論ろん物理ぶつり力りょく線せん

為ため了りょう與あずか《論ろん物理ぶつり力りょく線せん》論文ろんぶん內的方程式ほうていしき相互そうご對照たいしょう，本文ほんぶん採用さいよう電磁でんじ單位たんい制せい。所有しょゆう的てき向むかい量りょう都と分ぶん開成かいせい分量ぶんりょう來らい單獨たんどく表示ひょうじ。每まい一個變量的符號都儘量與論文內的符號相同。若わか有ゆう撞號，則のり會かい採用さいよう歌うた特とく體たい符號ふごう來らい表示ひょうじ。

透過とうか鐵てつ粉こ顯示けんじ出で的てき磁力じりょく線せん。將はた條じょう狀じょう磁鐵放ひ在ざい白紙はくし下面かめん，鋪しき灑一堆鐵粉在白紙上面，這些鐵てつ粉こな會かい依よ著しる磁力じりょく線せん的てき方向ほうこう排列はいれつ，形成けいせい一いち條條じょうじょう的てき曲線きょくせん，在ざい曲線きょくせん的てき每ごと一いち點てん顯示けんじ出で磁力じりょく線せん的てき方向ほうこう。

《論ろん物理ぶつり力りょく線せん》（英語えいご：On Physical Lines of Force）是これ詹姆斯·馬うま克かつ士し威たけし於1861年ねん發表はっぴょう的てき一いち篇へん論文ろんぶん。在ざい這篇論文ろんぶん裏うら，他た闡述了りょう可か以比擬なずらえ各種かくしゅ電磁でんじ現象げんしょう的てき「分子ぶんし渦うず流りゅう理論りろん」，和わ電位でんい移うつり的てき概念がいねん，又また論定ろんてい光波こうは為ため電磁波でんじは。馬うま克かつ士し威い又また將はた各種かくしゅ描述電磁でんじ現象げんしょう的てき定律ていりつ整合せいごう為ため馬うま克かつ士し威い方かた程ほど組ぐみ。

主要しゅよう目標もくひょう

引力いんりょく、電場でんじょう力りょく和わ磁場じば力りょく都と遵守じゅんしゅ平方ひらかた反はん比定ひてい律りつ。給きゅう予よ一いち個こ引力いんりょく源げん於空間あいだ的てき某ぼう位置いち，在ざい空間くうかん的てき任にん何なん其它位置いち，放ひ入にゅう一いち個こ具有ぐゆう質量しつりょう的てき檢けん驗けん粒子りゅうし，則のり此檢驗けん粒子りゅうし所感しょかん受到的てき引力いんりょく的てき大小だいしょう必定ひつじょう與あずか距離きょり的てき平方ひらかた成しげる反はん比ひ。從したがえ檢けん驗けん粒子りゅうし在ざい各個かっこ位置いち所感しょかん受到的てき引力いんりょく，可か以繪出で很多條じょう不同ふどう的てき力ちから線せん，又また稱たたえ為ため場ば線せん。在ざい這引力りょく線せん的てき每ごと一いち點てん，引力いんりょく的てき方向ほうこう必定ひつじょう正せい切きり於引力りょく線せん。電場でんじょう力りょく和わ磁場じば力也りきや會かい產さん生せい類似るいじ的てき現像げんぞう。假設かせつ將しょう一堆鐵粉鋪灑在一塊磁鐵的四周，這些鐵てつ粉こな會かい依よ著しる磁場じば力りょく的てき方向ほうこう排列はいれつ，形成けいせい一いち條條じょうじょう的てき曲線きょくせん，在ざい曲線きょくせん的てき每ごと一點表現出磁場的存在和磁力じりょく線せん的てき方向ほうこう。這明確かく地ち顯示けんじ出で磁力じりょく線せん是ぜ一いち種しゅ真實しんじつ現像げんぞう。假かり若わか鐵てつ粉こな感かん受到的てき是ぜ直接ちょくせつ由よし磁鐵施ほどこせ加か的てき作用さよう力りょく，則のり這是一いち種しゅ超ちょう距作用よう（action at a distance）。

馬うま克かつ士し威い覺さとし得え，雖然超ちょう距作用よう能のう夠滿意地いじ計けい算出さんしゅつ很多電磁でんじ現象げんしょう，但ただし是ぜ，超ちょう距作用よう不能ふのう解釋かいしゃく整せい個こ圖案ずあん。馬うま克かつ士し威い主張しゅちょう用よう場ば論ろん解釋かいしゃく：早はや在ざい鋪しき灑鐵粉こ之の前まえ，磁鐵就已經けい在ざい四よん周しゅう產さん生せい磁場じば；不ふ論ろん鋪しき灑鐵粉こ了りょう沒ぼつ有ゆう，磁場じば都と存在そんざい；磁鐵並なみ不ふ是ぜ直接ちょくせつ施ほどこせ加か力量りきりょう於鐵粉こ，而是經過けいか磁場じば施ほどこせ加か力量りきりょう於鐵粉こ；也就是ぜ說せつ，鐵てつ粉こな感かん受到的てき是ぜ磁場じば的てき作用さよう力りょく。在ざい遙遠ようえん的てき那な一端的鐵粉怎麼知道這一端有一塊磁鐵？超ちょう距作用よう是ぜ否ひ違反いはん了りょう定てい域いき性せい能のう量りょう守恆もりつね定律ていりつ？這兩個りゃんこ電荷でんか之の間あいだ到底とうてい是ぜ真空しんくう，還かえ是ぜ存在そんざい著ちょ像ぞう乙おつ太ふと一類的某種傳遞電磁信息的媒介？馬うま克かつ士し威い希望きぼう能のう夠給予よ這諸多しょた問題もんだい合理ごうり的てき解答かいとう。馬うま克かつ士し威い這樣陳述ちんじゅつ：

我わが撰せん寫うつし這篇論文ろんぶん有ゆう一いち個こ主要しゅよう目標もくひょう：藉著研究けんきゅう在ざい介かい質しつ內某種しゅ張力ちょうりょく和わ運動うんどう狀態じょうたい的てき機械きかい結果けっか，藉著將はた這些機械きかい結果けっか與あずか觀測かんそく到いた的てき電磁でんじ現象げんしょう相しょう比較ひかく，開闢かいびゃく出で一いち條じょう思おもえ路ろ，讓ゆず我わが們能夠朝著ちょ這方向ほうこう推測すいそく。當今とうこん，學術がくじゅつ界かい有ゆう好こう幾いく派は能のう夠表達たち已やめ確立かくりつ實驗じっけん定律ていりつ的てき假說かせつ。有ゆう些物理學りがく家か認みとめ為ため電磁でんじ現像げんぞう是ぜ因いん介かい質しつ作用さよう而產生せい，但ただし又また懷疑かいぎ我が的てき假說かせつ與あずか已やめ確立かくりつ實驗じっけん定律ていりつ之の間あいだ的てき關係かんけい。我わが希望きぼう這論文ろんぶん，會かい因いん為ため指出さしで我が的てき假說かせつ的てき機械きかい結果けっか，而使得とく這些物理ぶつり學がく家か獲え益えき良りょう多た。……我わが現在げんざい提議ていぎ，從したがえ機械きかい觀點かんてん來らい檢けん驗けん磁場じば現象げんしょう，並なみ且辨明べんめい介かい質しつ的てき哪種張力ちょうりょく或ある運動うんどう，能のう夠製造せいぞう出で觀測かんそく到いた的てき機械きかい現象げんしょう。假かり若わか，由ゆかり於我的てき假說かせつ，我わが們能夠使得とく磁吸引きゅういん現象げんしょう與あずか電磁でんじ現象げんしょう和わ感應かんおう電流でんりゅう現象げんしょう相しょう連結れんけつ，那な麼，我わが們已經けい找到了りょう一いち套理論ろん，假かり若わか這理論ろん不正ふせい確かく，也只能のう用よう實驗じっけん來らい檢けん試こころみ，這會大だい大地だいち增加ぞうか我わが們在這物理ぶつり領域りょういき的てき知識ちしき。
— 馬うま克かつ士し威い， 論ろん物理ぶつり力りょく線せん

概がい述じゅつ

由よし於法ほう拉ひしげ第だい效こう應おう顯示けんじ出で，在ざい通過つうか介かい質しつ時とき，偏へん振ふ光波こうは會かい因いん為ため外そと磁場じば的てき作用さよう，轉變てんぺん偏へん振ふ的てき方向ほうこう，因いん此，馬うま克かつ士し威い認みとめ為ため磁場じば是ぜ一いち種しゅ旋轉せんてん現象げんしょう。在ざい他た設計せっけい的てき「分子ぶんし渦うず流りゅう模型もけい」裏うら，他た將しょう力りょく線せん延伸えんしん為ため「渦うず流りゅう管かん」。許多きょた單獨たんどく的てき「渦うず胞」（渦うず旋分子ぶんし）組成そせい了りょう一いち條條じょうじょう的てき渦うず流りゅう管かん。在ざい這渦胞內部ぶ，不可ふか壓縮あっしゅく流體りゅうたい繞にょう著ちょ旋轉せんてん軸じく以均勻角速度かくそくど旋轉せんてん。由よし於離はなれ心力しんりょく作用さよう，在ざい渦うず胞內部ぶ的てき任意にんい微小びしょう元素げんそ會かい感かん受到不同ふどう的てき壓あつ強きょう。知道ともみち這壓強的ごうてき分ぶん佈，就可以計算出さんしゅつ微小びしょう元素げんそ感かん受到的てき作用さよう力りょく。透過とうか分子ぶんし渦うず流りゅう模型もけい，馬うま克かつ士し威い詳細しょうさい地ち分ぶん析與比ひ擬なずらえ這作用よう力りょく內每一いち個こ項目こうもく的てき物理ぶつり性質せいしつ，合理ごうり地ち解釋かいしゃく各種かくしゅ磁場じば現象げんしょう和わ其伴隨ずい的てき作用さよう力りょく。

馬うま克かつ士し威い對たい於分子ぶんし渦うず流りゅう模型もけい提出ていしゅつ幾いく點てん質疑しつぎ。假設かせつ鄰近兩りょう條じょう磁力じりょく線せん的てき渦うず胞的旋轉せんてん方向ほうこう相しょう同どう。假かり若わか這些渦うず胞之間あいだ會かい發生はっせい摩擦まさつ，則のり渦うず胞的旋轉せんてん會かい越來ごえく越えつ慢，終おわり究きわむ會かい停止ていし旋轉せんてん；假かり若わか這些渦うず胞之間あいだ是ぜ平滑へいかつ的てき，則のり渦うず胞會失しつ去さ傳播でんぱ資し訊的能力のうりょく。為ため了りょう要よう避免這些棘とげ手しゅ的てき問題もんだい，馬うま克かつ士し威い想そう出で一いち個こ絕妙ぜつみょう的てき點てん子こ：他た假設かせつ在ざい兩個りゃんこ相しょう鄰渦胞之間あいだ，有ゆう一いち排はい微小びしょう圓えん珠たま，將はた這兩個りゃんこ渦うず胞隔離かくり分ぶん開ひらき。這些圓えん珠たま只ただ能のう滾たぎ動どう（rolling），不能ふのう滑すべり動どう。圓えん珠たま旋轉せんてん的てき方向ほうこう相反あいはん於這兩個りゃんこ渦うず胞的旋轉せんてん方向ほうこう，這樣，就不會かい引起摩擦まさつ。圓えん珠たま的てき平たいら移うつり速度そくど是ぜ兩個りゃんこ渦うず胞的周邊しゅうへん速度そくど的てき平均へいきん值。這是一いち種しゅ運動うんどう關係かんけい，不ふ是ぜ動力どうりょく關係かんけい。馬うま克かつ士し威い將はた這些圓えん珠たま的てき運動うんどう比ひ擬なずらえ為ため電流でんりゅう。從したがえ這模型がた，經過けいか一いち番ばん複雜ふくざつ的てき運算うんざん，馬うま克かつ士し威い能のう夠推導出どうしゅつ安やす培つちかえ定律ていりつ、法ほう拉ひしげ第だい感應かんおう定律ていりつ等ひとし等ひとし。

馬うま克かつ士し威たけし又また給きゅう予よ這些渦うず胞一いち種しゅ彈性だんせい性質せいしつ。假設かせつ施ほどこせ加か某ぼう種しゅ外力がいりょく於圓珠たま，則のり這些圓えん珠たま會かい轉うたて而施加か切きり力りょく於渦胞，使つかい得とく渦うず胞變形へんけい。這代表だいひょう了りょう一いち種しゅ靜しずか電でん狀態じょうたい。假設かせつ外力がいりょく與あずか時間じかん有ゆう關せき，則のり渦うず胞的變形へんけい也會與あずか時間じかん有ゆう關せき，因いん而形成けいせい了りょう電流でんりゅう。這樣，馬うま克かつ士し威い可か以比擬なずらえ出で電位でんい移うつり和わ位い移うつり電流でんりゅう。不ふ但ただし是ぜ在ざい介かい質しつ內，甚至在ざい真空しんくう（馬うま克かつ士し威い認みとめ為ため完かん美び真空しんくう不ふ存在そんざい，乙おつ太ふと瀰漫びまん於整個こ宇宙うちゅう。與あずか普通ふつう物質ぶっしつ不同ふどう，馬うま克かつ士し威い假想かそう的てき乙おつ太たい具ぐ有能ゆうのう量りょう與あずか動どう量りょう，因いん此可以說具有ぐゆう質量しつりょう，但ただし是これ牛うし頓ひたぶる萬有引力ばんゆういんりょく定律ていりつ不ふ適用てきよう於它，因いん為ため它沒有ゆう重量じゅうりょう。），只ただ要よう有ゆう磁力じりょく線せん，就有渦うず胞，位い移うつり電流でんりゅう就可以存在そんざい。因よし此，馬うま克かつ士し威い將しょう安やす培つちかえ定律ていりつ加か以延伸えんしん，增加ぞうか了りょう一個有關於位移電流的項目，稱しょう為ため「馬うま克かつ士し威い修正しゅうせい項目こうもく」。聰明そうめい睿智的てき馬うま克かつ士し威い很快地ち聯れん想到そうとう，既すんで然しか彈性だんせい物質ぶっしつ會かい以波動はどう形式けいしき傳播でんぱ能のう量りょう於空間あいだ，那な麼，這彈性せい模型もけい所しょ比ひ擬なずらえ的てき電磁場でんじば應おう該也會かい以波動はどう形式けいしき傳播でんぱ能のう量りょう於空間あいだ。不ふ但ただし如此，電磁波でんじは還かえ會かい產さん生せい反射はんしゃ，折おり射しゃ等ひとし等とう波動はどう行為こうい。馬うま克かつ士し威い計けい算出さんしゅつ電磁波でんじは的てき傳播でんぱ速度そくど，發覺はっかく這數值非常ひじょう接近せっきん於，先さき前まえ從したがえ天文學てんもんがく得え到いた的てき，光波こうは傳播でんぱ於行くだり星ほし際ぎわ空間くうかん的てき速度そくど。因よし此，馬うま克かつ士し威い斷定だんてい光波こうは就是一いち種しゅ電磁波でんじは。

彈性だんせい固體こたい模型もけい

在ざい那な時候じこう，已やめ經けい存在そんざい有ゆう很多試ためし著ちょ解釋かいしゃく電磁でんじ現象げんしょう的てき物理ぶつり模型もけい，例れい如，流體りゅうたい模型もけい，波動はどう模型もけい，熱ねつ傳導でんどう模型もけい等とう等とう。馬うま克かつ士し威い特別とくべつ提ひっさげ到いた了りょう物理ぶつり大師だいし威い廉かど·湯ゆ姆森的てき「彈性だんせい固體こたい模型もけい」。在ざい這模型がた裏うら，感受かんじゅ到いた磁場じば力りょく的てき作用さよう，固體こたい的てき每ごと一顆粒子都會產生角かく位い移うつり（Angular displacement），其轉動どう軸じく與あずか磁場じば力りょく同どう方向ほうこう，其大小しょう與あずか磁場じば力りょく的てき大だい小成こなり正ただし比ひ；感かん受到電場でんじょう力りょく的てき作用さよう，固體こたい的てき每ごと一顆粒子都會產生絕對位移，其方向ほうこう與あずか電場でんじょう力りょく相しょう同どう，其大小しょう與あずか電場でんじょう力りょく的てき大だい小成こなり正ただし比ひ；感かん受到電流でんりゅう的てき作用さよう，電流でんりゅう經過けいか的てき每ごと一顆粒子都會產生相對於鄰居粒子的相對位移，其方向ほうこう與あずか電流でんりゅう相しょう同どう，其大小しょう與あずか電流でんりゅう的てき大だい小成こなり正ただし比ひ。由よし於具有ぐゆう彈性だんせい，這個模型もけい可か以比擬なずらえ電場でんじょう和わ磁場じば的てき傳播でんぱ，又また由よし於固體こたい粒子りゅうし會かい因いん為ため磁場じば的てき作用さよう而產生せい角かく位い移うつり，這個模型もけい也可以解釋かいしゃく法ほう拉ひしげ第だい效こう應おう。但ただし是ぜ，湯ゆ姆森並なみ沒ぼつ有ゆう對たい電場でんじょう力りょく和わ磁場じば力りょく的てき產さん生せい給きゅう予よ解釋かいしゃく。

分子ぶんし渦うず流りゅう理論りろん

馬うま克かつ士し威たけし在ざい他た的てき1855年ねん論文ろんぶん《論法ろんぽう拉ひしげ第だい力ちから線せん》裏うら，將しょう法ほう拉ひしげ第だい想そう出で的てき力ちから線せん延伸えんしん為ため裝そう滿了まんりょう不可ふか壓縮あっしゅく流體りゅうたい的てき「力ちから管かん」。這力管かん的てき方向ほうこう代表だいひょう力りょく場じょう（電場でんじょう或ある磁場じば）的てき方向ほうこう，力ちから管かん的てき截面面積めんせき與力よりき管かん內的流體りゅうたい速度そくど成なり反はん比ひ，而這流體りゅうたい速度そくど可か以比擬なずらえ為ため電場でんじょう或ある磁場じば。這力管かん有ゆう一いち個こ特とく點てん，位い於截面めん面積めんせき的てき每ごと一いち點てん感かん受到的てき壓あつ強きょう相等そうとう，而且，這壓強きょう具有ぐゆう均ひとし向性こうせい。但ただし是ぜ，這力管かん模型もけい的てき功こう能のう有限ゆうげん。由よし於力管かん模型もけい的てき流體りゅうたい處しょ於穩定てい狀態じょうたい，不ふ具有ぐゆう質量しつりょう性質せいしつ，力ちから管かん模型もけい只ただ能のう比ひ擬なずらえ靜しずか電でん學がく和わ靜せい磁學的てき現象げんしょう，無法むほう比ひ擬なずらえ電磁でんじ感應かんおう，電位でんい移うつり等とう等とう現象げんしょう。 為ため了りょう要よう從したがえ機械きかい流體りゅうたい觀點かんてん來らい了解りょうかい磁場じば現象げんしょう，馬うま克かつ士し威い設計せっけい出來でき的てき分子ぶんし渦うず流りゅう模型もけい具有ぐゆう更さら多た的てき功こう能のう，他た將しょう力りょく管かん延伸えんしん為ため「渦うず流りゅう管かん」。許多きょた單獨たんどく的てき「渦うず胞」（渦うず旋分子ぶんし）組成そせい了りょう一いち條條じょうじょう的てき渦うず流りゅう管かん。在ざい這渦胞內部ぶ，不可ふか壓縮あっしゅく流體りゅうたい繞にょう著ちょ旋轉せんてん軸じく以均勻角速度かくそくど $\omega$ 旋轉せんてん。採用さいよう圓柱えんちゅう坐すわ標しるべ，處しょ於與旋轉せんてん軸じく徑みち向こう距離きょり為ため $r$ 的てき位置いち的てき微小びしょう流體りゅうたい元素げんそ $r\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta \mathrm {d} z$ ，所感しょかん受到的てき離はなれ心力しんりょく $\mathrm {d} F_{c}$ 為ため

$\mathrm {d} F_{c}=\rho r^{2}\omega ^{2}\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta \mathrm {d} z$ ；

其中，$\rho$ 是ぜ流體りゅうたい的てき密度みつど，是ぜ一いち個こ常數じょうすう。

因よし為ため旋轉せんてん運動うんどう，這微小びしょう流體りゅうたい元素げんそ所感しょかん受到的てき離はなれ心しん壓あつ強きょう $\mathrm {d} p_{c}$ 為ため

$\mathrm {d} p_{c}={\frac {\mathrm {d} F_{c}}{r\mathrm {d} \theta \mathrm {d} z}}=\rho r\omega ^{2}\mathrm {d} r$ 。

所以ゆえん，位い於渦胞周邊しゅうへん的てき離はなれ心しん壓あつ強きょう $p_{c_{R}}$ 為ため

$p_{c_{R}}=\int _{0}^{r}\rho r\omega ^{2}\mathrm {d} r=\rho R^{2}\omega ^{2}/2=\rho v^{2}/2$ ；

其中，$R$ 是ぜ渦うず胞的半徑はんけい，$v=R\omega$ 是ぜ流體りゅうたい位い於周邊しゅうへん的てき周邊しゅうへん速度そくど。

這方程式ほうていしき也可以用來らい近似きんじ其它不規則ふきそく形狀けいじょう渦うず胞案例れい，為ため了りょう便利べんり計算けいさん，馬うま克かつ士し威い設定せってい常數じょうすう $\mu =\pi \rho$ 。這常數すう也是流體りゅうたい密度みつど的てき估計。那な麼，位い於旋轉せんてん軸じく的てき壓あつ強きょう $p_{0}$ 與あずか位くらい於渦胞周邊しゅうへん的てき周邊しゅうへん壓あつ強きょう $p_{R}$ 的てき關係かんけい為ため

$p_{R}=p_{0}+\mu v^{2}/2\pi$ 。

再さい經過けいか一番いちばん計算けいさん，可か以得到いた平均へいきん壓あつ強きょう ${\overline {p}}$ 為ため

${\overline {p}}=p_{0}+\mu v^{2}/4\pi$ 。

馬うま克かつ士し威い想像そうぞう整せい個こ渦うず胞的壓あつ強つよ為ため，朝あさ著ちょ每ごと個こ方向ほうこう的てき壓あつ強きょう $p_{R}$ ，加か上じょう朝あさ著ちょ旋轉せんてん軸じく方向ほうこう的てき張力ちょうりょく $\mu v^{2}/4\pi$ 。所以ゆえん，朝あさ著ちょ磁力じりょく線せん方向ほうこう，是ぜ壓あつ強きょう最小さいしょう的てき方向ほうこう，渦うず胞趨向こう於收縮しゅうしゅく。在ざい穩定狀態じょうたい時じ，渦うず胞與渦うず胞之間作かんさく用よう於對方かた的てき壓あつ強きょう同樣どうよう是ぜ周邊しゅうへん壓あつ強きょう $p_{R}$ ；否ひ則そく，周邊しゅうへん壓あつ強きょう較大的てき渦うず胞會膨脹ぼうちょう，而周邊しゅうへん壓あつ強きょう較小的てき渦うず胞會縮小しゅくしょう。

比ひ擬なずらえ磁場じば現象げんしょう

得え到いた了りょう渦うず胞的壓あつ強きょう分ぶん佈，馬うま克かつ士し威い可か以著手しゅ計算けいさん渦うず胞內部ぶ的てき應力おうりょく：

$p_{xx}={\frac {1}{4\pi }}\mu \alpha ^{2}-p_{R}$ 、$\qquad p_{yy}={\frac {1}{4\pi }}\mu {\beta }^{2}-p_{R}$ 、$\qquad p_{zz}={\frac {1}{4\pi }}\mu {\gamma }^{2}-p_{R}$ 、

$p_{xy}={\frac {1}{4\pi }}\mu \alpha {\beta }$ 、$\qquad p_{xz}={\frac {1}{4\pi }}\mu \alpha {\gamma }$ 、$\qquad p_{yz}={\frac {1}{4\pi }}\mu {\beta }{\gamma }$ ；

其中，$\alpha$ 、${\beta }$ 、${\gamma }$ 分別ふんべつ為ため流體りゅうたい速度そくど $v$ 對たい於x-軸じく、y-軸じく、z-軸じく的てき分量ぶんりょう。

應用おうよう應力おうりょく平衡へいこう定律ていりつ，作用さよう於渦胞內部ぶ的てき單位たんい體積たいせき作用さよう力りょく，朝あさ著ちょx-方向ほうこう的てき分量ぶんりょう $X$ ，與あずか應力おうりょく的てき關係かんけい為ため

$X={\frac {\partial p_{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{xz}}{\partial z}}$ 。

經過けいか一番いちばん運算うんざん，可か以得到いた $X$ 關係かんけい式しき

$X={\frac {\alpha }{4\pi }}\left[{\frac {\partial \mu \alpha }{\partial x}}+{\frac {\partial \mu {\beta }}{\partial y}}+{\frac {\partial \mu {\gamma }}{\partial z}}\right]+{\frac {\mu }{8\pi }}\ {\frac {\partial (\alpha ^{2}+{\beta }^{2}+{\gamma }^{2})}{\partial x}}-{\frac {\mu {\beta }}{4\pi }}\left({\frac {\partial {\beta }}{\partial x}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial y}}\right)+{\frac {\mu {\gamma }}{4\pi }}\left({\frac {\partial \alpha }{\partial z}}-{\frac {\partial {\gamma }}{\partial x}}\right)-{\frac {\partial p_{R}}{\partial x}}$ 。

馬うま克かつ士し威い將しょう $\alpha$ 、${\beta }$ 、${\gamma }$ 分別ふんべつ比ひ擬なずらえ為ため磁場じば強度きょうど $\mathbf {H}$ 的てき三さん個こ分量ぶんりょう，$\mu$ 比ひ擬なずらえ為ため磁導率りつ，$\mu \alpha$ 、$\mu {\beta }$ 、$\mu {\gamma }$ 分別ふんべつ比ひ擬なずらえ為ため磁感應おう強度きょうど $\mathbf {B}$ 的てき三さん個こ分量ぶんりょう。這樣，磁荷 $q_{m}$ 不等ふとう於零的てき高こう斯磁定律ていりつ的てき方程式ほうていしき表示ひょうじ為ため

${\frac {\partial \mu \alpha }{\partial x}}+{\frac {\partial \mu {\beta }}{\partial y}}+{\frac {\partial \mu {\gamma }}{\partial z}}=q_{m}$ 。

$X$ 關係かんけい式しき右手みぎて邊べ的てき第だい一個項目是磁感應強度乘以磁荷，也就是ぜ磁荷感かん受到的てき磁場じば力りょく。由よし於磁單極きょく子こ並なみ不ふ存在そんざい，這項目こうもく等とう於零。

流體りゅうたい的てき單位たんい體積たいせき動どう能のう是ぜ $\mu (\alpha ^{2}+{\beta }^{2}+{\gamma }^{2})=\mu v^{2}$ 。動どう能のう對たい於位置いち的てき偏へん導しるべ數すう是ぜ作用さよう力りょく。所以ゆえん，$X$ 關係かんけい式しき的てき右手みぎて邊べ的てき第だい二に個こ項目こうもく是ぜ朝あさ著ちょ流體りゅうたい動どう能のう增加ぞうか的てき方向ほうこう的てき作用さよう力りょく。當とう介かい質しつ的てき密度みつど小しょう於流體りゅうたい的てき密度みつど時じ，流體りゅうたい會かい朝あさ著ちょ動どう能のう增加ぞうか的てき方向ほうこう流ながれ去ざ；反はん之これ，當とう介かい質しつ的てき密度みつど大だい於流體りゅうたい的てき密度みつど時じ，流體りゅうたい會かい朝あさ著ちょ相反あいはん方向ほうこう流ながれ去ざ。比ひ擬なずらえ至いたり電磁でんじ學がく，這項目め是ぜ由よし於磁能而產生せい的てき作用さよう力りょく。假かり若わか電でん介かい質しつ的てき磁導率りつ大だい於物體ぶったい的てき磁導率りつ，則のり物體ぶったい會かい朝あさ著ちょ磁能量りょう較低（磁場じば較低）的てき區域くいき移動いどう；反はん之これ，假かり若わか電でん介かい質しつ的てき磁導率りつ小しょう於物體ぶったい的てき磁導率りつ，則のり物體ぶったい會かい朝あさ著ちょ磁能量りょう較高（磁場じば較高）的てき區域くいき移動いどう。

$X$ 關係かんけい式しき右手みぎて邊べ的てき第だい三個項目和第四個項目的括號內部的表達式，分別ふんべつ比ひ擬なずらえ為ため電流でんりゅう密度みつど的てきz-分量ぶんりょう ${\mathfrak {p}}_{z}$ 和わy-分量ぶんりょう ${\mathfrak {p}}_{y}$ ：

${\mathfrak {p}}_{z}={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\partial {\beta }}{\partial x}}-{\frac {\partial {\alpha }}{\partial y}}\right)$ 、

${\mathfrak {p}}_{y}={\frac {1}{4\pi }}\left(-{\frac {\partial {\gamma }}{\partial x}}+{\frac {\partial {\alpha }}{\partial z}}\right)$ 。

這在下か一段落いちだんらく會かい有ゆう詳細しょうさい解釋かいしゃく。所以ゆえん，$X$ 關係かんけい式しき右手みぎて邊べ的てき第だい三個項目和第四個項目合併為：

$-\mu \beta {\mathfrak {p}}_{z}+\mu \gamma {\mathfrak {p}}_{y}$ 。

這是處しょ於磁場じょう的てき載の流りゅう導線どうせん所感しょかん受到的てき安やす培つちかえ力りょく的てきx-分量ぶんりょう。所以ゆえん，這兩個りゃんこ項目こうもく比ひ擬なずらえ為ため安やす培つちかえ力りょく。

最後さいご一個項目並沒有甚麼特別意思，只ただ是ぜ表示ひょうじ流りゅう體壓たいあつ強きょう不ふ均ひとし勻分佈所產しょさん生せい的てき作用さよう力りょく。

總そう結ゆい，作用さよう於渦胞內部ぶ的てき單位たんい體積たいせき磁場じば力りょく的てき三さん個こ分量ぶんりょう $X$ 、$Y$ 、$Z$ 分別ふんべつ為ため：

$X=q_{m}\alpha +{\frac {\mu }{8\pi }}\ {\frac {\partial v^{2}}{\partial x}}-\mu {\beta }{\mathfrak {p}}_{z}+\mu {\gamma }{\mathfrak {p}}_{y}-{\frac {\partial p_{R}}{\partial x}}$ 、(2)

$Y=q_{m}{\beta }+{\frac {\mu }{8\pi }}\ {\frac {\partial v^{2}}{\partial y}}-\mu {\gamma }{\mathfrak {p}}_{x}+\mu \alpha {\mathfrak {p}}_{z}-{\frac {\partial p_{R}}{\partial y}}$ 、(3)

$Z=q_{m}{\gamma }+{\frac {\mu }{8\pi }}\ {\frac {\partial v^{2}}{\partial z}}-\mu \alpha {\mathfrak {p}}_{y}+\mu {\beta }{\mathfrak {p}}_{x}-{\frac {\partial p_{R}}{\partial z}}$ 。(4)

• 第だい一個項目是處於磁場的磁荷感受到的磁場じば力りょく。
• 第だい二個項目是由於磁能量りょう不ふ均ひとし勻分佈，和わ電でん介かい質しつ與あずか物體ぶったい之の間あいだ不同ふどう的てき磁導率りつ，共同きょうどう耦合而產生せい的てき作用さよう力りょく。
• 第だい三個項目和第四個項目是處於磁場的載の流りゅう導線どうせん所感しょかん受到的てき安やす培つちかえ力りょく。
• 第だい五個項目是表示流體壓強不均勻分佈所產生的作用力。

比ひ擬なずらえ電流でんりゅう現象げんしょう

分子ぶんし渦うず流りゅう模型もけい示しめせ意圖いと：均ひとし勻磁場じょう的てき磁力じりょく線せん從したがえ顯示けんじ器き往外指出さしで，以黑色しょく矢や點てん表示ひょうじ。六角形分子的渦流方向呈反はん時針じしん方向ほうこう。綠色みどりいろ圓えん球だま代表だいひょう微小びしょう圓えん珠たま，旋轉せんてん方向ほうこう呈てい順じゅん時針じしん方向ほうこう。

緊接著ちょ，馬うま克かつ士し威い提出ていしゅつ了りょう幾いく個こ難題なんだい：到底とうてい是ぜ甚麼いんも物理ぶつり因いん素もと造成ぞうせい了りょう這些渦うず胞的自じ旋？為ため什麼いんも這些渦うず胞的旋轉せんてん軸じく會かい排列はいれつ於磁力りょく線せん，在ざい任意にんい位置いち，與あずか磁力じりょく線せん同どう方向ほうこう？馬うま克かつ士し威い認みとめ為ため要よう找到這些問題もんだい的てき答案とうあん，必須ひっす更進こうしん一步地抽絲剝繭、察其根源こんげん，必須ひっす研究けんきゅう渦うず胞與電流でんりゅう之の間あいだ的てき關係かんけい。

思考しこう兩個りゃんこ相しょう鄰之渦うず胞，假かり若わか其旋轉せんてん軸じく方向ほうこう相しょう同どう，則のり其位於周邊しゅうへん交界部ぶ份的流動りゅうどう元素げんそ會かい以相反はん方向ほうこう移動いどう，因いん而發生はっせい摩擦まさつ，動どう量りょう會かい慢慢地ち消けし減げん。這會影響えいきょう整せい個こ物理ぶつり模型もけい的てき持久じきゅう動態どうたい運うん作さく。因よし此，馬うま克かつ士し威い假設かせつ有ゆう一いち排はい微小びしょう圓えん珠たま，將はた這兩個りゃんこ渦うず胞隔離かくり分ぶん開ひらき。這些圓えん珠たま只ただ能のう滾たぎ動どう（rolling），不能ふのう滑すべり動どう。馬うま克かつ士し威い設定せってい圓えん珠たま的てき質量しつりょう超ちょう小しょう於渦胞的質量しつりょう。實際じっさい而言，在ざい這篇論文ろんぶん內，所有しょゆう的てき計算けいさん都と沒ぼつ有用ゆうよう到いた圓えん珠たま的てき質量しつりょう，所以ゆえん，可か以忽略りゃく圓えん珠たま的てき質量しつりょう。為ため了りょう避免與あずか渦うず胞發生はっせい摩擦まさつ，圓えん珠たま的てき旋轉せんてん方向ほうこう正ただし好こう相反あいはん於兩旁つくり渦うず胞的旋轉せんてん方向ほうこう。在ざい力學りきがく裏うら，這些圓えん珠たま稱たたえ為ため惰輪（idler-wheel）。馬うま克かつ士し威い將はた它們的てき運動うんどう比ひ擬なずらえ為ため電流でんりゅう。它們可か以說是ぜ電子でんし的てき初はつ始はじめ模型もけい。

圓えん珠たま的てき平たいら移うつり速度そくど是ぜ兩個りゃんこ渦うず胞的周邊しゅうへん速度そくど的てき平均へいきん值。為ため了りょう方便ほうべん起おこり見み，只ただ計算けいさん其中一いち個こ渦うず胞的貢獻こうけん。那な麼在這渦胞與圓えん珠たま的てき切點せってん，直線ちょくせん流速りゅうそく為ため ${\frac {1}{2}}(u_{x},u_{y},u_{z})$ ：

${\frac {1}{2}}(u_{x},u_{y},u_{z})={\frac {1}{2}}(n_{z}{\beta }-n_{y}{\gamma },n_{x}{\gamma }-n_{z}\alpha ,n_{y}\alpha -n_{x}{\beta })$ ；

其中，$n_{x}$ 、$n_{y}$ 、$n_{z}$ 分別ふんべつ為ため切點せってん的てき位置いち向こう量りょう對たい於x-軸じく、y-軸じく、z-軸じく的てき方向ほうこう餘弦よげん(direction cosine)。

圓えん珠たま的てき平たいら移うつり速度そくど的てきx-分量ぶんりょう是ぜ $(n_{z}{\beta }-n_{y}{\gamma })/2$ 。思考しこう包含ほうがん了りょう一個渦胞的微小閉合盒子，其表面めん圓えん珠たま密度みつど為ため $\rho _{e}$ ，那な麼，由ゆかり於圓珠たま的てき移動いどう而增加ぞうか的てき動どう量りょう ${\mathfrak {P}}_{x}$ 為ため

${\begin{aligned}{\mathfrak {P}}_{x}&=-{\frac {\rho _{e}}{2}}{\sum }_{\mathcal {S}}u_{x}\Delta s\\&=-{\frac {\rho _{e}}{2}}{\sum }_{\mathcal {S}}(n_{z}{\beta }-n_{y}{\gamma })\Delta s\\&=-{\frac {\rho _{e}}{2}}{\sum }_{\mathcal {S}}(\Delta s_{z}{\beta }-\Delta s_{y}{\gamma })\\\end{aligned}}$ ；

其中，${\mathcal {S}}$ 標記ひょうき總和そうわ於微小びしょう閉合盒子的てき表面ひょうめん，$\Delta s$ 是ぜ朝あさ著ちょ盒子外方そっぽ為ため正せい值的微分びぶん表面ひょうめん，$\Delta s_{y}$ 、$\Delta s_{z}$ 分別ふんべつ是ぜ $\Delta s$ 對たい於y-軸じく、z-軸じく的てき投影とうえい。

假設かせつ這微小びしょう閉合盒子的てき形狀けいじょう為ため方形ほうけい，三さん維尺寸しゃくすん為ため $2\Delta x$ 、$2\Delta y$ 、$2\Delta z$ ，盒心在ざい坐すわ標しるべ系けい的てき原點げんてん，盒表面めん垂直すいちょく於直角ちょっかく坐すわ標しるべ軸じく。泰たい勒展開てんかい ${\beta }$ 、${\gamma }$ 於原點てん：

${\begin{aligned}{\mathfrak {P}}_{x}&=-{\frac {\rho _{e}}{2}}\left\{\left[-\left(\beta _{0}-{\frac {\partial {\beta }}{\partial z}}\Delta z\right)\Delta s_{z}+\left(\beta _{0}+{\frac {\partial {\beta }}{\partial z}}\Delta z\right)\Delta s_{z}\right]-\left[-\left(\gamma _{0}-{\frac {\partial {\gamma }}{\partial y}}\Delta y\right)\Delta s_{y}+\left(\gamma _{0}+{\frac {\partial {\gamma }}{\partial y}}\Delta y\right)\Delta s_{y}\right]\right\}\\&=-\rho _{e}\left({\frac {\partial {\beta }}{\partial z}}\Delta z\Delta s_{z}-{\frac {\partial {\gamma }}{\partial y}}\Delta y\Delta s_{y}\right)\\&={\frac {\rho _{e}}{2}}\left({\frac {\partial {\gamma }}{\partial y}}-{\frac {\partial {\beta }}{\partial z}}\right)\Delta V\\\end{aligned}}$ ；

其中，$\beta _{0}$ 、$\gamma _{0}$ 分別ふんべつ是ぜ $\beta$ 、$\gamma$ 位くらい於原點てん的てき數すう值，$\Delta V=2\Delta z\Delta s_{z}=2\Delta y\Delta s_{y}$ 是ぜ微小びしょう閉合盒子的てき體積たいせき。

所以ゆえん，單位たんい體積たいせき的てき動どう量りょう，或ある每秒まいびょう鐘かね穿ほじ過か單位たんい面積めんせき的てき圓えん珠たま數量すうりょう，或ある單位たんい面積めんせき的てき圓えん珠たま的てき通どおり量りょう ${\mathfrak {p}}_{x}$ 表ひょう達たち為ため

${\mathfrak {p}}_{x}={\frac {\rho _{e}}{2}}\left({\frac {\partial {\gamma }}{\partial y}}-{\frac {\partial {\beta }}{\partial z}}\right)$ 。

類似るいじ地ち，可か以計算出さんしゅつ ${\mathfrak {p}}_{y}$ 和わ ${\mathfrak {p}}_{z}$ 。設定せってい $\rho _{e}=1/2\pi$ ，就可以得到いた安やす培つちかえ定律ていりつ的てき方程式ほうていしき：

${\mathfrak {p}}_{x}={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\partial {\gamma }}{\partial y}}-{\frac {\partial {\beta }}{\partial z}}\right)$ 、(5)

${\mathfrak {p}}_{y}={\frac {1}{4\pi }}\left(-{\frac {\partial {\gamma }}{\partial x}}+{\frac {\partial {\alpha }}{\partial z}}\right)$ 、(6)

${\mathfrak {p}}_{z}={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\partial {\beta }}{\partial x}}-{\frac {\partial {\alpha }}{\partial y}}\right)$ 。(7)

馬うま克かつ士し威い將しょう ${\mathfrak {p}}_{x}$ 、${\mathfrak {p}}_{x}$ 、${\mathfrak {p}}_{x}$ 分別ふんべつ比ひ擬なずらえ為ため電流でんりゅう密度みつど的てき三さん個こ分量ぶんりょう 。

比ひ擬なずらえ電場でんじょう現象げんしょう

到いた目前もくぜん為ため止どめ，馬うま克かつ士し威い還かえ沒ぼっ有ゆう說明せつめい圓えん珠たま與あずか渦うず胞之間あいだ的てき動力どうりょく關係かんけい，他た設定せってい這些將はた這兩個りゃんこ鄰近渦うず胞隔離かくり分ぶん開ひらき的てき圓えん珠たま，只ただ能のう滾たぎ動どう（rolling），不能ふのう滑すべり動どう，其線性せい速度そくど是ぜ兩個りゃんこ渦うず胞的周邊しゅうへん速度そくど的てき平均へいきん值。為ため了りょう要よう使つかい旋轉せんてん訊息能のう夠從一個渦胞傳達到另個渦胞，馬うま克かつ士し威い現在げんざい設定せってい，圓えん珠たま會かい施ほどこせ加か切きり力りょく於與其接觸せっしょく的てき渦うず胞，圓えん珠たま也會感かん受到與あずか其接觸せっしょく的てき渦うず胞所施ほどこせ加か的てき切きり力りょく和わ外部がいぶ施ほどこせ加か的てき作用さよう力りょく。為ため了りょう要よう使つかい旋轉せんてん訊息能のう夠從渦うず胞的外部がいぶ傳達でんたつ到いた渦うず胞的內部，他た又また設定せってい這些渦うず胞必須ひっす具有ぐゆう彈性だんせい性質せいしつ。這樣，假設かせつ施ほどこせ加か某ぼう外力がいりょく於圓珠たま，使つかい得とく圓えん珠たま發生はっせい位い移うつり，則のり這些圓えん珠たま會かい輾轉てんてん傳でん遞切力りょく訊息於渦胞內部ぶ，使つかい得とく渦うず胞變形へんけい。具有ぐゆう彈性だんせい的てき渦うず胞內部會ぶかい產さん生せい一いち種しゅ回復かいふく力りょく。當とう外力がいりょく除去じょきょ後ご，這回復かいふく力りょく會かい使し渦うず胞回復原ふくげん形がた，使つかい得とく圓えん珠たま返かえし回かい原はら位い。

假設かせつ，只ただ注意ちゅういx-分量ぶんりょう，渦うず胞作用よう於圓珠たま的てき切きり力りょく為ため $Q_{x}$ （作用さよう於單個こ圓えん珠たま的てき切きり力りょく），則のり渦うず胞感受到圓えん珠たま的てき切きり力りょく為ため $-Q_{x}$ ，渦うず胞的變形へんけい是ぜ $h_{x}$ ，那な麼根據こんきょ虎とら克かつ定律ていりつ，

$Q_{x}=-4\pi E^{2}h_{x}$ ；

其中，$4\pi E^{2}$ 是ぜ彈性だんせい常數じょうすう。

思考しこう一いち個こ原本げんぽん為ため電でん中性ちゅうせい的てき電でん介かい質しつ，束縛そくばく在ざい原子げんし內的電荷でんか，由ゆかり於感受到電場でんじょう的てき作用さよう，正せい束縛そくばく電荷でんか會かい朝あさ著ちょ電場でんじょう的てき方向ほうこう移動いどう，負ふ束縛そくばく電荷でんか會かい朝あさ著ちょ電場でんじょう的てき反はん方向ほうこう移動いどう。由よし於電介かい質しつ內部正負せいふ電荷でんか的てき相對そうたい位い移うつり，會かい產さん生せい電でん偶極子こ，這現象げんしょう稱たたえ為ため電極でんきょく化か。處ところ於靜電でん狀況じょうきょう，這些束縛そくばく電荷でんか不ふ會かい造成ぞうせい電流でんりゅう，因いん為ため它們的てき移動いどう範圍はんい被ひ限きり制せい於各自かくじ所屬しょぞく的てき原子げんし內部。但ただし假設かせつ電場でんじょう與あずか時間じかん有ゆう關せき，則のり電荷でんか的てき移動いどう也與時間じかん有ゆう關せき，因いん而形成けいせい了りょう含時電流でんりゅう。在ざい這裏，馬うま克かつ士し威い的てき電でん介かい質しつ包括ほうかつ玻璃はり、空氣くうき、乙おつ太ふと等ひとし等ひとし。馬うま克かつ士し威い認みとめ為ため甚至真空しんくう都と瀰漫びまん著ちょ乙おつ太ふとし，所以ゆえん，不ふ需要じゅよう導しるべ電でん體たい，含時電流でんりゅう就可以流動りゅうどう於真空しんくう。這是一いち個こ驚おどろき人的じんてき論點ろんてん。靠もたれ著ちょ這論點てん，電磁でんじ作用さよう就可以相互そうご持續じぞく不斷ふだん，電磁波でんじは就可以傳播於真空しんくう。

假設かせつ渦うず胞的介かい質しつ就是這種電でん介かい質しつ，則のり因いん為ため含時位い移うつり $h_{x}$ ，會かい產さん生せい額がく外的がいてき電流でんりゅう ${\mathfrak {p}}_{x}'$ 。假設かせつ這電流りゅう與あずか位くらい移うつり的てき關係かんけい為ため

${\mathfrak {p}}_{x}'={\frac {\partial h_{x}}{\partial t}}$ 。

那な麼，勢いきおい必要ひつよう修おさむ改あらため安やす培つちかえ定律ていりつ，將はた安やす培つちかえ定律ていりつ的てき方程式ほうていしき增加ぞうか一いち個こ位い移項いこう目め

${\mathfrak {p}}_{x}={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\partial {\gamma }}{\partial y}}-{\frac {\partial {\beta }}{\partial z}}-{\frac {1}{E^{2}}}\ {\frac {\partial Q_{x}}{\partial t}}\right)$ 、(8)

${\mathfrak {p}}_{y}={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\partial \alpha }{\partial z}}-{\frac {\partial {\gamma }}{\partial x}}-{\frac {1}{E^{2}}}\ {\frac {\partial Q_{y}}{\partial t}}\right)$ 、(9)

${\mathfrak {p}}_{z}={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\partial {\beta }}{\partial x}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial y}}-{\frac {1}{E^{2}}}\ {\frac {\partial Q_{z}}{\partial t}}\right)$ 。(10)

這方程式ほうていしき就是馬うま克かつ士し威たけし-安やす培つちかえ方程式ほうていしき。增加ぞうか的てき項目こうもく稱しょう為ため馬うま克かつ士し威い修正しゅうせい項目こうもく。仔細しさい分析ぶんせき每ごと一いち個こ變量へんりょう，切きり力りょく $Q_{x}$ 、$Q_{y}$ 、$Q_{z}$ 分別ふんべつ比ひ擬なずらえ為ため電場でんじょう的てき三さん個こ分量ぶんりょう，$h_{x}$ 、$h_{y}$ 、$h_{z}$ 分別ふんべつ比ひ擬なずらえ為ため電位でんい移うつり的てき三さん個こ分量ぶんりょう，彈性だんせい常數じょうすう的てき倒たおせ數すう $1/E^{2}$ 比ひ擬なずらえ為ため電でん容よう率りつ。

應用おうよう連續れんぞく性せい方程式ほうていしき，對たい於一閉合表面ひょうめん的てき圓えん珠たま通どおり量りょう加か上じょう這閉合あい表面ひょうめん所しょ包含ほうがん的てき圓えん珠たま數量すうりょう變へん率りつ等とう於零，以微分ぶん形式けいしき表示ひょうじ：

${\frac {\partial {\mathfrak {p}}_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\mathfrak {p}}_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial {\mathfrak {p}}_{z}}{\partial z}}+{\frac {\partial e}{\partial t}}=0$ ；(11)

其中，$e$ 是これ圓えん珠たま的てき數量すうりょう密度みつど，比ひ擬なずらえ為ため電荷でんか密度みつど。

綜合そうごう馬うま克かつ士し威たけし-安やす培つちかえ方程式ほうていしき和わ電荷でんか守恆もりつね方程式ほうていしき，設定せってい流速りゅうそく $\alpha =\beta =\gamma =0$ ，可か以得到いた高こう斯定律ていりつ：

$e={\frac {1}{4\pi E^{2}}}\left({\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial Q_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial Q_{z}}{\partial z}}\right)$ 。

比ひ擬なずらえ電磁でんじ能のう量りょう現象げんしょう

由よし於在渦うず胞內部ぶ的てき流體りゅうたい的てき流動りゅうどう，渦うず胞具有ぐゆう流動りゅうどう能のう量りょう密度みつど ${\mathfrak {E}}_{m}$ ：

${\mathfrak {E}}_{m}=k_{m}({\alpha }^{2}+{\beta }^{2}+{\gamma }^{2})$ ；

其中，$k_{m}$ 為ため稍やや後ご再さい設定せってい的てき比例ひれい係數けいすう。

由よし於圓珠たま的てき切きり力りょく所產しょさん生せい的てき變形へんけい而儲存そん的てき彈だん性能せいのう量りょう密度みつど ${\mathfrak {E}}_{e}$ 為ため

${\mathfrak {E}}_{e}=k_{e}({h_{x}}^{2}+{h_{y}}^{2}+{h_{z}}^{2})=k_{Q}({Q_{x}}^{2}+{Q_{y}}^{2}+{Q_{z}}^{2})$ ；

其中，$k_{e}$ 和わ $k_{Q}$ 分別ふんべつ為ため稍やや後ご再さい設定せってい的てき比例ひれい係數けいすう。

假設かせつ渦うず胞為絕緣ぜつえん體たい，不ふ會かい傳導でんどう電流でんりゅう，那な就不會かい因いん為ため渦うず胞內部ぶ的てき電でん阻而產さん生せい歐おう姆加熱ねつ（Ohmic heating）。總そう能のう量りょう密度みつど對たい於時間あいだ的てき偏へん導しるべ數すう為ため

${\frac {\partial {\mathfrak {E}}}{\partial t}}=2k_{m}\left({\alpha }{\frac {\partial \alpha }{\partial t}}+{\beta }{\frac {\partial {\beta }}{\partial t}}+{\gamma }{\frac {\partial {\gamma }}{\partial t}}\right)+2k_{Q}\left({Q_{x}}{\frac {\partial Q_{x}}{\partial t}}+{Q_{y}}{\frac {\partial Q_{y}}{\partial t}}+{Q_{z}}{\frac {\partial Q_{z}}{\partial t}}\right)$ 。(12)

圓えん珠たま的てき切きり力りょく對たい於渦胞所做的單位たんい體積たいせき機械きかい功こう $W$ 對たい於時間あいだ的てき偏へん導しるべ數すう為ため：

${\frac {\partial W}{\partial t}}=-{\frac {\rho _{e}}{2\Delta V}}{\sum }_{\mathcal {S}}(Q_{x}u_{x}+Q_{y}u_{y}+Q_{z}u_{z})\Delta s$ ；

其中，$\Delta V$ 是ぜ渦うず胞的體積たいせき。

參考さんこう方程式ほうていしき(5)，設定せってい表面ひょうめん圓えん珠たま密度みつど $\rho _{e}=1/2\pi$ ，

${\frac {\partial W}{\partial t}}\Delta V=-{\frac {1}{4\pi }}{\sum }_{\mathcal {S}}(Q_{x}(n_{z}{\beta }-n_{y}{\gamma })+Q_{y}(n_{x}{\gamma }-n_{z}\alpha )+Q_{z}(n_{y}\alpha -n_{x}{\beta }))\Delta s$ 。

先さき計算けいさん右邊うへん第だい一いち個こ項目こうもく，x-分量ぶんりょう的てき貢獻こうけん：

${\frac {\partial W_{x}}{\partial t}}\Delta V=-{\frac {1}{4\pi }}{\sum }_{\mathcal {S}}Q_{x}(n_{z}{\beta }-n_{y}{\gamma })\Delta s=-{\frac {1}{4\pi }}{\sum }_{\mathcal {S}}(Q_{x}{\beta }\Delta s_{z}-Q_{x}{\gamma }\Delta s_{y})$ 。

假設かせつ這微小びしょう閉合盒子的てき形狀けいじょう為ため方形ほうけい，三さん維尺寸しゃくすん為ため $2\Delta x$ 、$2\Delta y$ 、$2\Delta z$ ，盒心在ざい坐すわ標しるべ系けい的てき原點げんてん，盒表面めん垂直すいちょく於直角ちょっかく坐すわ標しるべ軸じく。泰たい勒展開てんかい $Q_{x}$ 、${\beta }$ 、${\gamma }$ 於原點てん：

${\frac {\partial W_{x}}{\partial t}}\Delta V=-{\frac {1}{4\pi }}\left\{\left[-\left(Q_{x0}-{\frac {\partial Q_{x}}{\partial z}}\Delta z\right)\left(\beta _{0}-{\frac {\partial {\beta }}{\partial z}}\Delta z\right)+\left(Q_{x0}+{\frac {\partial Q_{x}}{\partial z}}\Delta z\right)\left(\beta _{0}+{\frac {\partial {\beta }}{\partial z}}\Delta z\right)\right]\Delta s_{z}\right.$

$\left.-\left[-\left(Q_{x0}-{\frac {\partial Q_{x}}{\partial y}}\Delta y\right)\left(\gamma _{0}-{\frac {\partial {\gamma }}{\partial y}}\Delta y\right)+\left(Q_{x0}+{\frac {\partial Q_{x}}{\partial y}}\Delta y\right)\left(\gamma _{0}+{\frac {\partial {\gamma }}{\partial y}}\Delta y\right)\right]\Delta s_{y}\right\}$ 。

經過けいか一番いちばん運算うんざん，可か以得到いた

${\frac {\partial W_{x}}{\partial t}}=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\left(\beta _{0}{\frac {\partial Q_{x}}{\partial z}}-\gamma _{0}{\frac {\partial Q_{x}}{\partial y}}\right)-Q_{x0}\left({\frac {\partial {\gamma }}{\partial y}}-{\frac {\partial {\beta }}{\partial z}}\right)\right]$ 。

類似るいじ地ち，其它兩個りゃんこ分量ぶんりょう分別ふんべつ為ため

${\frac {\partial W_{y}}{\partial t}}=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\left(-\alpha _{0}{\frac {\partial Q_{y}}{\partial z}}+\gamma _{0}{\frac {\partial Q_{y}}{\partial x}}\right)-Q_{y0}\left(-{\frac {\partial {\gamma }}{\partial x}}+{\frac {\partial \alpha }{\partial z}}\right)\right]$ 、

${\frac {\partial W_{z}}{\partial t}}=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\left(\alpha _{0}{\frac {\partial Q_{z}}{\partial y}}-\beta _{0}{\frac {\partial Q_{z}}{\partial x}}\right)-Q_{z0}\left({\frac {\partial {\beta }}{\partial x}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial y}}\right)\right]$ 。

全部ぜんぶ加か起おこり來らい，單位たんい體積たいせき總そう功こう率りつ為ため

${\frac {\partial W}{\partial t}}=-{\frac {1}{4\pi }}\left\{\left[\alpha _{0}\left({\frac {\partial Q_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial Q_{y}}{\partial z}}\right)+\beta _{0}\left(-{\frac {\partial Q_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial Q_{x}}{\partial z}}\right)+\gamma _{0}\left({\frac {\partial Q_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial Q_{x}}{\partial y}}\right)\right]\right.$

$\left.-\left[Q_{x0}\left({\frac {\partial {\gamma }}{\partial y}}-{\frac {\partial {\beta }}{\partial z}}\right)+Q_{y0}\left(-{\frac {\partial {\gamma }}{\partial x}}+{\frac {\partial \alpha }{\partial z}}\right)+Q_{z0}\left({\frac {\partial {\beta }}{\partial x}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial y}}\right)\right]\right\}$ 。

回想かいそう方程式ほうていしき(12)，取と至いたり $\Delta x$ 、$\Delta y$ 、$\Delta z$ 的てき零れい次じ，則のり $\alpha$ 、${\beta }$ 、${\gamma }$ 分別ふんべつ近似きんじ為ため $\alpha _{0}$ 、$\beta _{0}$ 、$\gamma _{0}$ ，而 $Q_{x}$ 、$Q_{y}$ 、$Q_{z}$ 分別ふんべつ近似きんじ為ため $Q_{x0}$ 、$Q_{y0}$ 、$Q_{z0}$ 。方程式ほうていしき(12)變へん為ため

${\frac {\partial {\mathfrak {E}}}{\partial t}}=2k_{m}\left({\alpha _{0}}{\frac {\partial \alpha }{\partial t}}+{\beta _{0}}{\frac {\partial {\beta }}{\partial t}}+{\gamma _{0}}{\frac {\partial {\gamma }}{\partial t}}\right)+2k_{Q}\left({Q_{x0}}{\frac {\partial Q_{x}}{\partial t}}+{Q_{y0}}{\frac {\partial Q_{y0}}{\partial t}}+{Q_{z0}}{\frac {\partial Q_{z}}{\partial t}}\right)$ 。

切きり力りょく所しょ做的總そう功こう率りつ應おう該等於渦胞的總そう能のう量的りょうてき增加ぞうか。比ひ較這兩個りゃんこ方程式ほうていしき，設定せってい分別ふんべつ含有がんゆう $\alpha _{0}$ 、$\beta _{0}$ 、$\gamma _{0}$ 的てき項目こうもく相等そうとう，並なみ設定せってい $k_{m}=\mu /8\pi$ ，就可以得到いた法ほう拉ひしげ第だい電磁でんじ感應かんおう定律ていりつ的てき方程式ほうていしき：

${\frac {\partial Q_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial Q_{y}}{\partial z}}=-\mu {\frac {\partial \alpha }{\partial t}}$ 、

$-{\frac {\partial Q_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial Q_{x}}{\partial z}}=-\mu {\frac {\partial {\beta }}{\partial t}}$ 、

${\frac {\partial Q_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial Q_{x}}{\partial y}}=-\mu {\frac {\partial {\gamma }}{\partial t}}$ 。

再さい設定せってい分別ふんべつ含有がんゆう $Q_{x0}$ 、$Q_{y0}$ 、$Q_{z0}$ 的てき項目こうもく相等そうとう，並なみ設定せってい $k_{Q}=1/8\pi E^{2}$ ，就可以得到いた電流でんりゅう為ため零れい的てき馬うま克かつ士し威たけし-安やす培つちかえ定律ていりつ的てき方程式ほうていしき：

${\frac {\partial {\gamma }}{\partial y}}-{\frac {\partial {\beta }}{\partial z}}={\frac {1}{E^{2}}}{\frac {\partial Q_{x}}{\partial t}}$ 、

$-{\frac {\partial {\gamma }}{\partial x}}+{\frac {\partial \alpha }{\partial z}}={\frac {1}{E^{2}}}{\frac {\partial Q_{y}}{\partial t}}$ 、

${\frac {\partial {\beta }}{\partial x}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial y}}={\frac {1}{E^{2}}}{\frac {\partial Q_{z}}{\partial t}}$ 。

流動りゅうどう能のう量りょう密度みつど比ひ擬なずらえ為ため磁能量りょう密度みつど：

${\mathfrak {E}}_{m}={\frac {\mu }{8\pi }}({\alpha }^{2}+{\beta }^{2}+{\gamma }^{2})$ 。

彈たま性能せいのう量りょう密度みつど比ひ擬なずらえ為ため電でん能のう量りょう密度みつど：

${\mathfrak {E}}_{e}={\frac {1}{8\pi E^{2}}}({Q_{x}}^{2}+{Q_{y}}^{2}+{Q_{z}}^{2})$ 。

光波こうは就是電磁波でんじは

對たい於彈性せい介かい質しつ，橫波よこなみ的てき傳播でんぱ速そく率りつ $V$ 為ため

$V={\sqrt {m/\rho }}$ ；

其中，$m$ 是ぜ介かい質しつ橫よこ向こう彈性だんせい係數けいすう，與あずか渦うず胞彈性せい常數じょうすう $E^{2}$ 有ゆう關せき：

$m=k_{1}E^{2}$ ;

$\rho$ 是ぜ介かい質しつ密度みつど，與あずか渦うず胞物質ぶっしつ密度みつど $\mu$ 有ゆう關せき：

$\rho =k_{2}\mu$ ;

$k_{1}$ 、$k_{2}$ 都みやこ是ただし比例ひれい常數じょうすう。

所以ゆえん，$V$ 與あずか $E$ 成なり正せい比ひ，與あずか $\mu$ 的てき平方根へいほうこん成なり反はん比ひ：

$V=k_{3}E/{\sqrt {\mu }}$ 。

對たい於任意にんい線せん性せい物質ぶっしつ，不ふ論ろん比例ひれい常數じょうすう $k_{3}$ 為ため何なに，上述じょうじゅつ關係かんけい式しき恆つね成立せいりつ。馬うま克かつ士し威い設定せってい $k_{3}=1$ 。這樣，

$V=E/{\sqrt {\mu }}$ 。

採用さいよう電磁でんじ單位たんい制せい。在ざい真空しんくう或ある空氣くうき裏うら，磁導率りつ $\mu =1$ 。所以ゆえん，$V=E$ 。於1856年ねん，威い廉かど·韋伯與あずか魯道夫おっと·科か爾しか勞ろう施ほどこせ（Rudolf Kohlrausch）共同きょうどう做實驗じっけん，測はか得とく $E$ 的てき數すう值為 $310,740,000,000mm/sec$ 。而於1849年ねん，阿おもね曼德·斐索用よう飛行ひこう時間じかん法ほう（time-of-flight method）測はか得う在ざい地球ちきゅう空氣くうき裏うら的てき光速こうそく數かず值為 $314,858,000,000mm/sec$ 。馬うま克かつ士し威たけし總そう結ゆい：

根據こんきょ韋伯和わ科か爾しか勞ろう施ほどこせ完成かんせい的てき電磁でんじ實驗じっけん，在ざい我わが們的假想かそう介かい質しつ裏うら的てき橫よこ向こう波なみ盪的速度そくど，與あずか從したがえ斐索的てき光學こうがく實驗じっけん計算けいさん求もとめ得とく的てき光速こうそく，是ぜ如此精確せいかく地ち符合ふごう，這使我わが們難以迴避如下か推斷すいだん：光ひかり是ぜ由よし介かい質しつ的てき橫波よこなみ所しょ形成けいせい，而這同どう一介質也是電現象和磁現象的起因。
— 馬うま克かつ士し威い， 論ろん物理ぶつり力りょく線せん

參まいり閱

• 《論法ろんぽう拉ひしげ第だい力ちから線せん》
• 《電磁場でんじば的てき動力どうりょく學理がくり論ろん》
• 斐索-傅でん科か儀ぎ
• 羅ら默だま測定そくてい光速こうそく
• 電磁波でんじは方程式ほうていしき
• 馬うま克かつ士し威い方かた程ほど組ぐみ
• 弯曲时空中ちゅう的てき麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组
• 馬うま克かつ士し威い應力おうりょく張はり量りょう
• 麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组的历史

參考さんこう文獻ぶんけん

• 《論ろん物理ぶつり力りょく線せん》全文ぜんぶん 1、2
• 馬うま克かつ士し威い, 詹姆斯, On physical lines of force 10, Philosophical Magazine: pp. 11–23, 1861, doi:10.1080/14786431003659180  引文格式かくしき1维护：冗余文ぶん本ほん (link)

進すすむ階かい閱讀

• Simpson, Thomas K., Maxwell on the electromagnetic field: a guided study, USA: Rutgers University Press, 1997, ISBN 9780813523637 
• Crease, Robert, The Great Equations: Breakthroughs in Science from Pythagoras to Heisenberg, illustrated, W. W. Norton & Company: pp. 132ff, 2008, ISBN 9780393062045  引文格式かくしき1维护：冗余文ぶん本ほん (link)
• Siegel, Daniel M., Innovation in Maxwell's Electromagnetic Theory: Molecular Vortices, Displacement Current, and Light, Cambridge University Press: 240, [2003], ISBN 9780521533294