洛らく伦兹力りょく

本条ほんじょう目め中ちゅう，矢や量りょう与あずか标量分ぶん别用粗そ体からだ与あずか斜体しゃたい显示。例れい如，位置いち矢や量りょう通どおり常用じょうよう $\mathbf {r} \,\!$ 表示ひょうじ；而其大小だいしょう则用 $r\,\!$ 来らい表示ひょうじ。

不同ふどう电荷量りょう$q$的てき带电粒子りゅうし，由ゆかり于磁场$\mathbf {B}$（磁场方向ほうこう从屏幕内まくうち指ゆび出来でき）的てき影かげ响，感受かんじゅ到いた洛らく伦兹力りょく的てき作用さよう，所しょ呈てい现的可能かのう运动轨道。

由よし于磁场的影かげ响，电子射しゃ束たば的まと移うつり动路径みち呈てい圆形。电子经过的てき路ろ径みち会かい有ゆう紫色むらさきいろ光こう发射出来でき。这是因いん为电子こ与あずか玻璃はり球だま内的ないてき气体分子ぶんし碰撞而产生せい的てき现象。

在ざい电动力学りきがく里さと，洛らく伦兹力りょく（Lorentz force）是ぜ运动于电磁场的てき带电粒子りゅうし所感しょかん受到的てき作用さよう力りょく。洛らく伦兹力りょく是ぜ因いん荷に兰物理学りがく者しゃ亨とおる德とく里さと克かつ·洛らく伦兹而命名めいめい。根ね据すえ洛らく伦兹力りょく定律ていりつ，洛らく伦兹力りょく可か以用方かた程ほど，称しょう为洛らく伦兹力りょく方かた程ほど，表おもて达为

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$；

其中，$\mathbf {F}$是ぜ洛らく伦兹力りょく，$q$是ぜ带电粒子りゅうし的てき电荷量りょう，$\mathbf {E}$是これ电场强度きょうど，$\mathbf {v}$是ぜ带电粒子りゅうし的てき速度そくど，$\mathbf {B}$是これ磁感应强度きょうど。

洛らく伦兹力りょく定律ていりつ是ぜ一いち个基本きほん公理こうり，不ふ是ぜ从别的てき理り论推导出来でき的てき定律ていりつ，而是由ゆかり多た次つぎ重じゅう复完成かんせい的てき实验所得しょとく到いた的てき同どう样的结果。

感受かんじゅ到いた电场的てき作用さよう，正せい电荷会かい朝あさ着ぎ电场的てき方向ほうこう加速かそく；但ただし是ぜ感かん受到磁场的てき作用さよう，按照右手みぎて定てい则，正せい电荷会かい朝あさ着ぎ垂直すいちょく于速度そくど$\mathbf {v}$和かず磁场$\mathbf {B}$的てき方向ほうこう弯曲（详细地ち说，假かり设右手しゅ的てき大だい拇指ぼし与あずか$\mathbf {v}$同どう向むかい，食指しょくし与あずか$\mathbf {B}$同どう向むかい，则掌心こころ推出的てき方向ほうこう为$\mathbf {F}$的てき方向ほうこう）。

洛らく伦兹力りょく方かた程ほど的てき$q\mathbf {E}$项目是ぜ电场力りょく项目，$q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$项目是ぜ磁场力りょく项目。处于磁场内ない的てき载电导线感かん受到的てき磁场力りょく就是这洛伦兹力りょく的てき磁场力りょく分量ぶんりょう。

洛らく伦兹力りょく方かた程ほど的てき积分形式けいしき为

$\mathbf {F} =\int _{\mathbb {V} }(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\ \mathrm {d} \tau$。

其中，$\mathbb {V}$是ぜ积分的てき体からだ积，$\rho$是これ电荷密度みつど，$\mathbf {J}$是これ电流密度みつど，$\mathrm {d} \tau$是ぜ微小びしょう体たい元素げんそ。

洛らく伦兹力りょく密度みつど$\mathbf {f}$是ぜ单位体たい积的洛らく伦兹力りょく，表おもて达为：

$\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\rho \mathbf {v} \times \mathbf {B} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B}$。

历史

亨とおる德とく里さと克かつ·洛らく伦兹

1892年ねん，荷に兰物理ぶつり学がく家か亨とおる德とく里さと克かつ·洛らく伦兹提出ていしゅつ洛らく伦兹力りょく的てき概念がいねん。但ただし是ぜ，在ざい洛らく伦兹之の前まえ，就已经有发掘出で洛らく伦兹力りょく方かた程ほど的てき形式けいしき，特とく别是在ざい詹姆斯·麦むぎ克かつ斯韦的てき1861年ねん论文《论物理ぶつり力りょく线》里さと的てき公式こうしき（77）：

$P=\mu \gamma {\frac {dy}{dt}}-\mu \beta {\frac {dz}{dt}}+{\frac {dF}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dx}}$、

$Q=\mu \alpha {\frac {dz}{dt}}-\mu \gamma {\frac {dx}{dt}}+{\frac {dG}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dy}}$、

$R=\mu \beta {\frac {dx}{dt}}-\mu \alpha {\frac {dy}{dt}}+{\frac {dH}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dz}}$；

其中，$P$、$Q$、$R$分ぶん别为电场的てき三さん个分量りょう，$\mu$是これ磁导率りつ，${\frac {dx}{dt}}$、${\frac {dy}{dt}}$、${\frac {dz}{dt}}$分ぶん别为导电体たい的まと移うつり动速度そくど的てき三さん个分量りょう，$\alpha$、$\beta$、$\gamma$分ぶん别为磁场强度きょうど的てき三さん个分量りょう，$F$、$G$、$H$分ぶん别为磁矢势的てき三さん个分量りょう，$\Psi$是これ电势。

后きさき来らい，在ざい他た的てき1864年ねん论文《电磁场的动力学理がくり论》里さと，麦むぎ克かつ斯韦将はた这公式しき列れつ为麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组的てき八个原本方程中的方程（D）:

$\mathbf {E} =\mathbf {v} \times (\mu \mathbf {H} )-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi$；

其中，$\mathbf {v}$是ぜ速度そくど，$\mathbf {H}$是ぜ磁场强度きょうど，$\mu$是ぜ磁导率りつ，$\mathbf {A}$是ぜ磁矢势，$\phi$是ぜ电势。

很明显地，麦むぎ克かつ斯韦版ばん是ぜ现代版ばん的てき前ぜん导。两个版本はんぽん的てき差さ别为：

• 麦むぎ克かつ斯韦版ばん并没有ゆう特とく意地いじ提ひっさげ到いた电荷。麦むぎ克かつ斯韦称しょう物理ぶつり量りょう$\mathbf {E}$为电动力りょく（electromotive force）。这英文えいぶん原文げんぶん与あずか电动势的てき英文えいぶん原文げんぶん相しょう同どう。很多物理ぶつり学がく家か都と对英文えいぶん原文げんぶん表示ひょうじ意い见，认为会かい造成ぞうせい困惑こんわく，是ぜ个相当とう不精ぶしょう确的术语。从方程ほど形式けいしき和わ单位分析ぶんせき方面ほうめん来らい看み，这物理ぶつり量りょう对应于现代だい的てき物理ぶつり量りょう单位电荷的てき洛らく伦兹力りょく。
• 麦むぎ克かつ斯韦版ばん包つつみ含有がんゆう现在称しょう为电场的项目，以电势$\phi$和わ磁矢势$\mathbf {A}$来らい表ひょう达：

$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$。

取と旋度于这表ひょう达式，就可以得到いた法ほう拉ひしげ第だい-麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど：

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$。

因いん此，这表达式等とう价于法ほう拉ひしげ第だい-麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど。尽つき管かん洛らく伦兹力りょく方かた程ほど来き自じ于原本げんぽん的てき一条麦克斯韦方程，现在，经过奥おく利とし弗どる·亥い维赛重じゅう新しん表ひょう述じゅつ后きさき的てき洛らく伦兹力りょく方かた程ほど，不ふ再さい被ひ视为麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组中的てき一いち员，而成为伴随ずい麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组的一条独立基要的定律。

洛らく伦兹力りょく定律ていりつ的てき重要じゅうよう意い义

当とう麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组描绘带电粒子りゅうし怎样产生电磁场的同どう时，洛らく伦兹力りょく方かた程ほど描绘了りょう移うつり动于电磁场的带电粒子りゅうし所感しょかん受到的てき电磁力りょく。这使得とく整せい个电磁动力りょく的てき图画得とく以完整せい。在ざい一个复杂的物理系统里，带电粒子りゅうし可能かのう还会感かん受到别种作用さよう力りょく，像ぞう万有引力ばんゆういんりょく或ある核かく力りょく。麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组并非ひ与あずか这些作用さよう力りょく完全かんぜん无关；而是通どおり过带电粒子こ或ある电流密度みつど与あずか这些作用さよう力りょく耦合。

对于实际的てき物ぶつ质，在原ありわら则上和わ计算的てき复杂程度ていど上じょう，洛らく伦兹力りょく方かた程ほど都と不足ふそく以描述じゅつ一群粒子的物理行为。在ざい物もの质介质里的てき带电粒子りゅうし，必须同どう时地响应和わ生成せいせい电磁场。除じょ此以外がい，还必须考虑到描述这一群粒子的运动的传输方程，例れい如，玻尔兹曼传输方かた程ほど（Boltzmann equation）、福ぶく克かつ-普ひろし朗ろう克かつ方かた程ほど（Fokker–Planck equation）、纳维-斯托克かつ斯方程ほど、等ひとし等とう。请参阅磁流体力たいりょく学がく、超ちょう导现象ぞう、恒星こうせい演えんじ化か、等ひとし等とう。在ざい这些学がく术领域いき研究けんきゅう的てき科学かがく家か必须解析かいせき复杂的てき传输方かた程ほど，求もとめ得とく带电粒子りゅうし在ざい时间和わ空そら间方面ほうめん的てき响应。

或ある许有些读者しゃ会かい认为这些理り论只是ぜ靠もたれ着ぎ近似きんじ来らい处理一いち个大系けい综的てき带电粒子りゅうし。从更深ふか的てき层面来らい看み，带电粒子りゅうし也会对非电磁力りょく，像ぞう万有引力ばんゆういんりょく，核かく力りょく或ある边界条件じょうけん等ひとし等ひとし，产生响应。

粒子りゅうし的てき运动轨道

给予作用さよう于粒子りゅうし的てき洛らく伦兹力りょく的てき公式こうしき，将はた这公式しき代入だいにゅう牛うし顿第二に定律ていりつ，可か以得到いた粒子りゅうし的てき运动方かた程ほど。解析かいせき这运动方程ほど，就可以找到粒子りゅうし的てき运动轨道。

范例：回旋かいせん加速器かそくき

移うつり动于均ひとし匀磁场$\mathbf {B}$（从显示しめせ萤幕外がい，指ゆび入にゅう显示萤幕），正せい电荷的てき圆周运动轨道。

在ざい一いち个简单的回旋かいせん加速器かそくき内うち，均ひとし匀磁场是$\mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}$，电场是ぜ零れい。那な么，运动于xy-平面へいめん的てき带电粒子りゅうし$q$所感しょかん受到的てき洛らく伦兹力りょく$\mathbf {F}$为

$\mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$。

将はた这公式しき代入だいにゅう牛うし顿第二に定律ていりつ，

$m\mathbf {a} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$；

其中，$m$是ぜ带电粒子りゅうし的てき质量，$\mathbf {a}$是ぜ带电粒子りゅうし的てき加速度かそくど。

由よし于带电粒子りゅうし的てき加速度かそくど与あずか速度そくど互相垂直すいちょく，带电粒子りゅうし呈てい圆周运动。假かり设粒子りゅうし带有正せい电荷，则这公式こうしき的てき一般いっぱん解答かいとう为

$\mathbf {r} =r_{c}(\cos \omega t,\,-\sin \omega t,\,0)$；

其中，$\mathbf {r}$是ぜ带电粒子りゅうし的てき圆周运动轨道，$r_{c}$是ぜ圆周半径はんけい，$\omega =qB/m$是ぜ旋转角速度かくそくど，$t$是ぜ时间。

移うつり动于朝あさ着き正せい上方かみがた的てき均ひとし匀磁场，负电荷に的てき等とう速そく螺旋らせん运动轨道。

朝ちょう着ぎ均ひとし匀磁场方向ほうこう看み，带电粒子りゅうし会かい以反はん时针方向ほうこう，呈てい等とう速そく圆周运动。给予初はつ始はじめ速そく率りつ$v_{0}$。那な么，圆周半径はんけい为

$r_{c}=v_{0}/\omega =mv_{0}/qB$。

这圆周しゅう半径はんけい称しょう为回旋かいせん半径はんけい（cyclotron radius）或ある拉ひしげ莫半径はんけい（Larmor radius）。$\omega =qB/m$称しょう为回旋かいせん频率（cyclotron frequency）。

带电粒子りゅうし的てき动量$p_{0}$为

$p_{0}=mv_{0}=qBr_{c}$。

假かり设粒子りゅうし带有负电荷に，则运动方向ほうこう会かい逆ぎゃく反はん，改あらため为顺时针方向ほうこう。

假かり设初始はじめ速度そくど有ゆう一いち个z-分量ぶんりょう$v_{z0}$，则带电粒子りゅうし会かい呈てい等とう速そく螺旋らせん运动。

导向中心ちゅうしん漂移运动

主しゅ条目じょうもく：导向中心ちゅうしん

在ざい均ひとし匀磁场内，带电粒子りゅうし的てき漂移运动。（A）没ぼつ有ゆう任にん何なん外力がいりょく（B）加入かにゅう外がい电场$\mathbf {E}$（C）加入かにゅう独立どくりつ外力がいりょく$\mathbf {F}$（例れい如，地ち心こころ引力いんりょく，（D））磁场改あらため为不均ひとし匀，$\nabla \mathbf {B}$

对于很多有ゆう意思いし的てき、比ひ较复杂的实际案あん例れい，在ざい磁场内ない运动的てき带电粒子りゅうし（例れい如，等とう离子体たい的てき电子或ある离子），可か以分为两部分ぶぶん处理。这两部分ぶぶん的てき叠加，足あし以描述じゅつ这带电粒子りゅうし的てき物理ぶつり行ぎょう为。第だい一部分是速度比较快的，环绕着ぎ某ぼう一いち点てん的てき圆周运动。环绕之の点てん称しょう为导向こう中心ちゅうしん（guiding center）。另一部分是导向中心的漂移运动。其速度そくど比ひ较慢，会かい因いん不同ふどう种类的てき粒子りゅうし而不同ふどう，又また跟其电荷量りょう、质量或ある温度おんど有ゆう关。不同ふどう的てき漂移速度そくど可能かのう会かい造成ぞうせい电流或ある化学かがく分ぶん离。

电场和わ磁场的てき定てい义

许多经典电磁学がく教科きょうか书会用よう洛らく伦兹力りょく定律ていりつ来き定てい义电场和磁场。

电场

假かり设检验电荷に静止せいし不ふ动，$\mathbf {v} =0$，则洛伦兹力りょく方かた程ほど变为

$\mathbf {F} =q\mathbf {E}$。

采さい用よう国くに际单位い制せい，假かり设检验电荷に的てき电量为1库仑，作用さよう于检验电荷に的てき劳伦兹力为1牛うし顿，则检验电荷に感かん受到的てき电场为1牛うし顿／库仑。

磁场

假かり设电场为零れい，则作用よう于电荷に$q$的てき洛らく伦兹力りょく是ぜ

$\mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$。

对于一条线电荷密度为$\lambda$的てき载流导线，总作用よう力りょく为

$\mathbf {F} =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \mathrm {d} q=\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \lambda \mathrm {d} \ell =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {I} \times \mathbf {B} \mathrm {d} \ell$；

其中，$\mathbb {C}$是ぜ积分路ろ径みち，$\mathbf {I} =\lambda \mathbf {v}$是ぜ电流矢ながれや量りょう。

假かり设电流りゅう是ぜ稳定电流，则可以将电流从积分ぶん内ない提出ていしゅつ，用よう矢や量りょう$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$来らい表示ひょうじ电流$\mathbf {I}$的てき方向ほうこう：

$\mathbf {F} =I\int _{\mathbb {C} }\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B}$。

这公式しき给出了りょう，在ざい磁场内ない，载流导线感かん受到的てき磁场力りょく。

使用しよう这公式しき和わ毕奥-萨伐尔定律ていりつ，就可以推导出安やす培つちかえ力りょく定律ていりつ（详尽细节，请参阅安やす培つちかえ力りょく定律ていりつ）。

假かり设，磁场是ぜ均ひとし匀磁场，积分路ろ径みち是ぜ垂直すいちょく于磁场的直ちょく线，则

$F=ILB$；

其中，$L$是ぜ积分路ろ径みち$\mathbb {C}$的てき长度，

采さい用よう国こく际单位い制せい，假かり设检验电流りゅう为1安やす培つちかえ，作用さよう于载流りゅう导线的てき单位长度的てき洛らく伦兹力りょく为1牛うし顿/米べい，则检验电流感りゅうかん受到的てき磁场为1特とく斯拉。

动生电动势

一条いちじょう长度为$L$的てき细直导线以速度そくど$\mathbf {v}$移うつり动于磁场$\mathbf {B}$。

许多发电机つくえ的てき基本きほん运作原理げんり涉わたる及动生电动势概念がいねん。将はた导线移うつり动于磁场，则会产生电动势，称しょう为动生电动势。如图右みぎ，假かり设一いち条じょう长度为$L$的てき细直导线，以速度そくど$\mathbf {v}$移うつり动于磁场$\mathbf {B}$。磁场$\mathbf {B}$以箭尾お或ある叉また叉また表示ひょうじ，方向ほうこう由よし银幕外部がいぶ指ゆび入にゅう银幕。思考しこう在ざい这导线内的てき电荷$q$，根ね据すえ洛らく伦兹定律ていりつ，会かい感かん受到洛らく伦兹力りょく$\mathbf {F} _{lorentz}$：

$\mathbf {F} _{lorentz}=q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$。

在ざい这里，洛らく伦兹力也りきや是これ磁场力りょく。因よし为这磁场力りょく的てき作用さよう，正せい电荷会かい往导线的上端じょうたん移うつり动，负电荷に会かい往导线的下端かたん移うつり动。在ざい稳定平衡へいこう状じょう态，这会感かん应出一いち个电场$\mathbf {E}$：

$\mathbf {E} =-\mathbf {v} \times \mathbf {B}$。

电动势定义为造成ぞうせい开路电路的てき两个终端的てき电势差さ，对于每ごと单位电荷所しょ需做的てき功こう。所以ゆえん，动生电动势${\mathcal {E}}$为

${\mathcal {E}}=\int _{L}{\frac {\mathbf {F_{lorentz}} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=vBL$。

在ざい这个例れい子こ里さと，稳定平衡へいこう状じょう态时的てき电流等とう于零。假かり设载流りゅう导线与其他原げん件けん连结成なり一いち个电路ろ，则会因いん为动生せい电动势而产生电流。例れい如，将はた一いち个电阻$R$与あずか导线的てき两端相しょう连结，则流过电阻的电流$I$为

$I={\mathcal {E}}/R=vBL/R$。

法ほう拉ひしげ第だい电磁感かん应定律ていりつ

在ざい时间$t$，以闭回路かいろ$\partial \Sigma (t)$为边缘的曲面きょくめん$\Sigma (t)$，和かず在ざい此曲面めん$\Sigma (t)$某ぼう些位置いち的てき磁场$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)$。

一いち个以常つね速度そくど$\mathbf {v}$移うつり动于磁场$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)$的てき闭回路ろ$\partial \Sigma (t)$。

主しゅ条目じょうもく：法ほう拉ひしげ第だい电磁感かん应定律ていりつ

法ほう拉ひしげ第だい电磁感かん应定律ていりつ阐明，穿ほじ过任意にんい闭回路ろ的てき磁通量りょう的てき变化率りつ，与あずか这回路ろ的てき电动势成正せい比ひ：

${\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}$；

其中，${\mathcal {E}}$是ぜ电动势，$\Phi _{B}$是ぜ磁通量りょう，$t$是ぜ时间。

在ざい时间$t$通つう过任意にんい曲面きょくめん$\Sigma (t)$的てき磁通量りょう$\Phi _{B}(t)$定てい义为

$\Phi _{B}(t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a}$；

其中，$\mathbf {r}$是ぜ位置いち，$d\mathbf {a}$是ぜ微小びしょう面めん元素げんそ。

给予一いち个以常つね速度そくど$\mathbf {v}$移うつり动于磁场的てき闭回路ろ$\partial \Sigma (t)$。那な么，磁通量りょう对于时间的てき全ぜん微分びぶん是これ

${\begin{aligned}d\Phi _{B}(t)&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t+dt)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\\end{aligned}}$ ；

其中，$\Sigma (t)$是ぜ边缘为$\partial \Sigma (t)$的てき曲面きょくめん，$\Sigma _{total}$是ぜ包括ほうかつ$\Sigma (t+dt)$、$-\Sigma (t)$和わ$\Sigma _{ribbon}$的てき闭曲面めん，$\Sigma _{ribbon}$是ぜ边缘$\partial \Sigma (t+dt)$和わ$\partial \Sigma (t)$形成けいせい的てき边缘曲面きょくめん。

根ね据すえ散ち度たび定理ていり和わ高こう斯磁定律ていりつ，

$\int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\mathbb {V} _{total}}\nabla \cdot \mathbf {B} d\tau =0$；

其中，$\mathbb {V} _{total}$是ぜ闭曲面めん$\Sigma _{total}$包含ほうがん的てき空そら间，$d\tau$是ぜ微小びしょう体たい元素げんそ。

通つう过边缘曲面めん$\Sigma _{ribbon}$的てき磁通量りょう可か以改变成一いち个线积分：

$\int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [d{\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} dt)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} dt)\times \mathbf {B} ]\cdot d{\boldsymbol {\ell }}$。

所以ゆえん，磁通量りょう对于时间的てき全ぜん导数，或ある磁通量的りょうてき变化率りつ为

${\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} -\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}$。

运动于移动的闭回路ろ$\partial \Sigma (t)$的てき一いち个电荷に$q$的てき速度そくど$\mathbf {w}$为

$\mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v}$；

其中，$\mathbf {u}$是ぜ相しょう对于闭回路ろ$\partial \Sigma (t)$的てき电荷运动速度そくど，$\mathbf {v}$是ぜ闭回路ろ$\partial \Sigma (t)$的まと移うつり动速度ど。

这电荷に会かい感かん受到洛らく伦兹力りょく

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )$；

电动势${\mathcal {E}}$定てい义为

${\mathcal {E}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\partial \Sigma }{\frac {\mathbf {F} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}$。

根ね据すえ法ほう拉ひしげ第だい电磁感かん应定律ていりつ，

${\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}$。

在ざい计算积分时，闭回路ろ$\partial \Sigma (t)$的てき微小びしょう线元素げんそ$d{\boldsymbol {\ell }}$与あずか正せい在ざい那な位置いち的てき电荷的てき$\mathbf {u}$平行へいこう。所以ゆえん，

${\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=-\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}$。

令れい两个磁通量りょう变化率りつ的てき方かた程ほど相等そうとう，除去じょきょ同どう有ゆう的てき移うつり动的闭回路ろ项目，则可得え到いた

$\int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-\int _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {a}$。

应用斯托克かつ斯定理ていり，$\int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {a}$，可か以得到いた

$\int _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {a} =0$。

由よし于$\Sigma$是ぜ任意にんい取と面めん，可か以将被ひ积式从积分ぶん中ちゅう取出とりで：

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$。

这是麦むぎ克かつ斯韦-法ほう拉ひしげ第だい方かた程ほど。由よし于这方かた程ほど的てき右手みぎて边是个对于时间的偏へん导数项目，只ただ涉わたる及固定こてい的てき闭回路ろ，不能ふのう用よう来らい计算移うつり动中的てき闭回路ろ。

用よう麦むぎ克かつ斯韦-法ほう拉ひしげ第だい方かた程ほど，通常つうじょう对于时间的てき偏へん导数的てき诠释只ただ限げん制せい为固定こてい边界。而在另一方面ほうめん，不ふ论导线的闭回路ろ是ぜ刚硬固定こてい的てき、是ぜ在ざい运动中ちゅう、是ぜ在ざい形かたち变过程中ちゅう，不ふ论磁场是不ふ含时的てき或ある含时的てき，法ほう拉ひしげ第だい电磁感かん应定律ていりつ都と成立せいりつ。但ただし是ぜ，对于某ぼう些案例れい，法ほう拉ひしげ第だい电磁感かん应定律ていりつ并不适用或ある使用しよう起おこり来らい很困难。这时候こう，必须使用しよう洛らく伦兹力りょく定律ていりつ。详尽细节，请参阅法ほう拉ひしげ第だい电磁感かん应定律ていりつ不ふ适用案あん例れい。

假かり设闭回路かいろ移うつり动于不ふ含时间的磁场$\mathbf {B}$，通つう过闭回路かいろ的てき磁通量りょう$\Phi _{B}$会かい因いん为几种因素もと而改变：例れい如，假かり若わか磁场$\mathbf {B}$随ずい着ぎ位置いち改あらため变，闭回路ろ移うつり动至不同ふどう磁场$\mathbf {B}$的てき位置いち，则磁通どおり量りょう$\Phi _{B}$会かい改あらため变。或ある者もの，假かり若わか相しょう对于磁场，闭回路ろ的てき定てい向むかい改あらため变，由ゆかり于微小びしょう元素げんそ$\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A}$的てき改あらため变，磁通量りょう$\Phi _{B}$也会改あらため变。再さい举一个例子こ，假かり若わか闭回路ろ扫掠过一个均匀的不含时磁场，由よし于闭回路かいろ的形まとがた变，磁通量りょう$\Phi _{B}$会かい改あらため变。对于这三さん个案例れい，法ほう拉ひしげ第だい电磁感かん应定律ていりつ正せい确地计算出さんしゅつ磁通量りょう变化率りつ${\frac {d\Phi _{B}}{dt}}$所ところ产生的てき电动势。

对比前面ぜんめん所しょ述じゅつ状じょう况，假かり设固定こてい的てき闭回路ろ处于含时磁场$\mathbf {B}$，麦むぎ克かつ斯韦-法ほう拉ひしげ第だい方かた程ほど会かい显示出で一个非保守性的电场$\mathbf {E}$产生于闭回路かいろ，靠もたれ着ぎ洛らく伦兹力りょく的てき$q\mathbf {E}$项目，驱使载电粒子りゅうし移うつり动于导线。这状况也会かい改あらため变磁通どおり量りょう$\Phi _{B}$，法ほう拉ひしげ第だい电磁感かん应定律ていりつ也会正せい确地计算出さんしゅつ磁通量りょう变化率りつ${\frac {d\Phi _{B}}{dt}}$所ところ产生的てき电动势。

用よう位い势来表ひょう达洛伦兹力りょく方かた程ほど

参まいり见：电磁场的数学すうがく表ひょう述じゅつ、麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组和わ亥い姆霍兹分解ぶんかい

根ね据すえ亥い姆霍兹分解ぶんかい（Helmholtz decomposition），电场和わ磁场可か以用电势$\phi$和わ磁矢势$\mathbf {A}$来らい表ひょう达：

$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

其中∇为梯度ど，∇⋅ 为散度ど，∇× 为旋度。

将はた这两个公式こうしき代だい入洛にゅうらく伦兹力りょく方かた程ほど，则可得え到いた

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right]$

可か以化简为

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla (\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} \right]$

洛らく伦兹力りょく方かた程ほど的てき协变形式けいしき

定てい义粒子りゅうし的てき四よん维速度そくど$u_{\beta }$为

$u_{\beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ (u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3})=\gamma (c,\,-v_{x},\,-v_{y},\,-v_{z})$；

其中，$\gamma$是これ洛らく伦兹因子いんし，$c$是ぜ光速こうそく，$\mathbf {v} =(v_{x},\,v_{y},\,v_{z})$是ぜ粒子りゅうし的てき速度そくど矢や量りょう。

定てい义电磁场张量りょう$F^{\alpha \beta }$为

$F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}$；

其中，$\mathbf {E}$是ぜ电场矢や量りょう，$\mathbf {B}$是ぜ磁场矢や量りょう。

结合牛うし顿运动定律ていりつ与あずか洛らく伦兹力りょく定律ていりつ在ざい一起かずき，以电磁场张量りょう写うつし为反はん变形式しき（contravariant form）：

${\frac {dp^{\alpha }}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{\alpha \beta }$；

其中，$p^{\alpha }$是これ四よん维动量りょう，$\tau$是ぜ粒子りゅうし的てき固有こゆう时。

应用洛らく伦兹变换，电磁场张量りょう可か以从一いち个参考さんこう系けい$S$转换到另一个参考さんこう系けい${\bar {S}}$：

${\bar {F}}^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }$；

其中，${\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }$和わ${\Lambda ^{\nu }}_{\beta }$是ぜ洛らく伦兹变换矩のり阵。

换另一いち种方法ほう，定てい义四よん维势$A^{\alpha }$为

$A^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z})$；

其中，$\phi$是これ电势，$\mathbf {A}$是これ磁矢势。

定てい义四よん维坐标 $x_{\alpha }$为

$x_{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (ct,\,-x,\,-y,\,-z)$。

那な么，电磁场张量りょう为

$F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}$。

从洛伦兹力りょく方かた程ほど的てき张量形式けいしき计算矢や量りょう形式けいしき

先さき计算四よん维力（four-force）的てき$\mu =1$分量ぶんりょう（x-分量ぶんりょう）：

$\gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}={\frac {dp^{1}}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{1\beta }=q\left(u_{0}F^{10}+u_{1}F^{11}+u_{2}F^{12}+u_{3}F^{13}\right)$。

将はた电磁场张量的りょうてき分量ぶんりょう代入だいにゅう，可か以得到いた

$\gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\left(u_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+u_{2}(-B_{z})+u_{3}(B_{y})\right)$。

再さい将しょう四维速度的分量代入，则会得えとく到いた

$\gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\gamma \left(c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma [E_{x}+(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )_{x}]$。

类似地ち，可か以计算出さんしゅつ四よん维力的てき$\mu =2$和わ$\mu =3$分量ぶんりょう。所以ゆえん，

${\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$。

参まいり阅

• 回旋かいせん加速器かそくき
• 质谱仪
• 电动机つくえ
• 移うつり动中的てき磁铁与导体问题

• 磁道炮
• 发电机つくえ
• 直ちょく线电动机

• 霍尔效こう应
• 阿おもね布ぬの拉ひしげ罕-洛らく伦兹力りょく
• 磁流体力たいりょく学がく

外部がいぶ链接

• National High Magnetic Field Laboratory的てきJava互动教学きょうがく网页：洛らく伦兹力りょく。