymbol {\nabla }}\times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \int _{V}{\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]}
=
−
1
4
π ぱい
[
∇
(
∫
V
F
(
r
′
)
⋅
∇
1
|
r
−
r
′
|
d
V
′
)
+
∇
×
(
∫
V
F
(
r
′
)
×
∇
1
|
r
−
r
′
|
d
V
′
)
]
{\displaystyle =-{\frac {1}{4\pi }}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\left(\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)+{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\times {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]}
。
注意 ちゅうい 到 いた
∇
1
|
r
−
r
′
|
=
−
∇
′
1
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}=-{\boldsymbol {\nabla }}'{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}
,我 わが 們可將 はた 上 うえ 式 しき 改 あらため 寫 うつし 成 なり
F
(
r
)
=
−
1
4
π ぱい
[
−
∇
(
∫
V
F
(
r
′
)
⋅
∇
′
1
|
r
−
r
′
|
d
V
′
)
−
∇
×
(
∫
V
F
(
r
′
)
×
∇
′
1
|
r
−
r
′
|
d
V
′
)
]
{\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} \right)=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-{\boldsymbol {\nabla }}\left(\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\cdot {\boldsymbol {\nabla }}'{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\times {\boldsymbol {\nabla }}'{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]}
。
利用 りよう 以下 いか 二 に 等式 とうしき ,
a
⋅
∇
ψ ぷさい
=
−
ψ ぷさい
(
∇
⋅
a
)
+
∇
⋅
(
ψ ぷさい
a
)
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\psi =-\psi \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {a} \right)+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\psi \mathbf {a} \right)}
a
×
∇
ψ ぷさい
=
ψ ぷさい
(
∇
×
a
)
−
∇
×
(
ψ ぷさい
a
)
{\displaystyle \mathbf {a} \times {\boldsymbol {\nabla }}\psi =\psi \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {a} \right)-{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(\psi \mathbf {a} \right)}
。
可 か 得 とく
F
(
r
)
=
−
1
4
π ぱい
[
−
∇
(
−
∫
V
∇
′
⋅
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
+
∫
V
∇
′
⋅
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
)
−
∇
×
(
∫
V
∇
′
×
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
−
∫
V
∇
′
×
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
)
]
{\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} \right)=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-{\boldsymbol {\nabla }}\left(-\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {\nabla }}'\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\int _{V}{\boldsymbol {\nabla }}'\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {\nabla }}'\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\int _{V}{\boldsymbol {\nabla }}'\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]}
。
利用 りよう 散 ち 度 たび 定理 ていり ,方程式 ほうていしき 可 か 改 あらため 寫 うつし 成 なり
F
(
r
)
=
−
1
4
π ぱい
[
−
∇
(
−
∫
V
∇
′
⋅
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
+
∮
S
n
^
′
⋅
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
S
′
)
−
∇
×
(
∫
V
∇
′
×
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
−
∮
S
n
^
′
×
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
S
′
)
]
{\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} \right)=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-{\boldsymbol {\nabla }}\left(-\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {\nabla }}'\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)-{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {\nabla }}'\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)\right]}
=
−
∇
[
1
4
π ぱい
∫
V
∇
′
⋅
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
−
1
4
π ぱい
∮
S
n
^
′
⋅
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
S
′
]
+
∇
×
[
1
4
π ぱい
∫
V
∇
′
×
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
−
1
4
π ぱい
∮
S
n
^
′
×
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
S
′
]
{\displaystyle =-{\boldsymbol {\nabla }}\left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {\nabla }}'\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]+{\boldsymbol {\nabla }}\times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {\nabla }}'\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]}
。
定義 ていぎ
Φ ふぁい
(
r
)
≡
1
4
π ぱい
∫
V
∇
′
⋅
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
−
1
4
π ぱい
∮
S
n
^
′
⋅
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
S
′
{\displaystyle \Phi \left(\mathbf {r} \right)\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {\nabla }}'\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}
A
(
r
)
≡
1
4
π ぱい
∫
V
∇
′
×
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
−
1
4
π ぱい
∮
S
n
^
′
×
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
S
′
{\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {\nabla }}'\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}
所以 ゆえん
F
=
−
∇
Φ ふぁい
+
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}\Phi +{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} }
利用 りよう 傅 でん 利 とし 葉 は 轉換 てんかん 做推導 しるべ [ 编辑 ]
(疑似 ぎじ 有 ゆう 错误)
將 しょう F 改 あらため 寫 うつし 成 なり 傅 でん 利 とし 葉 は 轉換 てんかん 的形 まとがた 式 しき :
F
→
(
r
→
)
=
∭
G
→
(
ω おめが
→
)
e
i
ω おめが
→
⋅
r
→
d
ω おめが
→
{\displaystyle {\vec {\mathbf {F} }}({\vec {r}})=\iiint {\vec {\mathbf {G} }}({\vec {\omega }})e^{\displaystyle i\,{\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}}d{\vec {\omega }}}
純量 じゅんりょう 場 じょう 的 てき 傅 でん 利 とし 葉 は 轉換 てんかん 是 ぜ 一 いち 個 こ 純量 じゅんりょう 場 じょう ,向 こう 量 りょう 場 じょう 的 てき 傅 でん 利 とし 葉 は 轉換 てんかん 是 ぜ 一個維度相同的向量場。
現在 げんざい 考慮 こうりょ 以下 いか 純量 じゅんりょう 場 じょう 及向量 りょう 場 じょう :
G
Φ ふぁい
(
ω おめが
→
)
=
i
G
→
(
ω おめが
→
)
⋅
ω おめが
→
|
|
ω おめが
→
|
|
2
G
→
A
(
ω おめが
→
)
=
i
ω おめが
→
×
(
G
→
(
ω おめが
→
)
+
i
G
Φ ふぁい
(
ω おめが
→
)
ω おめが
→
)
Φ ふぁい
(
r
→
)
=
∭
G
Φ ふぁい
(
ω おめが
→
)
e
i
ω おめが
→
⋅
r
→
d
ω おめが
→
A
→
(
r
→
)
=
∭
G
→
A
(
ω おめが
→
)
e
i
ω おめが
→
⋅
r
→
d
ω おめが
→
{\displaystyle {\begin{array}{lll}G_{\Phi }({\vec {\omega }})=i\,{\frac {\displaystyle {\vec {\mathbf {G} }}({\vec {\omega }})\cdot {\vec {\omega }}}{||{\vec {\omega }}||^{2}}}&\quad \quad &{\vec {\mathbf {G} }}_{\mathbf {A} }({\vec {\omega }})=i\,{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\mathbf {G} }}({\vec {\omega }})+iG_{\Phi }({\vec {\omega }})\,{\vec {\omega }}\right)\\&&\\\Phi ({\vec {r}})=\displaystyle \iiint G_{\Phi }({\vec {\omega }})e^{\displaystyle i\,{\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}}d{\vec {\omega }}&&{\vec {\mathbf {A} }}({\vec {r}})=\displaystyle \iiint {\vec {\mathbf {G} }}_{\mathbf {A} }({\vec {\omega }})e^{\displaystyle i\,{\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}}d{\vec {\omega }}\end{array}}}
所以 ゆえん
G
→
(
ω おめが
→
)
=
−
i
ω おめが
→
G
Φ ふぁい
(
ω おめが
→
)
+
i
ω おめが
→
×
G
→
A
(
ω おめが
→
)
{\displaystyle {\vec {\mathbf {G} }}({\vec {\omega }})=-i\,{\vec {\omega }}\,G_{\Phi }({\vec {\omega }})+i\,{\vec {\omega }}\times {\vec {\mathbf {G} }}_{\mathbf {A} }({\vec {\omega }})}
F
→
(
r
→
)
=
−
∭
i
ω おめが
→
G
Φ ふぁい
(
ω おめが
→
)
e
i
ω おめが
→
⋅
r
→
d
ω おめが
→
+
∭
i
ω おめが
→
×
G
→
A
(
ω おめが
→
)
e
i
ω おめが
→
⋅
r
→
d
ω おめが
→
=
−
∇
Φ ふぁい
(
r
→
)
+
∇
×
A
→
(
r
→
)
{\displaystyle {\begin{array}{lll}{\vec {\mathbf {F} }}({\vec {r}})&=&\displaystyle -\iiint i\,{\vec {\omega }}\,G_{\Phi }({\vec {\omega }})\,e^{\displaystyle i\,{\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}}d{\vec {\omega }}+\iiint i\,{\vec {\omega }}\times {\vec {\mathbf {G} }}_{\mathbf {A} }({\vec {\omega }})e^{\displaystyle i\,{\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}}d{\vec {\omega }}\\&=&-{\boldsymbol {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})+{\boldsymbol {\nabla }}\times {\vec {\mathbf {A} }}({\vec {r}})\end{array}}}
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^ An Elementary Course in the Integral Calculus. By Daniel Alexander Murray . American Book Company, 1898. p8.
^ J. W. Gibbs & Edwin Bidwell Wilson (1901) Vector Analysis , page 237, link from Internet Archive
^ Electromagnetic theory, Volume 1. By Oliver Heaviside . "The Electrician" printing and publishing company, limited, 1893.
^ Elements of the differential calculus. By Wesley Stoker Barker Woolhouse . Weale, 1854.
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^ A Treatise on the Integral Calculus, Volume 2. By Joseph Edwards . Chelsea Publishing Company, 1922.
^ 参 まいり 见:
H. Helmholtz (1858) "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welcher der Wirbelbewegungen entsprechen" (页面存 そん 档备份 ,存 そん 于互联网档案 あん 馆 ) (On integrals of the hydrodynamic equations which correspond to vortex motions), Journal für die reine und angewandte Mathematik , 55 : 25-55. On page 38, the components of the fluid's velocity (u, v, w) are expressed in terms of the gradient of a scalar potential P and the curl of a vector potential (L, M, N).
However, Helmholtz was largely anticipated by George Stokes in his paper: G. G. Stokes (presented: 1849 ; published: 1856) "On the dynamical theory of diffraction," Transactions of the Cambridge Philosophical Society , vol. 9, part I, pages 1-62; see pages 9-10.
^ Helmholtz' Theorem (PDF) . University of Vermont. [2014-08-14 ] . (原始 げんし 内容 ないよう (PDF) 存 そん 档于2012-08-13).
^ David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics , Prentice-Hall, 1999, p. 556.
George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92–93
George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists International Edition, 6th edition, Academic Press: San Diego (2005) pp. 95–101
弱 じゃく 形式 けいしき 的 てき 参考 さんこう 文献 ぶんけん [ 编辑 ]
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R. Dautray and J.-L. Lions. Spectral Theory and Applications, volume 3 of Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Springer-Verlag, 1990.
V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.