连通空そら间

R² 的てき连通和わ不ふ连通子こ空そら间。上面うわつら的てき空そら间 A 是ぜ连通的てき，下面かめん的てき空そら间 B 是ぜ不ふ连通的てき。

在ざい拓つぶせ扑学及相关的数学すうがく領域りょういき中ちゅう，连通空そら间是ぜ指ゆび不能ふのう表示ひょうじ为两个或多た个不相しょう交的非ひ空そら开集的てき并集的てき拓つぶせ扑空间。

定てい义

拓つぶせ扑空间X称たたえ为是连通的てき。当とう且仅当とう以下いか叙述じょじゅつ之の一いち成立せいりつ：

• X不能ふのう表示ひょうじ为两个分離ぶんり的てき非ひ空そら开集的てき并集。
• ∀A⊆X，A≠X或ある∅，A^-∩(X-A)^-≠∅。

一个拓扑空间被称为是不ふ连通的てき，若わか它不是ぜ连通的てき。

连通性せい是ぜ拓つぶせ扑空间的一个拓扑不变性质，即そく两个拓つぶせ扑空间之间若存在そんざい一いち个同どう胚はい映うつ射い，其中一个空间是连通的，则另一个空间也是连通的。

一些数学家承认空そら集しゅう(按照它独有ゆう的てき拓つぶせ扑)是ぜ连通空そら间，不ふ过也有数ゆうすう学がく家か不承ぶしょう认这一いち点てん。

连通单元

连通子こ集しゅう

拓つぶせ扑空间X的てき子こ集しゅうA称たたえ为连通的てき，当とう且仅当とうA诱导的てき子こ拓つぶせ扑空间是ぜ连通的てき。

连通单元

拓つぶせ扑空间的极大连通子こ集しゅう称しょう作さく连通单元。

完全かんぜん不ふ连通空そら间

拓つぶせ扑空间X称たたえ为完全かんぜん不ふ连通空そら间，当とう且仅当とうX的てき连通单元都と是ぜ单元素げんそ集合しゅうごう。

每まい个空间都能のう表ひょう成なり它的连通单元的てき不ふ相あい交并集しゅう。

连通单元必然ひつぜん是ぜ闭的，在ざい够好的てき空そら间（如流ながれ形がた、代数だいすう簇むらが）上じょう也同时是开的，但ただし并非总是如此。

其它连通性せい定てい义

道路どうろ连通，弧こ连通

R² 的てき这个子こ空そら间是道路どうろ连通的てき，因いん为在这个空そら间的任にん何なん两点之の间可绘制一いち个道路ろ。

称たたえ拓つぶせ扑空间X是ぜ道路どうろ连通空そら间，当とう且仅当とう∀x,y∈X，存在そんざい连续函数かんすう$\gamma :[0,1]\to X$ 使つかい得とく $\gamma (0)=x,\gamma (1)=y$。若わか$\gamma$ 可か取と为使得とく $[0,1]\to \gamma ([0,1])$ 为同どう胚はい，则称X为弧こ连通空そら间。

道路どうろ连通空そら间必定ひつじょう是ぜ连通空そら间，反はん之これ不ふ一定いってい。

道路どうろ连通的てき豪ごう斯多夫おっと空そら间必为弧こ连通空そら间。

局部きょくぶ连通

拓つぶせ扑空间X称たたえ为局部きょくぶ连通的てき，当とう且仅当とう以下いか叙述じょじゅつ之の一いち成立せいりつ：

• 空そら间中的てき任にん一点都存在连通的邻域（即そく该邻域いき是ぜX的てき连通子こ集しゅう）。
• 空そら间的拓つぶせ扑基完全かんぜん由よし连通的てき集合しゅうごう组成。

例れい子こ

• 拓つぶせ扑学家か的てき正弦せいげん曲きょく线：在ざい平面へいめん欧おう几里得とく空そら间$\mathbb {R} ^{2}$中ちゅう定てい义集合しゅうごう
  $S=\{(x,\sin {\frac {1}{x}})|x\in (0,1]\}$
  和わ
  $T=\{(0,y)|y\in [0,1]\}$
  。考こう虑$S\cup T$在ざい$\mathbb {R} ^{2}$中ちゅう诱导的てき子こ拓つぶせ扑空间，它是连通的てき，但ただし不ふ是ぜ局部きょくぶ连通的てき。
• 有理数ゆうりすう：有理数ゆうりすう集しゅう上じょう的てき连通单元都と是ぜ单元素げんそ集合しゅうごう，所以ゆえん有理数ゆうりすう集しゅう是ぜ一个完全不连通空间。

參考さんこう文獻ぶんけん

• Munkres, James R. Topology, Second Edition. Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2. 
• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. Connected Set. MathWorld. 
• V. I. Malykhin, Connected space, Hazewinkel, Michiel (编), 数学すうがく百科ひゃっか全ぜん书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Muscat, J; Buhagiar, D. Connective Spaces (PDF). Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc. 2006, 39: 1–13 [2011-09-06]. （原始げんし内容ないよう (PDF)存そん档于2016-03-04）. .